1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年天津市高考数学模拟试卷（年天津市高考数学模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 9 小题，满分小题，满分 27 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知集合 Ax|1x1，Bx|0x2，则 AB（ ） A （1，2） B （1，0） C （0，1） D （1，2） 2 （3 分） “m1，2“是“lnm1”成立的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 3 （3 分）设 alog73， = 1 3 7，c30.7，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Cbca Dbac 4 （3
2、分）ABC 中，AB3， = 13，AC4，则ABC 的面积是（ ） A33 B33 2 C3 D3 2 5 （3 分）某师范院校为响应国家教育脱贫攻坚号召，决定每年安排 5 名师范生到某贫困县 的 3 所学校进行支教， 要求每所学校至少安排 1 名师范生， 且 1 名师范生只去一所学校， 则不同的安排方法有（ ） A90 种 B120 种 C150 种 D180 种 6 （3 分）要得到函数 y= 3sin（x 12）的图象，只需将函数 y= 3sin（2x 3）图象上所 有点的横坐标（ ） A伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 4个单位长度 B伸长到原来的 2 倍
3、（纵坐标不变） ，再将得到的图象向右平移 4个单位长度 C缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 5 24个单位长度 D缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向右平移 11 24 个单位长度 7 （3 分）函数 y2|x|sin2x 的图象可能是（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C D 8 （3 分）设双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点 F（2，0） ，圆 x2+y2c2与双曲 线的一条渐近线交于点 A，直线 AF 交另一条渐近线于点 B，若 = 1 2 ，则双曲线的 方程为（ ） A 2 3 2= 1 B 2 2 2 6 = 1 C
4、 2 6 2 2 = 1 D2 2 3 = 1 9 （3 分）如图，ABCD 的对角线交点是 O，则下列等式成立的是（ ） A + = B + = C = D = 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 10 （3 分）已知 aR，i 为虚数单位，若 : 1;2为纯虚数，则 a 的值为 11 （3 分）在（x+ 1 ） 6 的二项展开式中，常数项为 12 （3 分）已知三棱锥 PABC 中 PAAB3，AC5，BC7，PB32，PC= 34则 三棱锥 PABC 的外接球表面积为 第 3 页（共 16 页） 13 （3 分）已知一组样本数据
5、x1，x2x10，且12+ 22+ + 102= 180，平均数 =4， 则该组数据的方差为 14 （3 分）已知 x0，y0，2x+y3xy2，则 2x+y 的最小值为 15 （3 分）已知函数 f（x）= 2 + 2 + 1 42+8 ， 20 2+ 2 1， 2或 0 ，若函数 g（x）a|f（x）|+1 有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 16 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 a2， c3， = ( 6) （1）求 b 的值； （2）求 cos（CB）的值 17如图所示，四棱锥 PABCD
6、中，PC底面 ABCD，PCCD2，E 为 AB 的中点，底 面四边形 ABCD 满足ADCDCB90，AD1，BC3 （）求证：平面 PDE平面 PAC； （）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值； （）求二面角 DPEB 的余弦值 18已知数列an满足条件 a11，a23，且 an+2（1）n（an1）+2an+1，nN* （）求数列an的通项公式； （）设 bn= 21 2 ，Sn为数列bn的前 n 项和，求证：Sn 2 2+1 19已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）过点（0，2） ，且满足 a+b32 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若斜率为1 2的直线与椭圆
7、 C 交于两个不同点 A，B，点 M 坐标为（2，1） ，设直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1，k2，试问 k1+k2是否为定值？并说明理由 第 4 页（共 16 页） 20已知常数 a0，函数 f（x）ln（1+x） 2 2+ （）讨论函数 f（x）在区间（0，+）上的单调性： （）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，且 f（x1）+f（x2）0，求 a 的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2020 年天津市高考数学模拟试卷（年天津市高考数学模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 9 小题，满分小题，满分 27 分，每小题分，每小题 3
8、分）分） 1 （3 分）已知集合 Ax|1x1，Bx|0x2，则 AB（ ） A （1，2） B （1，0） C （0，1） D （1，2） 【解答】解：集合 Ax|1x1（1，1） ，Bx|0x2（0，2） ， 则 AB（1，2） ， 故选：A 2 （3 分） “m1，2“是“lnm1”成立的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解：lnm10me， 1，2（0，e） ， m1，2“是“lnm1”成立的充分非必要条件， 故选：A 3 （3 分）设 alog73， = 1 3 7，c30.7，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcb
9、a Cbca Dbac 【解答】解：0log71alog73log771， = 1 3 71 3 1 =0， c30.7301， bac 故选：D 4 （3 分）ABC 中，AB3， = 13，AC4，则ABC 的面积是（ ） A33 B33 2 C3 D3 2 【解答】解：根据题意，ABC 中，AB3， = 13，AC4， 则有 cosC= |2+|2|2 2| = 9+1613 234 = 1 2， 则 sinC= 3 2 ， 第 6 页（共 16 页） 则ABC 的面积 S= 1 2|AB|AC|sinC33， 故选：A 5 （3 分）某师范院校为响应国家教育脱贫攻坚号召，决定每年安排
10、5 名师范生到某贫困县 的 3 所学校进行支教， 要求每所学校至少安排 1 名师范生， 且 1 名师范生只去一所学校， 则不同的安排方法有（ ） A90 种 B120 种 C150 种 D180 种 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 将 5 名师范生分成 3 组，若分为 1、1、3 的三组，有 C5310 种方法， 若分为 1、2、2 的三组，有5 14222 2 2 =15 种方法， 则有 10+1525 种分组方法； 将分好的三组全排列，安排到 3 所学校，有 A336 种情况， 则 256150 种安排方法； 故选：C 6 （3 分）要得到函数 y= 3sin（x 12）的图象
11、，只需将函数 y= 3sin（2x 3）图象上所 有点的横坐标（ ） A伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 4个单位长度 B伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向右平移 4个单位长度 C缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 5 24个单位长度 D缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向右平移 11 24 个单位长度 【解答】解：将函数 y= 3sin（2x 3）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐 标不变） ， 得到 y= 3sin（1 2 2x 3）= 3sin（x 3） ， 再将得到的图象向左平移 4
12、个单位长度得到 y= 3sin（x 3 + 4）3sin（x 12） ， 故选：A 7 （3 分）函数 y2|x|sin2x 的图象可能是（ ） 第 7 页（共 16 页） A B C D 【解答】解：根据函数的解析式 y2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数， 故排除 A 和 B 当 x= 2时，函数的值也为 0， 故排除 C 故选：D 8 （3 分）设双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点 F（2，0） ，圆 x2+y2c2与双曲 线的一条渐近线交于点 A，直线 AF 交另一条渐近线于点 B，若 = 1 2 ，则双曲线的 方程为（ ） A 2 3 2= 1 B 2 2 2
13、6 = 1 C 2 6 2 2 = 1 D2 2 3 = 1 【解答】解：由题意，y= x 与 x 2+y2c2 联立，可得 A（a，b） ， AF 的斜率为 :， = 1 2 ， B 为线段 FA 的中点， OBAF， 第 8 页（共 16 页） : （ ）1，即 b 2a2+2a， 结合 b2c2a24a2， 解得 a1，b= 3， 则双曲线的方程为 x2 2 3 =1， 故选：D 9 （3 分）如图，ABCD 的对角线交点是 O，则下列等式成立的是（ ） A + = B + = C = D = 【解答】解：由向量加减的运算可得 = ， 又 = ，故 = ， 故选：D 二填空题（共二填空题
14、（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 10 （3 分）已知 aR，i 为虚数单位，若 : 1;2为纯虚数，则 a 的值为 2 【解答】解： : 1;2 = (:)(1:2) (1;2)(1:2) = ;2:(1:2) 5 = ;2 5 + 1:2 5 为纯虚数， 2 5 = 0 1+2 5 0 ，解得 a2 故答案为：2 11 （3 分）在（x+ 1 ） 6 的二项展开式中，常数项为 15 第 9 页（共 16 页） 【解答】解： （x+ 1 ） 6 的二项展开式中，通项公式为 Tr+1= 6 6;3 2，令 63 2 =0，可 得 r4， 故展开式中的常数
15、项为6 4 =15， 故答案为：15 12 （3 分）已知三棱锥 PABC 中 PAAB3，AC5，BC7，PB32，PC= 34则 三棱锥 PABC 的外接球表面积为 223 3 【解答】解：如图， 由已知可得，PA2+AB2PB2，PA2+AC2PC2， 则 PAAB，PAAC，则 PA平面 ABC， 在ABC 中， 由 AB3， AC5， BC7， 得 cosBAC= 2+22 2 = 9+2549 235 = 1 2， sin = 3 2 ， 设ABC 的外心为 G，连接 GA，则由正弦定理可得 2GA= 7 3 2 ，即 GA= 73 3 设三棱锥 PABC 的外接球的球心为 O，连
16、接 OP，则2= (7 3 3 )2+ (3 2) 2 = 223 12 三棱锥 PABC 的外接球表面积为4 223 12 = 223 3 故答案为：223 3 13 （3 分）已知一组样本数据 x1，x2x10，且12+ 22+ + 102= 180，平均数 =4， 则该组数据的方差为 2 【解答】解：由题意知 x1+x2+x1041040， s2= (14)2+(24)2+(104)2 10 = 12+22+1028(1+2+10)+160 10 = 180840+160 10 =2 故答案为：2 第 10 页（共 16 页） 14 （3 分）已知 x0，y0，2x+y3xy2，则 2x
17、+y 的最小值为 4 【解答】解：2x+y3xy222，令 t= ，t0 则 3t222t20，解得 t 2或 t 2 3 （舍去） ，即 xyt22， 2x+y3xy24， 故答案为：4 15 （3 分）已知函数 f（x）= 2 + 2 + 1 42+8 ， 20 2+ 2 1， 2或 0 ，若函数 g（x）a|f（x）|+1 有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 1， 4 5） 【解答】解：令 tx2+2x， 2x0，t1，0） ， 则2+ 2 + 1 4(2+2) = + 1 4 （，1 函数 g（x）a|f（x）|+1 有 6 个零点， 即方程 a|f（x）|+10 有 6 个根，
18、 也就是|f（x）|= 1 有 6 个根， 即 y|f（x）|与 y= 1 有 6 个不同交点， 如图： 要使函数 g（x）a|f（x）|+1 有 6 个零点， 则 1 1 5 4，即1a 4 5 则实数 a 的取值范围是：1， 4 5） 故答案为：1， 4 5） 第 11 页（共 16 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 16 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 a2， c3， = ( 6) （1）求 b 的值； （2）求 cos（CB）的值 【解答】解： （1）a2，c3， = ( 6)，可得：cosB= 3 2 sinB 1 2co
19、sB， 可得：3sin（B 3）0， B（0，） ，B 3（ 3， 2 3 ） ， B 3 =0，可得：B= 3， 由余弦定理可得：b= 2+ 2 2 =4 + 9 2 2 3 1 2 = 7 （2）由正弦定理可得：sinC= = 3 3 2 7 = 321 14 ， 由余弦定理可得：cosC= 2+22 2 = 4+79 227 = 7 14， cos（CB）cosCcosB+sinCsinB= 7 14 1 2 + 321 14 3 2 = 57 14 17如图所示，四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，PCCD2，E 为 AB 的中点，底 面四边形 ABCD 满足ADCDCB90，
20、AD1，BC3 （）求证：平面 PDE平面 PAC； （）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值； 第 12 页（共 16 页） （）求二面角 DPEB 的余弦值 【解答】证明： （）如图所示，以点 C 为坐标原点， 直线 CD、CB、CP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， C（0，0，0） ，A（2，1，0） ，B（0，3，0） ， P（0，0，2） ，D（2，0，0） ，E（1，2，0） ， =（1，2，0） ， =（2，1，0） ， =（0，0，2） ， =0， =0， DECA，DECP， CPCAC，DE平面 PAC， 平面 PDE平面 PAC 解： （）设 =（x
21、，y，z）是平面 PDE 的一个法向量， =（1，2，0） ， =（1，2，2） ， 则 = 1 + 2 = 0 = + 2 2 = 0 ，取 x2，得 =（2，1，2） ， 设直线 PC 与平面 PDE 所成角为 ， =（0，0，2） ， sin= | | | | | = 2 3， 直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为2 3 （）设平面 PDE 的法向量 =（x，y，z） ， =（1，1，0） ， =（0，3，2） ， 第 13 页（共 16 页） 则 = + = 0 = 3 2 = 0 ，令 x2，得 =（2，2，3） ， 平面 PDE 的法向量 =（2，1，2） ， cos ，
22、= | |= 417 17 ， 由图形得二面角 DPEB 的平面角是钝角， 二面角 DPEB 的余弦值为 417 17 18已知数列an满足条件 a11，a23，且 an+2（1）n（an1）+2an+1，nN* （）求数列an的通项公式； （）设 bn= 21 2 ，Sn为数列bn的前 n 项和，求证：Sn 2 2+1 【解答】解： （）根据题意，数列an满足 an+2（1）n（an1）+2an+1，nN* 当 n 为奇数时，an+2（an1）+2an+1an+2， 又由 a11，则 ann， 当 n 为偶数时，an+2（an1）+2an+13an， 又由 a23，则 an（3）n= 3 2
23、， 则 an= ，(是奇数) 3 2，(是偶数)， （）证明：设 bn= 21 2 ，则 bn= 21 3 ； 则 Sn= 1 3 + 3 9 + 5 27 + + 21 3 ， 则有1 3Sn= 1 9 + 3 27 + 5 81 + 21 3+1 ， 第 14 页（共 16 页） 可得：2 3Sn= 1 3 +2（1 9 + 1 27 + + 1 3） 21 3+1 ， 变形可得：Sn1 +1 3 ， 若证明 Sn 2 2+1则需要证明 1 +1 3 2 2+1， 即证明 3n2n+1， （n1） 即证明 3n2n1， 显然成立； 故有 Sn 2 2+1 19已知椭圆 C： 2 2 + 2
24、 2 =1（ab0）过点（0，2） ，且满足 a+b32 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若斜率为1 2的直线与椭圆 C 交于两个不同点 A，B，点 M 坐标为（2，1） ，设直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1，k2，试问 k1+k2是否为定值？并说明理由 【解答】解： （1）由题意可得 b= 2， 又 a+b32，解得 a22， 则椭圆的方程为 2 8 + 2 2 =1； （2）k1+k2为定值 0，证明如下： 设直线在 y 轴上的截距为 m，所以直线的方程为 y= 1 2x+m 由 = 1 2 + 2+ 42= 8 ，得 x2+2mx+2m240 当4m28m2+160，即2m2
25、时，直线与椭圆交于两点， 设 A（x1，y1） B（x2，y2） ，则 x1+x22mx1x22m24， 又 k1= 11 12，k2= 21 22， 故 k1+k2= 11 12 + 21 22 = (11)(22)+(21)(12) (12)(22) ， 又 y1= 1 2x1+m，y2= 1 2x2+m， 所以（y11） （x22）+（y21） （x12）（1 2x1+m1） （x22）+（ 1 2x2+m1） （x1 2） x1x2+（m2） （x1+x2）4（m1） 第 15 页（共 16 页） 2m24+（m2） （2m）4（m1）0， 故 k1+k20 20已知常数 a0，函数
26、f（x）ln（1+x） 2 2+ （）讨论函数 f（x）在区间（0，+）上的单调性： （）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，且 f（x1）+f（x2）0，求 a 的取值范围 【解答】解； （）f（x）= 2+424 (+1)(+2)2， 当 4a24a0 即 a1 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增， 当 4a24a0 即 0a1 时， 由 f（x）0，即 x2+4a24a0， 解得：x122（舍） ，x222， 由 f（x）0，解得：0xx2， 由 f（x）0，解得：xx2， 故 f（x）在（0，22）递减，在（22，+）递增； （）由（）知，若 f（x）的两个极值点是 x1，x
27、2，则 0a1， 且 x122，x222分别是 f（x）的极大值点和极小值点， 由 f（x）的定义域知221，且22 2a，解得：a 1 2， 又 f（x1）+f（x2） ln（1+x1） 21 2+1 +ln（1+x2） 22 2+2 ln（1+x1+x2+x1x2） 412+4(1+2) (2+1)(2+2) ， 将 x1+x20，x1x24a24a 代入得： f（x1）+f（x2）ln（4a24a+1） 4(2) 22 ， 令 2a1t，得：f（x1）+f（x2）lnt2+ 2 2， 由 0a1 且 a 1 2知，1t1 且 t0， 记 h（t）lnt2+ 2 2， 当 0t1 时，h（t）2（lnt+ 1 ）2，h（t）2( 1 2 )0， 故 h（t）在（0，1）递减，故 h（t）h（1）0， 第 16 页（共 16 页） 即当 02a1t1 即1 2 a1 时，f（x1）+f（x2）0， 当1t0 时，h（t）2（ln（t）+ 1 2，h（t）2(1 2 )0， 故 h（t）在（1，0）递减，h（t）h（1）40， 即当12a1t0，即 0a 1 2时，f（x1）+f（x2）0， 综上，满足条件的 a 的范围是（1 2，1）
