1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年云南省高考数学（文科）模拟试卷（年云南省高考数学（文科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 2 （5 分）若 iz1+i（其中 i 是虚数单位） ，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A（1，3） ，B（2，1） ，C
2、（2，2） ，则顶点 D 的坐标为（ ） A （5，2） B （2，1） C （1，0） D （3，4） 4 （5 分）要得到函数 y3sin2x 的图象，只要把函数 = 3(2 + 3)图象（ ） A向右平移 3个单位 B向左平移 3个单位 C向右平移 6个单位 D向左平移 6个单位 5 （5 分）执行如图所示的程序框图若输入的 S0，则输出的 S（ ） A20 B40 C62 D77 6 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（ ） 第 2 页（共 21 页） A2 B5 C22 D23 7 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件 + 2 0 2 0 + 2
3、 4 0 ，则 zx+y 的最小值为（ ） A8 B6 C1 D3 8 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，经过点 Q（1，0）作直线 l，l 与抛物线 C 在第一象限交于 A、B 两点若点 F 在以 AB 为直径的圆上，则直线 l 的斜率为（ ） A 3 3 B 2 2 C1 2 D1 9 （5 分）已知 sincos= 4 3，则 sin2（ ） A 7 9 B 2 9 C2 9 D7 9 10 （5 分）圆锥 SO（其中 S 为顶点，O 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 2：1则圆 锥 SO 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A9：32 B
4、8：27 C9：22 D9：28 11 （5 分）已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线交于点 P， 双曲线C的左、 右顶点分别为A1， A2， 若|2| = 5 2 |12|， 则双曲线C的离心率为 （ ） A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 12（5分） 已知定义在R上的奇函数f （x） ， 其导函数f （x） ， 当x0时， 恒有 3 () + ()0， 则不等式 x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为（ ） Ax|3x1 B*| 1 1 3+ Cx|x3 或 x1 Dx|x1 或 1 3+ 第 3 页（共 21 页
5、） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送 来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹 谷约为 14 （5 分）已知函数() = + 2 +1（a0 且 a1）是奇函数，则 b 15 （5 分）已知ABC 的三个内角分别为 A，B，C若 sin2A+sin2B+sinAsinBsin2C，则 C 的值是 16 （5 分）在ABC 中，角 A 为 3，角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D，已知 = 23，
6、且 = 1 3 ( )，则 在 方向上的投影是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）北京联合张家口获得 2022 年第 24 届冬奥会举办权，全国各地掀起了发展冰雪 运动的热潮，现对某高中进行冰雪兴趣调查，已知该高中男生人数是女生人数的 1.2 倍， 按照分层抽样的方法，从中抽取 110 人，调查高中生“是否对冰雪运动感兴趣”得到如 下列联表： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 40 女生 30 合计 110 （1）完成上述 22 列联表； （2）是否有 99%的把握认为“是否对冰雪运动感兴趣”与性别有关 附：K2= (
7、)2 (+)(+)(+)(+) （其中 na+b+c+d 为样本容量） P（K2k0） 0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，Snan+1，设 bn= (1+)(1+1)，数 列bn的前 n 项和为 Tn （1）求数列an的通项公式； （2）求 Tn 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，点 D，E，F 分别为 PC，AB， AC 的中点 （）求证：BC平面 DEF；
8、（）求证：DFBC 阅读下面给出的解答过程及思路分析 解答： （）证明：在ABC 中，因为 E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 因为 BC平面 DEF，EF平面 DEF， 所以 BC平面 DEF （）证明：因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 因为 D，F 分别为 PC，AC 的中点， 所以 DFPA 所以 DFBC 思路分析：第（）问是先证，再证“线面平行” ； 第（）问是先证，再证，最后证“线线垂直” 以上证明过程及思路分析中，设置了五个空格，如下的表格中为每个空格给出了 三个选项， 其中只有一个正确， 请选出你认为正确的选项， 并填写在答题卡的指定位置 空格 选项 A
9、EFBC BBE FC CBC DE APBEF BPA BC CPC EF A线线垂直 B线 面垂 直 C线 线平 行 A线线垂直 B线 面垂 直 C线 线平 行 第 5 页（共 21 页） A线面平行 B线 线平 行 C线 面垂 直 20 （12 分）已知函数 f（x）exax2，且曲线 yf（x）在点 x1 处的切线与直线 x+（e 2）y0 垂直 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）求证：x0 时，exex1x（lnx1） 21 （12 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 3 2 ，F1、F2分别 为楠圆 E 的左、右焦点，点 P 在椭圆 E 上，
10、以线段 F1F2为直径的圆经过点 P，线段 F1P 与 y 轴交于点 B，且|F1P|F1B|6 （1）求椭圆 E 的方程； （2） 设动直线 l 与椭圆 E 交于 M、 N 两点， 且 = 0 求证： 动直线 l 与圆2+ 2= 4 5 相切 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 = 2 + 2 = （ 为参数） 以 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程 = 2 3+22 （1）直接写出曲线 C2的普通方程； （2）设 A
11、是曲线 C1上的动点，B 是曲线 C2上的动点，求|AB|的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x7|+|2x5| （1）求函数 f（x）的最小值 m； 第 6 页（共 21 页） （2）在（1）的条件下，正数 a，b 满足 a2+b2m，证明：a+b2ab 第 7 页（共 21 页） 2020 年云南省高考数学（文科）模拟试卷（年云南省高考数学（文科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|yl
12、g（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 2 （5 分）若 iz1+i（其中 i 是虚数单位） ，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：iz1+i， z= 1+ = 1+ 1 =1i， 故 =1+i， 其对应的点是（1，1） ，在第一象限， 故选：A 3 （5 分）已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A（1，3） ，B（2，1） ，C （2，2） ，则顶点 D 的坐标为（ ） A （5，2） B （2，
13、1） C （1，0） D （3，4） 【解答】解：设 D（x，y） ， 平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A（1，3） ，B（2，1） ，C（2，2） ， = ，（x+1，y3）（4，1） ， 解得 x3，y4， 顶点 D 的坐标为（3，4） 故选：D 4 （5 分）要得到函数 y3sin2x 的图象，只要把函数 = 3(2 + 3)图象（ ） A向右平移 3个单位 B向左平移 3个单位 C向右平移 6个单位 D向左平移 6个单位 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：把 y3sin（2x+ 3）的图象上所有的点向右平移 6个单位长度， 可得函数 y3sin2（x 6）+ 33s
14、in2x 的图象， 故选：C 5 （5 分）执行如图所示的程序框图若输入的 S0，则输出的 S（ ） A20 B40 C62 D77 【解答】解：由题意可知，框图的算法功能是对数列2n、n求前 4 项的和， = 2(124) 12 + 1 + 2 + 3 + 4 =40 故选：B 6 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（ ） 第 9 页（共 21 页） A2 B5 C22 D23 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四棱锥，侧棱 PA底面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形， ADBC，ADAB，PAABBC2AD2 最长的棱为 PC，其长度
15、为2+ 2+ 2= 12 = 23 故选：D 7 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件 + 2 0 2 0 + 2 4 0 ，则 zx+y 的最小值为（ ） A8 B6 C1 D3 【解答】解：由题意作平面区域如下， 由 + 2 = 0 2 = 0 解得， A （4， 2） ， zx+y 经过可行域的 A 时， 目标函数取得最小值 故 zx+y 的最小值是6， 故选：B 8 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，经过点 Q（1，0）作直线 l，l 与抛物线 C 在第一象限交于 A、B 两点若点 F 在以 AB 为直径的圆上，则直线 l 的斜率为（ ） 第 10 页（共 21 页）
16、 A 3 3 B 2 2 C1 2 D1 【解答】解：设 AB 的斜率为 k，直线方程为：yk（x+1） ，与抛物线 y24x 联立，可得 k2x2+（2k24）x+k20， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，可得 x1+x2= 422 2 ， x1x21，则 y1y2= 1612=4， 点 F 在以 AB 为直径的圆上， = 0， 可得（x11，y1） （x21，y2）0， 即 x1x2（x1+x2）+1+y1y20， 即 1+ 224 2 +1+40，解得 k 2 2 ， l 与抛物线 C 在第一象限交于 A、B 两点所以 k= 2 2 故选：B 9 （5 分）已知 sincos
17、= 4 3，则 sin2（ ） A 7 9 B 2 9 C2 9 D7 9 【解答】解：sincos= 4 3， （sincos）212sincos1sin2= 16 9 ， sin2= 7 9， 故选：A 10 （5 分）圆锥 SO（其中 S 为顶点，O 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 2：1则圆 锥 SO 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A9：32 B8：27 C9：22 D9：28 【解答】解：设圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，圆锥的外接球的半径为 R， 由于圆锥 SO 的侧面积与底面积之比为 2：1，则 rl2r2，所以，l2r，则圆锥 SO
18、 的 高为= 2 2= 3， 所以，圆锥 SO 的外接球的直径为2 = 2 = 43 3 ， = 23 3 ， 圆锥 SO 的体积为1 3 2 = 3 3 3，它的外接球的体积为4 3 3= 4 3 (23 3 )3= 第 11 页（共 21 页） 323 27 3， 因此，圆锥 SO 与它外接球的体积比为 3 3 3 323 27 3 = 9 32 故选：A 11 （5 分）已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线交于点 P， 双曲线C的左、 右顶点分别为A1， A2， 若|2| = 5 2 |12|， 则双曲线C的离心率为 （ ） A2 B 10 3 C2
19、或 10 3 D 10 3 或2 【解答】 解： 双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线： y= ， 则 P （ 2 ， a） ， 因为|2| = 5 2 |12|，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ 1）24， 所以 =3，从而 e=1 + 2 2 = 10 3 ， 双曲线的渐近线为：y= x， 则 p（ 2 ，a） ，|2| = 5 2 |12|，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ +1）24， 所以 =1，可得 e= 2 则双曲线 C 的离心率为：2或 10 3 故选：D 12（5分） 已知定义在R上的奇函数f （x） ， 其导函数f （x） ， 当x0时， 恒有
20、 3 () + ()0， 则不等式 x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为（ ） Ax|3x1 B*| 1 1 3+ Cx|x3 或 x1 Dx|x1 或 1 3+ 【解答】解：根据题意，不妨设 g（x）x3f（x） ， 则当 x0 时，() = 32,() + 3 ()- 0， 则 g（x）在（0，+）上单调递增， 又 g（x）x3f（x）为偶函数， 则 g（x）g（|x|） ， 第 12 页（共 21 页） x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0x3f（x）（1+2x）3f（1+2x） ，即 g（x）g（1+2x） ， 可知 g（|x|）g（|1+2x|） ， 则|x|1
21、+2x|，解得：x1 或 x 1 3， 所以不等式 x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为：*| 1或 1 3+， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送 来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹 谷约为 108 石 【解答】解：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷， 抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒， 设这批米内夹谷约为 x 石， 则 1536 = 1
22、8 256，解得 x108（石） 这批米内夹谷约为 108 石 故答案为：108 石 14 （5 分）已知函数() = + 2 +1（a0 且 a1）是奇函数，则 b 1 【解答】解：根据题意，函数() = + 2 +1，则其定义域为 R， 由题意可知 f（x）f（x） ，所以 2 +1 = + 2 +1， 整理可得 2 + 2 +1 = + 2 +1， 所以 2b2，即 b1 故答案为：1 15 （5 分）已知ABC 的三个内角分别为 A，B，C若 sin2A+sin2B+sinAsinBsin2C，则 C 的值是 2 3 【解答】解：由 sin2A+sin2B+sinAsinBsin2C，
23、 正弦定理可得：a2+b2+abc2， 由余弦定理 cosC= 2+22 2 = 2 = 1 2， C（0，） ， 第 13 页（共 21 页） C= 2 3 故答案为：2 3 16 （5 分）在ABC 中，角 A 为 3，角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D，已知 = 23，且 = 1 3 ( )，则 在 方向上的投影是 33 2 【解答】解：由 = 1 3 得， = + 1 3 ， B，C，D 三点共线，故 + 1 3 = 1，即 = 2 3， = 2 3 + 1 3 ， 以 A 为原点，以 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则 A（0，0） ，(3，3)， 设 B（m，0
24、） ，(，3)， 由 = 2 3 + 1 3 得(3，3) = (2 3 + 1 3 ， 3 3 )， 2 3 + 1 3 = 3 3 3 = 3 ，解得 m3，n3， B（3，0） ， = (3，0)， 在 上的投影为| |30 = 3 3 2 = 33 2 故答案为：33 2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）北京联合张家口获得 2022 年第 24 届冬奥会举办权，全国各地掀起了发展冰雪 运动的热潮，现对某高中进行冰雪兴趣调查，已知该高中男生人数是女生人数的 1.2 倍， 按照分层抽样的方法，从中抽取 110
25、 人，调查高中生“是否对冰雪运动感兴趣”得到如 下列联表： 第 14 页（共 21 页） 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 40 女生 30 合计 110 （1）完成上述 22 列联表； （2）是否有 99%的把握认为“是否对冰雪运动感兴趣”与性别有关 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) （其中 na+b+c+d 为样本容量） P（K2k0） 0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【解答】解： （1）根据男生人数是女生人数的 1.2 倍，按分层抽样法抽取 110 人， 则男生抽取
26、 60 人，女生抽取 50 人，填写列联表如下； 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 40 20 60 女生 20 30 50 合计 60 50 110 （2）由表中数据，计算 K2= 110(40302020)2 60506050 = 352 45 7.8226.635， 所以有 99%的把握认为“是否对冰雪运动感兴趣”与性别有关 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，Snan+1，设 bn= (1+)(1+1)，数 列bn的前 n 项和为 Tn （1）求数列an的通项公式； （2）求 Tn 【解答】解： （1）由题意，可知 Snan+1Sn+1Sn，即 Sn+12Sn，
27、S1a12， 数列Sn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， Sn22n 12n，nN* 当 n2 时，anSnSn12n2n 12n1， 第 15 页（共 21 页） 数列an的通项公式为 an= 2， = 1 2;1， 2 （2）由（1）知，Sn2n， 则 bn= (1+)(1+1) = 2 (1+2)(1+2+1) = 1 1+2 1 1+2+1， Tnb1+b2+bn = 1 1+21 1 1+22 + 1 1+22 1 1+23 + + 1 1+2 1 1+2+1 = 1 1+21 1 1+2+1 = 1 3 1 1+2+1 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面
28、 ABC，点 D，E，F 分别为 PC，AB， AC 的中点 （）求证：BC平面 DEF； （）求证：DFBC 阅读下面给出的解答过程及思路分析 解答： （）证明：在ABC 中，因为 E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 因为 BC平面 DEF，EF平面 DEF， 所以 BC平面 DEF （）证明：因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 因为 D，F 分别为 PC，AC 的中点， 所以 DFPA 所以 DFBC 思路分析：第（）问是先证，再证“线面平行” ； 第（）问是先证，再证，最后证“线线垂直” 以上证明过程及思路分析中，设置了五个空格，如下的表格中为每个空格给出了 三个选
29、项， 其中只有一个正确， 请选出你认为正确的选项， 并填写在答题卡的指定位置 空格 选项 AEFBC BBE CBC 第 16 页（共 21 页） FC DE APBEF BPA BC CPC EF A线线垂直 B线 面垂 直 C线 线平 行 A线线垂直 B线 面垂 直 C线 线平 行 A线面平行 B线 线平 行 C线 面垂 直 【解答】解： （）证明：在ABC 中，因为 E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 EFBC 因为 BC平面 DEF，EF平面 DEF， 所以 BC平面 DEF （）证明：因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 PABC 因为 D，F 分别为 PC，AC
30、 的中点， 所以 DFPA 所以 DFBC 思路分析：第（）问是先证线线平行，再证“线面平行” ； 第（）问是先证线线垂直，再证线线平行，最后证“线线垂直” 第 17 页（共 21 页） 故答案为：A；B；C；A；B （每空（1 分） ，共 5 分） 20 （12 分）已知函数 f（x）exax2，且曲线 yf（x）在点 x1 处的切线与直线 x+（e 2）y0 垂直 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）求证：x0 时，exex1x（lnx1） 【解答】解：函数 f（x）exax2，且曲线 yf（x）在点 x1 处的切线与直线 x+（e 2）y0 垂直 f（x）ex2ax，所以 f（1）
31、e2ae2，所以 a1， 即：f（x）exx2，f（x）ex2x； 令 g（x）ex2x，则 g（x）ex2 所以 x（，ln2）时，g（x）0，g（x）单调递减； x（ln2，+）时，g（x）0，g（x）单调递增 所以 g（x）ming（ln2）22hn20， 所以：f（x）0f（x）单调递增， 即 f（x）的单调区间为（，+） ； （2）由（1）知 f（x）exx2，f（1）e1， 所以 yf（x）在 x1 处的切线为：y（e1）（e2） （x1） ， 即 y（e2）x+1； 令 h（x）exx2（e2）x1，则 h（x）ex2x（e2） ， 且 h（1）0h（x）ex2， x（，ln2）
32、时，h（x）0，h（x）单调递减， x（ln2，+）时，h（x）0，h（x）单调递增， 因为 h（1）0，所以 h（x）minh（ln2）4e2ln20， 因为的 h（0）3e0，所以存在 x0（0，1） ，使 x（0，x0）时，h（x）0，h 第 18 页（共 21 页） （x）单调递增； x（x0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减； x（1，+）时，h（x）0，h（x）单调递增； 又 h（0）h（1）0，所以 x0 时，h（x）0，即：exx2（e2）x10； 所以：ex（e2）x1x2； 令 （x）lnxx，则 （x）= 1 1= 1 ， 所以 x（0，1）时，（x）0，（x）单调递
33、增， x（1，+）时，（x）0，（x）单调递减， 所以：（x）（1）1，即：lnxx1，lnx+1x， 因为 x0，所以 x（lnx+1）x2，所以 x0 时，ex（e2）x1x2x（lnx+1） ； ex（e2）x1x（lnx+1） ； 化简所以 x0 时，exex1x（lnx1） 21 （12 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 3 2 ，F1、F2分别 为楠圆 E 的左、右焦点，点 P 在椭圆 E 上，以线段 F1F2为直径的圆经过点 P，线段 F1P 与 y 轴交于点 B，且|F1P|F1B|6 （1）求椭圆 E 的方程； （2） 设动直线 l 与椭圆
34、E 交于 M、 N 两点， 且 = 0 求证： 动直线 l 与圆2+ 2= 4 5 相切 【解答】解： （1）设椭圆的方程为： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，|F1F2|2c， 因为BF1OPF1F2，F1OBF1PF2= 2， 所以F1BOF1F2P， 所以 |1| |12| = |1| |1|， 所以|F1P|F1B|F1O|F1F2|2c26，可得 c= 3， 又 e= = 3 2 ， 所以 a2，b2a2c21， 所以椭圆的方程为： 2 4 +y21； （2）证明：当动直线 ld 的斜率不存在时， 第 19 页（共 21 页） 设 l 的方程为 xt，M（t，y1） ，N（t，
35、y2） ， 由 = 2+ 42= 4可得：4y 2+t240， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以方程4y2+t240由两个不相等的实数根， 所以t24， y1y2= 24 4 ， 因为 = 0所以 t2+y1y20，即 t2+ 24 4 =0，解得|t|= 25 5 ， 因为一些 O 到直线 xt 的距离 d|t|= 25 5 ， 所以直线与圆2+ 2= 4 5相切； 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为： ykx+m， 即kxy+m0， 设M （x1， kx1+m） ， N（x2，kx2+m） ， 联立直线与椭圆的方程： = + 2+ 42 4 = 0，整理可得： （1+4k 2）x2+
36、8kmx+4m240， 64k2m24（1+4k2） （4m24）0， 整理可得 4k2+1m20，x1+x2= 8 1+42，x1x2= 424 1+42 ， 因为 = 0，所以 x1x2+（kx1+m） （kx2+m）（1+k2）x1x2+mk（x1+x2） +m2= (1+2)(424) 1+42 822 1+42 +m20， 化简可得 1+k2= 52 4 ， 因为原点到直线 l 的距离 d= | 1+2 = | 52 4 = 25 5 =r， 所以直线与圆2+ 2= 4 5相切， 综上所述动直线 l 与圆2+ 2= 4 5相切 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10
37、 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 20 页（共 21 页） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 = 2 + 2 = （ 为参数） 以 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程 = 2 3+22 （1）直接写出曲线 C2的普通方程； （2）设 A 是曲线 C1上的动点，B 是曲线 C2上的动点，求|AB|的最大值 【解答】 解： （1） 曲线 C2的极坐标方程 = 2 3+22 整理得： 3 2+32cos24， 转换为直角坐标方程为2+ 2 4 = 1 （2）曲线 C1的参数方程为 = 2 + 2 = （ 为参数
38、） 转换为直角坐标方程为（x2） 2+y24，所以该曲线是以 C（2，0）为圆心 2 为半径的圆 A 是曲线 C1上的动点，B 是曲线 C2上的动点， 设 B（cos，2sin） ，则|BC|= ( 2)2+ 42 = 2 4 + 4 + 42 = 32 4 + 8 =3( + 2 3) 2+28 3 ， 当 = 2 3时| =28 3 = 221 3 ， 所以求|AB|的最大值为221 3 + 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x7|+|2x5| （1）求函数 f（x）的最小值 m； （2）在（1）的条件下，正数 a，b 满足 a2+b2m，证明：a+
39、b2ab 【解答】解： （1）函数 f（x）|2x7|+|2x5|2x7（2x5）|2，当（2x7） （2x 5）0， 即5 2 x 7 2时，f（x）取得最小值 2； （2）方法一、正数 a，b 满足 a2+b22， a2+b22ab，ab1， 1，当且仅当 ab 取得等号， 又 + 2 ，即 : 1 2，则 : 2 ，当且仅当 ab 取得等号， 则 : 1 2，a+b2ab 第 21 页（共 21 页） 方法二、由 a0，b0，要证 a+b2ab，只要证（a+b）24a2b2， 即证 a2+b2+2ab4a2b2，由 a2+b22，即为 2+2ab4a2b2， 即证 2（ab）2ab10，即为（2ab+1） （ab1）0，由 2ab+10，即证 ab1， 又 2a2+b22ab，即 ab1 成立，故 a+b2ab
