1、 第 1 页（共 14 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） 已知集合 Ax| （x+2） （x3） 0， Bx|y= 1， 则 A （RB） （ ） A2，1） B1，3 C （，2） D （2，1） 2 （4 分） 设非零向量 ， 满足 （ 2 ） ， 则 “| |” 是 “ 与 的夹角为 3” 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 （4 分） 已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(
2、0)的一条渐近线与直线 3x2y50 垂直， 则此双曲线的离心率为（ ） A 13 3 B 13 2 C 15 3 D 15 2 4 （4 分）如图，网格小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的表面积为（ ） A135+202 + 9 2 B135+182 +9 C135+182 + 9 2 D135+202 +9 5 （4 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D16 5 6 （4 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当 x0
3、，1时，f（x） x（32x） ，则 f（31 2 ）（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 7 （4 分）设 0a1，已知随机变量 X 的分布列是 第 2 页（共 14 页） X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 若() = 1 6，则 a（ ） A1 2 B1 3 C1 4 D1 5 8 （4 分）给出三个命题：线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面，在两平 行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面，空间一点必有唯一的平面与两 异面直线平行正确的是（ ） A B C D 9 （4 分） 已知公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 a2， a5， a9
4、成等比数列， 则75 57 =（ ） A5 7 B7 9 C10 11 D11 23 10 （4 分）已知函数() = 2 + ，0 2 1， 0 有两个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，0） B （0，1 C （0，+） D0，+） 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 36 分）分） 11 （6 分）已知等边ABC 的边长为 2，点 G 是ABC 内的一点，且 + + = 0， 点 P 在ABC 所在的平面内且满足| | = 1，则| |的最大值为 12 （6 分）已知定点 B（3，0） ，点 A 在圆（x+1）2+y24 上运动，则线段 AB 中点 M 的轨 迹
5、方程是 13 （6 分）已知（x21）8a0+a1x2+a2x4+a8x16，则 a3 （结果用数字表示） 14 （4 分）实数 9 3 23 32 log21 4 +lg4+2lg5 的值为 15 （6 分）已知 0， 4，且4 = 1 3，则 4( + 4) 4( 4) = 16 （4 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)，为右顶点过坐标原点 O 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，线段 AP 的中点为 M，直线 QM 交 x 轴于 N（2，0） ，椭圆 C 的离心率 为2 3，则椭圆 C 的标准方程为 17 （4 分）若 p（2，1）在圆（x1） 2+y225 的直径 AB
6、上，则直线 AB 的方程是 第 3 页（共 14 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 18 （14 分）已知函数 f（x）2cosxsin（x+）sinx，（0， 2） ，且 f（）0 （1）求 ； （2）如图，在ABC 中，A，AC1，D 是边 AB 的中点，BC2CD，求 AB 19 （15 分）四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SCCD2，SA23，AC 与 BD 交于 E， M，N 分别为 SD，SA 的中点，SCMN （1）求证：平面 SAC平面 SBD； （2）求直线 BD 与平面 CMN 所成角的大小 20 （15 分）已知函数 f（x）=
7、 2+3 3 ，数列an满足 a11，an+1f（ 1 ） ，nN* （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn= 1 1（n2） ，b13，Snb1+b2+bn，若 Sn 2001 2 对一切 nN*成 立求最小正整数 m 21 （15 分）设 A、B 为曲线 C：y= 2 4 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4 （1）求直线 AB 的斜率； （2）设弦 AB 的中点为 N，过点 A、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为 E，过点 E 作直线 l，交抛物线于 P、Q 两点，连接 NP、NQ证明：kEA+kEBkNP+kNQ2kAB 22 （15 分）已知函数() = + （1）当
8、a1，b5 时，求曲线 yf（x）在点（1，4）处的切线方程； （2）当 a1，b1ln（a1）时，求证：曲线 yf（x）与 y1 有公共点 第 4 页（共 14 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） 已知集合 Ax| （x+2） （x3） 0， Bx|y= 1， 则 A （RB） （ ） A2，1） B1，3 C （，2） D （2，1） 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x1， RBx|x1，A（RB）（2，
9、1） 故选：D 2 （4 分） 设非零向量 ， 满足 （ 2 ） ， 则 “| |” 是 “ 与 的夹角为 3” 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： （ 2 ） （ 2 ） = | |2 2| | | ， = 0| | = 2| | ， ， 由| | |，得 cos ， = 1 2，则 与 的夹角为 3； 反之，由 与 的夹角为 3，得| | | 非零向量 ， 满足（ 2 ） ，则“| |”是“ 与 的夹角为 3”的充分必要条 件 故选：C 3 （4 分） 已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0)的一条渐近线与直线 3
10、x2y50 垂直， 则此双曲线的离心率为（ ） A 13 3 B 13 2 C 15 3 D 15 2 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0)的一条渐近线：y= ，与直线 3x 2y50 垂直 可得： 3 2 = 1，可得 3a2b，所以 9a24b24c24a2，可得 13a24c2， 可得 e= 13 2 故选：B 第 5 页（共 14 页） 4 （4 分）如图，网格小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的表面积为（ ） A135+202 + 9 2 B135+182 +9 C135+182 + 9 2 D135+202 +9 【解答】解：由三视
11、图还原原几何体如图， 该几何体为七棱柱挖去一个四分之一圆柱 该几何体的底面积为2 (6 6 1 2 3 3 1 4 32) = 63 9 2 ； 侧面积为4 3 6 + 32 6 + 1 4 2 3 6 = 72 + 182+ 9 该几何体的表面积为63 9 2 + 72 + 182 + 9 = 135 + 182 + 9 2 故选：C 5 （4 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D16 5 第 6 页（共 14 页） 【解答】解：画出变量 x，y 满足约束条件 + 1， 2 2， +
12、 1 0， 的可行域， 可发现 z（x3）2+y2的最小值是（3，0）到 2xy20 距离的平方 取得最小值：( 62 4+1) 2 = 16 5 故选：D 6 （4 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当 x0，1时，f（x） x（32x） ，则 f（31 2 ）（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，则有 f（x）f（x+2） ， 又由 f（x）为奇函数，则 f（x+2）f（x） ， 则有 f（x+4）f（x+2）f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， 则 f（31 2
13、）f（ 1 2 +16）f（ 1 2）f（ 1 2） 1 2（32 1 2）1； 故选：A 7 （4 分）设 0a1，已知随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 若() = 1 6，则 a（ ） A1 2 B1 3 C1 4 D1 5 【解答】解：E（X）0 1 3 +a 1 3 +1 1 3 = 1+ 3 ， 第 7 页（共 14 页） D（X）（1: 3 ）2 1 3 +（a 1+ 3 ）2 1 3 +（1 1+ 3 ）2 1 3 = 1 27（a+1） 2+（2a1）2+（a2）2=2 9（a 2a+1）=1 6，解得 a= 1 2 故选：A 8 （4 分）
14、给出三个命题：线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面，在两平 行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面，空间一点必有唯一的平面与两 异面直线平行正确的是（ ） A B C D 【解答】解：错误如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交 正确如图，平面 ，A，C，D，B 且 E、F 分别为 AB、CD 的中点， 过 C 作 CGAB 交平面 于 G，连接 BG、GD 设 H 是 CG 的中点，则 EHBG，HFGD EH平面 ，HF平面 平面 EHF平面 平面 EF，EF 不正确 如图， 设 AB 是异面直线 a、 b 的公垂线段， E 为 AB 的中点， 过 E 作 aa， bb，则
15、 a、b确定的平面即为与 a、b 都平行且与 a、b 距离相等的平面，并且它 是唯一确定的与平面 EFH 平行的平面（与异面直线不重合的平面）与两条异面直线都 平行 故选：D 9 （4 分） 已知公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 a2， a5， a9成等比数列， 则75 57 =（ ） 第 8 页（共 14 页） A5 7 B7 9 C10 11 D11 23 【解答】解：设an的公差为 d，且 d0， a2，a5，a9成等比数列，可得 a52a2a9， 即（a1+4d）2（a1+d） （a1+8d） ， 整理可得 a18d， 故75 57 = 7 25(1:5)
16、5 27(1:7) = 3 4 = 8:2 8:3 = 10 11 故选：C 10 （4 分）已知函数() = 2 + ，0 2 1， 0 有两个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，0） B （0，1 C （0，+） D0，+） 【解答】解：当 x0 时，y2x10 可得 x0，满足题意， 当 x0 时，x2+ax0，可得 x0（舍去）或 xa， 函数() = 2 + ，0 2 1， 0 有两个零点， 可得 a0 故选：C 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 36 分）分） 11 （6 分）已知等边ABC 的边长为 2，点 G 是ABC 内的一点，且 + + = 0，
17、 点 P 在ABC 所在的平面内且满足| | = 1，则| |的最大值为 23 3 + 1 【解答】解：由 + + = 0，可知点 G 为ABC 的重心 以 AB 所在的直线为 x 轴，中垂线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A（1，0） ，B（1，0） ，(0， 3 3 ) 第 9 页（共 14 页） 设 P（x，y） ，由| | = 1可知 P 为圆2+ ( 3 3 )2= 1上的动点， 所以| |的最大值为| | + 1 = 23 3 + 1 故答案为：23 3 + 1 12 （6 分）已知定点 B（3，0） ，点 A 在圆（x+1）2+y24 上运动，则线段 AB 中点 M
18、 的轨 迹方程是 （x1）2+y21 【解答】解：设线段 AB 中点 M（x，y） ，A（x，y） ， 则 2xx+3，2yy，即 x2x3，y2y， 点 A 在圆（x+1）2+y24 上运动， 代入圆的方程得（2x2）2+2y24， 化简得（x1）2+y21， 即（x1）2+y21， 故答案为： （x1）2+y21 13 （6 分）已知（x21） 8a0+a1x2+a2x4+a8x16，则 a3 56 （结果用数字表示） 【解答】解：（x21）8a0+a1x2+a2x4+a8x16，展开式的通项公式为 Tr+1= 8 x16 2r （1）r，令 162r6，求得 r5， 则 a3= 8 5
19、（1）356， 故答案为：56 14 （4 分）实数 9 3 23 32 log21 4 +lg4+2lg5 的值为 33 【解答】解：原式= (32) 3 2 2 (2) + (4 25) = 27 + 4 + 2 = 33 故答案为：33 15 （6 分）已知 0， 4，且4 = 1 3，则 4( + 4) 4( 4) = 6 3 【解答】解：sin（+ 4）sin 2 +（ 4）cos（ 4） ， 4( + 4) 4( 4) =cos 4 （ 4） sin 4 （ 4） cos 2 （ 4） +sin 2 （ 4） cos 2 （ 4）sin 2（ 4） cos2（ 4）cos（2 2）
20、cos（ 2 2）sin2， 0， 4，且4 = 1 3， 第 10 页（共 14 页） 40， 则 4 2， 即 2 4， 2， 由4 = 1 3 =12sin22， 得 sin22= 2 3，则 sin2= 2 3 = 6 3 ， 故答案为： 6 3 16 （4 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)，为右顶点过坐标原点 O 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，线段 AP 的中点为 M，直线 QM 交 x 轴于 N（2，0） ，椭圆 C 的离心率 为2 3，则椭圆 C 的标准方程为 2 36 + 2 20 = 1 【解答】解：设 P（x，y） ，则由 A（a，0） ； 线段 AP
21、 的中点为 M，则 M（: 2 ， 2） ； 由题意，Q，N，M 三点共线，kMNkNQ； 即 1 2;0 + 2 ;2 = 0;(;) 2;(;)； 可得 x+a42+x； 所以 a6，由椭圆 C 的离心率为2 3，得 c4，b 220； 故椭圆 C 的标准方程为： 2 36 + 2 20 = 1 故答案为： 2 36 + 2 20 = 1 17 （4 分）若 p（2，1）在圆（x1）2+y225 的直径 AB 上，则直线 AB 的方程是 xy 10 【解答】解：p（2，1）在圆（x1）2+y225 的直径 AB 上， 所以点 P（2，1）与圆心（1，0）确定的直线方程为 = 10 21 (
22、 1)，整理得 xy1 0 故答案为：xy10 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 第 11 页（共 14 页） 18 （14 分）已知函数 f（x）2cosxsin（x+）sinx，（0， 2） ，且 f（）0 （1）求 ； （2）如图，在ABC 中，A，AC1，D 是边 AB 的中点，BC2CD，求 AB 【解答】解： （1）函数 f（x）2cosxsin（x+）sin，（0， 2） ，且 f（）0 所以 2cossin2sin0，整理得 sin（4cos21）0，由于 sin，cos0， 所以 cos= 1 2，解得 = 3 （2） 设 ADBDx， CB
23、2CD2y， 在ACD 中， 利用余弦定理 y2x2+12xcos60， 在ABC 中，利用余弦定理 4y21+4x222xcos604x22x+1 联立消去 y，解得：x= 3 2，AB2x3 19 （15 分）四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SCCD2，SA23，AC 与 BD 交于 E， M，N 分别为 SD，SA 的中点，SCMN （1）求证：平面 SAC平面 SBD； （2）求直线 BD 与平面 CMN 所成角的大小 【解答】解： （1）证明：四棱锥 SABCD 的底面为正方形， ACBD， M，N 分别为 SD，SA 的中点，MNAD， SCMN，SCAD， SCCD2，SA2
24、3，AC24+48， SC2+AC2SA2，SCAC， ACADA，SC平面 ABCD，SCBD， SCACC，BD平面 SAC， BD平面 SBD，平面 SAC平面 SBD 第 12 页（共 14 页） （2）解：以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CS 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（0，2，0） ，D（2，0，0） ，S（0，0，2） ，C（0，0，0） ，A（2，2，0） ，M（1，0， 1） ，N（1，1，1） ， =（2，2，0） ， =（1，0，1） ， =（1，1，1） ， 设平面 CMN 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = + = 0 = + +
25、 = 0 ，取 x1，得 =（1，0，1） ， 设直线 BD 与平面 CMN 所成角的大小为 ， 则 sin= | | | | | = 2 82 = 1 2，30， 直线 BD 与平面 CMN 所成角的大小为 30 20 （15 分）已知函数 f（x）= 2+3 3 ，数列an满足 a11，an+1f（ 1 ） ，nN* （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn= 1 1（n2） ，b13，Snb1+b2+bn，若 Sn 2001 2 对一切 nN*成 立求最小正整数 m 【解答】解： （1）函数 f（x）= 2+3 3 ，数列an满足 a11，an+1f（ 1 ） ， 可得 an+1=
26、2+3 3 =an+ 2 3， 则an为公差为2 3，首项为 1 的等差数列，可得 an1+ 2 3（n1）= 2+1 3 ； （2）n2 时，bn= 1 1 = 9 (21)(2+1) = 9 2（ 1 2;1 1 2:1） ， b13= 9 2（1 1 3） ，则 Snb1+b2+bn= 9 2（1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2+1） = 9 2（1 1 2+1）= 9 2+1， 第 13 页（共 14 页） Sn 2001 2 ，即为 9 2:1 ;2001 2 对一切 nN*成立， 由9 2（1 1 2+1）= 9 2+1递增，可得 9 2（1 1 2+1） 9
27、 2， 则;2001 2 9 2，可得 m2010， 可得 m 的最小整数为 2010 21 （15 分）设 A、B 为曲线 C：y= 2 4 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4 （1）求直线 AB 的斜率； （2）设弦 AB 的中点为 N，过点 A、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为 E，过点 E 作直线 l，交抛物线于 P、Q 两点，连接 NP、NQ证明：kEA+kEBkNP+kNQ2kAB 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则1 2，1= 1 2 4 ，2= 2 2 4 ，1+ 2= 4， （1）直线 AB 的斜率= 21 21 = 1+2 4 = 1，
28、（2）由（1）知，等价于证明 kEA+kEBkNP+kNQ2， = |1= 1 2 ，= |2= 2 2 + = 1 2 + 2 2 = 1+2 2 = 2， 设直线 lAB：yx+m， 过 A（x1，y1）点的切线方程为 1= 1 21( 1)，整理得 = 1 2 1 1 4 1 2 同理，过 B（x2，y2）点处切线的方程为 = 1 2 2 1 4 2 2， 联立方程组 = 1 21 1 4 1 2 = 1 22 1 4 2 2解得： = 2， = 1 1 4 1 2 = 1 1= ，E（2， m） ， 设 P（x3，y3） ，Q（x4，y4） ，易知割线的斜率存在，因为 E（2，m） ，
29、设割线的方程为 y+mk（x2） ，代入抛物线 = 2 4 ，整理得 x24kx+8k+4m0， 则 x3+x44k，x3x48k+4m 所以3+ 4= 1 43 2 + 1 44 2 = 1 4(3 + 4)2 23 4 = 42 4 2，3 4= 1 4 3 2 1 44 2 = 1 16(34) 2 = 42+ 4 + 2， 34+ 43= 3 1 4 4 2 + 4 1 4 3 2 = 34 4 (3+ 4) = 82+ 4， 因为 N（2，2+m） ，(1+2 2 = 2， 1+2 2 = 2 + )， 第 14 页（共 14 页） 所以= 32 32 ，= 42 42 ， 所以+
30、= 32 32 + 42 42 = 1 342(3+4)+434 + 43 (2 + )(3+ 4) 2(3+ 4) + 8 + 4 = 1 8+48+48 2 + 4 (2 + ) 4 2(42 4 2) + 8 + 4 = 8+8 4+4 = 2， 综上可得 kEA+kEBkNP+kNQ2， 所以 kEA+kEBkNP+kNQ2kAB 22 （15 分）已知函数() = + （1）当 a1，b5 时，求曲线 yf（x）在点（1，4）处的切线方程； （2）当 a1，b1ln（a1）时，求证：曲线 yf（x）与 y1 有公共点 【解答】解： （1）当 a1，b5 时，() = +5 ， ()
31、= 6 2 ，(1) = 16 12 = 6， 曲线 yf（x）在点（1，4）处的切线斜率 k6， 曲线 yf（x）在点（1，4）处的切线方程为 6x+y100 （2）f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）1（a1）xlnx+b0 设 g（x）（a1）xlnx+b，则 x0，() = 1 1 = (1)( 1 1) a1，当 (0， 1 1)时，g（x）0，即 g（x）在(0， 1 1)上单调递减； 当 ( 1 1， + )时，g（x）0，即 g（x）在( 1 1 ，+ )上单调递增， 当 = 1 1时，g（x）取得最小值，即() = ( 1 1) = 1 + + ( 1) b1ln（a1） ，1+b+ln（a1）0，即 g（x）min0 又eb0，g（eb）（a1）eblneb+b（a1）eb0， 曲线 yg（x）与 y0 有公共点，即方程 g（x）0 有实数解， 方程 f（x）1 有实数解，即曲线 yf（x）与 y1 有公共点， 当 a1，b1ln（a1）时，曲线 yf（x）与 y1 有公共点
