2020高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（2）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 A1，0，1，BxN|1x3，则 AB 等于（ ） A0，1 B1，0，1 C1，0，1，2 D1，0，1，2， 3 2 （5 分）已知复数 = 12，则以下说法正确的是（ ） A复数 z 的虚部为 5 Bz 的共轭复数 = 2 5 5 C| = 1 5 D复平面内与 z 对应的点在第二象限 3 （5 分）如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股

2、定理的绝妙 证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影） ，设直角三角形有一个内 角为 30，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732） ，则落在小 正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） A20 B27 C54 D64 4（5 分） 在ABC 中， E、 F 分别为 BC、 AB 边上的中点， AE 与 CF 相交于点 G， 设 = ， = ，且 = + ，则 + 的值为（ ） A 1 3 B1 3 C2 3 D1 第 2 页（共 22 页） 5 （5 分） 已知定义在 R 上的函数 f （x） 2|x m|1 （m 为实数） 为偶函数， 记 af （log

3、 0.53） ， bf（log25） ，cf（2+m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 6 （5 分）如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图， 且图中小方格单位长度为 1，则该多面体的侧面最大面积为（ ） A23 B22 C6 D2 7 （5 分） 已知离心率为 2 的双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0)的左右焦点分别为 F1（c， 0） ，F2（c，0） ，直线 = 3 3 ( + )与双曲线 C 在第一象限的交点为 P，PF1F2的角平 分线与 PF2交于点 Q，若|PF2|PQ|，则 的值是（ ） A43;

4、4 3 B43;1 3 C23 3 D3:23 3 8 （5 分）设 x，y 满足不等式组 + 2 + 0 且 :4的最大值为 1 2，则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 9 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3acosC4csinA，已知 ABC 的面积 S10，b4，则 a 的值为（ ） A23 3 B25 3 C26 3 D28 3 10 （5 分）已知函数() = 2 2( 2 4) 2(0)在区间2 5 ， 5 6 上是 增函数，且在区间0，上恰好取得一次最大值 1，则 的取值范围是（ ） A(0， 3 5 B1 2 ， 3 5 C

5、1 2 ， 3 4 D1 2 ， 5 2) 11 （5 分）已知抛物线 x24y 的焦点为 F，A 是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以 F 为圆心， |AF|为半径的圆交 y 轴负半轴于点 B， 平行于 AB 的直线 1 与抛物线相切于点 D， 则直线 AD 必过定点（ ） A （0，1） B （0，2） C （0，1） D （0，2） 第 3 页（共 22 页） 12 （5 分）用一个体积为 36 的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该 零配件体积的最大值为（ ） A93 2 B63 C18 D27 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小

6、题 5 分）分） 13 （5 分）已知二项式（ax 1 ） 6 的展开式中的常数项为160，则 a 14 （5 分）观察下列算式：131，233+5，337+9+11，4313+15+17+19，若某数 n3 按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n 15 （5 分）已知函数 f（x）mxlnx，若关于 x 的不等式 f（x）x1 在 （0，+）上恒 成立，则实数 m 的取值范围为 16 （5 分）在ABC 中，cosC= 3 5，BC1，AC5，则 AB 若 D 是 AB 的中点， 则 CD 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12

7、 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足= 2:1 2 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn（2n1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）在 RtABC 中，ABC90，tanACB= 1 2已知 E，F 分别是 BC，AC 的 中点 将CEF 沿 EF 折起， 使 C 到 C的位置且二面角 CEFB 的大小是 60 连 接 CB，CA，如图： （）求证：平面 CFA平面 ABC； （）求平面 AFC与平面 BEC所成二面角的大小 19 （12 分）在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项 解密挑战活动，规则

8、是由密码专家给出题目，然后由 3 个人依次出场解密，每人限定时 间是 1 分钟内， 否则派下一个人.3 个人中只要有一人解密正确， 则认为该团队挑战成功， 否则挑战失败根据甲以往解密测试情况，抽取了甲 100 次的测试记录，绘制了如下的 频率分布直方图 第 4 页（共 22 页） （1）若甲解密成功所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并求出甲在 1 分钟内解密成 功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的 概率分别为 PnP1（ 9 10） n1+1 10 （n1，2，3） ，其中 Pi表示第 i 个出场选手解密成 功的概率，并且 P1定

9、义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立 求该团队挑战成功的概率； 该团队以 Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派 出的人员数目 X 的分布列与数学期望 20 （12 分）已知椭圆 ： 2 16 + 2 12 =1双曲线的实轴顶点就是椭圆 的焦点，双曲线 的焦距等于椭圆 的长轴长 （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线 1 经过点 E（3，0）与椭圆 交于 A、B 两点，求OAB 的面积的最大值； （3）设直线 1：ykx+m（其中 k，m 为整数）与椭圆 交于不同两点 A、B，与双曲线 交于不同两点 C、D，问是否存在直线 l，使得向量 +

10、= 0 ，若存在，指出这样 的直线有多少条？若存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数() = + ，其中 a 为常数 （1）若直线 = 2 是曲线 yf（x）的一条切线，求实数 a 的值； （2）当 a1 时，若函数() = |()| + 在1，+ )上有两个零点求实数 b 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，过极点的直线 l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆的一个交点为 B（2， 3） ，曲线 M1 是劣弧 ，曲线 M2是优弧 第 5 页（共 22 页） （

11、）求曲线 M1的极坐标方程； （） 设点 P （1， ） 为曲线 M1上任意一点， 点 Q （2， 3） 在曲线 M2 上， 若|OP|+|OQ| 6，求 的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x 1 2|+|2x+1| （）求函数 f（x）的最小值 m； （）若正实数 a，b 满足1 + 2 =m，且|x2|a+2b 对任意的正实数 a，b 恒成立，求 x 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2020 高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12

12、小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 A1，0，1，BxN|1x3，则 AB 等于（ ） A0，1 B1，0，1 C1，0，1，2 D1，0，1，2， 3 【解答】解：A1，0，1， BxN|1x30，1，2， AB1，0，1，2 故选：C 2 （5 分）已知复数 = 12，则以下说法正确的是（ ） A复数 z 的虚部为 5 Bz 的共轭复数 = 2 5 5 C| = 1 5 D复平面内与 z 对应的点在第二象限 【解答】解： = 12 = (1+2) (12)(1+2) = 2 5 + 5， 复数 z 的虚部为1 5，z 的共轭复数 = 2 5 5

13、，|z|= (2 5) 2+ (1 5) 2 = 5 5 ，复平面内与 z 对应的点的坐标为（ 2 5， 1 5） ，在第二象限 正确的是复平面内与 z 对应的点在第二象限 故选：D 3 （5 分）如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙 证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影） ，设直角三角形有一个内 角为 30，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732） ，则落在小 正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） 第 7 页（共 22 页） A20 B27 C54 D64 【解答】解：设大正方体的边长为 x，则小正方体的边长为 3 2

14、 1 2x， 设落在小正方形内的米粒数大约为 N， 则 ( 3 2 ;1 2) 2 2 = 200，解得：N27 故选：B 4（5 分） 在ABC 中， E、 F 分别为 BC、 AB 边上的中点， AE 与 CF 相交于点 G， 设 = ， = ，且 = + ，则 + 的值为（ ） A 1 3 B1 3 C2 3 D1 【解答】解：E、F 分别为 BC、AB 边上的中点，AE 与 CF 相交于点 G， G 为ABC 的重心，且 = ， = ， = 1 3( + ) = 1 3 ( + ) = 2 3 + 1 3 = 2 3 + 1 3 ， 又 = + ， + = 1 3 第 8 页（共 22

15、 页） 故选：A 5 （5 分） 已知定义在 R 上的函数 f （x） 2|x m|1 （m 为实数） 为偶函数， 记 af （log 0.53） ， bf（log25） ，cf（2+m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 【解答】解：函数 f（x）是偶函数， f（x）f（x）在 R 上恒成立，m0， 当 x0 时，易得 f（x）2|x|1 为增函数， af（log0.53）f（log23） log232log25，acb， 故选：B 6 （5 分）如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图， 且图中小方格单位长度为 1，则

16、该多面体的侧面最大面积为（ ） A23 B22 C6 D2 【解答】解：由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥 PABC， 故 AC1，PA2， = = 5， = 22， = 23， = = 1 2 2 1 = 1， = 1 2 2 22 = 22， = 1 2 23 2 = 6， 该多面体的侧面最大面积为22 故选：B 7 （5 分） 已知离心率为 2 的双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0)的左右焦点分别为 F1（c， 第 9 页（共 22 页） 0） ，F2（c，0） ，直线 = 3 3 ( + )与双曲线 C 在第一象限的交点为 P，PF1F2的角平 分线与 PF2交于

17、点 Q，若|PF2|PQ|，则 的值是（ ） A43;4 3 B43;1 3 C23 3 D3:23 3 【解答】解：直线 = 3 3 ( + )； 所以其过左焦点，且PF1F230； 如图： ； PF1F2的角平分线与 PF2交于点 Q，且|PF2|PQ|， |1| |12| = | |2| = 1 ;1|PF1|= 1 1 2c； 离心率为 2= c2a|PF2|PF1|2a= (3) 1 ； cos PF1F2= |1|2+|12|2|2|2 2|1|12| 3 2 = ( 2 1) 2:(2)2;(3) 1 2 2 2 12 = 4( 1 1) 2:4;(3 1) 2 8 1 1 ；

18、3 2 = 4:4(;1)2;(3;)2 8(;1) = 32;2;1 8(;1) = 3:1 8 = 431 3 故选：B 8 （5 分）设 x，y 满足不等式组 + 2 + 0 且 :4的最大值为 1 2，则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 可知 a2， :4的几何意义是可行域内的点与 Q（4，0）连线的斜率， 直线 x+y20 与直线 yx+a 的交点为 A（1 2，1+ 2） ， 第 10 页（共 22 页） 当 x1 2，y1+ 2时， :4的最大值为 1 2，解得 a2，所以实数 a 的值为 2 故选：B 9 （5 分）设

19、ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3acosC4csinA，已知 ABC 的面积 S10，b4，则 a 的值为（ ） A23 3 B25 3 C26 3 D28 3 【解答】解：3acosC4csinA， 由正弦定理可得 3sinAcosC4sinCsinA， sinA0， 3cosC4sinC，即 cosC= 4 3sinC， sin2C+cos2Csin2C+ 16 9 sin2C= 25 9 sin2C1，解得：sinC= 3 5， b4，ABC 的面积 S10= 1 2absinC= 1 2 a4 3 5， 解得 a= 25 3 故选：B 10 （5 分）已知

20、函数() = 2 2( 2 4) 2(0)在区间2 5 ， 5 6 上是 增函数，且在区间0，上恰好取得一次最大值 1，则 的取值范围是（ ） A(0， 3 5 B1 2 ， 3 5 C1 2 ， 3 4 D1 2 ， 5 2) 【解答】解：由() = 2 2( 2 4) 2(0)， 化简，f（x）sinx（1+sinx）sin2xsinx， 由 = 2 + 2，kz，即 = 2 + 2 = 2(1 + 4)时，取得最大值 1， 第 11 页（共 22 页） 因为 x0，上恰好取得一次最大值，所以 k0， 2 0， 所以 1 2， f（x）在区间 2 5 ， 5 6 上是增函数，根据题意 2

21、5 6 ，即 3 5， 结合上面所述， 1 2， 3 5， 故选：B 11 （5 分）已知抛物线 x24y 的焦点为 F，A 是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以 F 为圆心， |AF|为半径的圆交 y 轴负半轴于点 B， 平行于 AB 的直线 1 与抛物线相切于点 D， 则直线 AD 必过定点（ ） A （0，1） B （0，2） C （0，1） D （0，2） 【解答】解：抛物线 x24y 的焦点为 F（0，1） ，准线方程为 y1， 设 A（m， 2 4 ） ，|AF|1+ 2 4 ，即圆的半径 r1+ 2 4 ， 圆 F 的方程为 x2+（y+1）2（1+ 2 4 ）2， 令 x0，可

22、得 y2 2 4 ，或 y= 2 4 ，则 B（0，2 2 4 ） ， kAB= 2 4 2+2 4 0 = 2 ， 由 y= 2 4 的导数为 y= 1 2x，可得 D 处的切线的斜率为 1 2xD， 平行于 AB 的直线 1 与抛物线相切于点 D，可得 1 2xD= 2 ， 解得 xD= 4 ，则 D（ 4 ， 4 2） ， 则直线 AD 的方程为 y+ 2 4 = 2 4 + 4 2 +4 （xm） ， 整理可得 y= 42 4 x1， 令 x0，可得 y1，则 AD 恒过定点（0，1） ， 故选：A 第 12 页（共 22 页） 12 （5 分）用一个体积为 36 的球形铁质原材料切割

23、成为正三棱柱的工业用零配件，则该 零配件体积的最大值为（ ） A93 2 B63 C18 D27 【解答】解：用一个体积为 36 的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件， 球形铁质原材料的半径 R3， 设正三棱柱的高为 2h，底面的边长为 x， 则底面外接圆半径 r= 2 3 2 ( 2) 2 = 3 3 ，h=9 2 3 ， 该零配件体积： = 1 2 2 60 29 2 3 = 3 2 94 6 3 ， 设 y= 94 6 3 ，则 y36x32x5， 由 y0，得 x32， 当 x32时，该零配件体积的最大值为： Vmax= 3 2 9 (32)4 (32)6 3 =27 故选：

24、D 第 13 页（共 22 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知二项式（ax 1 ） 6 的展开式中的常数项为160，则 a 2 【解答】解：二项式（ax 1 ） 6 的展开式中的通项公式为 Tr+1= 6 （1）ra6rx6 2r， 令 62r0，求得 r3，可得常数项为6 3a3160，a2， 故答案为：2 14 （5 分）观察下列算式：131，233+5，337+9+11，4313+15+17+19，若某数 n3 按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n 45 【解答】解：由题意可得第 n

25、 个式子的左边是 n3，右边是 n 个连续奇数的和， 设第 n 个式子的第一个数为 an，则有 a2a1312， a3a2734，anan12（n1） ， 以上（n1）个式子相加可得 ana1= (1)2+2(1) 2 ， 故 ann2n+1，可得 a451981，a462071， 故可知 2017 在第 45 个式子， 故答案为：45 15 （5 分）已知函数 f（x）mxlnx，若关于 x 的不等式 f（x）x1 在 （0，+）上恒 成立，则实数 m 的取值范围为 1 【解答】解：当 m0 时，0x1 在（0，+）不恒成立， 当 m0 时，不等式 f（x）x1 在（0，+）恒成立， 即 x

26、lnx 1 （x1） ， 当 x+时，xlnx+，故 xlnx 1 （x1）在（0，+）不恒成立， 当 m0 时，设 1 =，记 g（x）xlnx（x1） ，其中 x0， 由题意知 g（x）0 在（0，+）上恒成立， 下面求函数 g（x）的最小值， 对 g（x）求导得 g（x）lnx+1， 令 g（x）0，得 xe 1， 当 x 变化时，g（x） ，g（x）变化情况列表如下： 第 14 页（共 22 页） x （0，e 1） e 1 （e 1，+） g（x） 0 + g（x） 递减 极小值 递增 g（x）ming（x）极小值g（e 1）（1）e1（e11）e1， e 10， 记 G（）e 1，

27、则 G（）1e1， 令 G（）0，得 1， 当 变化时，G（） ，G（）变化情况列表如下： （0，1） 1 （1，+） G（） + 0 G（） 递增 极大值 递减 G（）maxG（）极大值G（1）0， 故 e 10 当且仅当 1 时取等号， 又 e 10，从而得到 1； 即 1 =1， 解得 m1， 综上所述，m1， 故答案为：1 16 （5 分）在ABC 中，cosC= 3 5，BC1，AC5，则 AB 25 若 D 是 AB 的中点， 则 CD 22 【解答】解：在ABC 中，cosC= 3 5，BC1，AC5， 利用余弦定理得 AB2AC2+BC22ACBCcosC1+25620， 所以

28、 AB25 D 是 AB 的中点，所以 = 1 2 ( + )， 故| |2= 1 4( + )2= 1 4( 2 + 2 + 2) =1 4 32 = 8， 所以 CD22 故答案为：25，22 第 15 页（共 22 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足= 2:1 2 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn（2n1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）= 2:1 2， 当 n1 时，S1a12， 当 n2 时，anSnSn12n+122n+

29、22n， 上式对 n1 也成立， 则 an2n（nN*） ； （2）由（1）知 bn（2n1）an（2n1） 2n， Tn12+322+523+（2n1） 2n， 2Tn122+323+524+（2n1） 2n+1， 两式相减得Tn2+2（22+23+2n）（2n1） 2n+1 2+24(1;2 1) 1;2 （2n1） 2n+1， 化简可得 Tn6+（2n3） 2n+1 18 （12 分）在 RtABC 中，ABC90，tanACB= 1 2已知 E，F 分别是 BC，AC 的 中点 将CEF 沿 EF 折起， 使 C 到 C的位置且二面角 CEFB 的大小是 60 连 接 CB，CA，如图

30、： （）求证：平面 CFA平面 ABC； （）求平面 AFC与平面 BEC所成二面角的大小 【解答】证明： （）证法一：F 是 AC 的中点，AFCF 设 AC的中点为 G，连接 FG设 BC的中点为 H，连接 GH，EH 由题意得CEEF， BEEF， BEC即为二面角CEFB的平面角 BEC 60， E 为 BC 的中点BEEC，BEC为等边三角形，EHBC EFCE，EFBE，CEBEE，EF平面 BEC 第 16 页（共 22 页） EFAB，AB平面 BEC，ABEH，即 EHAB BCABB，EH平面 ABC G，H 分别为 AC，BC的中点GH 1 2 FE， 四边形 EHGF

31、为平行四边形FGEH，FG平面 ABC， 又 FG平面 AFC平面 AFC平面 ABC （6 分） 法二：如图，以 B 为原点，在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，BE 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AB2则 A（0，0，2） ，B（0，0，0） ，F（0，2，1） ，E（0，2，0） ，C（3，1， 0） 设平面 ABC的法向量为 =（x，y，z） ， =（0，0，2） ， =（3，1，0） ， = 2 = 0 = 3 + = 0 ，令 x1，则 =（1，3，0） ， 设平面 AFC的法向量为 =（x，y，z） ， =（0，2，1） ， =（3，1，

32、2） ， = 2 = 0 = 3 + 2 = 0 ，取 y1，得 =（3，1，2） =0，平面 AFC平面 ABC （6 分） 解： （）如图，以 B 为原点，在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，BE 为 y 轴， BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AB2，则 A（0，0，2） ，B（0，0，0） ，F（0，2，1） ，E（0，2，0） ，C（3，1， 0） 平面 BEC的法向量 =（0，0，1） ， （8 分） 设平面 AFC的法向量为 =（x，y，z） ， =（3，1， 2） ， =（0，2，1） ， = 3 + 2 = 0 = 2 = 0 ，取 y1，得 =（3

33、，1，2） （9 分） 第 17 页（共 22 页） cos ， = | |= 2 2 ， （10 分） 由图形观察可知，平面 AFC与平面 BEC所成的二面角的平面角为锐角 平面 AFC与平面 BEC所成二面角大小为 45 （12 分） 19 （12 分）在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项 解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由 3 个人依次出场解密，每人限定时 间是 1 分钟内， 否则派下一个人.3 个人中只要有一人解密正确， 则认为该团队挑战成功， 否则挑战失败根据甲以往解密测试情况，抽取了甲 100 次的测试记录，绘制了如下的 频率分布直方图

34、（1）若甲解密成功所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并求出甲在 1 分钟内解密成 功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的 概率分别为 PnP1（ 9 10） n1+1 10 （n1，2，3） ，其中 Pi表示第 i 个出场选手解密成 功的概率，并且 P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立 求该团队挑战成功的概率； 该团队以 Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派 出的人员数目 X 的分布列与数学期望 第 18 页（共 22 页） 【解答】解： （1）甲解密成功所需时间的中位数为

35、47， 0.015+0.0145+b5+0.0345+0.04（4745）0.5， 解得 b0.026， 0.043+0.0325+a5+0.010100.5 解得 a0.024 甲在 1 分钟内解密成功的频率是 f10.01100.9 （2）由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为 p10.9， 第二个出场选手解密成功的概率为 p20.9 9 10 + 1 10 1 =0.91， 第三个出场选手解密成功的概率为 p30.9 ( 9 10) 2 + 1 10 2 =0.929， 该团队挑战成功的概率为 p0.9+0.10.91+0.10.090.9290.999361 由知按 Pi从小

36、到大的顺序的概率分别为 p1，p2，p3， 根据题意知 X 的可能取值为 1，2，3， 则 P（X1）0.9， P（X2）（10.9）0.910.091， P（X3）（10.9） （10.91）0.009， 团队挑战成功所需派出的人员数目 X 的分布列为： X 1 2 3 P 0.9 0.091 0.009 E（X）10.9+20.091+30.0091.109 20 （12 分）已知椭圆 ： 2 16 + 2 12 =1双曲线的实轴顶点就是椭圆 的焦点，双曲线 的焦距等于椭圆 的长轴长 （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线 1 经过点 E（3，0）与椭圆 交于 A、B 两点，求OAB 的

37、面积的最大值； 第 19 页（共 22 页） （3）设直线 1：ykx+m（其中 k，m 为整数）与椭圆 交于不同两点 A、B，与双曲线 交于不同两点 C、D，问是否存在直线 l，使得向量 + = 0 ，若存在，指出这样 的直线有多少条？若存在，请说明理由 【解答】解： （1）椭圆的焦点坐标为（2，0） ，长轴长为 8，设双曲线的方程 2 2 2 2 = 1(0，0)， 则 a2，c4，则 b212，双曲线的方程 2 4 2 12 = 1； （2）由题意可知过点 M 的直线斜率存在且不等于 0，设直线 l 方程为 xmy+3，A（x1， y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程组 = + 3

38、2 16 + 2 12 = 1，消去 x，得（3m 2+4）y2+18my210， y1+y2= 18 32+4，y1y2= 21 32+4， 所 以S OAB= 1 2 |OE| |y1 y2| = 1 2 3 (1+ 2)2 412= 1 2 3 43 122+7 (32+4)2 =63 122+7 (32+4)2， 令 12m2+7t7，则2= 7 12 ， 所以 122:7 (32:4)2 = 16 2:18:81 = 16 :81 :18 16 281 :18 = 4 9， 当且仅当 t9，即2= 1 6时，取等号， 则 SOAB63 122+7 (32+4)2 63 2 3 =43

39、， 所以OAB 面积的最大值为43 （3）存在这样的直线 ykx+m，使得向量 + = 0 成立，且这样的直线有 9 条 由 = + 2 16 + 2 12 = 1，消去 y，整理得（3+4k 2）x2+8kmx+4m2480， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1+x2= 8 3+42，1（8km） 24（3+4k2） （4m248）0， 第 20 页（共 22 页） 由 = + 2 4 2 12 = 1，消去 y，整理得（3k 2）x22kmxm2120， 设 C（x3，y4） ，D（x4，y4） ， 则 x3+x4= 2 32，2（2km） 2+4（3k2） （m2+1

40、2）0， 因为 + = 0 ， 所以（y4y2）+（y3y1）0 由 x1+x2x3+x4得 8 3+42 = 2 32 所以 2km0 或 4 3+42 = 1 32 由上式解得 k0 或 m0当 k0 时， 由和得23m23 因为 m 是整数，所以 m 的值为3，2，1，0，1，2，3 当 m0，由和得3k3 因为 k 是整数，所以 k1，0，1 于是满足条件的直线共有 9 条 21 （12 分）已知函数() = + ，其中 a 为常数 （1）若直线 = 2 是曲线 yf（x）的一条切线，求实数 a 的值； （2）当 a1 时，若函数() = |()| + 在1，+ )上有两个零点求实数 b 的取值范围 【解答】解： （1）设切点为（m，n） ，函数(