2020高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（2）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 A1，0，1，BxN|1x3，则 AB 等于（ ） A0，1 B1，0，1 C1，0，1，2 D1，0，1，2， 3 2 （5 分）已知复数 = 12，则以下说法正确的是（ ） A复数 z 的虚部为 5 Bz 的共轭复数 = 2 5 5 C| = 1 5 D复平面内与 z 对应的点在第二象限 3 （5 分）如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股

2、定理的绝妙 证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影） ，设直角三角形有一个内 角为 30，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732） ，则落在小 正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） A20 B27 C54 D64 4（5 分） 在ABC 中， E、 F 分别为 BC、 AB 边上的中点， AE 与 CF 相交于点 G， 设 = ， = ，且 = + ，则 + 的值为（ ） A 1 3 B1 3 C2 3 D1 第 2 页（共 21 页） 5 （5 分） 已知定义在 R 上的函数 f （x） 2|x m|1 （m 为实数） 为偶函数， 记 af （log

3、 0.53） ， bf（log25） ，cf（2+m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 6 （5 分）如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图， 且图中小方格单位长度为 1，则该多面体的侧面最大面积为（ ） A23 B22 C6 D2 7 （5 分） 已知离心率为 2 的双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0)的左右焦点分别为 F1（c， 0） ，F2（c，0） ，直线 = 3 3 ( + )与双曲线 C 在第一象限的交点为 P，PF1F2的角平 分线与 PF2交于点 Q，若|PF2|PQ|，则 的值是（ ） A43;

4、4 3 B43;1 3 C23 3 D3:23 3 8 （5 分）下图程序框图表示的算法的功能是（ ） A计算小于 100 的奇数的连乘积 B计算从 1 开始的连续奇数的连乘积 C从 1 开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于 100 时，计算奇数的个数 D计算 135n100 时的最小的 n 值 第 3 页（共 21 页） 9 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3acosC4csinA，已知 ABC 的面积 S10，b4，则 a 的值为（ ） A23 3 B25 3 C26 3 D28 3 10 （5 分）已知函数() = 2 2( 2 4) 2(0)在区间

5、2 5 ， 5 6 上是 增函数，且在区间0，上恰好取得一次最大值 1，则 的取值范围是（ ） A(0， 3 5 B1 2 ， 3 5 C1 2 ， 3 4 D1 2 ， 5 2) 11 （5 分）双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右焦点为 F，过 F 作与双曲线的两条渐近 线平行的直线且与渐近线分别交于 A，B 两点，若四边形 OAFB（O 为坐标原点）的面积 为 bc，则双曲线的离心率为（ ） A2 B2 C3 D3 12 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C11，底面为等腰直角三角形，侧棱长为 1，体积为1 2， 若此三棱柱的所有顶点均在同一个球面上，则该球的直径是（ ）

6、 A1 B3 C2 D2 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）命题“x0（0，+） ，ln x0x01”的否定是 14 （5 分）观察下列算式：131，233+5，337+9+11，4313+15+17+19，若某数 n3 按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n 15 （5 分）已知函数 f（x）mxlnx，若关于 x 的不等式 f（x）x1 在 （0，+）上恒 成立，则实数 m 的取值范围为 16 （5 分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在 2015 年约为 400 万吨，2016 年的年增

7、长率为 50%有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增 长， 从 年开始， 快递行业产生的包装垃圾超过 4000 万吨（参考数据： lg20.3010， lg30.4771） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足= 2:1 2 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn（2n1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，已知 AB平面 BCD，BCCD，CD2，直线 AC 第 4 页（共 21 页） 与平面 BCD

8、所成角为 45 （1）求证：CD平面 ABC； （2）若三棱锥 ABCD 的体积为 3，求 AB 的长 19 （12 分）在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项 解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由 3 个人依次出场解密，每人限定时 间是 1 分钟内， 否则派下一个人.3 个人中只要有一人解密正确， 则认为该团队挑战成功， 否则挑战失败根据甲以往解密测试情况，抽取了甲 100 次的测试记录，绘制了如下的 频率分布直方图 （1）若甲解密成功所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并求出甲在 1 分钟内解密成 功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于

9、来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的 概率分别为 PnP1（ 9 10） n1+1 10 （n1，2，3） ，其中 Pi表示第 i 个出场选手解密成 功的概率，并且 P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立 求该团队挑战成功的概率； 该团队以 Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派 出的人员数目 X 的分布列与数学期望 20 （12 分）已知椭圆 ： 2 16 + 2 12 =1双曲线的实轴顶点就是椭圆 的焦点，双曲线 的焦距等于椭圆 的长轴长 第 5 页（共 21 页） （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线 1 经过点 E（3

10、，0）与椭圆 交于 A、B 两点，求OAB 的面积的最大值； （3）设直线 1：ykx+m（其中 k，m 为整数）与椭圆 交于不同两点 A、B，与双曲线 交于不同两点 C、D，问是否存在直线 l，使得向量 + = 0 ，若存在，指出这样 的直线有多少条？若存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数() = + ，其中 a 为常数 （1）若直线 = 2 是曲线 yf（x）的一条切线，求实数 a 的值； （2）当 a1 时，若函数() = |()| + 在1，+ )上有两个零点求实数 b 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分）

11、22 （10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，过极点的直线 l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆的一个交点为 B（2， 3） ，曲线 M1 是劣弧 ，曲线 M2是优弧 （）求曲线 M1的极坐标方程； （） 设点 P （1， ） 为曲线 M1上任意一点， 点 Q （2， 3） 在曲线 M2 上， 若|OP|+|OQ| 6，求 的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x 1 2|+|2x+1| （）求函数 f（x）的最小值 m； （）若正实数 a，b 满足1 + 2 =m，且|x2|a+2b 对任意的正实数 a，b 恒成立，求 x 的取值范围 第 6

12、页（共 21 页） 2020 高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 A1，0，1，BxN|1x3，则 AB 等于（ ） A0，1 B1，0，1 C1，0，1，2 D1，0，1，2， 3 【解答】解：A1，0，1， BxN|1x30，1，2， AB1，0，1，2 故选：C 2 （5 分）已知复数 = 12，则以下说法正确的是（ ） A复数 z 的虚部为 5 Bz 的共轭复数 = 2 5 5 C| = 1

13、 5 D复平面内与 z 对应的点在第二象限 【解答】解： = 12 = (1+2) (12)(1+2) = 2 5 + 5， 复数 z 的虚部为1 5，z 的共轭复数 = 2 5 5，|z|= (2 5) 2+ (1 5) 2 = 5 5 ，复平面内与 z 对应的点的坐标为（ 2 5， 1 5） ，在第二象限 正确的是复平面内与 z 对应的点在第二象限 故选：D 3 （5 分）如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙 证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影） ，设直角三角形有一个内 角为 30，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取3 1.

14、732） ，则落在小 正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） 第 7 页（共 21 页） A20 B27 C54 D64 【解答】解：设大正方体的边长为 x，则小正方体的边长为 3 2 1 2x， 设落在小正方形内的米粒数大约为 N， 则 ( 3 2 ;1 2) 2 2 = 200，解得：N27 故选：B 4（5 分） 在ABC 中， E、 F 分别为 BC、 AB 边上的中点， AE 与 CF 相交于点 G， 设 = ， = ，且 = + ，则 + 的值为（ ） A 1 3 B1 3 C2 3 D1 【解答】解：E、F 分别为 BC、AB 边上的中点，AE 与 CF 相交于点 G， G 为AB

15、C 的重心，且 = ， = ， = 1 3( + ) = 1 3 ( + ) = 2 3 + 1 3 = 2 3 + 1 3 ， 又 = + ， + = 1 3 第 8 页（共 21 页） 故选：A 5 （5 分） 已知定义在 R 上的函数 f （x） 2|x m|1 （m 为实数） 为偶函数， 记 af （log 0.53） ， bf（log25） ，cf（2+m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 【解答】解：函数 f（x）是偶函数， f（x）f（x）在 R 上恒成立，m0， 当 x0 时，易得 f（x）2|x|1 为增函数， af（log0.5

16、3）f（log23） log232log25，acb， 故选：B 6 （5 分）如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图， 且图中小方格单位长度为 1，则该多面体的侧面最大面积为（ ） A23 B22 C6 D2 【解答】解：由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥 PABC， 故 AC1，PA2， = = 5， = 22， = 23， = = 1 2 2 1 = 1， = 1 2 2 22 = 22， = 1 2 23 2 = 6， 该多面体的侧面最大面积为22 故选：B 7 （5 分） 已知离心率为 2 的双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0)的左

17、右焦点分别为 F1（c， 第 9 页（共 21 页） 0） ，F2（c，0） ，直线 = 3 3 ( + )与双曲线 C 在第一象限的交点为 P，PF1F2的角平 分线与 PF2交于点 Q，若|PF2|PQ|，则 的值是（ ） A43;4 3 B43;1 3 C23 3 D3:23 3 【解答】解：直线 = 3 3 ( + )； 所以其过左焦点，且PF1F230； 如图： ； PF1F2的角平分线与 PF2交于点 Q，且|PF2|PQ|， |1| |12| = | |2| = 1 ;1|PF1|= 1 1 2c； 离心率为 2= c2a|PF2|PF1|2a= (3) 1 ； cos PF1F

18、2= |1|2+|12|2|2|2 2|1|12| 3 2 = ( 2 1) 2:(2)2;(3) 1 2 2 2 12 = 4( 1 1) 2:4;(3 1) 2 8 1 1 ； 3 2 = 4:4(;1)2;(3;)2 8(;1) = 32;2;1 8(;1) = 3:1 8 = 431 3 故选：B 8 （5 分）下图程序框图表示的算法的功能是（ ） 第 10 页（共 21 页） A计算小于 100 的奇数的连乘积 B计算从 1 开始的连续奇数的连乘积 C从 1 开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于 100 时，计算奇数的个数 D计算 135n100 时的最小的 n 值 【解答】解：经过第

19、一次循环得到 s13，i5 经过第二次循环得到 s135，i7 经过第三次循环得到 s1357，i9 s1357100 该程序框图表示算法的功能是求计算并输出使 1357100 成立的最小整数 故答案为计算并输出使 1357100 成立的最小整数 故选：D 9 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3acosC4csinA，已知 ABC 的面积 S10，b4，则 a 的值为（ ） A23 3 B25 3 C26 3 D28 3 【解答】解：3acosC4csinA， 由正弦定理可得 3sinAcosC4sinCsinA， sinA0， 3cosC4sinC，即

20、 cosC= 4 3sinC， 第 11 页（共 21 页） sin2C+cos2Csin2C+ 16 9 sin2C= 25 9 sin2C1，解得：sinC= 3 5， b4，ABC 的面积 S10= 1 2absinC= 1 2 a4 3 5， 解得 a= 25 3 故选：B 10 （5 分）已知函数() = 2 2( 2 4) 2(0)在区间2 5 ， 5 6 上是 增函数，且在区间0，上恰好取得一次最大值 1，则 的取值范围是（ ） A(0， 3 5 B1 2 ， 3 5 C1 2 ， 3 4 D1 2 ， 5 2) 【解答】解：由() = 2 2( 2 4) 2(0)， 化简，f（

21、x）sinx（1+sinx）sin2xsinx， 由 = 2 + 2，kz，即 = 2 + 2 = 2(1 + 4)时，取得最大值 1， 因为 x0，上恰好取得一次最大值，所以 k0， 2 0， 所以 1 2， f（x）在区间 2 5 ， 5 6 上是增函数，根据题意 2 5 6 ，即 3 5， 结合上面所述， 1 2， 3 5， 故选：B 11 （5 分）双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右焦点为 F，过 F 作与双曲线的两条渐近 线平行的直线且与渐近线分别交于 A，B 两点，若四边形 OAFB（O 为坐标原点）的面积 为 bc，则双曲线的离心率为（ ） A2 B2 C3 D3

22、【解答】解：双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右焦点为 F（c，0） ， 设 OA 的方程为 bxay0，OB 的方程为 bx+ay0， 过F 平行于 OA的直线FB的方程为y= （xc） ， 平行于OB 的直线 FA的方程为 y= （x c） ， 第 12 页（共 21 页） 可得平行线 OA 和 BF 的距离为 2:2 =b， 由 = 0 + = 0可得 x= 1 2c，y= 2，即 A（ 1 2c， 2） ， 则平行四边形 OAFB 的面积为 Sb1 4 2+ 22 42 =bc， 化为 b23a2， 则 e= =1 + 2 2 = 1 + 3 =2 故选：B 12 （5 分

23、）已知直三棱柱 ABCA1B1C11，底面为等腰直角三角形，侧棱长为 1，体积为1 2， 若此三棱柱的所有顶点均在同一个球面上，则该球的直径是（ ） A1 B3 C2 D2 【解答】解：如图， 设底面等腰直角三角形的直角边长为 x，则1 2 1 = 1 2，得 x1 把该直三棱柱补形为长方体，则长方体的对角线长为12+ 12+ 12= 3 该球的直径是3 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）命题“x0（0，+） ，ln x0x01”的否定是 x（0，+） ，lnxx1 【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是

24、全称命题， 即x（0，+） ，lnxx1； 故答案为：x（0，+） ，lnxx1； 14 （5 分）观察下列算式：131，233+5，337+9+11，4313+15+17+19，若某数 n3 按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n 45 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：由题意可得第 n 个式子的左边是 n3，右边是 n 个连续奇数的和， 设第 n 个式子的第一个数为 an，则有 a2a1312， a3a2734，anan12（n1） ， 以上（n1）个式子相加可得 ana1= (1)2+2(1) 2 ， 故 ann2n+1，可得 a451981，a462071，

25、故可知 2017 在第 45 个式子， 故答案为：45 15 （5 分）已知函数 f（x）mxlnx，若关于 x 的不等式 f（x）x1 在 （0，+）上恒 成立，则实数 m 的取值范围为 1 【解答】解：当 m0 时，0x1 在（0，+）不恒成立， 当 m0 时，不等式 f（x）x1 在（0，+）恒成立， 即 xlnx 1 （x1） ， 当 x+时，xlnx+，故 xlnx 1 （x1）在（0，+）不恒成立， 当 m0 时，设 1 =，记 g（x）xlnx（x1） ，其中 x0， 由题意知 g（x）0 在（0，+）上恒成立， 下面求函数 g（x）的最小值， 对 g（x）求导得 g（x）lnx

26、+1， 令 g（x）0，得 xe 1， 当 x 变化时，g（x） ，g（x）变化情况列表如下： x （0，e1） e1 （e1，+） g（x） 0 + g（x） 递减 极小值 递增 g（x）ming（x）极小值g（e 1）（1）e1（e11）e1， e 10， 记 G（）e 1，则 G（）1e1， 令 G（）0，得 1， 当 变化时，G（） ，G（）变化情况列表如下： 第 14 页（共 21 页） （0，1） 1 （1，+） G（） + 0 G（） 递增 极大值 递减 G（）maxG（）极大值G（1）0， 故 e 10 当且仅当 1 时取等号， 又 e 10，从而得到 1； 即 1 =1， 解

27、得 m1， 综上所述，m1， 故答案为：1 16 （5 分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在 2015 年约为 400 万吨，2016 年的年增长率为 50%有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增 长， 从 2021 年开始， 快递行业产生的包装垃圾超过 4000 万吨（参考数据： lg20.3010， lg30.4771） 【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为 y 万吨，n 表示从 2015 年开始增加的年份的 数量， 由题意可得 y400（1+50%）n400（3 2） n， 由于第 n 年快递行业产生的包装垃圾超过 4000 万吨， 4000400（3 2）

28、 n， （3 2） n10， 两边取对数可得 n（lg3lg2）1， n（0.47710.3010）1， 解得 0.176n1， 解得 n6， 从 2015+62021 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过 4000 万吨， 故答案为：2021 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足= 2:1 2 第 15 页（共 21 页） （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn（2n1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）= 2:1 2， 当 n1 时，S1a12，

29、 当 n2 时，anSnSn12n+122n+22n， 上式对 n1 也成立， 则 an2n（nN*） ； （2）由（1）知 bn（2n1）an（2n1） 2n， Tn12+322+523+（2n1） 2n， 2Tn122+323+524+（2n1） 2n+1， 两式相减得Tn2+2（22+23+2n）（2n1） 2n+1 2+24(1;2 1) 1;2 （2n1） 2n+1， 化简可得 Tn6+（2n3） 2n+1 18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，已知 AB平面 BCD，BCCD，CD2，直线 AC 与平面 BCD 所成角为 45 （1）求证：CD平面 ABC； （2）若三棱

30、锥 ABCD 的体积为 3，求 AB 的长 【解答】解： （1）证明：在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，CD平面 BCD， ABCD， BCCD，ABBCB， CD平面 ABC （2）解：直线 AC 与平面 BCD 所成角为 45 可设 ABBCa， 第 16 页（共 21 页） 三棱锥 ABCD 的体积为 3， VABCD= 1 3 = 1 3 1 2 2 = 1 3 2=3， 解得 ABa3 19 （12 分）在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项 解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由 3 个人依次出场解密，每人限定时 间是 1 分钟内， 否

31、则派下一个人.3 个人中只要有一人解密正确， 则认为该团队挑战成功， 否则挑战失败根据甲以往解密测试情况，抽取了甲 100 次的测试记录，绘制了如下的 频率分布直方图 （1）若甲解密成功所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并求出甲在 1 分钟内解密成 功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的 概率分别为 PnP1（ 9 10） n1+1 10 （n1，2，3） ，其中 Pi表示第 i 个出场选手解密成 功的概率，并且 P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立 求该团队挑战成功的概率； 该团队以 Pi从小到大的顺序按

32、排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派 出的人员数目 X 的分布列与数学期望 【解答】解： （1）甲解密成功所需时间的中位数为 47， 0.015+0.0145+b5+0.0345+0.04（4745）0.5， 解得 b0.026， 0.043+0.0325+a5+0.010100.5 解得 a0.024 甲在 1 分钟内解密成功的频率是 f10.01100.9 （2）由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为 p10.9， 第 17 页（共 21 页） 第二个出场选手解密成功的概率为 p20.9 9 10 + 1 10 1 =0.91， 第三个出场选手解密成功的概率为 p30

33、.9 ( 9 10) 2 + 1 10 2 =0.929， 该团队挑战成功的概率为 p0.9+0.10.91+0.10.090.9290.999361 由知按 Pi从小到大的顺序的概率分别为 p1，p2，p3， 根据题意知 X 的可能取值为 1，2，3， 则 P（X1）0.9， P（X2）（10.9）0.910.091， P（X3）（10.9） （10.91）0.009， 团队挑战成功所需派出的人员数目 X 的分布列为： X 1 2 3 P 0.9 0.091 0.009 E（X）10.9+20.091+30.0091.109 20 （12 分）已知椭圆 ： 2 16 + 2 12 =1双曲线

34、的实轴顶点就是椭圆 的焦点，双曲线 的焦距等于椭圆 的长轴长 （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线 1 经过点 E（3，0）与椭圆 交于 A、B 两点，求OAB 的面积的最大值； （3）设直线 1：ykx+m（其中 k，m 为整数）与椭圆 交于不同两点 A、B，与双曲线 交于不同两点 C、D，问是否存在直线 l，使得向量 + = 0 ，若存在，指出这样 的直线有多少条？若存在，请说明理由 【解答】解： （1）椭圆的焦点坐标为（2，0） ，长轴长为 8，设双曲线的方程 2 2 2 2 = 1(0，0)， 则 a2，c4，则 b212，双曲线的方程 2 4 2 12 = 1； （2）由题意可知

35、过点 M 的直线斜率存在且不等于 0，设直线 l 方程为 xmy+3，A（x1， y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程组 = + 3 2 16 + 2 12 = 1，消去 x，得（3m 2+4）y2+18my210， y1+y2= 18 32+4，y1y2= 21 32+4， 第 18 页（共 21 页） 所 以S OAB= 1 2 |OE| |y1 y2| = 1 2 3 (1+ 2)2 412= 1 2 3 43 122+7 (32+4)2 =63 122+7 (32+4)2， 令 12m2+7t7，则2= 7 12 ， 所以 122:7 (32:4)2 = 16 2:18:81 =

36、16 :81 :18 16 281 :18 = 4 9， 当且仅当 t9，即2= 1 6时，取等号， 则 SOAB63 122+7 (32+4)2 63 2 3 =43， 所以OAB 面积的最大值为43 （3）存在这样的直线 ykx+m，使得向量 + = 0 成立，且这样的直线有 9 条 由 = + 2 16 + 2 12 = 1，消去 y，整理得（3+4k 2）x2+8kmx+4m2480， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1+x2= 8 3+42，1（8km） 24（3+4k2） （4m248）0， 由 = + 2 4 2 12 = 1，消去 y，整理得（3k 2）x2

37、2kmxm2120， 设 C（x3，y4） ，D（x4，y4） ， 则 x3+x4= 2 32，2（2km） 2+4（3k2） （m2+12）0， 因为 + = 0 ， 所以（y4y2）+（y3y1）0 由 x1+x2x3+x4得 8 3+42 = 2 32 所以 2km0 或 4 3+42 = 1 32 由上式解得 k0 或 m0当 k0 时， 由和得23m23 因为 m 是整数，所以 m 的值为3，2，1，0，1，2，3 第 19 页（共 21 页） 当 m0，由和得3k3 因为 k 是整数，所以 k1，0，1 于是满足条件的直线共有 9 条 21 （12 分）已知函数() = + ，其中

38、 a 为常数 （1）若直线 = 2 是曲线 yf（x）的一条切线，求实数 a 的值； （2）当 a1 时，若函数() = |()| + 在1，+ )上有两个零点求实数 b 的取值范围 【解答】解： （1）设切点为（m，n） ，函数() = + 的导数为 f（x）= 1 + ， 可得1 + = 2 ， 2 = +alnm， 解得 me，a1； （2）当 a1 时，f（x）= lnx，f（x）= 1 1 = ， 当 xe 时，f（x）0，f（x）递增，0xe 时，f（x）0，f（x）递减， 可得 xe 处 f（x）取得极小值，且为最小值 0，可得 f（x）0， 则 g（x）= lnx +b，x0，

39、 由题意可得 yb 与 ylnx+ 有两个交点， 设 h（x）lnx+ ，x0，h（x）= 1 + 1 2 1 = +2 2 ， 令 （x）ex+eelnxx2，（x）e 2x= 22 ， exe2x20，可得 （x）0，（x）在 x0 递减；（e）0，0xe 时， （x）0， xe 时，（x）0，即 0xe 时，h（x）0，xe 时，h（x）0， 可得 h（x）在（0，e）递增， （e，+）递减，h（x）在 xe 处取得极大值 h（e）= 1 ， h（1）= 1 ，h（e 3）3+3 3 e24e21 1 ， 即有 g（x）在1，+）有两个零点时，b 的范围是 1 ， 1 ） 四解答题（共四

40、解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，过极点的直线 l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 第 20 页（共 21 页） 的圆的一个交点为 B（2， 3） ，曲线 M1 是劣弧 ，曲线 M2是优弧 （）求曲线 M1的极坐标方程； （） 设点 P （1， ） 为曲线 M1上任意一点， 点 Q （2， 3） 在曲线 M2 上， 若|OP|+|OQ| 6，求 的值 【解答】解： （）过极点的直线 l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆上任意一点 （，） ，整理得 4cos 由于的圆的一个交点为 B（2， 3） ，曲线 M1 是劣弧 ， 所以 M1的方程为 = 4( 3 2) （）点 P（1，）为曲线 M1上任意一点， 所以1= 4 ( 3 2)， 点 Q（2， 3）在曲线 M2 上， 所以2= 4( 3)（ 2 3 3） 整理得2= 4(