1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年甘肃省高考数学（理科）模拟试卷（年甘肃省高考数学（理科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 Ax|x|1，Bx|2x1，则 AB（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，+） D （，1） 2 （5 分）设 = 2+2 1 ，是 z 的共轭复数（注：a+bi 的共轭复数为 abi） ，则 z =（ ） A2i Bi C2 D4 3（5 分） 已知平面向量 ， 满足 = (1， 2)， = (3，)， 且 ( + )， 则| | = （ ） A3 B1
2、0 C23 D5 4 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）经过点(2，22)，焦点为 F则直线 MF 的斜率 为（ ） A22 B 2 4 C 2 2 D22 5 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 6 （5 分）过双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点 F 作平行于一条渐近线的直线与 另一条渐近线交于点 P，若点 P 在圆心为（2c，0） ，半径为5a 的圆内，则该双曲线离 心率的取值范围是（ ） A （1，2） B （1，5） C （2，+） D （5，+） 7（5 分） 5G 网络是一种先进的高频传输技术， 我国的 5C 技术发展
3、迅速， 已位居世界前列 华 为公司 2019 年 8 月初推出了一款 5G 手机，现调查得到该款 5G 手机上市时间 x 和市场 占有率 y（单位：%）的几组相关对应数据如图所示的折线图中，横轴 1 代表 2019 年 8 月，2 代表 2019 年 9 月，5 代表 2019 年 12 月，根据数据得出 y 关于 x 的线性回 归方程为 = 0.042 若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最 第 2 页（共 19 页） 早何时该款 5C 手机市场占有率能超过 0.5%（ ） （精确到月） A2020 年 6 月 B2020 年 7 月 C2020 年 8 月 D2020 年
4、9 月 8 （5 分）设 m，n 是空间两条不同的直线， 是空间两个不同的平面给出下列四个命 题： 若 m，n，则 mn； 若 ，m，m，则 m； 若 mn，m，则 n； 若 ，l，m，ml，则 m 其中正确的是（ ） A B C D 9 （5 分）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A = 1 + 2 By3x3 C = 1 Dyx|x| 10 （5 分）函数 f（x）sinx+cosx（0）的图象向右移动 3个单位后关于 y 轴对称， 则 的值不可能为（ ） A 3 4 B9 4 C 27 4 D 17 4 11 （5 分）若 x5a0+a1（x2）+a2（x2）2+a5
5、（x2）5，则 a0（ ） A32 B2 C1 D32 12 （5 分）设函数 f（x）ax2+bx+c（a，b，cR，且 a0） ，则（ ） A若( 2)0，则 f（f（x） ）一定有零点 B若( 2)0，则 f（f（x） ）无零点 C若( 2)0且( 2)0，则 f（f（x） ）一定有零点 D若( 2)0则 f（f（x） ）有两个零点 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 3 页（共 19 页） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 0 ，则 zx+3y 的最大值是 14 （5 分）要从 5 件不同的礼物中选出 3
6、 件分送 3 位同学，不同方法的种数是 15 （5 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 sinC2sinA，且（ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，则 cosB 16 （5 分）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的数学百草园 、 好玩的数学 、 故事中的数学等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱下面我们一起来看 好玩的数学中谈老的一篇文章五分钟内挑出埃及分数 ：文章首先告诉我们，古埃 及人喜欢使用分子为 1 的分数 （称为埃及分数） 如用两个埃及分数1 3与 1 15的和表示 2 5等 从 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 100
7、， 1 101这 100 个埃及分数中挑出不同的 3 个， 使得它们的和为 1， 这三个分数是 （按照从大到小的顺序排列） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）记等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a22，S33 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列3n2+an的前 n 项和 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面ABC 是正三 角形，ABAA13，AE= 1 3 ，1 = 1 3 11 （1）求证：A1E平面 BCF； （2）求直线 AA1与平面 BCF 所
8、成角的正弦值 19（12 分） 为了提高市民身体素质， 某市把 A， B， C， D 四个篮球馆全部转为免费民用（1） 在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从 A，B，C， 第 4 页（共 19 页） D 四场馆的使用场数中依次抽取 a1，a2，a3，a4共 25 场，在 a1，a2，a3，a4中随机取两 数，求这两数和 的分布列和数学期望； （2） 设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为 x， 其相应维修费用为 y 元， 根据统计， 得到如下表的 y 与 x 数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y 10000 11761 13010 13980
9、14771 15440 16020 = 0.1 4343+ 2 2.99 3.49 4.05 4.50 4.99 5.49 5.99 （i）用最小二乘法求 z 与 x 之间的回归直线方程； （ii） :40叫做篮球馆月惠值，根据（i）的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时 x 的值 参考数据和公式： = 4.5， 7 1 ( )2= 700， 7 1 ( ) ( ) =70， e320， = 7 =1 () () 7 =1 ()2 ， = 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（a0，b0）的长轴长为 4，离心率 e= 3 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A，B
10、分别为椭圆与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴的交点，P 是椭圆 C 上在第一象限 的一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，问PMN 与PAB 面积之 差是否为定值？说明理由 21 （12 分）设函数 f（x）alnx+x，g（x）ex+x （）讨论函数 f（x）的单调性； （）令 h（x）f（x）g（x） ，当 a2 时，证明 h（x）2ln24 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 第 5 页（共 1
11、9 页） 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2:|2的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知不等式|2x1|2 的解集与关于 x 的不等式x2px+q0 的解集相同 （1）求实数 p，q 值； （2）若实数 a，bR+，满足 a+bp+4q，求1 + 4 的最小值 第 6 页（共 19 页） 2020 年甘肃省高考数学（理科）模拟试卷（年甘肃省高考数学（理科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分
12、，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 Ax|x|1，Bx|2x1，则 AB（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，+） D （，1） 【解答】解：因为 Ax|x|1（1，1） ， Bx|2x1（，0） ， 则 AB（，1） 故选：D 2 （5 分）设 = 2+2 1 ，是 z 的共轭复数（注：a+bi 的共轭复数为 abi） ，则 z =（ ） A2i Bi C2 D4 【解答】解： = 2+2 1 ， |z|2:2 1; |= |2+2| |1| = 22 2 = 2， z =|z|24 故选：D 3（5 分） 已知平面向量 ， 满足 = (1， 2)， = (3，
13、)， 且 ( + )， 则| | = （ ） A3 B10 C23 D5 【解答】解：平面向量 ， 满足 = (1， 2)， = (3，)，且 ( + )， （ + ）（1，2） （2，t2）2+（2） （t2）0， 求得 t1， =（3，1） ，则| | = 9 + 1 = 10， 故选：B 4 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）经过点(2，22)，焦点为 F则直线 MF 的斜率 为（ ） A22 B 2 4 C 2 2 D22 【解答】解：由题意可得（22）22p2 所以 p2， 所以抛物线的方程为：y24x， 所以焦点 F（1，0） ， 第 7 页（共 19 页） 所以 kMF=
14、22 21 =22， 故选：A 5 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0:， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 6 （5 分）过双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点 F 作平行于一条渐近线的直线与 另一条渐近线交于点 P，若点 P 在圆心为（2c，0） ，半径为5a 的圆内，则该双曲线离 心率的取值范围是（ ） A （1，2） B （1，5） C （2，+） D （5，+） 【
15、解答】解：圆心为（2c，0） ，半径为5a 的圆的方程为（x2c）2+y25a2， 双曲线的渐近线方程为 y x， 右焦点 F（c，0） ，设过右焦点 F 作平行于一条渐近线的直线为 y= （xc） ， 与另一条渐近线 y= x 交于点 P（ 1 2c， 2） ， 由题意可得（1 2c2c） 2+（ 2） 25a2， 即 9c2a2+b2c220a4， 可得 c4+8c2a220a40， 可得 e4+8e2200， 可得 e22，即有 1e2， 第 8 页（共 19 页） 故选：A 7（5 分） 5G 网络是一种先进的高频传输技术， 我国的 5C 技术发展迅速， 已位居世界前列 华 为公司 2
16、019 年 8 月初推出了一款 5G 手机，现调查得到该款 5G 手机上市时间 x 和市场 占有率 y（单位：%）的几组相关对应数据如图所示的折线图中，横轴 1 代表 2019 年 8 月，2 代表 2019 年 9 月，5 代表 2019 年 12 月，根据数据得出 y 关于 x 的线性回 归方程为 = 0.042 若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最 早何时该款 5C 手机市场占有率能超过 0.5%（ ） （精确到月） A2020 年 6 月 B2020 年 7 月 C2020 年 8 月 D2020 年 9 月 【解答】解：根据表中数据，得 = 1+2+3+4+5 5
17、= 3， = 1 5（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）0.1， 0.10.0423a，a0.026， 所以线性回归方程为 y0.042x0.026， 由 0.042x0.0260.5，得 x13， 预计上市 13 个月时，即最早在 2020 年 8 月，市场占有率能超过 0.5%， 故选：C 8 （5 分）设 m，n 是空间两条不同的直线， 是空间两个不同的平面给出下列四个命 题： 若 m，n，则 mn； 若 ，m，m，则 m； 若 mn，m，则 n； 若 ，l，m，ml，则 m 其中正确的是（ ） A B C D 【解答】解：由 m，n 是空间两条不同的直线， 是空间两个不同
18、的平面知： 第 9 页（共 19 页） 在中，若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故错误； 在中，若 ，m，m，则由线面垂直的性质定理得 m，故正确； 在中，若 mn，m，则 n 与 平行或 n，故错误； 在中，若 ，l，m，ml，则由线面垂直的判定定理得 m，故正 确 故选：C 9 （5 分）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A = 1 + 2 By3x3 C = 1 Dyx|x| 【解答】解：对于选项 A，函数 = 1 + 2为偶函数，即 A 不符合题意； 对于选项 B，函数 y3x3为减函数，即 B 不符合题意； 对于选项 C，函数 = 1 在定义域内不单调
19、，即 C 不符合题意； 对于选项 D，函数 yx|x|为奇函数，且 = | = 2， 0 2，0， 因为 yx2在0，+）上单调递增，yx2在（，0）上单调递增，且 yx2与 y x2在 x0 处函数值都为 0，所以 yx|x|在定义域内是增函数，即 D 符合题意 故选：D 10 （5 分）函数 f（x）sinx+cosx（0）的图象向右移动 3个单位后关于 y 轴对称， 则 的值不可能为（ ） A 3 4 B9 4 C 27 4 D 17 4 【解答】解：由于 f（x）sinx+cosx（0） ， 可得：() = 2( + 4)， 故：( 3) = 2( 3 + 4)， 由题意可得： 3 +
20、 4 = 2 + ( )， 解得： = 3 4 3( )， 当 k0 时， 的值为 3 4，故 A 正确；当 k1 时， 的值为 9 4，故 B 正确；当 k2 时， 的值为 27 4 ，故 C 正确； 第 10 页（共 19 页） 当 = 3 4 3k= 17 4 时，解得 k= 7 6Z，故错误 故选：D 11 （5 分）若 x5a0+a1（x2）+a2（x2）2+a5（x2）5，则 a0（ ） A32 B2 C1 D32 【解答】解：x5a0+a1（x2）+a2（x2）2+a5（x2）5， 令 x20，可得 a02532， 故选：D 12 （5 分）设函数 f（x）ax2+bx+c（a，
21、b，cR，且 a0） ，则（ ） A若( 2)0，则 f（f（x） ）一定有零点 B若( 2)0，则 f（f（x） ）无零点 C若( 2)0且( 2)0，则 f（f（x） ）一定有零点 D若( 2)0则 f（f（x） ）有两个零点 【解答】 解：对于 A，如图( 2)0，此时() ( 2) = ，当 2，f（f（x） ） f（f（x）min）0，此时无零点 对于 B， ()( 2) = 如图时， f （f （x） min） 0， 如图 f （f （x） ） 在( ， 2)， ( 2)0，f（f（x） ）有零点 对于 C，反例图如图，显然不合题意 对于 D，设 f（f（x） ）0f（x）x1，f
22、（x）x2，又因为1( 2) = 2，所 以 f（x）x1无解，f（x）x2有两解， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 11 页（共 19 页） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 0 ，则 zx+3y 的最大值是 4 【解答】解：由 x，y 满足约束条件 0 + 2 0 ，作出可行域如图， 联立 = 0 + = 2，解得 A（1，1） ， 化目标函数 zx+3y 为 y= 3 + 3， 由图可知，当直线 yy= 3 + 3过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 1+3 14 故答案为：
23、4 14 （5 分）要从 5 件不同的礼物中选出 3 件分送 3 位同学，不同方法的种数是 60 【解答】解：由题意， 根据排列的定义，可知一共有5 3 =54360 种 故答案为：60 15 （5 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 sinC2sinA，且（ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，则 cosB 3 4 【解答】解：sinC2sinA，c2a， （ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，（ba） （b+a）= 1 2 ，即2 2= 1 2 ， 2 2= 1 2 2 = 2，b22a2， cosB= 2+22 2 = 2+42
24、22 22 = 3 4， 故答案为：3 4 16 （5 分）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的数学百草园 、 好玩的数学 、 故事中的数学等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱下面我们一起来看 第 12 页（共 19 页） 好玩的数学中谈老的一篇文章五分钟内挑出埃及分数 ：文章首先告诉我们，古埃 及人喜欢使用分子为 1 的分数 （称为埃及分数） 如用两个埃及分数1 3与 1 15的和表示 2 5等 从 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 100 ， 1 101这 100 个埃及分数中挑出不同的 3 个， 使得它们的和为 1， 这三个分数是 1 2， 1 3， 1 6 （按照从大
25、到小的顺序排列） 【解答】解：1 2 + 1 3 + 1 6 = 1， 这三个分数是：1 2 ， 1 3 ， 1 6， 故答案为：1 2 ， 1 3 ， 1 6 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）记等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a22，S33 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列3n2+an的前 n 项和 【解答】解： （1）记数列an的公比为 q， 则3= 1+ 2+ 3= 2 2 2 = 3， 故22q2q23q，则 2q2+5q+20， 解得 = 1 2或 q2，则 a14 或 a11， 故=
26、 4 ( 1 2) ;1或 = (2);1； （2）记 bn3n2，则 3n2+anbn+an， 数列bn的前 n 项和为(1:3;2) 2 = 32; 2 ， 当= 4 ( 1 2) ;1时，数列an的前 n 项和为41;(; 1 2) 1;(;1 2) = 8 3 1 ( 1 2) ， 当= (2);1时，数列an的前 n 项和为1;(;2) 1;(;2) = 1 3 1 (2)， 故数列3n2+an的前 n 项和为8 3 1 ( 1 2) + 32; 2 或1 3 1 (2) + 32; 2 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面ABC 是
27、正三 角形，ABAA13，AE= 1 3 ，1 = 1 3 11 （1）求证：A1E平面 BCF； 第 13 页（共 19 页） （2）求直线 AA1与平面 BCF 所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：在线段 BC 上取一点 G使 = 1 3连结 EGFG 在ABC 中因为 = 1 3 ， = 1 3 所以 = 2 3 ， = 2 3 所以 = = 2 3 所以，EGAC 且 = 2 3 因为1 = 1 3 11，11 所以1 = 2 3 11= 2 3且1 所以 EGA1F 且 EGA1F 故四边形 A1FGE 为平行四边形，所以 A1EFG 又 A1E平面 BCF，FG平面 BCF
28、所以 A1E平面 BCF （2）以 B 为坐标原点，Bx，BC，BB 所在直线分别为 x，y，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为底面ABC 是正三角形，ABAA13AE= 1 3 1 = 1 3 11 所以点(0.0.0)(0.3.0)( 3 2 ， 5 2 ，3) 则 = (0.3.0). = ( 3 2 ， 5 2 ，3) 设平面 BCF 的法向量为 =（x，y，z） 第 14 页（共 19 页） 由 = (，) (0，3，0) = 0 = (，) ( 3 2 ， 5 2 ，3) = 3 2 + 5 2 + 3 = 0 令 = 3得平面 BCF 的一个法向量为 = (6.0 3
29、) 又1 = (0，0，3) 设直线 AA1与平面 BCF 所成角的大小为 则 = | | | | = | (0，0，3)(6，0，3) 339 | = 13 13 所以直线 AA1与平面 BCF 所成角的正弦值为 13 13 19（12 分） 为了提高市民身体素质， 某市把 A， B， C， D 四个篮球馆全部转为免费民用（1） 在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从 A，B，C， D 四场馆的使用场数中依次抽取 a1，a2，a3，a4共 25 场，在 a1，a2，a3，a4中随机取两 数，求这两数和 的分布列和数学期望； （2） 设四个篮球馆一个月内各馆使用次数
30、之和为 x， 其相应维修费用为 y 元， 根据统计， 第 15 页（共 19 页） 得到如下表的 y 与 x 数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y 10000 11761 13010 13980 14771 15440 16020 = 0.1 4343+ 2 2.99 3.49 4.05 4.50 4.99 5.49 5.99 （i）用最小二乘法求 z 与 x 之间的回归直线方程； （ii） :40叫做篮球馆月惠值，根据（i）的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时 x 的值 参考数据和公式： = 4.5， 7 1 ( )2= 700， 7 1 ( ) ( ) =70， e3
31、20， = 7 =1 () () 7 =1 ()2 ， = 【解答】解： （1）根据题中所给的条形图，易知总场数为 100，所以抽样比为 25 100 = 1 4， 所以 a1，a2，a3，a4分别为 5，7，8，5， 所以这两数和 的所有可能的取值为 10，12，13，15， 且 P （10） = 1 4 2 = 1 6， P （12） = 2 4 2 = 1 3， P （13） = 2 4 2 = 1 3， P （15） = 1 4 2 = 1 6， 所以随机变量 的分布列为： 10 12 13 15 P 1 6 1 3 1 3 1 6 所以 E（）10 1 6 +12 1 3 +13 1
32、 3 +15 1 6 =12.5 （ 2 ） 因 为 7 1 ( )2= 700 ， 7 1 ( ) ( ) = 70 ， 所 以 = 7 =1 () () 7 =1 ()2 = 70 700 =0.1， = =4.50.1 =4.50.1252， 第 16 页（共 19 页） 所以 z 与 x 之间的回归直线方程为： =0.1x+2， （ii）因为 = 0.1 4343+ 2 =0.1x+2， 所以 y4343lnx， 设 g（x）= +40 = 4343 +40 ， 则 g（x）4340 1:40 ; (:40)2 ， 当 xe320 时，g（x）0， 所以当 x0，20时，g（x）0，g
33、（x）在0，20上单调递增， 当 x20，+）时，g（x）0，g（x）在20，+）上单调递减， 所以这四个篮球馆月惠值最大时 x 的值为 20 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（a0，b0）的长轴长为 4，离心率 e= 3 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A，B 分别为椭圆与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴的交点，P 是椭圆 C 上在第一象限 的一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，问PMN 与PAB 面积之 差是否为定值？说明理由 【解答】解： （1）由题意可得 2a4，e= = 3 2 ，b2a2c2，可得：a24，b2
34、1， 所以椭圆的方程为： 2 4 +x21； （2）由（1）可得 A（1，0） ，B（0，2） ，设 P（m，n） ，则 2 4 +m21， 直线 PA 的方程为：y= 1（x1） ，令 x0，则 yM= 1，所以|BM|= 1 2， 直线 PB 的方程为：y= 2 x+2，令 y0，可得 xN= 2 2，所以|AN|= 2 2 1 SPMNSPAB （SMPNSPAN） （SBANSPAN） SMANSBAN= 1 2|AN| （|OM|OB|） = 1 2|AN|BM|= 1 2（2 1） （1+ 2 2）= 1 2= 1 2 42:2:4;8;4:4 ;2:2 = 1 2 4(;2:2)
35、 ;2:2 =2 所以PMN 与PAB 面积之差为定值 2 第 17 页（共 19 页） 21 （12 分）设函数 f（x）alnx+x，g（x）ex+x （）讨论函数 f（x）的单调性； （）令 h（x）f（x）g（x） ，当 a2 时，证明 h（x）2ln24 【解答】解： （）alnx+x，x0， f（x）= + 1 = + ， 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增， 当 a0 时，令f（x）0 可得 xa， 当f（x）0 时，解得 xa， 令f（x）0 可得，0xa， 所以函数 f（x）在（a，+）上单调递增，在（0，a）上单调递减， （）h（x）f（x）g（
36、x）alnxex， 当 a2 时 h（x）2lnxex，h（x）= 2 ， 令 yh（x）= 2 ，则 = 2 2 0， 所以 h（x）在（0，+）上单调递减 取 x1= 1 2，x21，则( 1 2) = 4 0，h（1）2e0， 所以函数 h（x）存在唯一的零点0 (1 2，1)， 即(0) = 2 0 0=0， 所以当 x（0，x0） ，h（x）0，当 x（x0，+） ，h（x）0， 故函数 h（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+）单调递减， 所以当 xx0时，函数 h（x）取得极大值，也是最大值 h（x0）2lnx00， 第 18 页（共 19 页） 由 2 0 0= 0可得0=
37、 2 0， 两边同时取对数可得，x0ln2lnx0， 所以 lnx0ln2x0， 故 h（x0）2lnx00=2（ln2x0） 2 0 =2ln22（0+ 1 0） ， 由基本不等式可得0+ 1 0 20 1 0 =2，因为0 (1 2，1)， 所以0+ 1 0 2， 所以 h（x0）2ln22（0+ 1 0）2ln24， 又因为 h（x）h（x0） 即 h（x）2ln24， y= 1 2 = +8 2 所以当 a2 时，h（x）2ln24 成立 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2
38、 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2:|2的值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 4 + 2= 1， 转换为极坐标方程为 42sin2+2cos24即2= 4 32+1 （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ， 设 P（1，） ，则 Q（2， 2） ， 所以 |2|2 |2:|2 = 1 1 |2: 1 |2 = 1 1 12: 1 22 = 1 3 4 2:1 4: 3
39、 4 2:1 4 = 4 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知不等式|2x1|2 的解集与关于 x 的不等式x2px+q0 的解集相同 （1）求实数 p，q 值； （2）若实数 a，bR+，满足 a+bp+4q，求1 + 4 的最小值 第 19 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由不等式得22x12，解得 1 2 3 2， 依题意，不等式x2px+q0 的解集为( 1 2 ， 3 2)， 故 1 4 + 1 2 + = 0 9 4 3 2 + = 0 ，解得 = 1 = 3 4 ； （2）由（1）得， + = 1 + 4 3 4 = 2， 1 + 4 = 1 2 ( + )(1 + 4 ) = 1 2 (4 + + 5) 1 2 (24 + 5) = 9 2 ， 当 且 仅 当 “4 = ”时取等号， 1 + 4 的最小值为 9 2
