1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年广西省高考数学（文科）模拟试卷（年广西省高考数学（文科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A0，2，B1，0，2，则 AB（ ） A0 B1，2 C2，0 D2，1，0， 2 2 （5 分）若复数 z1与 z23i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1（ ） A3i B3+i C3+i D3i 3 （5 分）已知 cos（+ 3）= 3 3 （ 为锐角） ，则 sin（ ） A22:3 6 B22;3 6 C6:3 6 D3;6 6
2、4 （5 分）20102018 年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及 智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状 态根据该折线图，下列结论正确的个数为（ 每年市场规模量逐年增加；增长最快的一年为 20132014； 这 8 年的增长率约为 40%； 2014 年至 2018 年每年的市场规模相对于 2010 年至 2014 年每年的市场规模，数据方 差更小，变化比较平稳 A1 B2 C3 D4 5 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 3 2 + 3 ，则 zxy 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm（ ） 第 2 页（共
3、21 页） A0 B3 2 C3 D3 6 （5 分）过点（2，3）的直线将圆（x3）2+y225 分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣 弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为（ ） A3 B3 C 3 3 D 3 3 7 （5 分）已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，其一条渐近线与直线 x+2y+1 0 平行，则双曲线 C 的离心率 e（ ） A2 B 5 2 C5 D 5 2 或5 8 （5 分）长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，AB2，E 为 A1B1中点，则异面直 线 AD1与 BE 所成角为（ ） A30 B45 C60 D90 9 （5 分）已知函数 f（x）a
4、x+x2+2lnx 存在极值，若这些极值的和大于7，则实数 a 的 取值范围为（ ） A(25， 4) B （，4）（4，+） C(25， 4) (4，25) D （，4） 10（5 分） 已知 F 是抛物线 C： y28x 的焦点， M 是 C 上一点， MF 的延长线交 y 轴于点 N 若 = 2 ，则|MF|的值为（ ） A8 B6 C4 D2 11（5 分） 在四个函数 ysin|x|， ycos|x|， y|cotx|， ylg|sinx|中以 为周期、 在 （0， 2） 上单调 递增的偶函数是（ ） Aysin|x| Bycos|x| Cy|cotx| Dylg|sinx| 12（
5、5分） 已知定义在R上的奇函数f （x） ， 其导函数f （x） ， 当x0时， 恒有 3 () + ()0， 则不等式 x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为（ ） Ax|3x1 B*| 1 1 3+ Cx|x3 或 x1 Dx|x1 或 1 3+ 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 = (1，m） ， = (3，2） ， ，则 m ； 第 3 页（共 21 页） 14（5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 = 3， a2， b= 3， 则ABC 的面
6、积为 15 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图的虚线为半圆弧，则该几何体的 体积为 16 （5 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验 和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 200 名 同学，每人随机写下一个都小于 1 的正实数对（x，y） ；再统计两数能与 1 构成钝角三角 形三边的数对（x，y）的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计 的值假如统计结果是 m60，那么可以估计 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）人们随着生活水平的提
7、高，健康意识逐步加强，健身开始走进人们生活，在健 身方面投入越来越多，为了调查参与健身的年轻人一年健身的花费情况，研究人员在 M 地区随机抽取了参加健身的青年男性、女性各 50 名，将其花费统计情况如表所示： 表（1） 分组（花费） 频数 0，800） 6 800，1600） 22 1600，2400） 25 2400，3200） 35 3200，4000） 8 4000，4800 4 表（2） 第 4 页（共 21 页） 男性 女性 健身花费不超过 2400 元 23 健身花费超过 2400 元 20 （）根据表中的数据情况，判断是否有 99%的把握认为健身的花费超过 2400 元与性别 有
8、关； （）以上述频率估计概率 （i）若从 M 地所有健身者中随机抽取一男一女，若他们的健身花费相互独立，求这两人 健身花费都超过 2400 元的概率； （ii）若在 M 地的健身人群中随机抽取 4 名健身女性，记健身花费不超过 2400 元的人数 为 X，求 X 的分布列以及期望 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 18 （12 分）已知数列an满足，a11，a24 且 an+24an+1+3an0（nN*） （）求证：数列an+1an为等比数列，
9、并求出数列an的通项公式； （）设 bn2nan，求数列bn的前 n 项和 Sn 19 （12 分）如图，在直平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，ACAB （1）求证：CA平面 AA1B1B； （2）若 C1D 与 B1C 所成角为 6，AB4，AC3，求棱柱 ABCDA1B1C1D1 的表面积 20 （12 分）已知函数() = ，() = +1 (0) （）当 a1 时，求曲线 y= () 在 x1 处的切线方程； 第 5 页（共 21 页） （）讨论函数 F（x）= () 1 ()在（0，十）上的单调性 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(2，2)
10、，左焦点 F（2，0） （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 F 作于 x 轴不重合的直线 l，l 与椭圆交于 A，B 两点，点 A 在直线 x4 上 的投影N 与点B 的连线交x 轴于 D点， D 点的横坐标x0是否为定值？若是， 请求出定值； 若不是，请说明理由 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此 表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡 尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴
11、为极轴建立极坐标系 图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin（02，0） ，M 为 该曲线上的任意一点 （1）当|OM|= 3 2时，求 M 点的极坐标； （2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 2与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a，b，c 为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc| （1）若 abc1，求函数 f（x）的最小值； （2）若 f（0）1 且 a，b，c 不全相等，求证：b3c+c3a+a3babc 第 6 页（共 21 页） 2020 年广西省高考数学（文科）模拟试卷（年广西省高考数学（文科）
12、模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A0，2，B1，0，2，则 AB（ ） A0 B1，2 C2，0 D2，1，0， 2 【解答】解：A0，2，B1，0，2， AB2，1，0，2 故选：D 2 （5 分）若复数 z1与 z23i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1（ ） A3i B3+i C3+i D3i 【解答】 解： 复数 z1与 z23i （i 为虚数单位） 在复平面内对应的点关于实轴对称， 复数 z1与 z23i（i 为虚数单位）
13、的实部相等，虚部互为相反数， 则 z13+i 故选：B 3 （5 分）已知 cos（+ 3）= 3 3 （ 为锐角） ，则 sin（ ） A22:3 6 B22;3 6 C6:3 6 D3;6 6 【解答】解：cos（+ 3）= 3 3 （ 为锐角） ， ( + 1 3 ) = 6 3 ， 则 sinsin（ + 1 3 ） 1 3 = 1 2 ( + 1 3) 3 2 ( + 1 3)， = 1 2 6 3 3 2 ( 3 3 )， = 3+6 6 故选：C 4 （5 分）20102018 年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及 智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联
14、网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状 态根据该折线图，下列结论正确的个数为（ 第 7 页（共 21 页） 每年市场规模量逐年增加；增长最快的一年为 20132014； 这 8 年的增长率约为 40%； 2014 年至 2018 年每年的市场规模相对于 2010 年至 2014 年每年的市场规模，数据方 差更小，变化比较平稳 A1 B2 C3 D4 【解答】解：对于，除 2012 年外，每年市场规模量逐年增加，即错误， 对于，增长最快的一年为 20132014，且增量为 6.7（十亿美元） ，即正确， 对于，这 8 年的增长率约为 40%，因为 45.3（1+40%）63.4263.5，即正确，
15、 对于，分析数据可得：2014 年至 2018 年每年的市场规模相对于 2010 年至 2014 年每 年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，即正确， 即正确， 故选：C 5 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 3 2 + 3 ，则 zxy 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm（ ） A0 B3 2 C3 D3 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：由题意作平面区域如下， zxy 可化为 yxz， 结合图象可知， + 2 = 3 2 + = 3 = 1 = 1 过点 B（1，1）时，截距最小，z 有最大值 M110， 过点 C（0，3）时，截距最大，z 有最小值 m033，
16、 故 Mm3， 故选：D 6 （5 分）过点（2，3）的直线将圆（x3）2+y225 分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣 弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为（ ） A3 B3 C 3 3 D 3 3 【解答】解：如图所示， 设圆心 C（3，0） ， （2，3）则当 CPl 时，劣弧所对的圆心角最小 kPC= 3 32 = 3，kCPkl1， kl= 3 3 直线的斜率为 3 3 故选：D 第 9 页（共 21 页） 7 （5 分）已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，其一条渐近线与直线 x+2y+1 0 平行，则双曲线 C 的离心率 e（ ） A2 B 5 2 C5 D 5 2 或5
17、【解答】解：根据渐近线与直线 x+2y+10 平行可得渐近线方程为 y1 2 ， 当双曲线的焦点在 x 轴上时， = 2;2 =2 1 = 1 2，解得 e= 5 2 ， 同理，当焦点在 y 轴上时， = 2;2 = 1 2;1 = 1 2，解得 e= 5， 故选：D 8 （5 分）长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，AB2，E 为 A1B1中点，则异面直 线 AD1与 BE 所成角为（ ） A30 B45 C60 D90 【解答】解：长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，AB2，E 为 A1B1中点， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z
18、 轴，建立空间直角坐标系， A（1，0，0） ，D1（0，0，1） ，E（1，1，1） ，B（1，2，0） ， 1 =（1，0，1） ， =（0，1，1） ， 设异面直线 AD1与 BE 所成角为 ， 则 cos= |1 | |1 | | = 1 22 = 1 2， 60， 异面直线 AD1与 BE 所成角为 60 故选：C 第 10 页（共 21 页） 9 （5 分）已知函数 f（x）ax+x2+2lnx 存在极值，若这些极值的和大于7，则实数 a 的 取值范围为（ ） A(25， 4) B （，4）（4，+） C(25， 4) (4，25) D （，4） 【解答】解：f（x）ax+x2+2
19、lnx，x（0，+） ， f（x）a+2x+ 2 = 22+2 ， 函数 f（x）存在极值，方程 2x2+ax20 在（0，+）上有两个不等的根，设为 x1， x2， = 2 160 1+ 2= 2 0 1 2= 10 ，解得：a4， f（x1） ，f（x2）是函数 f（x）的两个极值， f（x1）+f（x2）7， (1+ 2) + (12+ 22) + 2(1+ 2)7， (1+ 2) + (1+ 2)22x1x2+2ln（x1x2）7， 2 2 + 2 4 27，解得25a25， 又a4， 25a4， 故选：A 10（5 分） 已知 F 是抛物线 C： y28x 的焦点， M 是 C 上一
20、点， MF 的延长线交 y 轴于点 N 若 = 2 ，则|MF|的值为（ ） A8 B6 C4 D2 第 11 页（共 21 页） 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点 F（2，0） ，准线方程为：x2， 作 MA 垂直于 y 轴交于 A，因为 = 2 ，所以可得 F 为线段 MN 的三等分点，即 NF= 1 3MN， 由NFONMA，所以 OF= 1 3 ，即 MA3OF326， 所以|MF|6+28， 故选：A 11（5 分） 在四个函数 ysin|x|， ycos|x|， y|cotx|， ylg|sinx|中以 为周期、 在 （0， 2） 上单调 递增的偶函数是（ ） Aysin|x|
21、Bycos|x| Cy|cotx| Dylg|sinx| 【解答】解：函数 ysin|x|，ycos|x|，y|ctgx|，ylg|sinx|都是偶函数， 函数 ysin|x|不是周期函数，不满足题意； 函数 ycos|x|，是周期函数但是周期是 2，不满足题意； 函数 y|cotx|周期为 ，但是函数在（0， 2）上单调递减函数，不满足题意； 函数 ylg|sinx|是以 为周期、在（0， 2）上单调递增的偶函数，满足题意，正确 故选：D 12（5分） 已知定义在R上的奇函数f （x） ， 其导函数f （x） ， 当x0时， 恒有 3 () + ()0， 则不等式 x3f（x）（1+2x）3
22、f（1+2x）0 的解集为（ ） Ax|3x1 B*| 1 1 3+ Cx|x3 或 x1 Dx|x1 或 1 3+ 【解答】解：根据题意，不妨设 g（x）x3f（x） ， 则当 x0 时，() = 32,() + 3 ()- 0， 第 12 页（共 21 页） 则 g（x）在（0，+）上单调递增， 又 g（x）x3f（x）为偶函数， 则 g（x）g（|x|） ， x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0x3f（x）（1+2x）3f（1+2x） ，即 g（x）g（1+2x） ， 可知 g（|x|）g（|1+2x|） ， 则|x|1+2x|，解得：x1 或 x 1 3， 所以不等式 x3f（x
23、）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为：*| 1或 1 3+， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 = (1，m） ， = (3，2） ， ，则 m 3 2 ； 【解答】解： = (1，m） ， = (3，2） ， ， =32m0， 解得 m= 3 2 故答案为：3 2 14（5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 = 3， a2， b= 3， 则ABC 的面积为 3 2 【解答】解：由余弦定理可得，1 2 = 4:2;3 4 ， 解可得，c1， 所以AB
24、C 的面积 S= 1 2 = 1 2 2 1 3 2 = 3 2 故答案为： 3 2 15 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图的虚线为半圆弧，则该几何体的 体积为 64;8 3 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：由题意可知几何体是一个底面是边长为 4 的正方形的四棱锥挖去一个底面 半径为 2 的半圆锥， 棱锥与半圆锥的高均为 4，如图： 故几何体的体积为：1 3 42 4 1 3 22 4 1 2 = 64;8 3 故答案为：64;8 3 16 （5 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验 和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的
25、实验来估计 的值：先请 200 名 同学，每人随机写下一个都小于 1 的正实数对（x，y） ；再统计两数能与 1 构成钝角三角 形三边的数对（x，y）的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计 的值假如统计结果是 m60，那么可以估计 16 5 （或写成 3.2） 【解答】解：根据题意，200 对都小于 l 的正实数对（x，y） ，即01 01， ，对应区域为边长为 1 的正方形，其面积为 1， 若两个正实数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边，则根据勾股定理 x2+y21， 根据两边之和大于第三边 x+y1， 第 14 页（共 21 页） 结合01 01， 其面积 S= 4 1 2； 则 6
26、0 200 = 4 1 2，变形可得 = 16 5 ； 故答案为：16 5 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）人们随着生活水平的提高，健康意识逐步加强，健身开始走进人们生活，在健 身方面投入越来越多，为了调查参与健身的年轻人一年健身的花费情况，研究人员在 M 地区随机抽取了参加健身的青年男性、女性各 50 名，将其花费统计情况如表所示： 表（1） 分组（花费） 频数 0，800） 6 800，1600） 22 1600，2400） 25 2400，3200） 35 3200，4000） 8 4000，4800 4
27、表（2） 男性 女性 第 15 页（共 21 页） 健身花费不超过 2400 元 23 健身花费超过 2400 元 20 （）根据表中的数据情况，判断是否有 99%的把握认为健身的花费超过 2400 元与性别 有关； （）以上述频率估计概率 （i）若从 M 地所有健身者中随机抽取一男一女，若他们的健身花费相互独立，求这两人 健身花费都超过 2400 元的概率； （ii）若在 M 地的健身人群中随机抽取 4 名健身女性，记健身花费不超过 2400 元的人数 为 X，求 X 的分布列以及期望 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0
28、.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （）2= 100(23202730)2 53475050 1.9676.635， 故没有 99%的把握认为健身的花费超过 2400 元与性别有关 （）由表可知，抽到女性健身花费超过 2400 元的概率为20 50 = 2 5，男性健身花费超过 2400 元的概率为27 50 （i）由独立事件的概率可知，这两人健身花费都超过 2400 元的概率为2 5 27 50 = 27 125； （ii）由对立事件的概率可知，女性健身花费不超过 2400 元的概率为 1 2 5 = 3 5 随机变量 X 可能的取值为
29、 0，1，2，3，4， ( = 0) = 4 0(2 5) 4 = 16 625， ( = 1) = 4 1 3 5 (2 5) 3 = 96 625， ( = 2) = 4 2 (3 5) 2 (2 5) 2 = 216 625， ( = 3) = 4 3 (3 5) 3 2 5 = 216 625， ( = 4) = 4 4 (3 5) 4 = 81 625 其分布列为： 第 16 页（共 21 页） X 0 1 2 3 4 P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 所以期望() = 0 16 625 + 1 96 625 + 2 216 625 + 3
30、 216 625 + 4 81 625 = 12 5 18 （12 分）已知数列an满足，a11，a24 且 an+24an+1+3an0（nN*） （）求证：数列an+1an为等比数列，并求出数列an的通项公式； （）设 bn2nan，求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】 （）证明：依题意，由 an+24an+1+3an0，可得 an+24an+13an，则 an+2an+13an+13an3（an+1an） a2a1413， 数列an+1an是以 3 为首项，3 为公比的等比数列 an+1an33n 13n，nN* 由上式可得，a2a131， a3a232， anan13n 1， 各项
31、相加，可得： ana131+32+3n 1=313 13 = 1 23 n3 2， an= 1 23 n3 2 +a1= 1 23 n3 2 +1= 1 2 （3 n1） ，nN* （）由（）知，bn2nan2n1 2 （3 n1）n3nn 构造数列cn：令 cnn3n 设数列cn的前 n 项和为 Tn，则 Tnc1+c2+c3+cn131+232+333+n3n， 3Tn132+233+（n1） 3n+n3n， 两式相减，可得： 2Tn31+32+33+3nn3n= 33+1 13 n3n= 23 2 3n 3 2， 第 17 页（共 21 页） Tn= 23 4 3n+ 3 4 故 Snb
32、1+b2+bn （c11）+（c22）+（cnn） （c1+c2+cn）（1+2+n） Tn (+1) 2 = 23 4 3n+ 3 4 1 2n 21 2n 19 （12 分）如图，在直平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，ACAB （1）求证：CA平面 AA1B1B； （2）若 C1D 与 B1C 所成角为 6，AB4，AC3，求棱柱 ABCDA1B1C1D1 的表面积 【解答】解： （1）证明：由直平行六面体 ABCDA1B1C1D1，可得：A1A平面 ABCD， A1AAC， 又 ACAB，ABA1AA CA平面 AA1B1B （2）建立如图所示的空间直角坐标系设 A1At0 A（0
33、，0，0） ，C（0，3，0） ，B1（4，0，t） ，D（4，3，0） ，C1（0，3，t） ， 1 =（4，3，t） ，1 =（4，0，t） C1D 与 B1C 所成角为 6， cos 6 = |16:2| 42:(;3)2:242:0:2，化为：t 4+5t21760 解得 t= 11 棱柱 ABCDA1B1C1D1的表面积2（45+411 +511）40+1811 第 18 页（共 21 页） 20 （12 分）已知函数() = ，() = +1 (0) （）当 a1 时，求曲线 y= () 在 x1 处的切线方程； （）讨论函数 F（x）= () 1 ()在（0，十）上的单调性 【解
34、答】解： （）当 a1 时，曲线 = () () = +1 = (1+)(+1) (+1)2 = +1 (+1)2 x1 时，切线的斜率为1 2，又切线过点（1，0） 所以切线方程为 x2y10， （ ） () = 1 ，( 1 () = 1 (+1)2 ， () = () ( 1 () = 1 1 (+1)2 = (+1)2 (+1)2 ， 当 a0 时，F（x）0，函数 F（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，令() = 1 2 + (2 1) + 1 ，= 1 4 ， 当0 时，即 0a4，k（x）0，此时 F（x）0，函数 F（x）在（0，+）上单 调递增； 当0 时，即 a4
35、，方程1 2+ (2 1) + 1 = 0有两个不等实根 x1x2， 所以 0x11x2，(1= 224 2 ，2= 2+24 2 ) 此时，函数 F（x）在（0，x1） ， （x2，+）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减 综上所述，当 a0 时，F（x）的单减区间是（0，+） ； 第 19 页（共 21 页） 当 a4 时，F（x）的单减区间是(2 24 2 ， 2+24 2 )，单增区间是 (0， 224 2 )，(2+ 24 2 ，+ ) 当 0a4 时，F（x）单增区间是（0，+） 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(2，2)，左焦点 F（2，0
36、） （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 F 作于 x 轴不重合的直线 l，l 与椭圆交于 A，B 两点，点 A 在直线 x4 上 的投影N 与点B 的连线交x 轴于 D点， D 点的横坐标x0是否为定值？若是， 请求出定值； 若不是，请说明理由 【解答】解： （）椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(2，2)，左焦点 F（2，0） ， 可得 c2，2a=42+ (2)2+0 + (2)2=42，即 a22，b= 2 2=2， 可得椭圆的方程为 2 8 + 2 4 =1； （）D 点的横坐标为定值3理由如下： 直线 l 的斜率不为 0，设 AB：xmy2，联立椭圆方程 x2+2y
37、28，可得（2+m2）y24my 40， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，y1，y20，y1+y2= 4 2+2，y1y2= 4 2+2，两式相除可得 1:2 12 = m， 由 N（4，y1） ，可设 BN 的方程为 yy1= 21 2+4 （x+4） ， 令 y0，可得 x0= 1241 21 4= 1242 21 = 1(22)42 21 = 12+2142 21 = 1+2+2142 21 = 3132 21 = 3 则 D 点的横坐标为定值3 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在新中国成立 7
38、0 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此 表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡 尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin（02，0） ，M 为 该曲线上的任意一点 第 20 页（共 21 页） （1）当|OM|= 3 2时，求 M 点的极坐标； （2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 2与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值 【解答】解： （1）设点 M 在极坐标系中的坐标(3 2，)， 由 1sin，得3 2 = 1 ， = 1 2，
39、02， = 7 6 或 = 11 6 所以点 M 的极坐标为(3 2， 7 6 )或(3 2， 11 6 ) （1）由题意可设 M（1，） ，(2， 2 + ) 由 1sin，得 11sin，2= 1 ( 2 + ) = 1 | = 1 2 + 2 2 = (1 )2+ (1 )2= 3 2( + ) = 3 22( + 4) 故 = 5 4 时，|MN|的最大值为2 + 1 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a，b，c 为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc| （1）若 abc1，求函数 f（x）的最小值； （2）若 f（0）1 且 a，b，c 不全相等，求证：b
40、3c+c3a+a3babc 【解答】解： （1）因为 abc1， 所以 f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|2|x+1|+|x1|， 法 1：由上可得：() = 3 1， 1， + 3， 11， 3 + 1， 1. 第 21 页（共 21 页） 所以，当 x1 时，函数 f（x）的最小值为 2； 法 2：f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|x+1|+|x+1|+|x1|x+1|+|x+1x+1|2+|x+1|2， 当且仅当( + 1)( 1) 0 + 1 = 0 ，即 x1 时取得最小值 2； 证明（2） ：因为 a，b，c 为正数，所以要证3 + 3 + 3， 即证明 2 + 2 + 2 1就行了， 法1：因为 2 + 2 + 2 + + + = 2 + + 2 + + 2 + 2 2+ 2 2+ 2 2= 2 （a+b+c） ，当且仅当 abc 时取等号 又因为 f（0）1 即 a+b+c1 且 a，b，c 不全相等， 所以 2 + 2 + 2 1， 即3 + 3 + 3， 法 2：因为（a+b+c） （ 2 + 2 + 2 ）1，当且仅当 = = 取等号， 又因为 f（0）1 即 a+b+c1 且 a，b，c 不全相等， 所以 2 + 2 + 2 1， 即3 + 3 + 3
