2020年河北省高考数学（理科）模拟试卷（3）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年河北省高考数学（理科）模拟试卷（年河北省高考数学（理科）模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 2 （5 分）已知复数 z= 2 (1)3，则在复平面内对应点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）过双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点 F 作其实轴的垂线 l，若 l 与 双曲线 C 及其渐近线

2、在第一象限分别交于点 A，B，且 =2 ，则该双曲线的离心率为 （ ） A23 3 B25 5 C3 D 5 2 4 （5 分）在中国足球超级联赛某一季的收官阶段中，广州恒大淘宝、北京中赫国安、上海 上港、 山东鲁能泰山分别积分 59 分、 58 分、 56 分、 50 分， 四家俱乐部都有机会夺冠 A， B，C 三个球迷依据四支球队之前比赛中的表现，结合自已的判断，对本次联赛的冠军进 行如下猜测： A 猜测冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山； B 猜测冠军一定不是上海上港 和山东鲁能泰山； C 猜测冠军是广州恒大淘宝或北京中赫国安 联赛结束后， 发现 A， B， C 三人中只有一人的猜测是正确

3、的，则冠军是（ ） A广州恒大淘宝 B北京中赫国安 C上海上港 D山东鲁能泰山 5 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a42a3，a11，则 S4（ ） A31 B15 C8 D7 6 （5 分）小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖假设小王和外卖小哥都在 12： 0012：10 之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过 5 分钟的概率是（ ） A1 2 B4 5 C3 4 D3 8 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的

4、 a，b 分别为 3，1，则输出的 n 等于（ ） 第 2 页（共 21 页） A5 B4 C3 D2 8 （5 分）在ABC 中，M 是ABC 内一点，且满足 + + =0，E 为 AM 上一点， 满足 = 3 4 ，则 =（ ） A3 4 1 4 B1 4 3 4 C3 4 + 1 4 D1 4 + 3 4 9 （5 分）某商家准备在 2020 年春节来临前连续 2 次对某一商品销售价格进行提价且每次 提价 10%，然后在春节活动期间连续 2 次对该商品进行降价且每次降价 10%，则该商品 的最终售价与原来价格相比（ ） A略有降低 B略有提高 C相等 D无法确定 10 （5 分）对于函数

5、 f（x）（|x2|+1）4，给出如下三个命题：f（x+2）是偶函数； f（x）在区间（，2）上是减函数，在区间（2，+）上是增函数；f（x）没有 最小值其中正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D0 11 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上一 点，直线 F2M 垂直于 OP 且交线段 F1P 于点 M，|F1M|2|MP|，则该椭圆的离心率的取 值范围是（ ） 第 3 页（共 21 页） A(0， 1 2) B(0， 2 2 ) C(0， 3 2 ) D(1 2，1) 12 （5 分）已知奇函数 f（x）在 x0 时，() =

6、 1 3 3 ，f（x）在2， 1 2上的值域为 （ ） A 2 3 ，0 B0， 2 3 C 2 3 ， 2 3 D 11 24 ， 2 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若曲线 f（x）4lnxx2在点（1，1）处的切线方程为 14 （5 分）设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前 n 项和已知 S1，S2，S4成等比数 列，且 a35，则数列an的通项公式为 15 （5 分）某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不 同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均

7、能从事这四项 工作，则不同的选派方案共有 种 16 （5 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为43，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表面积是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 + 2 = （1）若 b2ac，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）若 = 6，求ABC 周长 l 的取值范围 18 （12 分）如图，三棱锥 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，CBD90，E，F 分别 是 BD，CD 的中点，且 ABBEAEBC （）证明

8、：ACAD； （）求 AF 与平面 ACE 所成角的余弦值 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）已知动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直线 = 1 2相切，记动圆圆 心 E 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 Q（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 P 使得APB 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 20 （12 分）已知函数() = 1 2 2 (2 + 1) + 2( ) （）求 f（x）的单调区间； （）设 g（x）（x2+x+1）ex 1，若对任意 x 1（0，2，均存在 x2（0，2使得 f

9、（x1）g（x2）1，求 a 的取值范围 21 （12 分）某种规格的矩形瓷砖（600mm600mm）根据长期检测结果，各厂生产的每片 瓷砖质量 x（kg）都服从正态分布 N（，2） ，并把质量在（3，+3）之外的瓷 砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品 （1） 从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查， 求至少有 1 片是废品的概率； （2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分 别为 a（mm） 、b（mm） ，则“尺寸误差” （mm）为|a600|+|b600|，按行业生产标准， 其中“优等” 、 “一级” “合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别

10、是0，0.2、 （0.2，0.5， （0.5， 1.0 （正品瓷砖中没有 “尺寸误差” 大于 1.0mm 的瓷砖） ， 每片价格分别为 7.5 元、 6.5 元、 5.0 元， 现分别从甲、 乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖， 相应的 “尺 寸误差” 组成的样本数据如下， 用这个样本的频率分布估计总体分布， 将频率视为概率 尺寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表） 第 5 页（共 21 页） （i）记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 （元） ，求 的分布列 （ii）

11、由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等” 、 “一级”两种，求 5 片该规 格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（，2） ， 则 P（3Z+3）0.9974；0.9974100.9743，0.840.4096，0.850.32768 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨

12、迹为曲线 C1 （）求出曲线 C1的普通方程； （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|x+2|+|x3| （）求不等式 f（x）9 的解集； （）若关于 x 的不等式 f（x）|3m2|有解，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2020 年河北省高考数学（理科）模拟试卷（年河北省高考数学（理科）模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12

13、 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）已知复数 z= 2 (1)3，则在复平面内对应点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：z= 2 (1)3 = 2 (1)2(1) = 2 (1)2 = 1 1 = 1+ (1)(1+) = 1 2 1 2i； = 1 2 + 1 2i； 在复平面内对应点所在象限为第二象限； 故

14、选：B 3 （5 分）过双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点 F 作其实轴的垂线 l，若 l 与 双曲线 C 及其渐近线在第一象限分别交于点 A，B，且 =2 ，则该双曲线的离心率为 （ ） A23 3 B25 5 C3 D 5 2 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的渐近线方程为 y x， 由 2 2 2 2 = 1 = ，解得 A（c， 2 ） ， 由 = = ，解得 B（c， ） ， F（c，0） ， =2 ， （0， ）2（0， 2 ） ， 第 7 页（共 21 页） = 22 ， c2b， a= 2 2=2 1 4 2 = 3 2 c，

15、e= = 23 3 ， 故选：A 4 （5 分）在中国足球超级联赛某一季的收官阶段中，广州恒大淘宝、北京中赫国安、上海 上港、 山东鲁能泰山分别积分 59 分、 58 分、 56 分、 50 分， 四家俱乐部都有机会夺冠 A， B，C 三个球迷依据四支球队之前比赛中的表现，结合自已的判断，对本次联赛的冠军进 行如下猜测： A 猜测冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山； B 猜测冠军一定不是上海上港 和山东鲁能泰山； C 猜测冠军是广州恒大淘宝或北京中赫国安 联赛结束后， 发现 A， B， C 三人中只有一人的猜测是正确的，则冠军是（ ） A广州恒大淘宝 B北京中赫国安 C上海上港 D山东鲁能泰山

16、【解答】解：当 A 猜测正确时：冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山，又因为 B 猜测 错误， 所以冠军是上海上港或山东鲁能泰山， 故冠军是山东鲁能泰山， 这时 C 猜测错误， 符合三人中只有一人的猜测是正确的要求，所以冠军是山东鲁能泰山； 当 B 猜测正确时：则 A 猜测错误，所以冠军是北京中赫国安，此时 C 猜测正确，不符 合三人中只有一人的猜测是正确的要求，舍去； 当 C 猜测正确时：则 A 猜测错误，所以冠军是广州恒大淘宝，此时 B 猜测正确，不符 合三人中只有一人的猜测是正确的要求，舍去； 故选：D 5 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a42a3，a11，则 S4（ ）

17、 A31 B15 C8 D7 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，a42a3，a11， q32q2， 解得 q2， S4= 124 12 =15 故选：B 第 8 页（共 21 页） 6 （5 分）小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖假设小王和外卖小哥都在 12： 0012：10 之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过 5 分钟的概率是（ ） A1 2 B4 5 C3 4 D3 8 【解答】解：设小王和外卖小哥分别到达小王楼下的时间为 12 点 x 分，12 点 y 分， 则0 10 0 10，其区域是以 10 为边长的正方形，面积 1010100

18、， 小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过 5 分钟即 0yx5，其边上区域为如图所示阴 影部分 其面积为1 2（10055）= 75 2 ， 故所求概率 P= 75 2100 = 3 8 故选：D 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的 a，b 分别为 3，1，则输出的 n 等于（ ） 第 9 页（共 21 页） A5 B4 C3 D2 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a3，b1 n1 a= 9 2，b2 不满足条件 ab，执行循环体，n2，a= 27 4 ，b4 不

19、满足条件 ab，执行循环体，n3，a= 81 8 ，b8 不满足条件 ab，执行循环体，n4，a= 243 16 ，b16 此时，满足条件 ab，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：B 8 （5 分）在ABC 中，M 是ABC 内一点，且满足 + + =0，E 为 AM 上一点， 满足 = 3 4 ，则 =（ ） A3 4 1 4 B1 4 3 4 C3 4 + 1 4 D1 4 + 3 4 【解答】解：M 是ABC 内一点，且满足 + + = 0 ， M 为ABC 的重心， 且 = 3 4 ， 如图， 设 BC 的中点为 D， 则： = 2 3 = 1 3( + 第 10 页（共 21 页

20、） )， 同理， = 1 3 ( + ) = 1 3 ( + ) = 2 3 + 1 3 ，且 = 1 4 = 1 12 1 12 ， = + = 2 3 + 1 3 1 12 1 12 = 3 4 + 1 4 故选：C 9 （5 分）某商家准备在 2020 年春节来临前连续 2 次对某一商品销售价格进行提价且每次 提价 10%，然后在春节活动期间连续 2 次对该商品进行降价且每次降价 10%，则该商品 的最终售价与原来价格相比（ ） A略有降低 B略有提高 C相等 D无法确定 【解答】解：设原来的价格为 a， 该商品的最终售价 ya（1+10%） （1+10%） （110%） （110%）0

21、.9801a 该商品的最终售价与原来价格相比略有降低 故选：A 10 （5 分）对于函数 f（x）（|x2|+1）4，给出如下三个命题：f（x+2）是偶函数； f（x）在区间（，2）上是减函数，在区间（2，+）上是增函数；f（x）没有 最小值其中正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D0 【解答】解：函数 f（x）（|x2|+1）4， 设 g（x）f（x+2）（|x|+1）4，g（x）g（x） ，可得 g（x）是偶函数，故正确； x2 时，f（x）（x1）4的导数为 f（x）4（x1）30； x2 时，f（x）（3x）4递，导数为 f（x）4（x3）30， 可得 f（x）在区间（，2）上是减函

22、数，在区间（2，+）上是增函数，故正确； 由可得 f（x）在 x2 处取得最小值 1，故错误 故选：B 第 11 页（共 21 页） 11 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上一 点，直线 F2M 垂直于 OP 且交线段 F1P 于点 M，|F1M|2|MP|，则该椭圆的离心率的取 值范围是（ ） A(0， 1 2) B(0， 2 2 ) C(0， 3 2 ) D(1 2，1) 【解答】解：设 P（m，n） ，|m|a， 又 F1（c，0） ，F2（c，0） ，|F1M|2|MP|， 1 =（xM+c，yM） ， =（mxM，ny

23、M） ， 1 =2 ， M（2 3 ，2 3 ） ， 2 =（24 3 ，2 3 ） ， 又 =（m，n） ，OPF2M 2 =0，24 3 m+ 2 3 n0， 化为 n2m（2cm） ， 由 P 在椭圆上，可得：n2b2（1 2 2 ） ， 可得 m（2cm）b2（1 2 2 ） ， 化为 2 2m 22mc+a2c20， 解得 m= 2 a，或 m= 2 +a， （舍去） ， 由 2 aa，可得 2ca， 即有 e= 1 2，又 0e1， 第 12 页（共 21 页） 1 2 e1 故选：D 12 （5 分）已知奇函数 f（x）在 x0 时，() = 1 3 3 ，f（x）在2， 1 2

24、上的值域为 （ ） A 2 3 ，0 B0， 2 3 C 2 3 ， 2 3 D 11 24 ， 2 3 【解答】解：当 x 1 2，2时，() = 1 3 3 ， f（x）x21 当 x1，2时，f（x）0，f（x）在1，2单调递增；当 x 1 2，1时，f（x）0， f（x）在1 2 ，1上单调递减 当 x1 时，函数有最小值 f（1）= 2 3，而 f（ 1 2）f（2）= 2 3 2 3 2 3 函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称 f（x）在2， 1 2上的值域为 2 3 ， 2 3 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分

25、）分） 13 （5 分）若曲线 f（x）4lnxx2在点（1，1）处的切线方程为 y2x3 【解答】解：对函数 f（x）4lnxx2求导得() = 4 2 因为点（1，1）在曲线上，所以 kf（1）2 由点斜式可得切线方程为 y2x3， 故答案为：y2x3 第 13 页（共 21 页） 14 （5 分）设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前 n 项和已知 S1，S2，S4成等比数 列，且 a35，则数列an的通项公式为 an2n1 【解答】解：设等差数列an的公差为 d（d0） ，则 S152d，S2103d，S420 2d， 因为2 2 = 1 4，所以（103d）2（52d） （202d

26、） ，整理得 5d210d0， d0， d2， ana3+（n3）d5+2（n3）2n1 故答案为：an2n1 15 （5 分）某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不 同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项 工作，则不同的选派方案共有 78 种 【解答】解：根据题意，分 3 种情况讨论： ，从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有 3 种安排方法，剩下三人全排 列即可得，此时有 3A3318 种选派方法； ，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有 3 种安排方法，剩下三人全排 列即可得，此时有 3A3318 种选

27、派方法； ，从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙， 需要在剩下 3 人中选出 2 人，有 C32种选法，选出 4 人的安排方法有 A33+22A22种， 则此时有 C32（A33+22A22）42 种选派方法； 故一共有 18+18+4278 种选派方法； 故答案为：78 16 （5 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为43，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表面积是 64 【解答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心 O，外接圆的半径 r， 正三棱锥的外接球的球心在高 SO所在的直线上，设为 O， 连接 OA 得：r= 6 3 ， 所以 r23，

28、即 OA23， 第 14 页（共 21 页） 所以三棱锥的高 h= 2 2=(43)2 (23)2=6， 由勾股定理得，R2r2+（Rh）2，解得：R4， 所以外接球的表面积 S4R264 故答案为：64 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 + 2 = （1）若 b2ac，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）若 = 6，求ABC 周长 l 的取值范围 【解答】解： （1）由题设 + 2 = ，及正弦定理得， + 2 = ， 因为 sinA0，所以

29、 + 2 = ， 由 A+B+C，可得 + 2 = 2 = 2， 故 2 = 2 2 2 因为 2 0，故 2 = 1 2，所以 = 3， 因为 b2ac，又由余弦定理得 b2a2+c22accosBa2+c2ac， 所以 a2+c2acac，即（ac）20，所以 ac，故 = = 3， 所以ABC 是等边三角形； （2）解法一：ABC 的周长 = + + = 6 + + 由 余 弦 定 理 b2 a2+c2 2accosB ， 6 = 2+ 2 = ( + )2 3 ( + )2 3 (+)2 4 ， 故（a+c）224， + 26， 所以 = + + = 6 + + 36， 当且仅当 =

30、= 6时，等号成立 第 15 页（共 21 页） 又在ABC 中 a+cb，所以 = + + 2 = 26， 所以ABC 周长 l 的取值范围为(26，36 解法二：因为 = 3， = 6，由正弦定理， 得2 = = = = 22， 所 以 ABC的 周 长 = + + = 6 + + = 6 + 22( + ) = 6 + 22( + (2 3 ) = 6 + 22( + 3 2 + 1 2 ) = 6 + 22(3 2 + 3 2 ) = 6 + 26( + 6)， 因为0 2 3 ，所以 6 + 6 5 6 ，1 2 ( + 6) 1，266+ 26( + 6) 36 所以ABC 周长

31、l 的取值范围为(26，36 18 （12 分）如图，三棱锥 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，CBD90，E，F 分别 是 BD，CD 的中点，且 ABBEAEBC （）证明：ACAD； （）求 AF 与平面 ACE 所成角的余弦值 【解答】解： （1）因为平面 ABD平面 BCD，且 BCBD，所以 BC平面 ABD， 所以 BCAD， 又由于 EAEBED，所以 ADBC， 所以 AD平面 ABC，所以 ADAC （2）取 BE 中点 G，连接 GF 与 CE 相交于 H， 由于平面 ABD平面 BCD，且 AGBD，所以 AG平面 BCD， 所以 AGCE，又 GFCE，所以 C

32、E平面 AFG， 第 16 页（共 21 页） 所以平面 ACE平面 AFG， 所以 AF 在平面 ACE 上的射影在直线 AH 上， 则FAH 即为 AF 与平面 ACE 所成角 设 BC1， ABBEAEBC AG= 3 2 ， DG= 3 2， DC= 5， GF= 2 2 ， AF=3 4 + 2 4 = 5 2 ， = = 2 4 ， = 2+ 2= 14 4 ， 由余弦定理可得： = 2+22 2 = 470 35 所以 AF 与平面 ACF 所成角的余弦值为470 35 19 （12 分）已知动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直线 = 1 2相切，记动圆圆 心

33、E 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 Q（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 P 使得APB 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 【解答】解： （1）因为动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直线 = 1 2相切， 所以点 E 到点 M 的距离比点 E 到直线 = 1 2的距离大 1 2， 因为圆：( 1)2+ 2= 1 4的半径为 1 2， 所以点 E 到点 M 的距离等于点 E 到直线 x1 的距离， 所以圆心 E 的轨迹为抛物线，且焦点坐标为（1，0） 所以曲线 C 的方程 y24x 第 17 页（共 21

34、页） （2）设 P（x0，y0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由 2 = 4 = ( + 2)得 ky 24y+8k0， 由 0 16 3220得 2 2 2 2 且 k0 1+ 2= 4 ，y1y28， = 01 01 = 01 02 4 1 2 4 = 4 0+1，同理 = 4 0+2 由APB90，得 4 0+1 4 0+2 = 1， 即02+ 0(1+ 2) + 12= 16， 所以02+ 4 0+ 24 = 0， 由= (4 ) 2 96 0，得 6 6 6 6 且 k0， 又 2 2 2 2 且 k0， 所以 k 的取值范围为 6 6 ，0) (0， 6 6 20 （1

35、2 分）已知函数() = 1 2 2 (2 + 1) + 2( ) （）求 f（x）的单调区间； （）设 g（x）（x2+x+1）ex 1，若对任意 x 1（0，2，均存在 x2（0，2使得 f （x1）g（x2）1，求 a 的取值范围 【解答】解： （）() = (1)(2) (0) 当 a0 时，x0，ax10， 在区间（0，2）上，f（x）0；在区间（2，+）上 f（x）0， 故 f（x）的单调递增区间是（0，2） ，单调递减区间是（2，+） 当0 1 2时， 1 2， 在区间（0，2）和(1 ， + )上，f（x）0；在区间(2， 1 )上 f（x）0， 故 f（x）的单调递增区间是（

36、0，2）和(1 ， + )，单调递减区间是(2， 1 ) 当 = 1 2时，() = (2)2 2 ，故 f（x）的单调递增区间是（0，+） 当 1 2时，0 1 2，在区间(0， 1 )和（2，+）上，f（x）0；区间( 1 ，2)上 f 第 18 页（共 21 页） （x）0， 故 f（x）的单调递增区间是(0， 1 )和（2，+） ，单调递减区间是( 1 ，2) （）设 F（x）g（x）1（x2+x+1）ex 11， 由已知，在（0，2上有 f（x1）maxF（x2）maxF（x）ex 1（x+2） （x1） x （0，1） 1 （1，2） 2 F（x） + 0 F（x） 增 0 减 e

37、1 所以 F（x）maxF（1）0，f（x）max0 由（）可知， 当 1 2时，f（x）在（0，2上单调递增， 故 f（x）maxf（2）2a2（2a+1）+2ln22a2+2ln2， 所以，2a2+2ln20，解得 aln21，故2 1 1 2 当 1 2时，f（x）在(0， 1 上单调递增，在 1 ，2上单调递减， 故()= (1 ) = 2 1 2 2 由 1 2可知 1 2 1 = 1，2lna2，2lna2， 所以，22lna0，f（x）max0， 综上所述，aln21 21 （12 分）某种规格的矩形瓷砖（600mm600mm）根据长期检测结果，各厂生产的每片 瓷砖质量 x（kg

38、）都服从正态分布 N（，2） ，并把质量在（3，+3）之外的瓷 砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品 （1） 从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查， 求至少有 1 片是废品的概率； （2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分 别为 a（mm） 、b（mm） ，则“尺寸误差” （mm）为|a600|+|b600|，按行业生产标准， 其中“优等” 、 “一级” “合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0，0.2、 （0.2，0.5， （0.5， 1.0 （正品瓷砖中没有 “尺寸误差” 大于 1.0mm 的瓷砖） ， 每片价格分别为 7.5 元、 6.

39、5 元、 5.0 元， 现分别从甲、 乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖， 相应的 “尺 寸误差” 组成的样本数据如下， 用这个样本的频率分布估计总体分布， 将频率视为概率 尺寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 第 19 页（共 21 页） 频数 10 30 30 5 10 5 10 （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表） （i）记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 （元） ，求 的分布列 （ii）由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等” 、 “一级”两种，求 5 片该规 格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率 附：若随机变量 Z 服

40、从正态分布 N（，2） ， 则 P（3Z+3）0.9974；0.9974100.9743，0.840.4096，0.850.32768 【解答】解： （）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在（u3，u+3）之内 的概率为 0.9974， 则这 10 片质量全都在 （u3， u+3） 之内 （即没有废品） 的概率为 0.9974100.9743； 则这 10 片中至少有 1 片是废品的概率为 10.97430.0257；（3 分） （） （）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等” 、 “一级” 、 “合格”的概率分别为 0.7、0.2、0.1； 则 的可能取值为 15，13.5，13，12，11.5，10 元；（4 分） 计算 P（15）= 2 2 0.720.49， P（13.5）= 2 1 0.20.70.28， P（13）= 2 2 0.220.04， P（