1、 第 1 页(共 18 页) 2020 年河北省高考数学(文科)模拟试卷(年河北省高考数学(文科)模拟试卷(2) 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知集合 = *| 3 1+,Bx|x0,则 AB( ) Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 2 (5 分)已知复数 z 满足(1 + ) = 4 |1|(i 为虚数单位) ,则复数 z2 在复平面内对应的 点所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 (5 分) “数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出入怀
2、袖,扇面 书画,扇骨雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示 意图,A 为 OB 的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分 的概率是( ) A1 4 B1 2 C3 4 D5 8 4 (5 分)设 alog 1 3 1 4,b( 1 4) 1 4,c(1 3) 1 3,则 a,bc 的大小关系是( ) Aabc Bcba Cbca Dcab 5 (5 分)设 , 是夹角为 60的单位向量,则|4 3 |( ) A6 B37 C13 D7 6 (5 分)函数() = (1 +1) 的部分图象大致是( ) A B C D 7 (5 分)已知 = 1
3、3 , ( 2 ,)则下列结论不正确的是( ) 第 2 页(共 18 页) A = 22 3 B = 2 4 C( + 4) = 4+2 6 D( 4) = 42 6 8 (5 分)已知函数 f(x)asinx+cos(x 6) (a0,0)对于任意的 x1,x2R, 都有 f(x1)+f(x2)23 0,若 f(x)在0,上的值域为 3 2 ,3,则实数 的取 值范围是( ) A1 3, 1 2 B1 3, 2 3 C1 4, 2 3 D1 4, 1 2 9(5分) 执行如图所示的程序框图, 若输出的结果为3, 则可输入的实数x值的个数为 ( ) A1 B2 C3 D4 10 (5 分)K
4、为小于 9 的实数时,曲线 2 25 + 2 9 = 1与曲线 2 25; 2 ;9 = 1一定有相同的 ( ) A焦距 B准线 C顶点 D离心率 11 (5 分)ABC 中, = = ,则ABC 一定是( ) A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 12 (5 分)已知椭圆 C:x2+ 2 2 =1,直线 l:yx+m,若椭圆 C 上存在两点关于直线 l 对 称,则 m 的取值范围是( ) A( 2 3 , 2 3 ) B( 2 4 , 2 4 ) C( 3 3 , 3 3 ) D( 3 4 , 3 4 ) 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题
5、分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)已知实数 x,y 满足 4, + 2 + 6 0, 4, 则 = +4 4的最大值为 第 3 页(共 18 页) 14 (5 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a1+3a2+3n 1a nn,则 S4 15(5分) 若偶函数yf (x)(xR且x0) 在 (, 0) 上的解析式为f (x) ln ( 1 ) , 则函数y f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的斜率为 16 (5 分)已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为43,底面边长为 6,则该正三棱锥外接球的 表面积是 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,
6、每小题分,每小题 12 分)分) 17 (12 分)已知an是公差不为零的等差数列,a426,且 a1,a2,a7成等比数列 (1)求数列an的通项公式; (2)设= (1):1,数列bn的前 n 项和为 Tn,求 T511 18 (12 分)如图所示,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形,O 是正方形的中心PO 底面 ABCD,底面边长为 a,E 是 PC 的中点,连接 BE,DE (1)证明:PA平面 BDE,平面 PAC平面 BDE; (2)若COE60,求四棱锥 PABCD 的体积 19 (12 分)为抗击新型冠状病毒,普及防护知识,某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛 活动现
7、从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名学生,将他们的比赛成绩(满分为 100 分)分为 6 组:40,50) ,50,60) ,60,70) ,70,80) ,80,90) ,90,100,得到 如图所示的频率分布直方图 (1)求 a 的值,并估计这 100 名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表) ; (2)在抽取的 100 名学生中,规定:比赛成绩不低于 80 分为“优秀” ,比赛成绩低于 80 分为“非优秀” 请将下面的 22 列联表补充完整,并判断是否有 99%的把握认为“比 赛成绩是否优秀与性别有关”? 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 第 4 页(
8、共 18 页) 合计 100 参考公式及数据:2= ()2 (+)(+)(+)(+), = + + + P(K2k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 20 (12 分)已知抛物线 C:y22px(p0) ,点 F 为抛物线 C 的焦点,点 A(1,m) (m 0)在抛物线 C 上,且|FA|2,过点 F 作斜率为(1 2 2)的直线 l 与抛物线 C 交于 P,Q 两点 (1)求抛物线 C 的方程; (2)求APQ 面积的取值范围 21 (12 分)已知函数 f(x)lnxaex+1(aR) (1)当 a1 时,讨论 f(x
9、)极值点的个数; (2)若函数 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 = 2 + = ( 为参数) ,以 坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 ( + 6) = 3,且曲线 C1 与 C2恰有一个公共点 ()求曲线 C1的极坐标方程; ()已知曲 C1上两点,A,B 满足 = 4,求AOB 面积的最大值 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知函数 f(x)|x+1|+|2x4
10、| (1)求不等式 f(x)5 的解集; (2)若函数 yf(x)图象的最低点为(m,n) ,正数 a,b 满足 ma+nb6,求3 + 8 的 第 5 页(共 18 页) 取值范围 第 6 页(共 18 页) 2020 年河北省高考数学(文科)模拟试卷(年河北省高考数学(文科)模拟试卷(2) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知集合 = *| 3 1+,Bx|x0,则 AB( ) Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 【解答】解:集合 = *| 3 1+ =x
11、|0x3, Bx|x0, ABx|0x3 故选:A 2 (5 分)已知复数 z 满足(1 + ) = 4 |1|(i 为虚数单位) ,则复数 z2 在复平面内对应的 点所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解:由(1 + ) = 4 |1|,得 = 4 |1|(1+) = 22(1) (1+)(1) = 2 2, 则 2 = (2 2) 2,复数 z2 在复平面内对应的点为(2 2, 2), 复数 z2 在复平面内对应的点所在的象限为第三象限 故选:C 3 (5 分) “数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出入怀袖,扇面 书画,扇骨雕琢,
12、是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示 意图,A 为 OB 的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分 的概率是( ) A1 4 B1 2 C3 4 D5 8 【解答】解:不妨设 OA1,扇形中心角为 此点取自扇面(扇环)部分的概率= 1 222 1 21 1 222 = 3 4 故选:C 第 7 页(共 18 页) 4 (5 分)设 alog 1 3 1 4,b( 1 4) 1 4,c(1 3) 1 3,则 a,bc 的大小关系是( ) Aabc Bcba Cbca Dcab 【解答】解:alog 1 3 1 4 =log341,0b1,0c1, a
13、 最大, 又b(1 4) 1 4=( 1 64) 1 12,c(1 3) 1 3=( 1 81) 1 12,且幂函数 yx 1 12在(0,+ )上单调递增, cb, cba 故选:B 5 (5 分)设 , 是夹角为 60的单位向量,则|4 3 |( ) A6 B37 C13 D7 【解答】解:根据题意, , 是夹角为 60的单位向量,即| |1,| |1,则 = 1 2, 则|4 3 |216 224 +9 2 13, 则|4 3 |= 13; 故选:C 6 (5 分)函数() = (1 +1) 的部分图象大致是( ) A B C D 【解答】解:当 x时, 0:, 1 +1 = 1 2 +
14、1 1:,所以 f(x)0+,排除 C, D; 因为 x+时, +, 1 +1 = 1 2 +1 1:,所以 f(x)+,因此排除 B, 故选:A 第 8 页(共 18 页) 7 (5 分)已知 = 1 3 , ( 2 ,)则下列结论不正确的是( ) A = 22 3 B = 2 4 C( + 4) = 4+2 6 D( 4) = 42 6 【解答】 解: 已知 = 1 3, ( 2 ,), cos= 1 2 = 22 3 , 故 A 正确; tan= = 1 22 = 2 4 ,故 B 正确; cos(+ 4)coscos 4 sinsin 4 = 4 6 2 6 = 4:2 6 ,故 C
15、正确; cos( 4)coscos 4 +sinsin 4 = 4 6 + 2 6 = 2;4 6 ,故 D 不正确, 故选:D 8 (5 分)已知函数 f(x)asinx+cos(x 6) (a0,0)对于任意的 x1,x2R, 都有 f(x1)+f(x2)23 0,若 f(x)在0,上的值域为 3 2 ,3,则实数 的取 值范围是( ) A1 3, 1 2 B1 3, 2 3 C1 4, 2 3 D1 4, 1 2 【解答】解:由对于任意的 x1,x2R,都有 f(x1)+f(x2)23,可知 f(x)max= 3, 又 f(x)asinx+cos(x 6)(a 1 2)sinx+ 3 2
16、 cosx, 结合辅助角公式可得,( 1 2) 2+3 4 = 3, 解可得,a2 或 a1(舍) ,f(x)= 3(x+ 6) , 0x, 6 x+ 6 + 6, 若 f(x)在0,上的值域为 3 2 ,3,则1 2 sin(x+ 6)1, 结合正弦函数的性质可知,1 2 x+ 6 2 3 , 解可得,1 3 2 3, 故选:B 9(5分) 执行如图所示的程序框图, 若输出的结果为3, 则可输入的实数x值的个数为 ( ) 第 9 页(共 18 页) A1 B2 C3 D4 【解答】解:由于输出结果 y3, 根据跳出循环时条件可知: 若 3log2(x+1) ,解之得 x7,符合题意; 若 3
17、x21,解之得 x2,符合题意; 所以 x 可以取 7,2, 故选:C 10 (5 分)K 为小于 9 的实数时,曲线 2 25 + 2 9 = 1与曲线 2 25; 2 ;9 = 1一定有相同的 ( ) A焦距 B准线 C顶点 D离心率 【解答】解:K 为小于 9 的实数时,曲线 2 25; 2 ;9 = 1是焦点在 x 轴的双曲线, 曲线 2 25 + 2 9 = 1的焦距为 8,准线方程为 x= 25 4 ,有四个项点,离心率为4 5, 曲线 2 25; 2 ;9 = 1的焦距为 8, 准线方程为 x= 25 4 , 有两个顶点, 离心率为 4 25; 曲线 2 25 + 2 9 = 1
18、与曲线 2 25; 2 ;9 = 1一定有相同的焦距 故选:A 11 (5 分)ABC 中, = = ,则ABC 一定是( ) A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 【解答】解:由正弦定理可得: = = , 又 = = , tanAtanBtanC, 第 10 页(共 18 页) 又 A,B,C(0,) , ABC= 3, 则ABC 是等边三角形 故选:D 12 (5 分)已知椭圆 C:x2+ 2 2 =1,直线 l:yx+m,若椭圆 C 上存在两点关于直线 l 对 称,则 m 的取值范围是( ) A( 2 3 , 2 3 ) B( 2 4 , 2 4 ) C( 3 3 ,
19、3 3 ) D( 3 4 , 3 4 ) 【解答】解:设椭圆2+ 2 2 = 1上存在关于直线 yx+m 对称的两点为 M(x1,y1) 、N (x2,y2) , 根据对称性可知线段 MN 被直线 yx+m 垂直平分,且 MN 的中点 T(x0,y0)在直线 y x+m 上,且 kMN1, 故可设直线 MN 的方程为 yx+n, 联立 2 + 2 2 = 1 = + ,整理可得:3x22nx+n220, 所以 x1+x2= 2 3 ,y1+y22n(x1+x2)2n 2 3 = 4 3 , 由4n212(n21)0,可得3n3, 所以 x0= 1+2 2 = 3,y0= 1+2 2 = 2 3
20、 , 因为 MN 的中点 T(x0,y0)在直线 yx+m 上, 所以2 3 = 3 +m,m= 3, 3 3 m 3 3 , 故选:C 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)已知实数 x,y 满足 4, + 2 + 6 0, 4, 则 = +4 4的最大值为 2 7 【解答】解:作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示, = +4 4表示平面区 域内的点(x,y)与 D(4,4)连线的斜率,观察可知, +4 4 ,联立 第 11 页(共 18 页) = 4, + 2 + 6 = 0,解得 = 2 3, = 8 3
21、,即( 2 3 , 8 3),故 = +4 4的最大值为 ;8 3:4 ;2 3;4 = 4 3 ;2 3; 12 3 = 2 7 故答案为: 2 7 14 (5 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a1+3a2+3n 1a nn,则 S4 40 27 【解答】解:1+ 32+ + 3;1= ,可得 n1 时,a11, n2 时,1+ 32+ + 3;2;1= 1,又1+ 32+ + 3;1= , 两式相减可得 3n 1a n1,即= (1 3) ;1,上式对 n1 也成立, 可得数列an是首项为 1,公比为1 3的等比数列, 可得4= 1 1 34 11 3 = 40 27 故答
22、案为:40 27 15(5分) 若偶函数yf (x)(xR且x0) 在 (, 0) 上的解析式为f (x) ln ( 1 ) , 则函数y f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的斜率为 1 2 【解答】解:设 x0,则x(,0) , f(x)ln( 1 )ln 1 , yf(x)为偶函数, f(x)ln1 (x0) , 当 x0 时,() = ( 1 2) = 1 , 则(2) = 1 2 函数 yf(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的斜率为 1 2 第 12 页(共 18 页) 故答案为: 1 2 16 (5 分)已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为43,底面边长为 6,则该正
23、三棱锥外接球的 表面积是 64 【解答】解:如图所示:由正棱锥得,顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心 O,外接圆的半径 r, 正三棱锥的外接球的球心在高 SO所在的直线上,设为 O, 连接 OA 得:r= 6 3 , 所以 r23,即 OA23, 所以三棱锥的高 h= 2 2=(43)2 (23)2=6, 由勾股定理得,R2r2+(Rh)2,解得:R4, 所以外接球的表面积 S4R264 故答案为:64 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17 (12 分)已知an是公差不为零的等差数列,a426,且 a1,a2,a7成
24、等比数列 (1)求数列an的通项公式; (2)设= (1):1,数列bn的前 n 项和为 Tn,求 T511 【解答】解: (1)设an的公差为 d,d0 因为 a1,a2,a7 成等比数列, 所以 a22a1a7, 即(a1+d)2a1(a1+6d) ,整理得 d24da10 又 d0,所以 d4a1, 又 a4a1+3d26, 联立,得 = 41 1+ 3 = 26,解得 1= 2 = 8 所以 an2+8(n1)8n6 第 13 页(共 18 页) (2)因为 bn(1)n+1an(1)n+1 (8n6) , T511b1+b2+b511 210+1826+40664074+4082 (
25、210)+(1826)+(40664074)+4082 (8)255+4082 2042 18 (12 分)如图所示,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形,O 是正方形的中心PO 底面 ABCD,底面边长为 a,E 是 PC 的中点,连接 BE,DE (1)证明:PA平面 BDE,平面 PAC平面 BDE; (2)若COE60,求四棱锥 PABCD 的体积 【解答】解: (1)证明:连结 OE,O,E 分别为 AC,PC 的中点,OEPA, OE平面 BDE,PA平面 BDE,PA平面 BDE, PO平面 ABCD,POBD, 在正方形 ABCD 中,BDAC, 又POACO,PO平
26、面 PAC,AC平面 PAC, BD平面 PAC, BD平面 BDE,平面 PAC平面 BDE (2)解:取 OC 的中点 F,连结 EF,由题意得 OF= 1 2 = 1 4 = 2 4 , PO平面 ABCD,POAC, E,F 分别是 PC,OC 的中点,EFPO,EFAC,OFE90, 在 RtOFE 中,COE60,EFOFtan60= 6 4 , PO2EF= 6 2 a, 四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD= 1 3 2 6 2 = 6 6 3 第 14 页(共 18 页) 19 (12 分)为抗击新型冠状病毒,普及防护知识,某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛 活动现从参加
27、该活动的学生中随机抽取了 100 名学生,将他们的比赛成绩(满分为 100 分)分为 6 组:40,50) ,50,60) ,60,70) ,70,80) ,80,90) ,90,100,得到 如图所示的频率分布直方图 (1)求 a 的值,并估计这 100 名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表) ; (2)在抽取的 100 名学生中,规定:比赛成绩不低于 80 分为“优秀” ,比赛成绩低于 80 分为“非优秀” 请将下面的 22 列联表补充完整,并判断是否有 99%的把握认为“比 赛成绩是否优秀与性别有关”? 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考
28、公式及数据:2= ()2 (+)(+)(+)(+), = + + + P(K2k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 【解答】解: (1)由题可得(0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010)101, 解得 a0.025 第 15 页(共 18 页) 450.05+550.1+650.2+750.3+850.25+950.174, 估计这 100 名学生的平均成绩为 74; (2)由(1)知,在抽取的 100 名学生中,比赛成绩优秀的有 100(0.25+0.1)100 0.3535 人, 由此可得完整的
29、22 列联表: 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计 35 65 100 K2的观测值 = 100(10252540)2 35655050 = 900 91 9.8906.635, 有 99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关” 20 (12 分)已知抛物线 C:y22px(p0) ,点 F 为抛物线 C 的焦点,点 A(1,m) (m 0)在抛物线 C 上,且|FA|2,过点 F 作斜率为(1 2 2)的直线 l 与抛物线 C 交于 P,Q 两点 (1)求抛物线 C 的方程; (2)求APQ 面积的取值范围 【解答】解: (1)由抛物线的焦半径公式得|
30、 = + 2 = 1 + 2 = 2 = 2, 所以抛物线的方程为 y24x (2)设直线 l 的方程为 yk(x1) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , = ( 1) 2= 4 22 (22+ 4) + 2= 0, 由韦达定理得1+ 2= 22+4 2 ,x1x21, 因为AFx轴,则= 1 2 | |1 2| = |1 2|, |1 2| = (1+ 2)2 412= 4 2+1 4 = 4 1 2 + 1 4, 因为1 2 2,令 = 1 2,所以 1 4 4,= 42+ , 所以 5 16 2+ 20,即5 42+ 85, 第 16 页(共 18 页) 所以APQ 得面积的取值
31、范围为,5,85- 21 (12 分)已知函数 f(x)lnxaex+1(aR) (1)当 a1 时,讨论 f(x)极值点的个数; (2)若函数 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围 【解答】解: (1)当 a1 时,f(x)lnxex+1(x0) ,则 f(x)= 1 ex, 显然 f(x)在(0,+)上单调递减,又 f(1 2)20,f(1)1e0, 所以 f(x)在(1 2,1)上存在唯一零点 x0, 当 x(0,x0)时,f(x)0,当 x(x0,+)时,f(x)0, 所以 x0是 f(x)的极大值点,且是唯一极值点; (2)令 f(x)0,a= +1 ,令 ya,g(x)= +1
32、,则 ya 与 g(x)的图象在(0, +)上有 2 个交点, g(x)= 1 1 (x0) ,令 h(x)= 1 1,则 h(x)= 1 2 1 0, 所以 h(x)在(0,+)上单调递减,而 h(1)0, 故当 x(0,1)时,h(x)0,即 g(x)0,g(x)单调递增, 当 x(1,+)时,h(x)0,即 g(x)0,g(x)单调递减, 故 g(x)maxg(1)= 1 , 又 g(1 )0,当 x1 时,g(x)0,作出图象如图: 由图可得:0a 1 , 故 a 的取值范围是(0,1 ) 第 17 页(共 18 页) 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小
33、题分,每小题 10 分)分) 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 = 2 + = ( 为参数) ,以 坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 ( + 6) = 3,且曲线 C1 与 C2恰有一个公共点 ()求曲线 C1的极坐标方程; ()已知曲 C1上两点,A,B 满足 = 4,求AOB 面积的最大值 【解答】解: ()曲线 C2的极坐标方程为 sin(+ 6)3, 可得 C2的直角坐标方程为:x+3 60,即曲线 C2为直线 曲线 C1是圆心为(2,0) ,半径为|r|的圆 因为圆 C1与直线 C2恰有一个公共点,可得|
34、r|= |26| 2 =2, 圆 C1的普通方程为 x2+y24x0, 所以 C1的极坐标方程为 4cos ()由题意可设 A(1,) ,B(2,+ 4) , (10,20) , SAOB= 1 2|OA|OB|sin 4 = 2 4 1242coscos(+ 4)4(cos 2sincos) 4(1:2 2 2 2 )2+22cos(2+ 4) , 所以AOB 面积的最大值为 2+22 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知函数 f(x)|x+1|+|2x4| (1)求不等式 f(x)5 的解集; (2)若函数 yf(x)图象的最低点为(m,n) ,正数 a,b 满足 ma+n
35、b6,求3 + 8 的 取值范围 【解答】解: (1)f(x)|x+1|+|2x4|= 3 3, 2 + 5, 12 3 + 3, 1 , f(x)5, 2 3 3 5或 12 + 5 5或 1 3 + 3 5, ,2, 8 3-或 x0.2)或 x, ,0, 8 3-, 第 18 页(共 18 页) 不等式的解集为,0, 8 3- (2)() = 3 3, 2 + 5, 12 3 + 3, 1 ,当 x2 时,f(x)取得最小值 3 函数 yf(x)的图象的最低点为(2,3) ,即 m2,n3 ma+nb6,2a+3b6, 3 + 2 = 1, 3 + 8 = (3 + 8 )( 3 + 2) = 1 + 3 2 + 8 3 + 4 5 + 23 2 8 3 = 5 + 4 = 9, 当且仅当3 2 = 8 3,即 a1, = 4 3时取等号, 3 + 8 ,9,+ )