1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年河北省高考数学（文科）模拟试卷（年河北省高考数学（文科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 2 （5 分）已知复数 z 满足(1 + ) = 4 |1|（i 为虚数单位） ，则复数 z2 在复平面内对应的 点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分） “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀
2、袖，扇面 书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示 意图，A 为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分 的概率是（ ） A1 4 B1 2 C3 4 D5 8 4 （5 分）设 alog 1 3 1 4，b（ 1 4） 1 4，c（1 3） 1 3，则 a，bc 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 5 （5 分）设 ， 是夹角为 60的单位向量，则|4 3 |（ ） A6 B37 C13 D7 6 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 7 （5 分）已知 = 1
3、3 ， ( 2 ，)则下列结论不正确的是（ ） 第 2 页（共 18 页） A = 22 3 B = 2 4 C( + 4) = 4+2 6 D( 4) = 42 6 8 （5 分）已知函数 f（x）asinx+cos（x 6） （a0，0）对于任意的 x1，x2R， 都有 f（x1）+f（x2）23 0，若 f（x）在0，上的值域为 3 2 ，3，则实数 的取 值范围是（ ） A1 3， 1 2 B1 3， 2 3 C1 4， 2 3 D1 4， 1 2 9（5分） 执行如图所示的程序框图， 若输出的结果为3， 则可输入的实数x值的个数为 （ ） A1 B2 C3 D4 10 （5 分）K
4、为小于 9 的实数时，曲线 2 25 + 2 9 = 1与曲线 2 25; 2 ;9 = 1一定有相同的 （ ） A焦距 B准线 C顶点 D离心率 11 （5 分）ABC 中， = = ，则ABC 一定是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 12 （5 分）已知椭圆 C：x2+ 2 2 =1，直线 l：yx+m，若椭圆 C 上存在两点关于直线 l 对 称，则 m 的取值范围是（ ） A( 2 3 ， 2 3 ) B( 2 4 ， 2 4 ) C( 3 3 ， 3 3 ) D( 3 4 ， 3 4 ) 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题
5、分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足 4， + 2 + 6 0， 4， 则 = +4 4的最大值为 第 3 页（共 18 页） 14 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+3a2+3n 1a nn，则 S4 15（5分） 若偶函数yf （x）（xR且x0） 在 （， 0） 上的解析式为f （x） ln （ 1 ） ， 则函数y f（x）的图象在点（2，f（2） ）处的切线的斜率为 16 （5 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为43，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表面积是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，
6、每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知an是公差不为零的等差数列，a426，且 a1，a2，a7成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设= (1):1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 T511 18 （12 分）如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，O 是正方形的中心PO 底面 ABCD，底面边长为 a，E 是 PC 的中点，连接 BE，DE （1）证明：PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDE； （2）若COE60，求四棱锥 PABCD 的体积 19 （12 分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛 活动现
7、从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分为 6 组：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100，得到 如图所示的频率分布直方图 （1）求 a 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表） ； （2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀” ，比赛成绩低于 80 分为“非优秀” 请将下面的 22 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“比 赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 第 4 页（
8、共 18 页） 合计 100 参考公式及数据：2= ()2 (+)(+)(+)(+)， = + + + P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0） ，点 F 为抛物线 C 的焦点，点 A（1，m） （m 0）在抛物线 C 上，且|FA|2，过点 F 作斜率为(1 2 2)的直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）求APQ 面积的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxaex+1（aR） （1）当 a1 时，讨论 f（x
9、）极值点的个数； （2）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 + = （ 为参数） ，以 坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 ( + 6) = 3，且曲线 C1 与 C2恰有一个公共点 （）求曲线 C1的极坐标方程； （）已知曲 C1上两点，A，B 满足 = 4，求AOB 面积的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+1|+|2x4
10、| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若函数 yf（x）图象的最低点为（m，n） ，正数 a，b 满足 ma+nb6，求3 + 8 的 第 5 页（共 18 页） 取值范围 第 6 页（共 18 页） 2020 年河北省高考数学（文科）模拟试卷（年河北省高考数学（文科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 【解答】解：集合 = *| 3 1+ =x
11、|0x3， Bx|x0， ABx|0x3 故选：A 2 （5 分）已知复数 z 满足(1 + ) = 4 |1|（i 为虚数单位） ，则复数 z2 在复平面内对应的 点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：由(1 + ) = 4 |1|，得 = 4 |1|(1+) = 22(1) (1+)(1) = 2 2， 则 2 = (2 2) 2，复数 z2 在复平面内对应的点为(2 2， 2)， 复数 z2 在复平面内对应的点所在的象限为第三象限 故选：C 3 （5 分） “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面 书画，扇骨雕琢，
12、是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示 意图，A 为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分 的概率是（ ） A1 4 B1 2 C3 4 D5 8 【解答】解：不妨设 OA1，扇形中心角为 此点取自扇面（扇环）部分的概率= 1 222 1 21 1 222 = 3 4 故选：C 第 7 页（共 18 页） 4 （5 分）设 alog 1 3 1 4，b（ 1 4） 1 4，c（1 3） 1 3，则 a，bc 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 【解答】解：alog 1 3 1 4 =log341，0b1，0c1， a
13、 最大， 又b（1 4） 1 4=（ 1 64） 1 12，c（1 3） 1 3=（ 1 81） 1 12，且幂函数 yx 1 12在（0，+ ）上单调递增， cb， cba 故选：B 5 （5 分）设 ， 是夹角为 60的单位向量，则|4 3 |（ ） A6 B37 C13 D7 【解答】解：根据题意， ， 是夹角为 60的单位向量，即| |1，| |1，则 = 1 2， 则|4 3 |216 224 +9 2 13， 则|4 3 |= 13； 故选：C 6 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0:， 1 +1 = 1 2 +
14、1 1:，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 第 8 页（共 18 页） 7 （5 分）已知 = 1 3 ， ( 2 ，)则下列结论不正确的是（ ） A = 22 3 B = 2 4 C( + 4) = 4+2 6 D( 4) = 42 6 【解答】 解： 已知 = 1 3， ( 2 ，)， cos= 1 2 = 22 3 ， 故 A 正确； tan= = 1 22 = 2 4 ，故 B 正确； cos（+ 4）coscos 4 sinsin 4 = 4 6 2 6 = 4:2 6 ，故 C
15、正确； cos（ 4）coscos 4 +sinsin 4 = 4 6 + 2 6 = 2;4 6 ，故 D 不正确， 故选：D 8 （5 分）已知函数 f（x）asinx+cos（x 6） （a0，0）对于任意的 x1，x2R， 都有 f（x1）+f（x2）23 0，若 f（x）在0，上的值域为 3 2 ，3，则实数 的取 值范围是（ ） A1 3， 1 2 B1 3， 2 3 C1 4， 2 3 D1 4， 1 2 【解答】解：由对于任意的 x1，x2R，都有 f（x1）+f（x2）23，可知 f（x）max= 3， 又 f（x）asinx+cos（x 6）（a 1 2）sinx+ 3 2
16、 cosx， 结合辅助角公式可得，( 1 2) 2+3 4 = 3， 解可得，a2 或 a1（舍） ，f（x）= 3（x+ 6） ， 0x， 6 x+ 6 + 6， 若 f（x）在0，上的值域为 3 2 ，3，则1 2 sin（x+ 6）1， 结合正弦函数的性质可知，1 2 x+ 6 2 3 ， 解可得，1 3 2 3， 故选：B 9（5分） 执行如图所示的程序框图， 若输出的结果为3， 则可输入的实数x值的个数为 （ ） 第 9 页（共 18 页） A1 B2 C3 D4 【解答】解：由于输出结果 y3， 根据跳出循环时条件可知： 若 3log2（x+1） ，解之得 x7，符合题意； 若 3
17、x21，解之得 x2，符合题意； 所以 x 可以取 7，2， 故选：C 10 （5 分）K 为小于 9 的实数时，曲线 2 25 + 2 9 = 1与曲线 2 25; 2 ;9 = 1一定有相同的 （ ） A焦距 B准线 C顶点 D离心率 【解答】解：K 为小于 9 的实数时，曲线 2 25; 2 ;9 = 1是焦点在 x 轴的双曲线， 曲线 2 25 + 2 9 = 1的焦距为 8，准线方程为 x= 25 4 ，有四个项点，离心率为4 5， 曲线 2 25; 2 ;9 = 1的焦距为 8， 准线方程为 x= 25 4 ， 有两个顶点， 离心率为 4 25; 曲线 2 25 + 2 9 = 1
18、与曲线 2 25; 2 ;9 = 1一定有相同的焦距 故选：A 11 （5 分）ABC 中， = = ，则ABC 一定是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 【解答】解：由正弦定理可得： = = ， 又 = = ， tanAtanBtanC， 第 10 页（共 18 页） 又 A，B，C（0，） ， ABC= 3， 则ABC 是等边三角形 故选：D 12 （5 分）已知椭圆 C：x2+ 2 2 =1，直线 l：yx+m，若椭圆 C 上存在两点关于直线 l 对 称，则 m 的取值范围是（ ） A( 2 3 ， 2 3 ) B( 2 4 ， 2 4 ) C( 3 3 ，
19、3 3 ) D( 3 4 ， 3 4 ) 【解答】解：设椭圆2+ 2 2 = 1上存在关于直线 yx+m 对称的两点为 M（x1，y1） 、N （x2，y2） ， 根据对称性可知线段 MN 被直线 yx+m 垂直平分，且 MN 的中点 T（x0，y0）在直线 y x+m 上，且 kMN1， 故可设直线 MN 的方程为 yx+n， 联立 2 + 2 2 = 1 = + ，整理可得：3x22nx+n220， 所以 x1+x2= 2 3 ，y1+y22n（x1+x2）2n 2 3 = 4 3 ， 由4n212（n21）0，可得3n3， 所以 x0= 1+2 2 = 3，y0= 1+2 2 = 2 3
20、 ， 因为 MN 的中点 T（x0，y0）在直线 yx+m 上， 所以2 3 = 3 +m，m= 3， 3 3 m 3 3 ， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足 4， + 2 + 6 0， 4， 则 = +4 4的最大值为 2 7 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示， = +4 4表示平面区 域内的点（x，y）与 D（4，4）连线的斜率，观察可知， +4 4 ，联立 第 11 页（共 18 页） = 4， + 2 + 6 = 0，解得 = 2 3， = 8 3
21、，即( 2 3 ， 8 3)，故 = +4 4的最大值为 ;8 3:4 ;2 3;4 = 4 3 ;2 3; 12 3 = 2 7 故答案为： 2 7 14 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+3a2+3n 1a nn，则 S4 40 27 【解答】解：1+ 32+ + 3;1= ，可得 n1 时，a11， n2 时，1+ 32+ + 3;2;1= 1，又1+ 32+ + 3;1= ， 两式相减可得 3n 1a n1，即= (1 3) ;1，上式对 n1 也成立， 可得数列an是首项为 1，公比为1 3的等比数列， 可得4= 1 1 34 11 3 = 40 27 故答
22、案为：40 27 15（5分） 若偶函数yf （x）（xR且x0） 在 （， 0） 上的解析式为f （x） ln （ 1 ） ， 则函数y f（x）的图象在点（2，f（2） ）处的切线的斜率为 1 2 【解答】解：设 x0，则x（，0） ， f（x）ln（ 1 ）ln 1 ， yf（x）为偶函数， f（x）ln1 （x0） ， 当 x0 时，() = ( 1 2) = 1 ， 则(2) = 1 2 函数 yf（x）的图象在点（2，f（2） ）处的切线的斜率为 1 2 第 12 页（共 18 页） 故答案为： 1 2 16 （5 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为43，底面边长为 6，则该正
23、三棱锥外接球的 表面积是 64 【解答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心 O，外接圆的半径 r， 正三棱锥的外接球的球心在高 SO所在的直线上，设为 O， 连接 OA 得：r= 6 3 ， 所以 r23，即 OA23， 所以三棱锥的高 h= 2 2=(43)2 (23)2=6， 由勾股定理得，R2r2+（Rh）2，解得：R4， 所以外接球的表面积 S4R264 故答案为：64 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知an是公差不为零的等差数列，a426，且 a1，a2，a7成
24、等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设= (1):1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 T511 【解答】解： （1）设an的公差为 d，d0 因为 a1，a2，a7 成等比数列， 所以 a22a1a7， 即（a1+d）2a1（a1+6d） ，整理得 d24da10 又 d0，所以 d4a1， 又 a4a1+3d26， 联立，得 = 41 1+ 3 = 26，解得 1= 2 = 8 所以 an2+8（n1）8n6 第 13 页（共 18 页） （2）因为 bn（1）n+1an（1）n+1 （8n6） ， T511b1+b2+b511 210+1826+40664074+4082 （
25、210）+（1826）+（40664074）+4082 （8）255+4082 2042 18 （12 分）如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，O 是正方形的中心PO 底面 ABCD，底面边长为 a，E 是 PC 的中点，连接 BE，DE （1）证明：PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDE； （2）若COE60，求四棱锥 PABCD 的体积 【解答】解： （1）证明：连结 OE，O，E 分别为 AC，PC 的中点，OEPA， OE平面 BDE，PA平面 BDE，PA平面 BDE， PO平面 ABCD，POBD， 在正方形 ABCD 中，BDAC， 又POACO，PO平
26、面 PAC，AC平面 PAC， BD平面 PAC， BD平面 BDE，平面 PAC平面 BDE （2）解：取 OC 的中点 F，连结 EF，由题意得 OF= 1 2 = 1 4 = 2 4 ， PO平面 ABCD，POAC， E，F 分别是 PC，OC 的中点，EFPO，EFAC，OFE90， 在 RtOFE 中，COE60，EFOFtan60= 6 4 ， PO2EF= 6 2 a， 四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD= 1 3 2 6 2 = 6 6 3 第 14 页（共 18 页） 19 （12 分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛 活动现从参加
27、该活动的学生中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分为 6 组：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100，得到 如图所示的频率分布直方图 （1）求 a 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表） ； （2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀” ，比赛成绩低于 80 分为“非优秀” 请将下面的 22 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“比 赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考
28、公式及数据：2= ()2 (+)(+)(+)(+)， = + + + P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由题可得（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）101， 解得 a0.025 第 15 页（共 18 页） 450.05+550.1+650.2+750.3+850.25+950.174， 估计这 100 名学生的平均成绩为 74； （2）由（1）知，在抽取的 100 名学生中，比赛成绩优秀的有 100（0.25+0.1）100 0.3535 人， 由此可得完整的
29、22 列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计 35 65 100 K2的观测值 = 100(10252540)2 35655050 = 900 91 9.8906.635， 有 99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关” 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0） ，点 F 为抛物线 C 的焦点，点 A（1，m） （m 0）在抛物线 C 上，且|FA|2，过点 F 作斜率为(1 2 2)的直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）求APQ 面积的取值范围 【解答】解： （1）由抛物线的焦半径公式得|
30、 = + 2 = 1 + 2 = 2 = 2， 所以抛物线的方程为 y24x （2）设直线 l 的方程为 yk（x1） ，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， = ( 1) 2= 4 22 (22+ 4) + 2= 0， 由韦达定理得1+ 2= 22+4 2 ，x1x21， 因为AFx轴，则= 1 2 | |1 2| = |1 2|， |1 2| = (1+ 2)2 412= 4 2+1 4 = 4 1 2 + 1 4， 因为1 2 2，令 = 1 2，所以 1 4 4，= 42+ ， 所以 5 16 2+ 20，即5 42+ 85， 第 16 页（共 18 页） 所以APQ 得面积的取值
31、范围为,5，85- 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxaex+1（aR） （1）当 a1 时，讨论 f（x）极值点的个数； （2）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）lnxex+1（x0） ，则 f（x）= 1 ex， 显然 f（x）在（0，+）上单调递减，又 f（1 2）20，f（1）1e0， 所以 f（x）在（1 2，1）上存在唯一零点 x0， 当 x（0，x0）时，f（x）0，当 x（x0，+）时，f（x）0， 所以 x0是 f（x）的极大值点，且是唯一极值点； （2）令 f（x）0，a= +1 ，令 ya，g（x）= +1
32、，则 ya 与 g（x）的图象在（0， +）上有 2 个交点， g（x）= 1 1 （x0） ，令 h（x）= 1 1，则 h（x）= 1 2 1 0， 所以 h（x）在（0，+）上单调递减，而 h（1）0， 故当 x（0，1）时，h（x）0，即 g（x）0，g（x）单调递增， 当 x（1，+）时，h（x）0，即 g（x）0，g（x）单调递减， 故 g（x）maxg（1）= 1 ， 又 g（1 ）0，当 x1 时，g（x）0，作出图象如图： 由图可得：0a 1 ， 故 a 的取值范围是（0，1 ） 第 17 页（共 18 页） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小
33、题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 + = （ 为参数） ，以 坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 ( + 6) = 3，且曲线 C1 与 C2恰有一个公共点 （）求曲线 C1的极坐标方程； （）已知曲 C1上两点，A，B 满足 = 4，求AOB 面积的最大值 【解答】解： （）曲线 C2的极坐标方程为 sin（+ 6）3， 可得 C2的直角坐标方程为：x+3 60，即曲线 C2为直线 曲线 C1是圆心为（2，0） ，半径为|r|的圆 因为圆 C1与直线 C2恰有一个公共点，可得|
34、r|= |26| 2 =2， 圆 C1的普通方程为 x2+y24x0， 所以 C1的极坐标方程为 4cos （）由题意可设 A（1，） ，B（2，+ 4） ， （10，20） ， SAOB= 1 2|OA|OB|sin 4 = 2 4 1242coscos（+ 4）4（cos 2sincos） 4（1:2 2 2 2 ）2+22cos（2+ 4） ， 所以AOB 面积的最大值为 2+22 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+1|+|2x4| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若函数 yf（x）图象的最低点为（m，n） ，正数 a，b 满足 ma+n
35、b6，求3 + 8 的 取值范围 【解答】解： （1）f（x）|x+1|+|2x4|= 3 3， 2 + 5， 12 3 + 3， 1 ， f（x）5， 2 3 3 5或 12 + 5 5或 1 3 + 3 5， ,2， 8 3-或 x0.2）或 x， ,0， 8 3-， 第 18 页（共 18 页） 不等式的解集为,0， 8 3- （2）() = 3 3， 2 + 5， 12 3 + 3， 1 ，当 x2 时，f（x）取得最小值 3 函数 yf（x）的图象的最低点为（2，3） ，即 m2，n3 ma+nb6，2a+3b6， 3 + 2 = 1， 3 + 8 = (3 + 8 )( 3 + 2) = 1 + 3 2 + 8 3 + 4 5 + 23 2 8 3 = 5 + 4 = 9， 当且仅当3 2 = 8 3，即 a1， = 4 3时取等号， 3 + 8 ,9，+ )
