1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年宁夏高考数学（文科）模拟试卷（年宁夏高考数学（文科）模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|（x1） （x+1）0，By|y2x，xR，则 AB（ ） A （1，0 B （1，1） C （0，1） D 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足12 = 1 + ，则|z|（ ） A 5 2 B32 2 C 10 2 D3 3 （5 分）已知数列an的前 n 项和公式是= 22+ 3，则（ ） A是公差为 2 的等差数列 B是公差为 3 的等差数
2、列 C是公差为 4 的等差数列 D不是等差数列 4 （5 分）现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、 女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图： 根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ） A样本中的女生数量多于男生数量 B样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 C样本中的男生偏爱理科 D样本中的女生偏爱文科 5 （5 分）若等边ABC 的边长为 4，则 =（ ） A8 B8 C83 D83 6 （5 分）已知三棱锥 DABC 的四个顶点在球 O 的球面上，若 ABACBCDBDC 1，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，球
3、 O 的表面积为（ ） A5 3 B2 C5 D20 3 7 （5 分）已知两个不同平面 ， 和三条不重合的直线 a，b，c，则下列命题中正确的是 第 2 页（共 18 页） （ ） A若 a，b，则 ab B若 a，b 在平面 内，且 ca，cb，则 c C若 a，b，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与 a，b，c 都相交 D若 ， 分别经过两异面直线 a，b，且 c，则 c 必与 a 或 b 相交 8 （5 分）函数() = ( 2 1+ 1)图象的大致形状是（ ） A B C D 9 （5 分）要得到函数 ycos（2x+ 3）的图象，只需将函数 ycos2x 的图象（ ）
4、A向左平行移动 3个单位长度 B向右平行移动 3个单位长度 C向左平行移动 6个单位长度 D向右平行移动 6个单位长度 10 （5 分）已知函数 f（x）和 g（x）的定义如表一，二： 表一： x 1 2 3 f（x） 2 3 1 表二： x 1 2 3 g（x） 3 2 1 则方程 g（f（x） ）x 的解集是（ ） A B3 C2 D1 第 3 页（共 18 页） 11 （5 分）若双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线被曲线（x2）2+y22 所 截得的弦长为 2则该双曲线的离心率为（ ） A3 B23 3 C5 D25 5 12（5 分） 已知函数() = |，0 2(
5、 + 2)， 0， 则函数 yf （x） 3 的零点个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在等比数列an中，已知 a2+a48，a6+a84，则 a10+a12+a14+a16 14 （5 分） 已知实数 x， y 满足约束条件： 0 + 4 0 1 ， 则 z2 2x+y 的最大值为 15 （5 分）已知函数 f（x）exx2的图象在点（1，f（1） ）处的切线过点（0，a） ，则 a 16 （5 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为43，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表
6、面积是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 a2， + + 2 = 0 （1）求 B； （2）若 BC 边的中线 AM 长为5，求ABC 的面积 18 （12 分）设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为 18，9，18，先采用分层抽 样的方法从这三个协会中抽取 5 名运动员参加比赛 （）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （）将抽取的 5 名运动员进行编号，编号分别为 A1，A2，A3，A4，A5，从这 5 名运动 员中随机抽取
7、 2 名参加双打比赛设“编号为 A1，A2的两名运动员至少有一人被抽到” 为事件 A，求事件 A 发生的概率 19 （12 分）如图直三棱柱 ABCA1B1C1，AA1= 2，底面是边长为 1 的等边三角形，D 为 BB1的中点，AC1与 CA1交于点 E （）证明：DE平面 A1B1C1； （）求点 B 到平面 DCA1的距离 第 4 页（共 18 页） 20 （12 分）椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，焦距为 2，P 为椭圆 C 上一点，F 为焦点， 且 PFx 轴，|PF|= 3 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 设 Q 为 y 轴正半轴上的定点， 过点 Q 的直
8、线 l 交椭圆于 A， B 两点， O 为坐标原点， 且 SAOB= 3 2tanAOB，求点 Q 的坐标 21 （12 分）设函数() = + 2 2 (0) （）求函数 f（x）的单调区间； （）记函数 f（x）的最小值为 g（a） ，证明：g（a）1 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 2 + 1 2 = 3 2 （t 为参数） ，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 = 10 （1）若 l 与 C 相交于 A，B 两
9、点 P（2，0） ，求|PA|PB|； （2）圆 M 的圆心在极轴上，且圆 M 经过极点，若 l 被圆 M 截得的弦长为 1，求圆 M 的 半径 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数() = | 2+1 | + | 1|（a0） ，g（x）4|x1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）g（x）的解集包含0，1，求 a 的取值集合 第 5 页（共 18 页） 第 6 页（共 18 页） 2020 年宁夏高考数学（文科）模拟试卷（年宁夏高考数学（文科）模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题
10、（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|（x1） （x+1）0，By|y2x，xR，则 AB（ ） A （1，0 B （1，1） C （0，1） D 【解答】解：集合 Ax|（x1） （x+1）0（1，1， By|y2x，xRy|y0（0，+） ， AB（0，1） 故选：C 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足12 = 1 + ，则|z|（ ） A 5 2 B32 2 C 10 2 D3 【解答】解：由12 =1+i，得 z= 12 1+ = (12)(1) (1+)(1) = 1 2 3 2， |z|=( 1 2
11、) 2+ (3 2) 2 = 10 2 故选：C 3 （5 分）已知数列an的前 n 项和公式是= 22+ 3，则（ ） A是公差为 2 的等差数列 B是公差为 3 的等差数列 C是公差为 4 的等差数列 D不是等差数列 【解答】解：n2 时，anSnSn12n2+3n2（n1）23（n1）4n+1， n1 时，a1S1212+315，符合上式， an4n+1 故选：C 4 （5 分）现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、 女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图： 第 7 页（共 18 页） 根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ） A
12、样本中的女生数量多于男生数量 B样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 C样本中的男生偏爱理科 D样本中的女生偏爱文科 【解答】解：由图 2 知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱 理科；由图 1 知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量， 故选：D 5 （5 分）若等边ABC 的边长为 4，则 =（ ） A8 B8 C83 D83 【解答】解：如图， 根据题意，| | = | | = 4， ， = = 60， = | | |60 = 4 4 1 2 = 8 故选：A 6 （5 分）已知三棱锥 DABC 的四个顶点在球 O 的球面上，若 ABACB
13、CDBDC 1，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，球 O 的表面积为（ ） A5 3 B2 C5 D20 3 【解答】解：如图，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，则平面 ABC平面 DBC， 第 8 页（共 18 页） 取 BC 的中点 G，连接 AG，DG，则 AGBC，DGBC 分别取ABC 与DBC 的外心 E，F，分别过 E，F 作平面 ABC 与平面 DBC 的 垂线，相交于 O，则 O 为四面体 ABCD 的球心， 由 ABACBCDBDC1，得正方形 OEGF 的边长为 3 6 ，则 OG= 6 6 四面体 ABCD 的外接球的半径 R= 2+ 2=( 6 6 )2+
14、 (1 2) 2 = 5 12 球 O 的表面积为= 4 ( 5 12) 2 = 5 3 ， 故选：A 7 （5 分）已知两个不同平面 ， 和三条不重合的直线 a，b，c，则下列命题中正确的是 （ ） A若 a，b，则 ab B若 a，b 在平面 内，且 ca，cb，则 c C若 a，b，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与 a，b，c 都相交 D若 ， 分别经过两异面直线 a，b，且 c，则 c 必与 a 或 b 相交 【解答】解：对于选项 A：若 a，b，则直线 a 也可能与直线 b 异面，故错误 对于选项 B，只有直线 a 和 b 为相交直线时，若 ca，cb，则 c故错误 对
15、于选项 C： 若 a， b， c 是两两互相异面的直线， 则要么存在一条直线或不存在直线与 a， b，c 都相交故错误 对于选项 D：若 ， 分别经过两异面直线 a，b，且 c，则 c 必与 a 或 b 相交，正 确 故选：D 第 9 页（共 18 页） 8 （5 分）函数() = ( 2 1+ 1)图象的大致形状是（ ） A B C D 【解答】解：() = ( 2 1+ 1) = 1 1+sinx， 则 f（x）= 1 1+sin（x）= 1 +1 （sinx）= 1 1+sinxf（x） ， 则 f（x）是偶函数，则图象关于 y 轴对称，排除 B，D， 由 f（x）0，得 1ex0 或
16、sinx0， 得 xk，kZ，即当 x0 时，第一个零点为 ， 当 x1 时，f（1）= 1 1+sin10，排除 A， 故选：C 9 （5 分）要得到函数 ycos（2x+ 3）的图象，只需将函数 ycos2x 的图象（ ） A向左平行移动 3个单位长度 B向右平行移动 3个单位长度 C向左平行移动 6个单位长度 D向右平行移动 6个单位长度 【解答】解：ycos（2x+ 3）cos2（x+ 6）， 将函数 ycos2x 的图象向左平移 6个单位，即可得到 ycos（2x+ 3）的图象 故选：C 10 （5 分）已知函数 f（x）和 g（x）的定义如表一，二： 表一： x 1 2 3 第 1
17、0 页（共 18 页） f（x） 2 3 1 表二： x 1 2 3 g（x） 3 2 1 则方程 g（f（x） ）x 的解集是（ ） A B3 C2 D1 【解答】解：f（1）2，f（2）3，f（3）1， g（f（1） ）2，g（f（2） ）1，g（f（3） ）3， 只有 g（f（3） ）3 满足， 因此方程 g（f（x） ）x 的解集是3 故选：B 11 （5 分）若双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线被曲线（x2）2+y22 所 截得的弦长为 2则该双曲线的离心率为（ ） A3 B23 3 C5 D25 5 【解答】解：双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐
18、近线不妨为：bx+ay0， 圆（x2）2+y22 的圆心（2，0） ，半径为2， 双曲线的一条渐近线被圆（x2）2+y22 所截得的弦长为 2， 可得圆心到直线的距离为：(2)2 12=1= 2 2+2， 42 2 = 4242 2 =1， 解得：e= = 23 3 ， 故选：B 12（5 分） 已知函数() = |，0 2( + 2)， 0， 则函数 yf （x） 3 的零点个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：因为函数() = |，0 2( + 2)， 0， 且 x0 时 f（x2x（x+2）2（x+1）2+2； 所以 f（x）的图象如图， 第 11 页（共 18 页） 由图
19、可得：yf（x）与 y3 只有两个交点； 即函数 yf（x）3 的零点个数是 2； 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在等比数列an中，已知 a2+a48，a6+a84，则 a10+a12+a14+a16 3 【解答】解：设等比数列的公比为 q，则1(1 + 2) = 8 15(1 + 2) = 4， 解可得 q4= 1 2， 所以 a10+a12+a14+a16= (2+ 4)8+（a6+a8）q88 1 4 + 4 1 4 =3 故答案为：3 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件： 0 + 4
20、0 1 ，则 z2 2x+y 的最大值为 1 2 【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件： 0 + 4 0 1 ，作出可行域如图，则 z2 2x+y 的最大值就是 u2xy 的最小值时取得 联立 = 0 = 1 ，解得 A（1，1） ， 化目标函数 u2x+y 为 y2x+u， 由图可知， 当直线 y2x+u 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最小， 此时 z 有最大值为 2 2+1= 1 2 故答案为：1 2 第 12 页（共 18 页） 15 （5 分）已知函数 f（x）exx2的图象在点（1，f（1） ）处的切线过点（0，a） ，则 a 1 【解答】解：函数 f（x）exx2的导数为
21、 f（x）ex2x， 函数 f（x）exx2的图象在点（1，f（1） ）处的切线的斜率为 e2， 切点为（1，e1） ， 由切线过点（0，a） ，可得： e2= 1 10 ， 解得 a1， 故答案为：1 16 （5 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为43，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表面积是 64 【解答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心 O，外接圆的半径 r， 正三棱锥的外接球的球心在高 SO所在的直线上，设为 O， 连接 OA 得：r= 6 3 ， 所以 r23，即 OA23， 所以三棱锥的高 h= 2 2=(43)2 (23)2=6
22、， 由勾股定理得，R2r2+（Rh）2，解得：R4， 所以外接球的表面积 S4R264 第 13 页（共 18 页） 故答案为：64 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 a2， + + 2 = 0 （1）求 B； （2）若 BC 边的中线 AM 长为5，求ABC 的面积 【解答】 解： （1） 在ABC 中， = = ， 且 + + 2 = 0， + + 2 = 0， (1 + 2) = 0， 又sinB0， = 2 2 B 是三角形的内角
23、， = 3 4 ； （2）在ABM 中， = 1， = 5， = 3 4 ， = ， 由余弦定理得 AM2c2+（BM）22cBMcosB，2+ 2 4 = 0， c0， = 2 在ABC 中，a2， = 2， = 3 4 ， ABC 的面积 = 1 2 = 1 18 （12 分）设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为 18，9，18，先采用分层抽 样的方法从这三个协会中抽取 5 名运动员参加比赛 （）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （）将抽取的 5 名运动员进行编号，编号分别为 A1，A2，A3，A4，A5，从这 5 名运动 员中随机抽取 2 名参加双打比赛设“编号为 A1，
24、A2的两名运动员至少有一人被抽到” 为事件 A，求事件 A 发生的概率 【解答】解： （）甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为 18，9，18， 第 14 页（共 18 页） 采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 5 名运动员参加比赛， 甲羽毛球协会中抽取的运动员人数为：5 18 18+9+18 =2， 乙羽毛球协会中抽取的运动员人数为：5 9 18+9+18 =1， 丙羽毛球协会中抽取的运动员人数为：5 18 18+9+18 =2 （）将抽取的 5 名运动员进行编号，编号分别为 A1，A2，A3，A4，A5， 从这 5 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛 基本事件有： （A1，A2
25、） ， （A1，A3） ， （A1，A4） ， （A1，A5） ， （A2，A3） ， （A2，A4） ， （A2，A5） ， （A3，A4） ， （A3，A5） ， （A4，A5） ， 设“编号为 A1，A2的两名运动员至少有一人被抽到”为事件 A， 事件 A 包含的基本事件有 6 个，分别为： （A1，A2） ， （A1，A3） ， （A1，A4） ， （A1，A5） ， （A2，A3） ， （A2，A4） ， （A2，A5） ， 事件 A 发生的概率为 P（A）= 7 10 19 （12 分）如图直三棱柱 ABCA1B1C1，AA1= 2，底面是边长为 1 的等边三角形，D 为 BB1的
26、中点，AC1与 CA1交于点 E （）证明：DE平面 A1B1C1； （）求点 B 到平面 DCA1的距离 【解答】 （）证明：取 A1C1 的中点 F，连接 EF，B1F， EFAA1，BB1AA1，DB1EF， 又EF= 1= 1 2 1，四边形 DEFB1 为平行四边形，则 DEB1F 又B1F平面 A1B1C1，DE平面 A1B1C1 DE平面 A1B1C1； （）解：取 AB 的中点 H，连接 CH， 第 15 页（共 18 页） 由直三棱柱的性质可得 CH平面 AA1B1B，CH= 3 2 ，1= 2 4 设点 B 到平面 DCA1的距离为 h，又1= 3 4， 由1= 1，得1
27、3 1 = 1 3 1 ， 即1 3 3 4 = 1 3 2 4 3 2 ，解得 h= 6 6 20 （12 分）椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，焦距为 2，P 为椭圆 C 上一点，F 为焦点， 且 PFx 轴，|PF|= 3 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 设 Q 为 y 轴正半轴上的定点， 过点 Q 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， O 为坐标原点， 且 SAOB= 3 2tanAOB，求点 Q 的坐标 【解答】解： （1）由题意可得 2c2，即 c1，则 a2b2c21，又因为 PFx 轴， 且|PF|= 3 2，可得 2 = 3 2，解得 a2，b= 3
28、，则椭圆的方程为 2 4 + 2 3 =1； （2）设 Q（0，m） ，直线 l 的方程设为 ykx+m， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 SOAB= 1 2|OA|OB|sinAOB= 3 2tanAOB= 3 2， 则|OA|OB|cosAOB3，即 = 3， 由 = + 32+ 42= 12可得（3+4k 2）x2+8kmx+4m2120， （8km）24（3+4k2） （4m212）48（4k2m2+3）0， 第 16 页（共 18 页） x1+x2= 8 3+42，x1x2= 4212 3+42 ， 则 =x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m） （kx2+m）（
29、1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m23， 即有（1+k2） 4 212 3+42 +km（ 8 3+42）+m 23， 可得 4（k2m23k2+m23）8k2m2+（4k2m2+12k2+3m2+9）0， 解得 m= 21 7 ， 则 M 的坐标为（0， 21 7 ） 21 （12 分）设函数() = + 2 2 (0) （）求函数 f（x）的单调区间； （）记函数 f（x）的最小值为 g（a） ，证明：g（a）1 【解答】解： （）显然 f（x）的定义域为（0，+） （1 分） () = 1 + 222(2) 4 = 2+2 2 2+2 3 = (2+2)() 3 （3 分） x2
30、+20，x0， 若 x（0，a） ，xa0，此时 f（x）0，f（x）在（0，a）上单调递减； 若 x（a，+） ，xa0，此时 f（x）0，f（x）在（a，+）上单调递增； 综上所述：f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增 （5 分） （）证明：由（）知：()= () = 2 ( 1 2) = 1 ， 即：() = 1 （6 分） 要证 g（a）1，即证明 1 1，即证明1 1 2 1 ， 令() = + 1 + 1 2 1，则只需证明() = + 1 + 1 2 10，（8 分） () = 1 1 2 2 3 = 22 3 = (2)(+1) 3 ，且 a0， 当 a（0，
31、2） ，a20，此时 h（a）0，h（a）在（0，2）上单调递减； 当 a（2，+） ，a20，此时 h（a）0，h（a）在（2，+）上单调递增， 第 17 页（共 18 页） ()= (2) = 2 + 1 2 + 1 4 1 = 2 1 40 （11 分） () = + 1 + 1 2 10g（a）1 （12 分） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 2 + 1 2 = 3 2 （t 为参数） ，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的
32、极坐标方程为 = 10 （1）若 l 与 C 相交于 A，B 两点 P（2，0） ，求|PA|PB|； （2）圆 M 的圆心在极轴上，且圆 M 经过极点，若 l 被圆 M 截得的弦长为 1，求圆 M 的 半径 【解答】解： （1）由 = 10，得 x2+y210， 将 = 2 + 1 2 = 3 2 代入 x2+y210， 得 t22t60， 设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2， 则 t1t26，故|PA|PB|tt2|6 （2）直线 l 的普通方程为3 y+23 =0， 设圆 M 的方程为（xa）2+（yb）2a2（a0） 圆心（a，0）到直线 l 的距离为 d= |3+23|
33、 2 ， 因为 22 2=1，所以 d2a2 1 4 = 3(+2)2 4 ， 解得 a13（a10，舍去） ， 则圆 M 的半径为 13 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数() = | 2+1 | + | 1|（a0） ，g（x）4|x1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）g（x）的解集包含0，1，求 a 的取值集合 【解答】解： （1）当 a1 时，函数() = | 2+1 | + | 1| =|x2|+|x1|= 第 18 页（共 18 页） 2 + 3， 1 1，12 2 3， 2 ， 当 x1 时，不等式 f（x）3 化为2x+33，解得 x0； 当 1x2 时，不等式 f（x）3 化为 13，无解； 当 x2 时，不等式 f（x）3 化为 2x33，解得 x0，即 x3； 综上知，不等式 f（x）3 的解集为（，03，+） （2）关于 x 的不等式 f（x）g（x）的解集包含0，1， 等价于| 2+1 | + | 1| 4|x1|在0，1上恒成立， 由 a0， 2+1 2，所以 x0，1时， 2+1 x+1x4+x1 恒成立； 即 x0，1， + 1 3 + 2恒成立，所以 + 1 2， 又 a0，则 2+1 2恒成立，所以 + 1 = 2，解得 a1； 所以 a 的取值集合是1
