1、 第 1 页（共 17 页） 2021 年新高考数学模拟试卷年新高考数学模拟试卷 2 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|0x1，Bx|3x1，则（ ） AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 2 （5 分）已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，2） ，则 1: =（ ） A 3 2 + 3 2 B 3 2 + 1 2 C 1 2 + 3 2 D1 2 + 3 2 3 （5 分）设 alog20.4，b0.42，c20.4，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac
2、Dbca 4 （5 分）已知| | |= 2，且（ 2 ）与 垂直，则与 的夹角是（ ） A 3 B 6 C3 4 D 4 5 （5 分）记等比数列an满足 2a25a33a4，则公比 q（ ） A1 3 B1 3或2 C2 D1 9 6 （5 分）在等差数列an中，a12，a3+a728，若 am26，则 m（ ） A6 B7 C8 D9 7 （5 分）已知函数 f（x）asin3x+a+b（a0，xR）的值域为5，3，函数 g（x） bcosax，则 g（x）的图象的对称中心为（ ） A( 4 ， 5)( ) B( 4 + 8 ， 5)( ) C( 5 ， 4)( ) D( 5 + 10
3、， 4)( ) 8 （5 分）已知 f（x）是函数 f（x）的导函数，且对任意的实数 x 都有 f（x）ex（2x+3） +f（x） （e 是自然对数的底数） ，f（0）1，若不等式 f（x）k0 的解集中恰有两个整 数，则实数 k 的取值范围是（ ） A 1 ，0） B 1 2，0 C （ 1 2，0 D （ 1 2，0） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）下面四个说法中，正确的是（ ） A “直线 a直线 b”的充要条件是“直线 a 平行于直线 b 所在的平面” B “直线 l平面 内所有直线”的充要条件是“直线 l
4、平面 ” C “直线 a、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a、b 不相交” 第 2 页（共 17 页） D “平面 平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线的三点到 的距离相等” 10 （5 分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为1 2和 1 3，甲、乙两人各射击一次， 下列说法正确的是（ ） A目标恰好被命中一次的概率为1 2 + 1 3 B目标恰好被命中两次的概率为1 2 1 3 C目标被命中的概率为1 2 2 3 + 1 2 1 3 D目标被命中的概率为 1 1 2 2 3 11（5分） 如图， M是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点， 下列命题中真命题是
5、 （ ） A过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都相交 B过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都垂直 C过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都相交 D过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都平行 12 （5 分）已知函数 f（x）= 2 ，g（x）= + 2 ，则 f（x） 、g（x）满足（ ） Af（x）f（x） ，g（x）g（x） Bf（2）f（3） ，g（2）g（3） Cf（2x）2f（x） g（x） Df（x）2g（x）21 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）研究珠
6、海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数 X 服从正态分布 N（90， 2） ，且 P（x70）0.1，从中随机抽取 10 株，果实个数在90，110的株数记作随机 变量 X，假设 X 服从二项分布，则 X 的方差为 14 （5 分）已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和 Sn满足 4Sna 2 +2an，nN*设 bn（1）nanan+1，Tn为数列bn的前 n 项和，则 T2n 第 3 页（共 17 页） 15 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，当 x（0，2时，f（x）x（2x） ，且对任意 的 xR，均有 f（x+2）2f（x） ，若不等式 f（x） 15 2 在 x（
7、，a上恒成立，则实 数 a 的最大值为 16 （5 分）已知椭圆 C1： 2 2 + 2 2 =1（ab0）与圆 C2：x2+y2b2，若在椭圆 C1上存 在点 P，过 P 作圆的切线 PA，PB，切点为 A，B 使得BPA= 3，则椭圆 C1 的离心率的 取值范围是 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn已知 S36，S642 （1）求 an，Sn； （2）证明 Sn+1，Sn，Sn+2是成等差数列 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 6asinBcos2 2 =b
8、sinA （1）求 cosA； （2）若 a= 21，b+c5，求ABC 的面积 19 （12 分）已知两圆 C1： （x1）2+y29C2： （x+1）2+y21，动圆在圆 C1内部且与圆 C1相内切，与圆 C2向外切 （1）求动圆圆心 C 的轨迹方程； （2）已知 A（2，0） ，过 A 作斜率分别为 k1，k2的两条直线交曲线 C 于 D，E 两点， 且 k1k22，求证：直线 DE 过定点，并求出该定点的坐标 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，PD AB，E 为 PC 的中点 （1）求证：DE平面 PCB； （2）求二面角
9、EBDP 的余弦值 21 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 第 4 页（共 17 页） 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关
10、（）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 22 （12 分）已知函数 f（x）xex 1ax+1，曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线 l 的斜率为 3e2 （1）求 a 的值及切线 l 的方程； （2）证明：f（x）0 第 5 页（共 17 页） 2021 年新高考数学模拟试卷年新高考数学模拟试卷 2 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共
11、 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|0x1，Bx|3x1，则（ ） AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 【解答】解：Ax|0x1，Bx|x0， AB，ABx|x0 或 0x1 故选：D 2 （5 分）已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，2） ，则 1: =（ ） A 3 2 + 3 2 B 3 2 + 1 2 C 1 2 + 3 2 D1 2 + 3 2 【解答】解：由题意，z1+2i， 则 1: = ;1:2 1: = (;1:2)(1;) (1:)(1;) = 1 2 + 3 2 故选：D 3 （5 分
12、）设 alog20.4，b0.42，c20.4，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 【解答】解：log20.4log210，a0， 0.420.16，b0.16， 20.4201，c1， abc， 故选：A 4 （5 分）已知| | |= 2，且（ 2 ）与 垂直，则与 的夹角是（ ） A 3 B 6 C3 4 D 4 【解答】解：| | = | | = 2，( 2 ) ， ( 2 ) = 2 2 = 2 2 = 0， = 1， ， = | | |= 1 2，且0 ， ， 第 6 页（共 17 页） 与 的夹角是 3 故选：A 5 （5 分）记等比数列a
13、n满足 2a25a33a4，则公比 q（ ） A1 3 B1 3或2 C2 D1 9 【解答】解：等比数列an满足 2a25a33a4， 依题意，22 52 = 322， 即 3q2+5q20，故（3q1） （q+2）0， 解得 = 1 3或 q2， 故选：B 6 （5 分）在等差数列an中，a12，a3+a728，若 am26，则 m（ ） A6 B7 C8 D9 【解答】解：由题意，可得 a3+a72a528，故 a514 公差 = 51 4 = 3， ana1+（n1）d2+3 （n1）3n1， am3m126， 解得 m9 故选：D 7 （5 分）已知函数 f（x）asin3x+a+b
14、（a0，xR）的值域为5，3，函数 g（x） bcosax，则 g（x）的图象的对称中心为（ ） A( 4 ， 5)( ) B( 4 + 8 ， 5)( ) C( 5 ， 4)( ) D( 5 + 10 ， 4)( ) 【解答】解：由于 a0，所以函数 f（x） asin3x+a+b（a0， xR） 的值域为b，2a+b 5，3， 所以 a4，b5 所以 g（x）4cos4x5 令4 = + 2（kZ） ，解得 x= 4 + 8（kZ） ， 所以函数的对称中心为（ 4 + 8 ， 5） （kZ） 第 7 页（共 17 页） 故选：B 8 （5 分）已知 f（x）是函数 f（x）的导函数，且对任
15、意的实数 x 都有 f（x）ex（2x+3） +f（x） （e 是自然对数的底数） ，f（0）1，若不等式 f（x）k0 的解集中恰有两个整 数，则实数 k 的取值范围是（ ） A 1 ，0） B 1 2，0 C （ 1 2，0 D （ 1 2，0） 【解答】解：令 G（x）= () ，则 G（x）= ()() =2x+3，可设 G（x）x2+3x+c， G（0）f（0）1c1 f（x）（x2+3x+1）ex， f（x）（x2+5x+4）ex（x+1） （x+4）ex 可得：x4 时，函数 f（x）取得极大值，x1 时， 函数 f（x）取得极小值 f（1）= 1 ，f（0）1，f（2）= 1
16、2 0，f（3）= 1 3 0 1 2 k0 时，不等式 f（x）k0 的解集中恰有两个整数1，2 故 k 的取值范围是( 1 2 ，0 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）下面四个说法中，正确的是（ ） A “直线 a直线 b”的充要条件是“直线 a 平行于直线 b 所在的平面” B “直线 l平面 内所有直线”的充要条件是“直线 l平面 ” C “直线 a、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a、b 不相交” D “平面 平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线的三点到 的距离相等” 第 8 页（共
17、17 页） 【解答】解：A “直线 a直线 b”与“直线 a 平行于直线 b 所在的平面”相互推不出， 因此不正确； B “直线 l平面 内所有直线”的充要条件是“直线 l平面 ” ，正确； C “直线 a、b 为异面直线”“直线 a、b 不相交” ，反之不成立， “直线 a、b 为异面直 线”的必要不充分条件是“直线 a、b 不相交” ，因此不正确； D “平面 平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线的三点到 的距离相等” ， 正确 故选：BD 10 （5 分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为1 2和 1 3，甲、乙两人各射击一次， 下列说法正确的是（ ） A目标恰好被命中一次的
18、概率为1 2 + 1 3 B目标恰好被命中两次的概率为1 2 1 3 C目标被命中的概率为1 2 2 3 + 1 2 1 3 D目标被命中的概率为 1 1 2 2 3 【解答】解：甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为1 2和 1 3，甲、乙两人各射击一 次， 在 A 中，目标恰好被命中一次的概率为 P= 1 2 (1 1 3) + (1 1 2) 1 3，故 A 错误； 在 B 中，由相互独立事件概率乘法公式得： 目标恰好被命中两次的概率为1 2 1 3，故 B 正确； 在 C 中，目标被命中的概率为 P1（1 1 2） （1 1 3） ，故 C 错误； 在 D 中，目标被命中的概率为 P
19、1（1 1 2） （1 1 3） ，故 D 正确 故选：BD 11（5分） 如图， M是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点， 下列命题中真命题是 （ ） 第 9 页（共 17 页） A过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都相交 B过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都垂直 C过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都相交 D过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都平行 【解答】解：直线 AB 与 B1C1 是两条互相垂直的异面直线，点 M 不在这两异面直线中 的任何一条上，如图所示： 取 C1C 的中点 N，则 MNAB，且 MNAB，设
20、 BN 与 B1C1交于 H，则点 A、B、M、 N、H 共面， 直线 HM 必与 AB 直线相交于某点 O 所以，过 M 点有且只有一条直线 HO 与直线 AB、B1C1都相交；故 A 正确 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱 DD1，故 B 正确 过 M 点有无数个平面与直线 AB、B1C1都相交，故 C 不正确 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都平行，此平面就是过 M 点与正方体的上下 底都平行的平面，故 D 正确 故选：ABD 12 （5 分）已知函数 f（x）= 2 ，g（x）= + 2 ，则 f（x） 、g（x）满足（ ） Af（x
21、）f（x） ，g（x）g（x） Bf（2）f（3） ，g（2）g（3） Cf（2x）2f（x） g（x） 第 10 页（共 17 页） Df（x）2g（x）21 【解答】解：f（x）= 2 = 2 = f（x） ，g（x）= + 2 =g（x） 故 A 正确， f（x）为增函数，则 f（2）f（3） ，成立，g（2）= 2+2 2 ，g（3）= 3+3 2 g （2） ，故 B 正确， 2f（x） g（x）2 2 : 2 =2 22 2 =2f（2x） ，故 C 正确， f（x）2g（x）2f（x）+g（x）f（x）g（x）ex （e x）1，故 D 错 误， 故选：ABC 三填空题（共三填空
22、题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数 X 服从正态分布 N（90， 2） ，且 P（x70）0.1，从中随机抽取 10 株，果实个数在90，110的株数记作随机 变量 X，假设 X 服从二项分布，则 X 的方差为 2.4 【解答】解：xN（90，2） ，且 P（x70）0.1， P（90x110）0.50.10.4， XB（10，0.4） ， X 的方差为 100.4（10.4）2.4 故答案为：2.4 14 （5 分）已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和 Sn满足 4Sna 2 +2
23、an，nN*设 bn（1）nanan+1，Tn为数列bn的前 n 项和，则 T2n 8n（n+1） 【解答】解：数列an的各项均为正数，其前 n 项和 Sn满足 4Sna 2 +2an，nN* 可得 n1 时，4a14S1a12+2a1，解得 a12， n2 时，4Sn1an12+2an1，又 4Snan2+2an， 相减可得 4anan2+2anan122an1， 化为（an+an1） （anan12）0， 由 an0，可得 anan12， 则 an2+2（n1）2n， bn（1）nanan+1（1）n4n（n+1） ， 可得 T2n412+2334+4556+67 （2n1） （2n） +
24、 （2n） （2n+1） 第 11 页（共 17 页） 4（22+24+26+22n）8 1 2n（2+2n）8n（n+1） 故答案为：8n（n+1） 15 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，当 x（0，2时，f（x）x（2x） ，且对任意 的 xR，均有 f（x+2）2f（x） ，若不等式 f（x） 15 2 在 x（，a上恒成立，则实 数 a 的最大值为 27 4 【解答】解：利用转点法，设 A（0， 15 2 ） ，在 x6，8上，则（0 2， 15 4 ）在 x4， 6上， （0 4， 15 8 ） 在 x2， 4上， （0 6， 15 16） 在 x0， 2上， 即 f （
25、x） x （2x） 过 （0 6， 15 16） ， 所以(0 6)(8 0) = 15 16，解得0 = 27 4 故答案为：27 4 16 （5 分）已知椭圆 C1： 2 2 + 2 2 =1（ab0）与圆 C2：x2+y2b2，若在椭圆 C1上存 在点 P，过 P 作圆的切线 PA，PB，切点为 A，B 使得BPA= 3，则椭圆 C1 的离心率的 取值范围是 3 2 ，1） 【解答】解：连接 OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B 四点共圆， BPA= 3，APOBPO= 6， 在直角三角形 OAP 中，AOP= 3， cosAOP= | = 1 2，得|OP|= 1 2 =2b， b
26、|OP|a，2ba， 4b2a2，即 4（a2c2）a2， 3a24c2，即 2 2 3 4， e 3 2 ，又 0e1， 3 2 e1， 第 12 页（共 17 页） 椭圆 C 的离心率的取值范围是 3 2 ，1） ， 故答案为： 3 2 ，1） 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn已知 S36，S642 （1）求 an，Sn； （2）证明 Sn+1，Sn，Sn+2是成等差数列 【解答】 （1）解：由题意设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则 q1， 则 1(13) 1 = 6 1(16) 1 =
27、42 ，从而 1+q37，即 q38， q2，a12， = (2)，= (2)1(2) 1(2) = 2 3 1 (2)； （2）证明：由（1）知，:1+ :2= 2 3 1 (2):1 2 3 1 (2):2 = 2 3 2 (2):1 (2):2 = 2 3 2 + 2 (2) 4 (2) = 4 3 1 (2) = 2， Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 6asinBcos2 2 =bsinA （1）求 cosA； （2）若 a= 21，b+c5，求ABC 的面积 【解答】 （本题满分为 12 分） 第 13
28、 页（共 17 页） 解： （1）6asinBcos2 2 =bsinA， 6abcos2 2 =ab， cos2 2 = 1 6， cosA2cos2 2 1= 2 3 5 分 （2）a= 21，b+c5， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA， 可得： 21b2+c2+ 4 3bc （b+c） 22bc+4 3bc25 2 3bc， bc6， sinA= 1 2 = 5 3 ， SABC= 1 2bcsinA= 512 分 19 （12 分）已知两圆 C1： （x1）2+y29C2： （x+1）2+y21，动圆在圆 C1内部且与圆 C1相内切，与圆 C2向外切 （1）求动圆圆心 C 的
29、轨迹方程； （2）已知 A（2，0） ，过 A 作斜率分别为 k1，k2的两条直线交曲线 C 于 D，E 两点， 且 k1k22，求证：直线 DE 过定点，并求出该定点的坐标 【解答】解： （1）设动圆 C 的半径为 r，根据几何关系， 动圆 C 与圆 C1内切，所以 r3CC1， 动圆 C 与圆 C2外切，所以 rCC21， 所以，3CC1CC21，即 CC1+CC24（定值） ， 因此，点 P 的轨迹为椭圆，且 a2，c1，b= 3， 所以，圆心 C 的轨迹方程为： 2 4 + 2 3 = 1（x2） ； （2）因为点 A（2，0）在 x 轴上，根据对称性可知，直线 DE 所过的定点必在
30、x 轴上， 因此，可采取先猜后证的方法确定直线 DE 必过定点， 当点 D，E 两点无限接近时，直线 DE 趋于切线，此时 k1，k2都趋于2（或2） ， 故可设 lAE：y= 2（x+2） ，代入椭圆解得 D（ 10 11， 122 11 ） ， 且点 D 处切线斜率 k= 2 2 = 52 16 ， 因此，椭圆在点 D 处的切线方程为：y 122 11 = 52 16 （x+ 10 11） ， 第 14 页（共 17 页） 令 y0，解得 x= 22 5 ，由此可猜测：直线 DE 恒过定点 P（ 22 5 ，0） ，证明如下： 设 D（x1，y1） ，E（x2，y2） ，过点 P 的直线为
31、：xmy 22 5 ，联立椭圆方程得， 25（3m2+4）y2660my+11520， 所以，y1+y2= 660 25(32+4)，y1y2= 1152 25(32+4)， 因此，k1k2= 1 1+2 2 2:2 = 12 (1;12 5 )(2;12 5 ) = 2512 2521260(1+2)+144 = 1152 11522121322+144(32+4) = 1152 576 =2（定值） ，符合题意， 因此，直线 DE 恒过定点（ 22 5 ，0） 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，PD AB，E 为 PC 的中点
32、（1）求证：DE平面 PCB； （2）求二面角 EBDP 的余弦值 【解答】解： （1）证明：在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD， 底面 ABCD 是正方形，PDAB，E 为 PC 的中点， DEPC，BCCD，BCPD， PDCDD，BC平面 PCD， DE平面 PCD，DEBC， PCBCC，DE平面 PCB （2）解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 PDAB2，则 E（0，1，1） ，B（2，2，0） ，D（0，0，0） ，P（0，0，2） ， =（2，2，0） ， =（0，1，1） ， =（0，0，2） ， 第
33、15 页（共 17 页） 设平面 BDE 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 + 2 = 0 = + = 0 ，取 x1，得 =（1，1，1） ， 设平面 BDP 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 + 2 = 0 = 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，1，0） ， 设二面角 EBDP 的平面角为 则 cos= | | | |= 2 32 = 6 3 二面角 EBDP 的余弦值为 6 3 21 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员，
34、 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 第 16 页（共 17 页） 后，对其终止试验设一只小
35、白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 【解答】解： （）连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的 概率均为1 4， 假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验， 由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得： 一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为： P1= 1 4 + 3 4 1 4 + 3 4 3 4 1 4 = 37 64 （）随机变量 1，2，3，设事件 C 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状” ， P（X1）P（C）= 3 2(1 4) 2(3 4) + 3 3
36、(1 4) 3 = 5 32， P（X2）1P（C）P（C）（1 5 32） 5 32 = 135 1024， P（X3）1P（C）1P（C）1（1 5 32）（1 5 32）1= 729 1024， 所以 X 的分布列为： 1 2 3 P 5 32 135 1024 729 1024 X 的数学期望 E（X）= 1 5 32 + 2 135 1024 + 3 729 1024 = 2617 1024 22 （12 分）已知函数 f（x）xex 1ax+1，曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线 l 的斜率为 3e2 （1）求 a 的值及切线 l 的方程； （2）证明：f（x）0 【解
37、答】解： （1）函数 f（x）xex 1ax+1 的导数为 f（x）（x+1）ex1a， 曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线 l 的斜率为 3e2， 可得 3ea3e2，即 a2： f（2）2e3，则切线方程为 y（2e3）（3e2） （x2） ， 化为（3e2）xy4e+10； （2）证明：函数 f（x）xex 12x+1 的导数为 f（x）（x+1）ex12， 当 x1 时，f（x）0，f（x）递减； 第 17 页（共 17 页） 令 g（x）（x+1）ex 12（x1） ，则 g（x）（x+2）ex10， 当 x1 时，g（x）递增，即 f（x）递增， 又 f（1）0，的1x1 时，f（x）0，即 f（x）递减； 当 x1 时，f（x）0，f（x）递增， 可得 f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增， 可得 f（x）的最小值为 f（1）0， 即有 f（x）0 恒成立
