1、 第 1 页(共 20 页) 2021 年新高考数学模拟试卷(年新高考数学模拟试卷(32) 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2) ,则 1: =( ) A 3 2 + 3 2 B 3 2 + 1 2 C 1 2 + 3 2 D1 2 + 3 2 2 (5 分)已知集合 Ax|0x1,Bx|3x1,则( ) AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 3 (5 分)已知数列an是等比数列,a20144,a202016,则 a2017( ) A42 B42 C8 D8 4
2、 (5 分)已知函数 f(x)alnx+bx2的图象在点 P(1,1)处的切线与直线 xy+10 垂 直,则 a 的值为( ) A1 B1 C3 D3 5 (5 分)已知数列an中,a11,+1 = :1 ,则数列an( ) A既非等差数列,又非等比数列 B既是等差数列,又是等比数列 C仅为等差数列 D仅为等比数列 6 (5 分)已知 F1,F2为双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的左、右焦点,过右焦点 F2的直线 l,交 C 的左、右两支于 A,B 两点,若 B 为线段 AF2的中点且 BF1l,则双 曲线 C 的离心率为( ) A4 B5 C6 D7 7 (5 分)设锐角 AB
3、C 的三内角 A,B,C 所对边的边分别为 a,b,c,且 a2,B2A, 则 b 的取值范围为( ) A(22,23) B(22,4) C(2,23) D (0,4) 8 (5 分)设定义在 R 上的函数 yf(x)满足任意 tR 都有( + 2) = 1 (),且 x(0,4 时,() () ,则 f(2016) 、4f(2017) 、2f(2018)的大小关系是( ) A2f(2018)f(2016)4f(2017) B2f(2018)f(2016)4f(2017) 第 2 页(共 20 页) C4f(2017)2f(2018)f(2016) D4f(2017)2f(2018)f(201
4、6) 二多选题(共二多选题(共 4 小题,满分小题,满分 16 分,每小题分,每小题 4 分)分) 9 (4 分)定义在 R 上函数 f(x)对任意两个不相等的实数 x1,x2都有 x1f(x1)+x2f(x2) x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“Z 函数” ,以下函数中“Z 函数”的是( ) Ayx2+1 By3x2sinx2cosx Cy= |, 0 0, = 0 Dy= 2 + 4, 0 2+ ,0 10 (4 分)如图, “六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点 O 且三组对边分别 平行,点 A,B 是“六芒星” (如图)的两个顶点,动点 P 在“六芒星”
5、上(内部以及边 界) ,若 = + ,则 x+y 的取值可能是( ) A6 B1 C5 D9 11 (4 分)如图,等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G,已知是AEDADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,下列命题中,正确的是( ) A动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B恒有平面 AGF平面 BCDE 第 3 页(共 20 页) C三棱锥 AEFD 的体积有最大值 D旋转过程中二面角 ADEC 的平面角始终为AGF 12 (4 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,P 为棱 CC1上的动点(点 P 不与点 C,C1重合) ,过点
6、P 作平面 分别与棱 BC,CD 交于 M,N 两点,若 CPCM CN,则下列说法正确的是( ) AA1C平面 B存在点 P,使得 AC1平面 C存在点 P,使得点 A1到平面 的距离为5 3 D用过 P,M,D1三点的平面去截正方体,得到的截面一定是梯形 三填空题(共三填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13(5 分) 已知函数() = 2, 0 ,0, 则 ff (10) ; 若 f (a) 1, 则 a 14 (5 分)若抛物线 x28y 上的点 P 到焦点的距离为 8,则 P 到 x 轴的距离是 15 (5 分)设 Sn是等比数列an的前
7、n 项和,若4 2 =4,则6 4 = 16(5 分) () = 2( + 3),则()的最小正周期是 , 在区间 6 , 6 上的最大值是 四解答题(共四解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分) 17 (10 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 bcosA3asinB 0 (1)求 A; (2)已知 a23,B= 3,求ABC 的面积 18(12 分) 已知数列an为正项数列, a11, 且对nN*, 都有+1 +1 =2 ( 1 + 1 +1) (1)求数列an的通项公式; 第 4 页(共 20 页) (2)若 bnan2n 1,求数列b n的
8、前 n 项和 Sn 19 (12 分)如图,三棱柱 ABCA1B1C1,A1A底面 ABC,且ABC 为正三角形,AB4, AA123,D 为 AC 中点 (1)求证:直线 AB1平面 BC1D; (2)求二面角 C1DBC 的大小 20 (12 分)已知椭圆 C: 2 2 + 2= 1(1)的左、右焦点分别为 F1(c,0) 、F2(c,0) , P 为椭圆 C 上任意一点,且1 2 最小值为 0 ()求曲线 C 的方程; ()若动直线 l1,l2均与椭圆 C 相切,且 l1l2,试探究在 x 轴上是否存在定点 B,使 得点 B 到 l1, l2的距离之积恒为 1?若存在, 请求出点 B 的
9、坐标; 若不存在, 请说明理由 21 (12 分) “爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本 ”在 中华民族几千年绵延发展的历史长河中,爱国主义始终是激昂的主旋律爱国汽车公司 拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造 投入 x(亿元)与科技改造直接收益 y(亿元)的数据统计如下: x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当 0x17 时, 建立了 y 与 x 的两个回归模型, 模型: =4.1x+11.8; 模型: =21.3
10、x 14.4当 x17 时,y 与 x 满足的线性回归方程为 = 0.7x+a (1)根据下列表格中的数据,比较当 0x17 时模型和模型的相关指数 R2,从而 第 5 页(共 20 页) 选择拟合精度更高、更 可靠的模型,并据此预测当“东方红”款高端汽车发动机科技改造的投入为 17 亿元时的 直接收益; 回归模型 模型 模型 回归方程 =4.1x+11.8 =21.3 14.4 1 ( )2 182.4 79.2 (2)为鼓励科技创新,当科技改造投人不少于 20 亿元时,国家给予公司补贴收益 10 亿 元,以回归方程为预测 依据,比较科技改造投人 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的大小
11、; (3)科技改造后, “东方红”款高端汽车发动机的热效率 X 大幅提高,X 服从正态分布 N (0.52, 0.012) , 公司对科技改造团队的奖励方案如下: 若发动机的热效率不超过 50%, 则不予奖励;若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%,则每台发动机奖励 2 万元;若 发动机的热效率超过 53%,则每台发动机奖励 5 万元求每台发动机获得奖励的数学期 望 附:刻画回归效果的相关指数 R21 =1 ()2 =1 ()2 ,17 4.1用最小二乘法求线性回 归方程 = x+ 的系数公式: = =1 =1 2 2 = =1 ()() =1 ()2 ; = 随 机变量 服从正态分布
12、N(,2) ,则 P(+)0.6827,P(2 +2)0.9545 22(12 分) 对于函数 f (x) , 若 f (x0) x0, 则称 x0为 f (x) 的不动点 设 f (x) x3+ax2+bx+3 (1)当 a0 时, (i)求 f(x)的极值点; ()若存在 x0既是 f(x)的极值点,也是 f(x)的不动点,求 b 的值; (2)是否存在 a,b,使得 f(x)有两个极值点,且这两个极值点均为 f(x)的不动点? 说明理由 第 6 页(共 20 页) 2021 年新高考数学模拟试卷(年新高考数学模拟试卷(32) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共
13、 8 小题,满分小题,满分 40 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2) ,则 1: =( ) A 3 2 + 3 2 B 3 2 + 1 2 C 1 2 + 3 2 D1 2 + 3 2 【解答】解:由题意,z1+2i, 则 1: = ;1:2 1: = (;1:2)(1;) (1:)(1;) = 1 2 + 3 2 故选:D 2 (5 分)已知集合 Ax|0x1,Bx|3x1,则( ) AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 【解答】解:Ax|0x1,Bx|x0, AB,ABx|x0 或 0x1 故选:D 3 (5 分
14、)已知数列an是等比数列,a20144,a202016,则 a2017( ) A42 B42 C8 D8 【解答】解:根据等比中项的性质,可知 2017 2 =a2014a202041664, a20178 故选:D 4 (5 分)已知函数 f(x)alnx+bx2的图象在点 P(1,1)处的切线与直线 xy+10 垂 直,则 a 的值为( ) A1 B1 C3 D3 【解答】解:函数 f(x)alnx+bx2的导数为 f(x)= +2bx, 在点 P(1,1)处的切线斜率为 a+2b, 切线与直线 xy+10 垂直,可得 a+2b1, 且 aln1+b1,解得 b1,a3, 故选:C 第 7
15、 页(共 20 页) 5 (5 分)已知数列an中,a11,+1 = :1 ,则数列an( ) A既非等差数列,又非等比数列 B既是等差数列,又是等比数列 C仅为等差数列 D仅为等比数列 【解答】解;根据题意,数列an中,+1 = :1 ,则 1 = ;1, (n2) 则 Sn( 1)( 1 2)( 2 1)S1( ;1)( ;1 ;2)( 2 1) n, (n2) , 当 n1 时,S1a11 符合, 则当 n2 时,anSnSn1n(n1)1, 当 n1 时,a11 符合, 故 an1, 则数列an为非零的常数列,既是等差数列,又是等比数列; 故选:B 6 (5 分)已知 F1,F2为双曲
16、线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的左、右焦点,过右焦点 F2的直线 l,交 C 的左、右两支于 A,B 两点,若 B 为线段 AF2的中点且 BF1l,则双 曲线 C 的离心率为( ) A4 B5 C6 D7 【解答】解:F1,F2为双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的左、右焦点,过右焦点 F2的直线 l,交 C 的左、右两支于 A,B 两点,若 B 为线段 AF2的中点且 BF1l,所以 F1F22c,AF12c,则 AF22a+2c,BF2a+c,所以 BF13a+c, 可得: (3a+c)2+(a+c)24c2, 即 5a2+4acc20, 即 e24e50,e1,
17、 解得 e5, 故选:B 第 8 页(共 20 页) 7 (5 分)设锐角 ABC 的三内角 A,B,C 所对边的边分别为 a,b,c,且 a2,B2A, 则 b 的取值范围为( ) A(22,23) B(22,4) C(2,23) D (0,4) 【解答】解:在锐角三角形中,02A 2,即 0A 4,且 B+A3A,则 2 3A, 即 6 A 3, 综上 6 A 4, 则 2 2 cosA 3 2 , a2,B2A, 由正弦定理得 = = 2, 得 b4cosA, 2 2 cosA 3 2 , 224cosA23, 即 22b23, 则 b 的取值范围是(22,23) , 故选:A 8 (5
18、 分)设定义在 R 上的函数 yf(x)满足任意 tR 都有( + 2) = 1 (),且 x(0,4 时,() () ,则 f(2016) 、4f(2017) 、2f(2018)的大小关系是( ) A2f(2018)f(2016)4f(2017) B2f(2018)f(2016)4f(2017) C4f(2017)2f(2018)f(2016) 第 9 页(共 20 页) D4f(2017)2f(2018)f(2016) 【解答】解:函数 f(x)满足 f(t+2)= 1 (),可得 f(t+4)= 1 (+2) =f(t) ,f(x) 是周期为 4 的函数 f(2016)f(4) ,4f(
19、2017)4f(1) ,2f(2018)2f(2) 令 g(x)= () ,x(0,4,则 g(x)= ()() 2 , x(0,4时,() () , g(x)0,g(x)在(0,4递增, f(1) (2) 2 (4) 4 , 可得:4f(1)2f(2)f(4) ,即 4f(2017)2f(2018)f(2016) 故选:C 二多选题(共二多选题(共 4 小题,满分小题,满分 16 分,每小题分,每小题 4 分)分) 9 (4 分)定义在 R 上函数 f(x)对任意两个不相等的实数 x1,x2都有 x1f(x1)+x2f(x2) x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“Z 函数
20、” ,以下函数中“Z 函数”的是( ) Ayx2+1 By3x2sinx2cosx Cy= |, 0 0, = 0 Dy= 2 + 4, 0 2+ ,0 【解答】解:x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1) , x1f(x1)f(x2)+x2f(x2)f(x1)0, (x2x1)f(x2)f(x1)0,故 Z 函数单调递增, 显然,选项 A、C 不符合, 由多选特征知 B、D 正确, 故选:BD 10 (4 分)如图, “六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点 O 且三组对边分别 平行,点 A,B 是“六芒星” (如图)的两个顶点,动点 P 在“六芒星”上(内部以及
21、边 界) ,若 = + ,则 x+y 的取值可能是( ) 第 10 页(共 20 页) A6 B1 C5 D9 【解答】解:设 = , = ,求 x+y 的最大值,只需考虑右图中 6 个顶点的向量即 可,讨论如下: (1) = ,(x,y)(1,0) ; (2) = + = +3 ,(x,y)(3,1) ; (3) = + = +2 ,(x,y)(2,1) ; (4) = + + = + +( +2 )3 +2 ,(x,y)(3,2) ; (5) = + = + ,(x,y)(1,1) ; (6) = ,(x,y)(0,1) x+y 的最大值为 3+25 根据其对称性,可知 x+y 的最小值为
22、5 故 x+y 的取值范围是5,5, 观察选项,选项 B、C 均符合题意 故选:BC 11 (4 分)如图,等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G,已知是AEDADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,下列命题中,正确的是( ) 第 11 页(共 20 页) A动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B恒有平面 AGF平面 BCDE C三棱锥 AEFD 的体积有最大值 D旋转过程中二面角 ADEC 的平面角始终为AGF 【解答】解:在 A 中,ADAE,ABC 是正三角形, A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上,故 A 正确; 在 B 中,由 A 知,平面
23、AGF 一定过平面 BCED 的垂线, 恒有平面 AGF平面 BCED,故 B 正确; 在 C 中,三棱锥 AFED 的底面积是定值,体积由高即 A到底面的距离决定, 当平面 ADE平面 BCED 时,三棱锥 AFED 的体积有最大值,故 C 正确; 在D中, AGDE, FGFG, 旋转过程中二面角ADEC的平面角始终为AGF, 故 D 正确 故选:ABCD 12 (4 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,P 为棱 CC1上的动点(点 P 不与点 C,C1重合) ,过点 P 作平面 分别与棱 BC,CD 交于 M,N 两点,若 CPCM CN,则下列说法正确的是(
24、) 第 12 页(共 20 页) AA1C平面 B存在点 P,使得 AC1平面 C存在点 P,使得点 A1到平面 的距离为5 3 D用过 P,M,D1三点的平面去截正方体,得到的截面一定是梯形 【解答】解:连接 AD1,D1P,AMDB 易得 AD1PM,CC1PM,C1DPN,DBMN 对于 A,可得正方体中 A1C面 DBC1,即可得 A1C平面 ,故 A 正确 对于 B,A1C平面 ,且 A1C= 3 5 3,所以存在点 P,使得点 A1 到平面 的距离为 5 3,故正确 对于 D,用过 P,M,D1三点的平面去截正方体,得到的截面是四边形 PMAD1,PM AD1,四边形 PMAD1一
25、定是梯形,故正确 故选:ACD 三填空题(共三填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)已知函数() = 2, 0 ,0,则 ff(10) 0 ;若 f(a)1,则 a 1 或 10 【解答】解:由内而外法,由题意,得 f(10)lg101,则 ff(10)f(1)lg1 0; 第 13 页(共 20 页) 若 f(a)1,当 a0 时,f(a)lga1,解得 a10; 当 a0 时,f(a)a21,解得 a1 或 a1(舍去) ; 故答案为: :1 或 10 14 (5 分)若抛物线 x28y 上的点 P 到焦点的距离为 8,则 P 到
26、x 轴的距离是 6 【解答】解:如图,抛物线 x28y 的准线方程为 y2 点 P 到焦点的距离|PF|8,可得 P 到直线的距离|PA|8, P 到 x 轴的距离为 826 故答案为:6 15 (5 分)设 Sn是等比数列an的前 n 项和,若4 2 =4,则6 4 = 13 4 【解答】解:根据题意,设等比数列an的公比为 q, 若4 2 =4,则 S4S2+q2S24S2,解可得 q23, 则 S6S2+q2S44S2+9S213S2, 则6 4 = 132 42 = 13 4 ; 故答案为:13 4 16(5 分) () = 2( + 3),则()的最小正周期是 , 在区间 6 , 6
27、上 的最大值是 2 【解答】解:f(x)2sinx(sinx+3cosx)2sin2x+23sinxcosxcos2x+3sin2x+1 2sin(2x 6)+1, 所以 f(x)最小正周期为 ,由 x 6 , 6,得 2x 6 2 , 6,2sin(2x 6)+12, 函数在区间 6 , 6上的最大值是 2 故答案为:;2 四解答题(共四解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分) 第 14 页(共 20 页) 17 (10 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 bcosA3asinB 0 (1)求 A; (2)已知 a23,B= 3,求ABC 的面积
28、 【解答】解: (1)bcosA3asinB0 由正弦定理可得:sinBcosA3sinAsinB0, sinB0, cosA= 3sinA, tanA= 3 3 , A(0,) , A= 6; (2)a23,B= 3,A= 6, C= 2, b6, SABC= 1 2ab= 1 2 23 6 =63 18(12 分) 已知数列an为正项数列, a11, 且对nN*, 都有+1 +1 =2 ( 1 + 1 +1) (1)求数列an的通项公式; (2)若 bnan2n 1,求数列b n的前 n 项和 Sn 【解答】解: (1)+1 +1 =2( 1 + 1 +1) , :12 2=2(an+1+
29、an) ,又 an0, an+1an2,又 a11, 数列an是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, an1+(n1)22n1 (2)bnan2n 1(2n1) 2n1, Snb1+b2+bn1+32+522+(2n1) 2n 1, 2Sn12+322+523+(2n3) 2n 1+(2n1) 2n, 得:Sn1+2(2+22+23+2n 1(2n1) 2n 第 15 页(共 20 页) 1+22(1;2 1) 1;2 (2n1) 2n (32n) 2n3, Sn(2n3) 2n+3 19 (12 分)如图,三棱柱 ABCA1B1C1,A1A底面 ABC,且ABC 为正三角形,AB4, AA
30、123,D 为 AC 中点 (1)求证:直线 AB1平面 BC1D; (2)求二面角 C1DBC 的大小 【解答】解: (1)证明:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DB 为 y 轴,过 D 作平面 ABC 的垂 线为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 A(2,0,0) ,B(0,23,0) ,B1(0,23,23) ,D(0,0,0) ,C1(2,0, 23) , 1 =(2,23,23) ,1 =(2,0,23) , =(0,23,0) , 设平面 BC1D 的法向量 =(x,y,z) , 则 = 23 = 0 1 = 2 + 23 = 0 ,取 x= 3,得 =(3,0,1) , =
31、23 +0+23 =0,AB平面 BC1D, 直线 AB1平面 BC1D (2)解:平面 BDC 的法向量 =(0,0,1) , 第 16 页(共 20 页) 设二面角 C1DBC 的大小为 , 则 cos= | | | |= 1 4 = 1 2, 60 二面角 C1DBC 的大小为 60 20 (12 分)已知椭圆 C: 2 2 + 2= 1(1)的左、右焦点分别为 F1(c,0) 、F2(c,0) , P 为椭圆 C 上任意一点,且1 2 最小值为 0 ()求曲线 C 的方程; ()若动直线 l1,l2均与椭圆 C 相切,且 l1l2,试探究在 x 轴上是否存在定点 B,使 得点 B 到
32、l1, l2的距离之积恒为 1?若存在, 请求出点 B 的坐标; 若不存在, 请说明理由 【解答】解: ()设 P(x,y) ,则有1 =(x+c,y) ,2 =(xc,y) , 1 2 =x2+y2c2= 21 2 2+ 1 2,xa,a, 由1 2 最小值为 0,得 1c20, c1,a22, 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1 ()当直线 l1,l2斜率存在时,设其方程为 ykx+m,ykx+n, 把 l1的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2+4mkx+2m220, 直线 l1与椭圆 C 相切,16k2m24(1+2k2) (2m22)0, 第 17 页(共 20 页) 化简,
33、得 m21+2k2, 同理,n21+2k2, m2n2,若 mn,则 l1,l2重合,不合题意,mn, 设在 x 轴上存在点 B(t,0) ,点 B 到直线 l1,l2的距离之积为 1, 则|:| 2:1 |;| 2:1 =1,即|k2t2m2|k2+1, 把 1+2k2m2代入并去绝对值整理,得: k2(t23)2 或 k2(t21)0, 前式不恒成立,而要使得后对任意的 kR 恒立, 则 t210,解得 t1 当直线 l1,l2的距离之积为(2 1) (2 + 1)1, 定点(1,0)到直线 l1,l2的距离之积为(2 + 1) (2 1)1, 综上所述,满足题意的定点 B 为(1,0)或
34、(1,0) 21 (12 分) “爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本 ”在 中华民族几千年绵延发展的历史长河中,爱国主义始终是激昂的主旋律爱国汽车公司 拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造 投入 x(亿元)与科技改造直接收益 y(亿元)的数据统计如下: x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当 0x17 时, 建立了 y 与 x 的两个回归模型, 模型: =4.1x+11.8; 模型: =21.3x 14.4当 x1
35、7 时,y 与 x 满足的线性回归方程为 = 0.7x+a (1)根据下列表格中的数据,比较当 0x17 时模型和模型的相关指数 R2,从而 选择拟合精度更高、更 可靠的模型,并据此预测当“东方红”款高端汽车发动机科技改造的投入为 17 亿元时的 直接收益; 回归模型 模型 模型 回归方程 =4.1x+11.8 =21.3 14.4 1 ( )2 182.4 79.2 (2)为鼓励科技创新,当科技改造投人不少于 20 亿元时,国家给予公司补贴收益 10 亿 第 18 页(共 20 页) 元,以回归方程为预测 依据,比较科技改造投人 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的大小; (3)科技改造
36、后, “东方红”款高端汽车发动机的热效率 X 大幅提高,X 服从正态分布 N (0.52, 0.012) , 公司对科技改造团队的奖励方案如下: 若发动机的热效率不超过 50%, 则不予奖励;若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%,则每台发动机奖励 2 万元;若 发动机的热效率超过 53%,则每台发动机奖励 5 万元求每台发动机获得奖励的数学期 望 附:刻画回归效果的相关指数 R21 =1 ()2 =1 ()2 ,17 4.1用最小二乘法求线性回 归方程 = x+ 的系数公式: = =1 =1 2 2 = =1 ()() =1 ()2 ; = 随 机变量 服从正态分布 N(,2) ,则
37、P(+)0.6827,P(2 +2)0.9545 【解答】解: (1)由表格中的数据,有 182.479.2,即 182.4 7 =1 (;)2 79.2 7 =1 (;)2, 所以模型的 R2小于模型,说明回归模型刻画的拟合效果更好 所以当 x17 亿元时,科技改造直接收益的预测值为: =21.3 17 14.472.93(亿元) (2)由已知可得: 20= 0.5+2+3.5+4+5 5 =3, =23, 60= 8.5+8+7.5+6+6 5 =7.2, =67.2, a= + 0.7 =67.2+0.72383.3, 当 x17 亿元时,y 与 x 满足的线性回归方程为: = 0.7x
38、+83.3, 当 x20 亿元时,科技改造直接收益的预测值 = 0.720+83.369.3, 当 x20 亿元时,实际收益的预测值为 69.3+1079.3 亿元72.93 亿元, 技改造投入 20 亿元时,公司的实际收益的更大 (3)P(0.520.02X0.52+0.02)0.9544, P(X0.50)= 1+0.9544 2 =0.9772,P(X0.5)= 10.9544 2 =0.0228, P(0.520.1X0.52+0.1)0.6826, P(X0.53)= 10.6826 2 =0.1587, 第 19 页(共 20 页) P(0.50X0.53)0.97720.1587
39、0.8185, 设每台发动机获得的奖励为 Y(万元) ,则 Y 的分布列为: Y 0 2 5 P 0.0228 0.8185 0.1587 每台发动机获得奖励的数学期望为 E(Y)00.0228+20.8185+50.15872.4305 (万元) 22(12 分) 对于函数 f (x) , 若 f (x0) x0, 则称 x0为 f (x) 的不动点 设 f (x) x3+ax2+bx+3 (1)当 a0 时, (i)求 f(x)的极值点; ()若存在 x0既是 f(x)的极值点,也是 f(x)的不动点,求 b 的值; (2)是否存在 a,b,使得 f(x)有两个极值点,且这两个极值点均为
40、f(x)的不动点? 说明理由 【解答】解: (1)当 a0 时,f(x)x3+bx+3,f(x)3x2+b, (i)当 b0,f(x)在 R 单调递增,无极值点, 当 b0 时,由 f(x)0,得 = 3或 = 3, 当 (, 3) ( 3 + ),f(x)0,故 f(x)在(, 3), ( 3, + )单调递增, 当 ( 3 , 3)时,f(x)0, 在( 3, 3)单调递减, 所以, = 3是 f(x)的极大值点, = 3是 f(x)的极小值点 ()设 xx0是 f(x)的极值点,则由(i)可知30 2 + = 0, 又 xx0是 f(x)的不动点,则0 3 + 0+ 3 = 0, 所以 b3, (2)不存在满足题设的 a,b, 证明如下: 假设存在满足题设的 a,b,设 x1,x2为 f(x)的两个极值点,且为 f(x)的不动点,并 不