1、 第 1 页（共 20 页） 2020 高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）复数 z（1+2i）2（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+） B （，13，+） C （，1）（3，+） D （1，3） 3 （5 分）若 x，y 满足约束条件 2 0， 3 + 1 0， 2， 则
2、 z4x+2y 的最小值为（ ） A17 B13 C16 3 D20 4 （5 分）下列四个命题中错误的是（ ） A若直线 a、b 相交，则直线 a、b 确定一个平面 B若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 5 （5 分）今年入冬以来，我市天机反复在下图中统计了我市上个月前 15 的气温，以及 相对去年同期的气温差 （今年气温去年气温， 单位： 摄氏度） ， 以下判断错误的是 （ ） A今年每天气温都比去年气温低 B今年的气温的平均值比去年低 C今年 812 号气温持续上升 D今年 8 号气温最低
3、 6 （5 分）已知各项均为正数的数列an满足 a11，an+2an39（nN*） ，那么数列an的 前 50 项和 S50的最小值为（ ） 第 2 页（共 20 页） A637 B559 C481+2539 D492+2478 7 （5 分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为5，则该圆锥的体积为（ ） A1 3 B2 3 C2 D16 3 8 （5 分）下列命题错误的是（ ） A，R，cos（+）coscos+sinsin Bx，kR，sin（x+k2）sinx Cx 0， 2)，sin（x+ 3）sinx DxR+，kR，sinxkx 9 （5 分）已知 sin（ 2 + 4）= 1 3，则
4、 sin 的值等于（ ） A 7 9 B 2 9 C2 9 D7 9 10 （5 分）已知向量 ， ， 满足|1，| |= 3， = 3 2， ， =30， 则| |的最大值等于（ ） A27 B7 C2 D2 11 （5 分）已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线交于点 P， 双曲线C的左、 右顶点分别为A1， A2， 若|2| = 5 2 |12|， 则双曲线C的离心率为 （ ） A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 12 （5 分）已知函数() = (|2|;4+ 1)，() = + 2( 0) 2(0) ，若存在 an，n+1 （
5、nZ）使得方程 f（x）g（x）有四个实根则 n 的最大值为（ ） A2 B1 C0 D1 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知某校高一、高二、高三年级分别有 1000、800、600 名学生，现计划用分层 抽样方法在各年级共抽取 120 名学生去参加社会实践， 则在高一年级需抽取 名学 生 14 （5 分） “2020 武汉加油、中国加油” ，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八 方驰援湖北我市医护人员积极响应号召，现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名年轻医生中选 派 2 人支援湖北省黄石市，已知男医生 2 名
6、，女医生 3 人，则选出的 2 名医生中至少有 1 第 3 页（共 20 页） 名男医生的概率是 15 （5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 tanAtanC1， b3ccosA， 则 cosC 16 （5 分）抛物线 C：y22x 的焦点坐标是 ，经过点 P（4，1）的直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点， 且点 P 恰为 AB 的中点， F 为抛物线的焦点， 则| |+| | 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在数列an中，Sn为an的前 n 项和，2+
7、 2 = 3( ) （1）求数列an的通项公式； （2）设= 1+ +1，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明 1 4 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD120，PA 2，PBPCPD，E 是 PB 的中点 （1）证明：PA平面 ABCD； （2）设 F 是直线 BC 上的动点，当点 E 到平面 PAF 距离最大时，求面 PAF 与面 EAC 所 成二面角的正弦值 19 （12 分）已知函数() = 1 2 2 2 （）求函数 f（x）的极小值点； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （0x1x2）为函数 yf（x）图象上的任意两
8、点，f （x）为函数 f（x）的导函数，求证：(2);(1) 2;1 (2:1 2 ) 20 （12 分）某种规格的矩形瓷砖（600mm600mm）根据长期检测结果，各厂生产的每片 瓷砖质量 x（kg）都服从正态分布 N（，2） ，并把质量在（3，+3）之外的瓷 砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品 （1） 从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查， 求至少有 1 片是废品的概率； （2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分 第 4 页（共 20 页） 别为 a（mm） 、b（mm） ，则“尺寸误差” （mm）为|a600|+|b600|，按行业
9、生产标准， 其中“优等” 、 “一级” “合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0，0.2、 （0.2，0.5， （0.5， 1.0 （正品瓷砖中没有 “尺寸误差” 大于 1.0mm 的瓷砖） ， 每片价格分别为 7.5 元、 6.5 元、 5.0 元， 现分别从甲、 乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖， 相应的 “尺 寸误差” 组成的样本数据如下， 用这个样本的频率分布估计总体分布， 将频率视为概率 尺寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表） （i）记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖
10、卖出的钱数为 （元） ，求 的分布列 （ii）由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等” 、 “一级”两种，求 5 片该规 格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（，2） ， 则 P（3Z+3）0.9974；0.9974100.9743，0.840.4096，0.850.32768 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 为椭圆 E 上任意一点，1 2 的最大值为 1，点 A1为椭圆 E 的左顶点，A1PF2的面积最大 值为2:3 2 （）求椭圆 E 的方程； （）动直线 l 与椭圆
11、 E 交于不同两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，O 为坐标原点，M 为 AB 的中点_ 是否存在实数 ， 使得|OM|AB| 恒成立？若存在， 求 的最小值； 若不存在，说明理由 从AOB的面积为1， | + | = | | （其中向量 = (1 ， 1 )， = (2 ， 2 )这 第 5 页（共 20 页） 两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极
12、轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程； （2） 设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A， 曲线 C1与 x 轴的交点为 H， 点 M （1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数() = |2 1| + + 1 2的最小值为 m （1）求 m 的值； （2）若 a，b，c 为正实数，且 a+b+cm，证明：2+ 2+ 2 1 3 第 6 页（共 20 页） 2020 高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（高考数
13、学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）复数 z（1+2i）2（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：因为 z（1+2i）21+4i+4i23+4i； = 34i； 在复平面内对应的点在第三象限； 故选：C 2 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+） B （，13，+） C （，1）（3，+） D （1，3） 【解
14、答】解：A（1，3） ，B1，+） ， AB1，3） ， R（AB）（，1）3，+） ， 故选：A 3 （5 分）若 x，y 满足约束条件 2 0， 3 + 1 0， 2， 则 z4x+2y 的最小值为（ ） A17 B13 C16 3 D20 【解答】解：该可行域是一个以 A（1 3，2） ，B（4，2） ，C（ 3 2， 7 2）为顶点的三角形 区域（包括边界） 当动直线 y2x+ 2过点 C （ 3 2， 7 2） 时， z 取得最小值， 此时 z4（ 3 2）+2（ 7 2）13， 第 7 页（共 20 页） 故选：B 4 （5 分）下列四个命题中错误的是（ ） A若直线 a、b 相交
15、，则直线 a、b 确定一个平面 B若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 【解答】解：对于选项 A：若直线 a、b 相交，则直线 a、b 确定一个平面，正确 对于选项 B：若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线，正确 对于选项 C：若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，也可能是平行直线， 故错误 对于选项 D：经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，正确 故选：C 5 （5 分）今年入冬以来，我市天机反复在下图中统计了我市上个月前 15 的气温，以及 相对去年同期的气温差 （今年气温去
16、年气温， 单位： 摄氏度） ， 以下判断错误的是 （ ） A今年每天气温都比去年气温低 B今年的气温的平均值比去年低 C今年 812 号气温持续上升 D今年 8 号气温最低 【解答】解：对于 A 选项：观察“相对去年温差”折线图，发现 6 号相对去年温差为正 值，即 1 号气温比去年高，故 A 选项错误； 对于 B 选项：观察“相对去年温差”折线图，发现除 6，7 号相对去年温差为正值，5 号 相对去年温差为 0，其余几号相对去年温差为负值，所以今年的气温的平均值比去年低， 故 B 选项正确； 对于 C 选项：观察“今年气温”折线图即可发现今年 812 号气温持续上升，故选项 C 第 8 页（
17、共 20 页） 正确； 对于 D 选项：观察“今年气温”折线图即可发现今年 8 号气温最低，故选项 D 正确； 故选：A 6 （5 分）已知各项均为正数的数列an满足 a11，an+2an39（nN*） ，那么数列an的 前 50 项和 S50的最小值为（ ） A637 B559 C481+2539 D492+2478 【解答】解：各项均为正数的数列an满足 a11，an+2an39（nN*） ， a11，a339，a51，a739，a4739，a491， a2a439，a2+a4 239，当且仅当2= 4= 39时取等号， 当偶数项都是39时，S50取最小值， （S50）min12（1+39
18、）+1+2539 =481+2539 故选：C 7 （5 分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为5，则该圆锥的体积为（ ） A1 3 B2 3 C2 D16 3 【解答】解：圆锥的高等于底面直径，侧面积为5， 设底面半径为 r，则高 h2r， 母线长 l= 2+ 42= 5r， s= 5 = 5，解得 r1， 该圆锥的体积为 V= 1 3 12 2 = 2 3 故选：B 8 （5 分）下列命题错误的是（ ） A，R，cos（+）coscos+sinsin Bx，kR，sin（x+k2）sinx Cx 0， 2)，sin（x+ 3）sinx DxR+，kR，sinxkx 【解答】解：因为当 0时，
19、cos（+）coscos+sinsin，所以 A 成立 根据诱导公式 （一） ， x， kR， sin （x+k2） sinx， 所以 B 成立 当 x= 3时， sin （x+ 3） sinx， 所以 C 成立 第 9 页（共 20 页） 当 x= 3时，sin（x+ 3）sinx，所以 C 成立 根据排除法，显然 D 不成立 故选：D 9 （5 分）已知 sin（ 2 + 4）= 1 3，则 sin 的值等于（ ） A 7 9 B 2 9 C2 9 D7 9 【解答】解：sin（ 2 + 4）= 1 3， sincos （+ 2） cos2 （ 2 + 4） 12sin 2 （ 2 + 4
20、） 12 （ 1 3） 2= 7 9 故选：A 10 （5 分）已知向量 ， ， 满足|1，| |= 3， = 3 2， ， =30， 则| |的最大值等于（ ） A27 B7 C2 D2 【解答】解：设 = ， = ， = ，则 = ， = ， 由题意 cos ， = | | |= 3 2 ， ， =150， ， =30， 所以 OABC 四点共圆， 要使| |的取得最大值， 则 OC 必须过圆心， 此时在三角形 OAB 中，AB2OA2+OB22OAOBcosAOB1+323150 =7， AB= 7， 由正弦定理可得 OC2R= = 27 故选：A 第 10 页（共 20 页） 11 （
21、5 分）已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线交于点 P， 双曲线C的左、 右顶点分别为A1， A2， 若|2| = 5 2 |12|， 则双曲线C的离心率为 （ ） A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 【解答】 解： 双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线： y= ， 则 P （ 2 ， a） ， 因为|2| = 5 2 |12|，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ 1）24， 所以 =3，从而 e=1 + 2 2 = 10 3 ， 双曲线的渐近线为：y= x， 则 p（ 2 ，a） ，|2| = 5 2 |12|
22、，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ +1）24， 所以 =1，可得 e= 2 则双曲线 C 的离心率为：2或 10 3 故选：D 12 （5 分）已知函数() = (|2|;4+ 1)，() = + 2( 0) 2(0) ，若存在 an，n+1 （nZ）使得方程 f（x）g（x）有四个实根则 n 的最大值为（ ） A2 B1 C0 D1 【 解 答 】 解 ： 令() = () () = ( 2;4 + 1) ( 2) ， 0 (;2;4+ 1) + ( + 2) ，0 ， 则 () = ( 24+1 2 ) = (;2+ 2;) ， 0 (;2;4+ 1)(:2) = (;2+ :2)
23、 ，0 ， 依题意，函数() = ( ;2 + 2;)， 0 (;2+ :2)，0与直线 ya 有且仅有四个不同的交点， 第 11 页（共 20 页） 易知函数 F（x）为偶函数，故先研究 x0 时的情况， 当 x0 时，() = 22 2+2，令 F（x）0，解得 0x2，令 F（x）0，解 得 x2， 故函数 F（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，且 F（x）极小值F（2） ln2， 由偶函数的对称性，可作出函数 F（x）的图象，如下图所示， 由图可知，a（ln2，ln（e 2+e2） ） ，又 0ln21，2ln（e2+e2）3， n 的最大值为 2 故选：A 二填空题
24、（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知某校高一、高二、高三年级分别有 1000、800、600 名学生，现计划用分层 抽样方法在各年级共抽取 120 名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取 50 名学 生 【解答】解：高一年级学生所占的比例为 1000 1000:800:600 = 5 12， 高一年级需抽取 120 5 12 =50 人， 故答案为：50 14 （5 分） “2020 武汉加油、中国加油” ，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八 方驰援湖北我市医护人员积极响应号召，现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名年
25、轻医生中选 派 2 人支援湖北省黄石市，已知男医生 2 名，女医生 3 人，则选出的 2 名医生中至少有 1 名男医生的概率是 7 10 【解答】解：现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名年轻医生中选派 2 人支援湖北省黄石市， 已知男医生 2 名，女医生 3 人， 第 12 页（共 20 页） 基本事件总数 n= 5 2 =10， 选出的 2 名医生中至少有 1 名男医生包含的基本事件个数 m= 2 2 + 2 131 =7， 则选出的 2 名医生中至少有 1 名男医生的概率是 p= = 7 10 故答案为： 7 10 15 （5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a，
26、b， c， 若 tanAtanC1， b3ccosA， 则 cosC 6 3 【解答】解：ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 由于 b3ccosA，则 sinB3sinCcosA， 则：sin（A+C）3sinCcosA， 整理得： = 2， 故 tanA2tanC， 所以：2 = 1 2， 则： = 2 2 （负值舍去） 所以 = 2 2 时，解得： = 6 3 故答案为： 6 3 16 （5 分）抛物线 C：y22x 的焦点坐标是 （1 2，0） ，经过点 P（4，1）的直线 l 与抛 物线C相交于A， B两点， 且点P恰为AB的中点， F为抛物线的焦点， 则| |+
27、| | 9 【解答】解：由抛物线 C：y22x，得 2p2，p1，则 2 = 1 2， 抛物线的焦点 F（1 2，0） 过 A 作 AM准线，BN准线，PK准线，M、N、K 分别为垂足， 则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|AF|+|BF| 再根据 P 为线段 AB 的中点，有1 2（|AM|+|BN|）|PK|= 9 2， |AF|+|BF|9， 故答案为： （1 2 ，0） ，9 第 13 页（共 20 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在数列an中，Sn为an的前 n 项和，2+ 2 = 3( ) （
28、1）求数列an的通项公式； （2）设= 1+ +1，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明 1 4 【解答】解： （1）2Sn+2n3an2Sn+1+2（n+1）3an+1， 两式相减得 an+13an+2， an+1+13（an+1） ， 2S1+23a1， 解得 a12 数列an+1是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， + 1 = 3 = 3 1 （2）= 3 (31)(3+11) = 1 2 ( 1 31 1 3+11) = 1 2( 1 31 1 321 + 1 321 1 331 + + 1 31 1 3+11) = 1 4 1 2 1 3+11 1 4 18 （12 分）在四棱锥
29、 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD120，PA 2，PBPCPD，E 是 PB 的中点 （1）证明：PA平面 ABCD； （2）设 F 是直线 BC 上的动点，当点 E 到平面 PAF 距离最大时，求面 PAF 与面 EAC 所 成二面角的正弦值 第 14 页（共 20 页） 【解答】 （1）证明：取 BC 中点 M，连接 PM，AM， 因为四边形 ABCD 为菱形且BAD120 所以 AMBC， 因为 PBPC，所以 PMBC， 又 AMPMM， 所以 BC平面 PAM，因为 PA平面 PAM， 所以 PABC 同理可证 PADC， 因为 DCBCC， 所以 PA
30、平面 ABCD （2）解：由（1）得 PA平面 ABCD， 所以平面 PAF平面 ABCD，平面 PAF平面 ABCDAF 所以点 B 到直线 AF 的距离即为点 B 到平面 PAF 的距离 过 B 作 AF 的垂线段， 在所有的垂线段中长度最大的为 AB2， 此时 AF 必过 DC 的中点， 因为 E 为 PB 中点，所以此时，点 E 到平面 PAF 的距离最大，最大值为 1 以 A 为坐标原点，直线 AF，AB，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz 则(0，0，0)，(3，1，0)，(0，1，1)，(0，2，0)， 所以 = (3，1，0)， = (0，1，1)， =
31、(0，2，0)， 平面 PAF 的一个法向量为 = (0，2，0)， 设平面 AEC 的法向量为 = (，)， 则 = 3 + = 0 = + = 0 ， 第 15 页（共 20 页） 取 y1，则 = ( 3 3 ，1， 1)， ， = | | | = 21 7 ， 所以 ， = 27 7 ， 所以面 PAF 与面 EAC 所成二面角的正弦值为27 7 19 （12 分）已知函数() = 1 2 2 2 （）求函数 f（x）的极小值点； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （0x1x2）为函数 yf（x）图象上的任意两点，f （x）为函数 f（x）的导函数，求证：(2);(1) 2
32、;1 (2:1 2 ) 【解答】解： （）函数的定义域为（0，+） ，() = 2 = 22 ，令 f （x）0，解得3= 2+8 2 0，4= +2+8 2 0， 易知当 x（0，x4）时，f（x）0，当 x（x4，+）时，f（x）0， 故函数 f（x）在（0，x4）单调递减，在（x4，+）上单调递增， f（x）的极小值点为4= +2+8 2 ； （）证明：(2);(1) 2;1 = 1:2 2 2(2;1) 2;1 ，(1+2 2 ) = 1+2 2 2 1+2 2 ， (2);(1) 2;2 (1:2 2 )等价于(2 1) 2(21) 2+1 0，即证(2 1) 2(2 11) 2 1
33、+1 0， 令 = 2 1 1，即证 2(1) +1 0， 第 16 页（共 20 页） 令() = 2(1) +1 (1)，则() = 1 4 (+1)2 = (1)2 (+1)2 0， h（t）在（1，+）上单调递增，故 h（t）h（1）0， 2(1) +1 0，原命题得证 20 （12 分）某种规格的矩形瓷砖（600mm600mm）根据长期检测结果，各厂生产的每片 瓷砖质量 x（kg）都服从正态分布 N（，2） ，并把质量在（3，+3）之外的瓷 砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品 （1） 从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查， 求至少有 1 片是废品的概率； （2）若规
34、定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分 别为 a（mm） 、b（mm） ，则“尺寸误差” （mm）为|a600|+|b600|，按行业生产标准， 其中“优等” 、 “一级” “合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0，0.2、 （0.2，0.5， （0.5， 1.0 （正品瓷砖中没有 “尺寸误差” 大于 1.0mm 的瓷砖） ， 每片价格分别为 7.5 元、 6.5 元、 5.0 元， 现分别从甲、 乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖， 相应的 “尺 寸误差” 组成的样本数据如下， 用这个样本的频率分布估计总体分布， 将频率视为概率 尺寸误差 0
35、0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表） （i）记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 （元） ，求 的分布列 （ii）由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等” 、 “一级”两种，求 5 片该规 格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（，2） ， 则 P（3Z+3）0.9974；0.9974100.9743，0.840.4096，0.850.32768 【解答】解： （）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在（u3，u+3）之内 第 17 页（共 20
36、页） 的概率为 0.9974， 则这 10 片质量全都在 （u3， u+3） 之内 （即没有废品） 的概率为 0.9974100.9743； 则这 10 片中至少有 1 片是废品的概率为 10.97430.0257；（3 分） （） （）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等” 、 “一级” 、 “合格”的概率分别为 0.7、0.2、0.1； 则 的可能取值为 15，13.5，13，12，11.5，10 元；（4 分） 计算 P（15）= 2 2 0.720.49， P（13.5）= 2 1 0.20.70.28， P（13）= 2 2
37、 0.220.04， P（12）= 2 1 0.10.70.14， P（11.5）= 2 1 0.10.20.04， P（10）= 2 2 0.120.01， 得到 的分布列如下： 15 13.5 13 12 11.5 10 P 0.49 0.28 0.04 0.14 0.04 0.01 （6 分） 数学期望为 E（）150.49+140.28+130.04+12.50.14+11.50.04+100.01 7.35+3.92+0.52+1.75+0.46+0.1 13.79（元） ；（8 分） （） 设乙陶瓷厂 5 片该规格的正品瓷砖中有 n 片 “优等” 品， 则有 5n 片 “一级” 品
38、， 由已知 7.5n+6.5（5n）36，解得 n3.5，则 n 取 4 或 5； 故所求的概率为 = 5 4 0.84 0.2 + 0.85 0.4096+0.32768 0.73728（12 分） 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 为椭圆 E 上任意一点，1 2 的最大值为 1，点 A1为椭圆 E 的左顶点，A1PF2的面积最大 第 18 页（共 20 页） 值为2:3 2 （）求椭圆 E 的方程； （）动直线 l 与椭圆 E 交于不同两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，O 为坐标原点，M 为 AB 的中点_ 是
39、否存在实数 ， 使得|OM|AB| 恒成立？若存在， 求 的最小值； 若不存在，说明理由 从AOB的面积为1， | + | = | | （其中向量 = (1 ， 1 )， = (2 ， 2 )这 两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解： （）设 P（x0，y0） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ，则0 2 2 + 02 2 = 1，x0 a，a 1 =（cx0，y0） ，2 =（cx0，y0） ， 1 2 =x02+y02c2= 2 2 02+ 2 2，x0a，a， 当 x0a 时，（1 2 ） maxb21 又 S12= 1
40、 2 ( + )|y0| (+) 2 = 2+3 2 ， 又 a2b2+c2，可解得：a2，b1，c= 3 所以椭圆 E 的方程为 2 4 + 2= 1 （）当选择时，假设存在实数 ，使得|OM|AB| 恒成立 设动直线 l：xky+t，由 = + 2 4 + 2= 1联立可得： （4+k 2）y2+2kty+t240 = 4 22 4(4 + 2)(2 4) = 16(2+ 4 2)0 1+ 2= 2 4+2 12= 24 4+2 ， M （ 4 4:2 ， ; 4:2 ） |AB|= 1 + 2(1+ 2)2 412= 4(1+2)(2+42) 4+2 ， 点 O 到直线 l：xky+t
