1、 第 1 页（共 15 页） 2020 年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 2 （5 分）复数 z（1+2i）2（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分） “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝， “火纹”是常见的一种传统纹样为了测算某火 纹纹样（如图阴影部分所示）的面积
2、，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该 正方形内随机投掷 200 个点，已知恰有 80 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面 积是（ ） A16 5 B32 5 C10 D18 5 4 （5 分）为得到 y2sin（3x 3）的图象，只需要将 y2cos3x 函数的图象（ ） A向左平移 6个单位 B向右平移 6个单位 C向左平移5 18个单位 D向右平移5 18个单位 5 （5 分）已知函数() = 2+ + 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，1 4 B （，1 4 C1 4，+） D1，+） 6 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）与圆 x2+y2
3、5 交于 A，B 两点，且|AB|4，则 p （ ） A2 B1 C2 D4 7 （5 分）若直线 yax+2a 与不等式组 + 6 0 3 + 3 0 表示的平面区域有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 15 页） A0，9 5 B0，9 C0，+ D，9 8 （5 分）函数 y2x+ 2 1（x1）的最小值是（ ） A2 B4 C6 D8 9 （5 分）已知( + ) = 4 5，且 sin20，则 tan（ 4）的值为（ ） A7 B7 C1 7 D 1 7 10 （5 分）设 a30.1，blog0.30.5，clog60.3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A
4、abc Bcba Ccab Dbca 11 （5 分）把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比 为 1：3，母线长为 6cm，则已知圆锥的母线长为（ ）cm A8 B9 C10 D12 12 （5 分）如图，FI，F2是双曲线： 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上 位于第一象限内的一点， 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A， APF1的内切圆与边 PF1 切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小
5、题 5 分）分） 13 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，AD1则 的值为 14 （5 分）化简： (3;)(4:)( 2;) (;)(;5;) = 15 （5 分） 已知 （1x） 6a0+a1x+a2x2+a6x6， 则 a2 ， a0a1+a2a3+a4a5+a6 第 3 页（共 15 页） 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAPC23，BABC= 3，ABC90，若 PA 与 底面 ABC 所成的角为 60，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 17已知数列an是等差数列，满足 a25，a49，数列bn+an是公比为
6、 3 的等比数列， 且 b13 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前 n 项和 Sn 18已知函数() = ( + 3) 1 4 ( ) （1）求( 3)的值和 f（x）的最小正周期； （2）设锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且( 2) = 1 4，a2，求 b+c 的取值范围 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAB底面 ABCD，H 为棱 AB 的中点， E 为棱 DC 上任意一点， 且不与 D 点、 C 点重合 AB2， ADPA1， PH= 2 （）求证：平面 APE平面 ABCD； （）是否存在点 E 使
7、得平面 APE 与平面 PHC 所成的角的余弦值为 6 3 ？若存在，求出 点 E 的位置；若不存在，请说明理由 20已知一堆产品中有一等品 2 件，二等品 3 件，三等品 4 件，现从中任取 3 件产品 （1）求一、二、三等品各取到一个的概率； （2）记 X 表示取到一等品的件数，求 X 的分布列和数学期望 21已知 f（x）（xm）ex （1）当 m2 时，求函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）在区间（1，0）上有极小值点，且总存在实数 m，使函数 f（x）的 第 4 页（共 15 页） 极小值与 2:2 2(:1) 互为相反数，求实数 a 的取值范围
8、 22已知动圆 C 与圆1：( 2)2+ 2= 1外切，又与直线 l：x1 相切设动圆 C 的圆 心的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）在 x 轴上求一点 P（不与原点重合） ，使得点 P 关于直线 = 1 2 的对称点在曲线 E 上 第 5 页（共 15 页） 2020 年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，
9、4 D1，2，3，4，5 【解答】解：集合 AxN|x1，Bx|x5， ABxN|1x52，3，4 故选：C 2 （5 分）复数 z（1+2i）2（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：因为 z（1+2i）21+4i+4i23+4i； = 34i； 在复平面内对应的点在第三象限； 故选：C 3 （5 分） “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝， “火纹”是常见的一种传统纹样为了测算某火 纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该 正方形内随机投掷 200 个点，已知恰有 80 个点落在阴影
10、部分，据此可估计阴影部分的面 积是（ ） A16 5 B32 5 C10 D18 5 【解答】解：由题意可得： 阴影 正方形 = 80 200， S阴影= 2 5 32= 18 5 故选：D 第 6 页（共 15 页） 4 （5 分）为得到 y2sin（3x 3）的图象，只需要将 y2cos3x 函数的图象（ ） A向左平移 6个单位 B向右平移 6个单位 C向左平移5 18个单位 D向右平移5 18个单位 【解答】解：将 y2cos3x2sin（3x+ 2）的图象，向右平移 5 18个单位， 可得函数的图象得到 y2sin（3x 3）的图象， 故选：D 5 （5 分）已知函数() = 2+
11、+ 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，1 4 B （，1 4 C1 4，+） D1，+） 【解答】解：f（x）的定义域为 R， x2+x+a0 的解集为 R， 14a0，解得 1 4， 实数 a 的取值范围是1 4， + ) 故选：C 6 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）与圆 x2+y25 交于 A，B 两点，且|AB|4，则 p （ ） A2 B1 C2 D4 【解答】解：抛物线 y22px（p0）与圆 x2+y25 交于 A，B 两点，且|AB|4， 由抛物线和圆都关于 x 轴对称，可得 A，B 的纵坐标为 2，2， 可设 A（2 ，2） ，代入圆的方程可得
12、 4 2 +45，可得 p2 故选：C 7 （5 分）若直线 yax+2a 与不等式组 + 6 0 3 + 3 0 表示的平面区域有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A0，9 5 B0，9 C0，+ D，9 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示 第 7 页（共 15 页） + 6 = 0 + 3 = 0 = 3 2 = 9 2 ； C（ 3 2， 9 2） ， 直线 ya（x+2）过定点 A（2，0） ， 直线 ya（x+2）经过不等式组表示的平面区域有公共点 则 a0，kAC= 9 20 (3 2)(2) =9， a0，9 故选：B 8 （5 分）函数 y2x+ 2 1（x
13、1）的最小值是（ ） A2 B4 C6 D8 【解答】解：因为 y2x+ 2 1（x1） ， 2（x1）+ 2 1 +2 22( 1) 2 1 + 2 =6， 当且仅当 2（x1）= 2 1即 x2 时取等号，此时取得最小值 6 故选：C 9 （5 分）已知( + ) = 4 5，且 sin20，则 tan（ 4）的值为（ ） A7 B7 C1 7 D 1 7 【解答】解：( + ) = 4 5， 可得 sin= 4 5， 又sin22sincos0，可得 cos0， 第 8 页（共 15 页） 可得 cos= 1 2 = 3 5，tan = = 4 3， tan（ 4）= 1 1+ = 4
14、31 14 3 =7 故选：A 10 （5 分）设 a30.1，blog0.30.5，clog60.3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Ccab Dbca 【解答】解：a30.1301，a1； log0.31blog0.30.5log0.30.31，0b1； clog50.3log510，c0， abc， 故选：B 11 （5 分）把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比 为 1：3，母线长为 6cm，则已知圆锥的母线长为（ ）cm A8 B9 C10 D12 【解答】解：由题意画出轴截面图形，可知 = = 1 3，BD6， 可得 SD2，所
15、以圆锥的母线长为：2+68（cm） 故选：A 12 （5 分）如图，FI，F2是双曲线： 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上 位于第一象限内的一点， 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A， APF1的内切圆与边 PF1 切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（ ） 第 9 页（共 15 页） A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 【解答】解：PQPF1F1QPF1F1MPF1NF2PF1（PF2+PQ） = 1 2 (1 2) = ，a4，b= 3，c= 19， 所以双曲线的离心率为： = 19 4 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小
16、题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，AD1则 的值为 3 【解答】解：AB2，AD1， = ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) = 2 2 14 3 故答案为：3 14 （5 分）化简： (3;)(4:)( 2;) (;)(;5;) = 1 【解答】解： (3;)(4:)( 2;) (;)(;5;) = (;) (;) =1 故答案为：1 第 10 页（共 15 页） 15 （5 分）已知（1x） 6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a2 15 ，a0a1+a2a3+a4a5+a6 64 【解答
17、】 解： 由 （1x） 6的通项为 :1= 6 ()可得， 令r2， 即x2项的系数a2为62 = 15， 即 a215， 由（1x）6a0+a1x+a2x2+a6x6， 取 x1，得 a0a1+a2a3+a4a5+a61（1）664， 故答案为：15，64 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAPC23，BABC= 3，ABC90，若 PA 与 底面 ABC 所成的角为 60，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积 15 【解答】解：因为 PAPC23，BABC= 3，所以 P 在底面的投影在ABC 的角平 分线上，设为 E， 再由若 PA 与底面 ABC 所成的角为 60可得 AEPA
18、cos6023 1 2 = 3，可得 E，B 重合，PBPAsin6023 3 2 =3， 即 PB面 ABC，由ABC90可得，将三棱锥 PABC 放在长方体中， 由长方体的对角线为外接球的直径 2R 可得：4R232+（3）2+（3）215， 所以外接球的表面积 S4R215， 故答案为：15 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 17已知数列an是等差数列，满足 a25，a49，数列bn+an是公比为 3 的等比数列， 且 b13 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）数列an是公差为 d 的等差数列，满足 a25，a49，
19、第 11 页（共 15 页） 可得 a1+d5，a1+3d9，解得 a13，d2，即有 an3+2（n1）2n+1； 数列bn+an是公比为 3 的等比数列，且 b13， 可得 bn+an63n 123n， 则 bn23n（2n+1） ； （2）前 n 项和 Sn（6+18+23n）（3+5+2n+1） = 6(13) 13 1 2n（3+2n+1）3 n+13n（n+2） 18已知函数() = ( + 3) 1 4 ( ) （1）求( 3)的值和 f（x）的最小正周期； （2）设锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且( 2) = 1 4，a2，求 b+c 的取值范围
20、【解答】解： （1）函数() = ( + 3) 1 4 ( ) 所以( 3) = 3 2 3 2 1 4 = 1 2 所以 f（x）= (1 2 + 3 2 ) = 12 4 + 3 4 2 1 4 = 1 2(2 6)， 所以函数 f（x）的最小正周期为 ； （2）设锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且( 2) = 1 4， 所以( 6) = 1 2，解得 A= 3 利用正弦定理 = = ， 解得 = 4 3 ， = 4 3 (2 3 )， 所以 b+c= 4 3 + (2 3 ) = 4( + 6)， 由于 0 2 0 = 2 3 2 ，解得 6 2，所以 + 6
21、 ( 3 ， 2 3 )， 所以 + (23，4 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAB底面 ABCD，H 为棱 AB 的中点， E 为棱 DC 上任意一点， 且不与 D 点、 C 点重合 AB2， ADPA1， PH= 2 （）求证：平面 APE平面 ABCD； 第 12 页（共 15 页） （）是否存在点 E 使得平面 APE 与平面 PHC 所成的角的余弦值为 6 3 ？若存在，求出 点 E 的位置；若不存在，请说明理由 【解答】解： （）证明：AB2，H 为 AB 中点， AH1， 又 = 1， = 2， PA2+AH2PH2，则 PAAH， 又侧面
22、PAB底面 ABCD，侧面 PAB底面 ABCDAB， PA平面 ABCD， 又 PA 在平面 APE 内， 平面 APE平面 ABCD； （）由（）可知，以 A 为坐标原点，AD，AB，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，P（0，0，1） ，H（0，1，0） ，C（1，2，0） ，假设存在点 E（1，y，0） 满足题意， 则 = (0，0，1)， = (1，0)， = (0，1， 1)， = (1，1，0)， 设平面 APE 的一个法向量为 = (，)，则 = = 0 = + = 0 ，设 a1，则 = (1， 1 ，0)，
23、设平面 PHC 的一个法向量为 = (，)，则 = = 0 = + = 0 ，设 k1，则 第 13 页（共 15 页） = (1，1，1)， 平面 APE 与平面 PHC 所成的角的余弦值为 6 3 ， | ，| =| | | |= |1+1 | 1+ 1 2 3 = 6 3 ， y1， 即存在点 E 为 CD 的中点， 使得平面 APE 与平面 PHC 所成的角的余弦值为 6 3 20已知一堆产品中有一等品 2 件，二等品 3 件，三等品 4 件，现从中任取 3 件产品 （1）求一、二、三等品各取到一个的概率； （2）记 X 表示取到一等品的件数，求 X 的分布列和数学期望 【解答】解：
24、（1）一堆产品中有一等品 2 件，二等品 3 件，三等品 4 件，现从中任取 3 件产品 基本事件总数 n= 9 3 =84， 一、二、三等品各取到一个包含的基本事件个数 m23424， 一、二、三等品各取到一个的概率 p= = 24 84 = 2 7 （2）记 X 表示取到一等品的件数，则 X 的可能取值为 0，1，2， P（X0）= 7 3 9 3 = 5 12， P（X1）= 2 1 7 2 9 3 = 1 2， P（X2）= 2 2 7 1 9 3 = 1 12， X 的分布列为： X 0 1 2 P 5 12 1 2 1 12 数学期望 E（X）= 0 5 12 + 1 1 2 +
25、2 1 12 = 2 3 21已知 f（x）（xm）ex （1）当 m2 时，求函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）在区间（1，0）上有极小值点，且总存在实数 m，使函数 f（x）的 极小值与 2:2 2(:1) 互为相反数，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）x（m1）ex 第 14 页（共 15 页） 当 m2 时，f（x）（x2）ex，f（x）（x1）ex f（0）2，f（0）1， 所以，函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y+2（x0） ，即 x+y+20 （2）f（x）x（m1）ex 得 x（，m1）时，f（x）0
26、，x（m1，+） 时，f（x）0， 函数 f（x）在区间（，m1）上单调递减，在区间（m1，+）单调递增， 函数 f（x）的极小值点为 m1 由已知1m10， 0m1.()极小= ( 1) = ;1 故在区间（0，1）上存在 m，使得 2:2 2(:1) 1= 0 2 = 22 （0m1） 设() = 22 当 0m1 时，() = (1)2+2(1) ()2 0， 函数 g（m）在区间（0，1）上递增， 当 0m1 时，g（0）g（m）g（1） ， 即12 22 1 ， 1 2 22 22 ， 所以，实数 a 的取值范围是( 1 2 ， 22 22 ) 22已知动圆 C 与圆1：( 2)2+
27、 2= 1外切，又与直线 l：x1 相切设动圆 C 的圆 心的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）在 x 轴上求一点 P（不与原点重合） ，使得点 P 关于直线 = 1 2 的对称点在曲线 E 上 【解答】解：解法一： （1）依题意得圆心 C 到于直线 x2 的距离等于到圆 C1圆心的 距离， 所以 C 的轨迹是（2，0）为焦点，以直线 x2 为准线的抛物线， 设其方程 y22px（p0） ，则 2 = 2，p4， 所以曲线 E 的方程为 y28x 第 15 页（共 15 页） （2）设 P（t，0） ，P 关于直线 = 1 2 的对称点为 P1（m，n） ， 则 = 2， 2 = 1 2 (+ 2 )， 即2 + = 2， 2 = ， 解得 = 3 5， = 3 5 . 代入曲线 E 得16 25 2= 24 5 ， 解得 t0（舍去） ， = 15 2 ，即点 P 的坐标为(15 2 ，0) 解法二： （1）设圆心 C（x，y） ，依题意 x1， 因为圆 C 与直线 l：x1 相切，所以 rx+1， 又圆 C 与圆 C1外切，所以|CC1|r+1， 即( 2)2+ 2= + 2， 化简得曲线 E 的方程为 y28x （2）同解法
