1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（7） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A1，0，m，B1，2，若 AB1，0，1，2，则实数 m 的值为（ ） A1 或 0 B0 或 1 C1 或 2 D1 或 2 2 （5 分）设复数 z 满足|z3+4i|2，z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） A （x3）2+（y+4）22 B （x+3）2+（y+4）22 C （x+3）2+（y4）24 D （x3）2+（y+4）24 3 （5
2、分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 4 （5 分）雷达图（RadarChart） ，又可称为戴布拉图，蜘蛛网图（SpiderChart） ，是财务分 析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、乙两人五个方面的数据雷 达图，则下列说法不正确的是（ ） A甲、乙两人在能力方面的表现基本相同 B甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙 C在培训与销售两个方面甲的综合表现优子乙 D甲在这五个方面的综合表现优于乙 5 （5 分）若函数 f（x）2x33mx2+6x 存在极值点，则 m 的取值范围是（ ） A （，2）（2，+） B
3、（，22，+） C （2，2） D2，2 6 （5 分）如图所示，函数 f（x）sin（2x+） （|）的图象过点( 6 ，0)，若将 f（x） 第 2 页（共 19 页） 的图象上所有点向右平移 6个单位长度， 然后再向上平移 1 个单位长度，所得图象对应的 函数为 g（x） ，则 g（0）（ ） A1+ 3 2 B1 3 2 C1+ 3 2 或 1 3 2 D 3 2 7 （5 分）从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛，则选中的 2 人是 1 名男同 学 1 名女同学的概率是（ ） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 8 （5 分）正三棱锥 ABCD，侧棱 = 2
4、3，棱 CD2，E，F 分别是 AB，CD 的中点， 则 EF 与 BC 成角为（ ） A60 B90 C30 D45 9 （5 分） 已知函数 f （x） 是定义在 R 上的奇函数， (3 2 + ) = ( 3 2)， 且 ( 3 2 ，0)时， f（x）log2（3x+1） ，则 f（2020）（ ） A4 Blog27 C2 D2 10 （5 分）已知(2 + 1 ) 8的二项展开式中含5 2项的系数为 m，则 1 +1 =（ ） A154ln2 B164ln2 C15+4ln2 D16+41n2 11 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c
5、 成等差数列， 且 4sinA3sinB，则 sinAcosB+sinC（ ） A34 25 B27 25 C12 25 D7 5 12 （5 分）过点 P（4，5）引圆 x2+y22x4y+10 的切线，则切线长是（ ） A3 B14 C4 D5 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 3 页（共 19 页） 13 （5 分）已知 sin（+ 4）= 3 2 ，则 sin2 14 （5 分）已知ABC 中，P 为 MN 上的一点，且满足 =m +n （m0，n0） ， = 1 3 ， = 1 4 ，则 mn 的最大值为 15 （5 分
6、）过点 P（1，1）作直线 l 与双曲线2 2 2 = 交于 A，B 两点，若点 P 恰为线段 AB 的中点，则实数 的取值范围是 16 （5 分）已知三棱锥 PABC 外接球的表面积为 100，PA平面 ABC，PA8，BAC 60，则三棱锥体积的最大值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，PAC 为等边三角形，AB AC，D 是 BC 的中点 （）证明：ACPD； （）若 ABAC2，求二面角 DPAB 平面角的余弦值 18 （12 分）已知等比数列an中
7、，an0，a12，且 1 1 +1 = 2 +2，nN * （1）求an的通项公式； （2）设 bnanlog4an，若bn前的前 n 项和 Sn2020，求 n 的最大值 19 （12 分）近些年来，随着空气污染加剧，全国各地雾霾天气增多 环境空气质量指数 （AQI）技术规定（试行） 将空气质量指数分为六级：其中，中度污染（四级） ，指数为 151200；重度污染（五级） ，指数为 201300；严重污染（六级） ，指数大于 300某 气象站观测点记录了某市五月 1 号4 号连续 4 天里，AQI 指数 M 与当天的空气水平可 见度 y（单位 cm）的情况如下表 1： M 900 700 3
8、00 100 y 0.5 3.5 6.5 9.5 该市五月 AQI 指数频数分布如下表 2： 第 4 页（共 19 页） M 0，200 （200， 400 （400， 600 （600.800 （800， 1000 频数 3 6 12 6 3 （ I）设 x= 100，根据表 1 的数据，求出 y 关于 x 的回归直线方程，并利用所求的回归 直线方程分析该市五月 1 号4 号连续 4 天空气水平可见度的变化情况 （ II）小张开了一家洗车店，生意的好坏受到空气质量影响很大经统计，当 M 不高于 200 时，洗车店平均每天亏损约 2000 元；当 M 在 200 至 400 时，洗车店平均每天
9、收入约 4000 元；当 M 大于 400 时，洗车店平均每天收入约 7000 元将频率看作概率，求小张 的洗车店五月某一天能够获利的概率，并根据表 2 估计五月份平均每天的收入 附： 对于一组数据 （x1， y1） ，（x2， y2） ，（x3， y3） ， ，（xn， yn） ， 其回归直线 = x+ 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = 20 （12 分）已知点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上运动，|AB|3，点 P 在线段 AB 上，且|BP| 2|PA| （1）求点 P 的轨迹的方程； （2）直线，与交于 M，N 两点
10、，Q（0，1） ，若直线 QM，QN 的斜率之和为 2，直 线，是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）e|x|3cosx （1）证明：f（x）+20； （2）当 (0， 2)时，不等式 () 3 恒成立，求实数 m 的最大值和 n 的最小 值 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为 = 2 = 3（ 为参数） ，以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为( 4) = 1 （1）求曲线 C1的极坐标方
11、程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）射线 OM： = ( 2 )与曲线 C1交于点 M，射线 ON： = 4与曲线 C2 交于点 N，求 1 |2 + 1 |2的取值范围 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 m，n 都是实数，m0，f（x）|2x1|+|x2| 第 5 页（共 19 页） （1）若 f（x）2，求实数 x 的取值范围； （2）若|m+n|+|mn|m|f（x）对满足条件的所有 m，n 都成立，求实数 x 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（7） 参考答案与试题解析参考答案与试题
12、解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A1，0，m，B1，2，若 AB1，0，1，2，则实数 m 的值为（ ） A1 或 0 B0 或 1 C1 或 2 D1 或 2 【解答】解：集合 A1，0，m，B1，2，AB1，0，1，2， 因为 A，B 本身含有元素1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m1，0 即可， 故 m1 或 2， 故选：D 2 （5 分）设复数 z 满足|z3+4i|2，z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） A （x3）2+（y+4）22 B （x+3）2+（y+4）22 C （
13、x+3）2+（y4）24 D （x3）2+（y+4）24 【解答】解：z 在复平面内对应的点为（x，y） ， zx+yi，|z3+4i|2， （x3）2+（y+4）24， 故选：D 3 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 【解答】解：| | = | | = 1， ， = 2 3 ， ( )2= 2 2 + 2 = 1 2 1 1 ( 1 2) + 1 =3， | | = 3 故选：D 4 （5 分）雷达图（RadarChart） ，又可称为戴布拉图，蜘蛛网图（SpiderChart） ，是财务分 析报表的一种，现可用于对研究对象
14、的多维分析，如图为甲、乙两人五个方面的数据雷 达图，则下列说法不正确的是（ ） 第 7 页（共 19 页） A甲、乙两人在能力方面的表现基本相同 B甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙 C在培训与销售两个方面甲的综合表现优子乙 D甲在这五个方面的综合表现优于乙 【解答】解：由雷达图可知，乙在培训方面的数据大于甲、乙在销售方面的数据小于甲， 显然 C 选项的分析不正确 故选：C 5 （5 分）若函数 f（x）2x33mx2+6x 存在极值点，则 m 的取值范围是（ ） A （，2）（2，+） B （，22，+） C （2，2） D2，2 【解答】解：函数 f（x）2x33mx2+6x， f（
15、x）6x26mx+6； f（x）2x33mx2+6x 存在极值点 f（x）6x26mx+60 有两个不同解， m240，解得 m2 或 m2 故选：A 6 （5 分）如图所示，函数 f（x）sin（2x+） （|）的图象过点( 6 ，0)，若将 f（x） 的图象上所有点向右平移 6个单位长度， 然后再向上平移 1 个单位长度，所得图象对应的 函数为 g（x） ，则 g（0）（ ） 第 8 页（共 19 页） A1+ 3 2 B1 3 2 C1+ 3 2 或 1 3 2 D 3 2 【解答】解：函数 f（x）sin（2x+） （|）的图象过点( 6 ，0)， 由图象利用五点法作图可得，2 6 +
16、，= 2 3 ，f（x）sin（2x+ 2 3 ） 若将 f （x） 的图象上所有点向右平移 6个单位长度， 可得 ysin （2x 3 + 2 3 ） sin （2x+ 3） 的图象， 然后再向上平移 1 个单位长度，可得 ysin（2x+ 3）+1 的图象 故所得图象对应的函数为 g（x）sin（2x+ 3）+1， 则 g（0）sin（0+ 3）+11+ 3 2 ， 故选：A 7 （5 分）从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛，则选中的 2 人是 1 名男同 学 1 名女同学的概率是（ ） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 【解答】解：从 2 名女同学和 3 名
17、男同学中任选 2 人参加演讲比赛， 基本事件总数 n= 5 2 =10， 选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女同学包含的基本事件个数 m= 2 131 =6， 则选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女同学的概率是 p= = 6 10 = 3 5 故选：C 8 （5 分）正三棱锥 ABCD，侧棱 = 23，棱 CD2，E，F 分别是 AB，CD 的中点， 则 EF 与 BC 成角为（ ） 第 9 页（共 19 页） A60 B90 C30 D45 【解答】解：取 BD 中点 O，BC 中点 M，连结 EO，FO，AM，DM， ABAC，BDCD，AMBC，DMBC， AMDMM，BC平面
18、ADM，BCAD， 正三棱锥 ABCD，侧棱 = 23，棱 CD2，E，F 分别是 AB，CD 的中点， EOAD，EO= 1 2 = 3， FOBC，FO= 1 2BC1， EFO 是 EF 与 BC 所成角（或所成角的补角） ，且EOF90， EF= 3 + 1 =2， cosEFO= 2+22 2 = 4+13 221 = 1 2， EFO60 EF 与 BC 成角为 60 故选：A 9 （5 分） 已知函数 f （x） 是定义在 R 上的奇函数， (3 2 + ) = ( 3 2)， 且 ( 3 2 ，0)时， f（x）log2（3x+1） ，则 f（2020）（ ） A4 Blog2
19、7 C2 D2 【解答】解：根据题意，f（x）满足(3 2 + ) = ( 3 2)，即 f（x+3）f（x） ，函数 f（x） 是周期为 3 的周期函数， 则 f（2020）f（1+2019）f（1） ， 又由 f（x）为奇函数，则 f（1）f（1）log2（3+1）2， 故选：D 10 （5 分）已知(2 + 1 ) 8的二项展开式中含5 2项的系数为 m，则 1 +1 =（ ） A154ln2 B164ln2 C15+4ln2 D16+41n2 第 10 页（共 19 页） 【解答】解：由(2 + 1 ) 8，通项公式 Tr+1= 8(2)8(1 ) =28 r 8 83 2 令 8 3
20、 2r= 5 2，解得 r7 二项展开式中含 5 2项的系数为 m= 2 8 7=16， 则 1 +1 = 16 1 +1 dx= ( + )|1 16 =15+4ln2 故选：C 11 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列， 且 4sinA3sinB，则 sinAcosB+sinC（ ） A34 25 B27 25 C12 25 D7 5 【解答】解：a，b，c 成等差数列， 2ba+c， 4sinA3sinB， 由正弦定理得 4a3b， 设 a3t，b4t，则 c5t， cosC= 2+22 2 = 92+162252 234 =0
21、，cosB= 2+22 2 = 3 5， 0C， C= 2 A+B= 2，可得 sinAcosB= 3 5， sinAcosB+sinC= 3 5 3 5 +1= 34 25 故选：A 12 （5 分）过点 P（4，5）引圆 x2+y22x4y+10 的切线，则切线长是（ ） A3 B14 C4 D5 【解答】解：把圆的方程化为标准方程得： （x1）2+（y2）24， 得到圆心 A 坐标为（1，2） ，圆的半径 r2， |PA|= (4 1)2+ (5 2)2=32， 切线长是：2 2=(32)222= 14， 故选：B 第 11 页（共 19 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小
22、题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 sin（+ 4）= 3 2 ，则 sin2 1 2 【解答】解：sin（+ 4）= 3 2 ， 2 2 （sin+cos）= 3 2 ，解得：sin+cos= 6 2 ， 两边平方，可得：1+sin2= 3 2， sin2= 1 2 故答案为：1 2 14 （5 分）已知ABC 中，P 为 MN 上的一点，且满足 =m +n （m0，n0） ， = 1 3 ， = 1 4 ，则 mn 的最大值为 1 48 【解答】解： =m +n ， = 1 3 ， = 1 4 ， = 3 + 4 ， P，M，N 共线， 3m+4n1，
23、又 m0，n0， 13m+4n 212 = 43， 即 mn 1 48 当且仅当 3m4n= 1 2，即 m= 1 6 ， = 1 8时取“” 故答案为： 1 48 15 （5 分）过点 P（1，1）作直线 l 与双曲线2 2 2 = 交于 A，B 两点，若点 P 恰为线段 AB 的中点，则实数 的取值范围是 （，0）（0，1 2） 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入双曲线可得： 12 12 2 = 22 22 2 = ，两式相减 可得：12 12 = 2(1+2) 1+2 ，而由题意可得，x1+x2212，y1+y2212， 所以直线 AB 的斜率 k= 12 12
24、 = 22 2 =2，所以直线 AB 的方程为：y12（x1） ，即 第 12 页（共 19 页） y2x1，代入双曲线的方程可得：2x24x+1+20， 因为直线与双曲线由两个交点，所以0，且 0，即1642（1+2）0， 解得： 1 2， 所以实数 的取值范围是（，0）（0，1 2） ， 故答案为： （，0）（0，1 2） 16 （5 分）已知三棱锥 PABC 外接球的表面积为 100，PA平面 ABC，PA8，BAC 60，则三棱锥体积的最大值为 183 【解答】解：三棱锥 PABC 外接球的表面积为 100，PA平面 ABC，PA8，BAC 60， 三棱锥 PABC 外接球半径 R5，
25、ABC 外接圆半径为 r=2 ( 2 )2=3， SABC= 1 2 60 = 1 2 6 6 3 2 =93， sinB0，sinC0， 当 sinBsinC= 3 2 时， （SABC）max93 3 2 3 2 = 273 4 ， 三棱锥体积的最大值为： V= 1 3 ()8= 1 3 273 4 8 =183 故答案为：183 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，PAC 为等边三角形，AB AC，D 是 BC 的中点 （）证明：ACPD； （）若 ABA
26、C2，求二面角 DPAB 平面角的余弦值 第 13 页（共 19 页） 【解答】 （）证明：取 AC 中点 E，联结 DE、PE， PAC 为等边三角形，PEAC ABAC，D 是 BC 的中点，E 为 AC 中点，EDAC ACPED 面，PD平面 PAD， ACPD （）平面 PAC平面 ABC，PE平面 ABC，PEDE， PE，AC，ED 三线两两垂直，以 E 为坐标原点，EC，ED，EP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系 C（1，0，0） ，A（1，0，0） ，B（1，2，0） ，D（0，1，0） ，P （0，0，3） 设平面 PAD 的法向量为 = (，)， = (
27、0，1， 3)， = (1，0， 3)， ， ， 3 = 0 3 = 0令 = 3，y3，x3， 平面 PAD 的法向量为 = (3，3，3) 设平面 PAB 的法向量为 = (，)， = (0，2，0)， = (1，0，3)， ， ， 2 = 0 + 3 = 0 令= 3，y0，x3， 平面 PAB 的法向量为 = (3，0，3) 设二面角 DPAB 的平面角为 ， = | |= 9+3 9+9+39+3 = 27 7 ， 第 14 页（共 19 页） 二面角 DPAB 平面角的余弦值27 7 18 （12 分）已知等比数列an中，an0，a12，且 1 1 +1 = 2 +2，nN * （
28、1）求an的通项公式； （2）设 bnanlog4an，若bn前的前 n 项和 Sn2020，求 n 的最大值 【解答】解： （1）由an是等比数列，令 n1 可得 1 1 1 2 = 2 3 1 2 1 2 = 2 22，q 2q20 q2 或 q1（舍去） ， 故= 2 （2）由题= 4= 21， 所以= 1 20+ 2 21+ 3 22+ + 21， 又2= 1 21+ 2 22+ 3 23+ + 2， 两式相减得：Sn1+2+22+23+2n 1n2n=12 12 n2n1+2nn2n = 1 + ( 1) 2， 易知 Sn单调递增，且 S81793，S940972020， 故 n 的
29、最大值为 8 19 （12 分）近些年来，随着空气污染加剧，全国各地雾霾天气增多 环境空气质量指数 （AQI）技术规定（试行） 将空气质量指数分为六级：其中，中度污染（四级） ，指数为 151200；重度污染（五级） ，指数为 201300；严重污染（六级） ，指数大于 300某 气象站观测点记录了某市五月 1 号4 号连续 4 天里，AQI 指数 M 与当天的空气水平可 见度 y（单位 cm）的情况如下表 1： M 900 700 300 100 y 0.5 3.5 6.5 9.5 第 15 页（共 19 页） 该市五月 AQI 指数频数分布如下表 2： M 0，200 （200， 400
30、（400， 600 （600.800 （800， 1000 频数 3 6 12 6 3 （ I）设 x= 100，根据表 1 的数据，求出 y 关于 x 的回归直线方程，并利用所求的回归 直线方程分析该市五月 1 号4 号连续 4 天空气水平可见度的变化情况 （ II）小张开了一家洗车店，生意的好坏受到空气质量影响很大经统计，当 M 不高于 200 时，洗车店平均每天亏损约 2000 元；当 M 在 200 至 400 时，洗车店平均每天收入约 4000 元；当 M 大于 400 时，洗车店平均每天收入约 7000 元将频率看作概率，求小张 的洗车店五月某一天能够获利的概率，并根据表 2 估计
31、五月份平均每天的收入 附： 对于一组数据 （x1， y1） ，（x2， y2） ，（x3， y3） ， ，（xn， yn） ， 其回归直线 = x+ 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = 【解答】 解：（） 由所给数据计算得： = 1 4 (9 + 7 + 3 + 1) = 5， = 1 4 (0.5 + 3.5 + 6.5 + 9.5) = 5 （注：考生，至少算出一个得 1 分） （1 分） 4 =1 ( )2= 16 + 4 + 4 + 16 = 40（2 分） 4 =1 ( )( ) =4（4.5）+2（1.5）+（2）1
32、.5+（4）4.5 42（3 分） = 4 =1 ()() 4 =1 ()2 = 42 40 = 21 20 = 1.05（4 分） （注：考生 42 40不约分不扣分，约分计算错误扣（1 分）得 3 分） = = 5 5 ( 21 20) = 41 4 = 10.25（5 分） 所求回归直线方程为 = 21 20 + 41 4 （6 分） 由上可知， = 21 20 0， 故该市五月 1 号4 号连续 4 天空气水平可见度随 x 的降低逐步增加， x 每降低 1 个单位，空气水平可见度就增加21 20cm （8 分） （）由题意可知，小张的洗车店该月某一天能够获 利的概率为 0.9，（9 分
33、） 根据表 2 估计五月份平均每天的收入：20000.1+40000.2+70000.75500 第 16 页（共 19 页） （元）（12 分） 20 （12 分）已知点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上运动，|AB|3，点 P 在线段 AB 上，且|BP| 2|PA| （1）求点 P 的轨迹的方程； （2）直线，与交于 M，N 两点，Q（0，1） ，若直线 QM，QN 的斜率之和为 2，直 线，是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由 【解答】解： （1）设 P（x，y） ， 点 P 在线段 AB 上，且|BP|2|PA|，A（3 2 ，0） ，B（0，3y） ， |AB|3
34、，（3 2 ）2+（3y）29， 2 4 + 2=1， 点 P 的轨迹的方程为 2 4 + 2=1 （2）设 M（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 当 l 的斜率存在时，设 l：ykx+m， 由 2 4 + 2= 1 = + ，得（4k2+1）x2+8kmx+4m240， （8km）24（4k24）0， 即 4k2m2+10， 1+ 2= 8 42+1，12 = 424 42+1 ， 直线 QM，QN 的斜率之和为 2，1+1 1 + 2+1 2 =2， 2k+ (+1)(1+2) 12 =2，2k (+1)2 21 =2， m1k， 当 m1k 时，满足 4k2m2+10，即0，符合题意
35、， 此时，直线 l：ykx+1k 恒过定点（1，1） ， 当 l 的斜率不存在时，x1x2，y1y2， 直线 QM，QN 的斜率之和为 2， 1+1 1 + 2+1 2 = 2+1 2 + 2+1 2 = 2 2 =2， x21，此时直线 l：x1，恒过定点（1，1） 21 （12 分）已知函数 f（x）e|x|3cosx 第 17 页（共 19 页） （1）证明：f（x）+20； （2）当 (0， 2)时，不等式 () 3 恒成立，求实数 m 的最大值和 n 的最小 值 【解答】解： （1）当 x0，+）时，f（x）ex3cosx，f（x）ex+3sinx， 当 x0，）时，ex0，则 f（
36、x）ex+3sinx0， 当 x，+）时，ex3，则 f（x）ex30， 则当 x0，+）时，f（x）0，f（x）在0，+）上单调递增， f（x）f（0）2，又函数 f（x）为偶函数， 对任意的 xR，f（x）+20 成立； （2）() 3 = ， 当 x0 时， ，即 sinxmx0； ，即 sinxnx0 令 g（x）sinxtx，则 g（x）cosxt， 当 t0 时，在 (0， 2)上，g（x）0， g（x）在(0， 2)上为增函数，g（x）g（0）0，t0； 当 t1，在 (0， 2)上，g（x）0， g（x）在(0， 2)上为减函数，g（x）g（0）0，t1； 当 0t1 时，存在
37、唯一的0 (0， 2)，使得 g（x0）cosx0t0， 当 x0（0，x0）时，g（x）0；当0 (0， 2)时，g（x）0， g（x）在（0，x0）上单调递增，在(0， 2)上单调递减，g（x0）g（0）0， 当 (0， 2)时，g（x）sinxtx0， 当且仅当( 2) = 1 2 0，0 2 ， 综上，当且仅当 2 时，g（x）0 在 (0， 2)上恒成立， 当且仅当 t1 时，g（x）0 在 (0， 2)上恒成立， m 的最大值为2 ，n 的最小值为 1 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 18 页（共 19 页） 22
38、 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为 = 2 = 3（ 为参数） ，以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为( 4) = 1 （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）射线 OM： = ( 2 )与曲线 C1交于点 M，射线 ON： = 4与曲线 C2 交于点 N，求 1 |2 + 1 |2的取值范围 【解答】解： （1）由曲线 C1的参数方程 = 2 = 3（ 为参数） ， 得：2 + 2 = ( 2) 2 + ( 3) 2 = 1， 即曲线 C1的普通方程为 2 2 + 2 3 = 1 又 xcos，ysin， 曲线
39、C1的极坐标方程为 32cos2+22sin26， 即 2cos2+226 曲线 C2的极坐标方程可化为 = 2， 故曲线 C2的直角方程为 + 2 = 0 （2）由已知，设点 M 和点 N 的极坐标分别为（1，） ，(2， 4)，其中 2 ， 则|2= 12= 6 2+2， |2= 22= 1 2( 2) = 1 2 于是 1 |2 + 1 |2 = 2+2 6 + 2 = 72+2 6 由 2 ， 得1cos0， 故 1 |2 + 1 |2的取值范围是( 1 3， 3 2) 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 m，n 都是实数，m0，f（x）|2x1|+|x2| （1）若 f（x）2，求实数 x 的取值范围； （2）若|m+n|+|mn|m|f（x）对满足条件的所有 m，n 都成立，求实数 x 的取值范围 第 19 页（共 19 页） 【解答】解： （1）f（
