1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知三个集合 U，A，B 及元素间的关系如图所示，则（UA）B（ ） A5，6 B3，5，6 C3 D0，4，5，6，7，8 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi1+2i，则 z 的共轭复数为（ ） A2i B2+i Cl2i Di2 3 （5 分）能得出成立的是（ ） A0ba Bba0 Ca0b Dab0 4 （5 分）下面的抽样方法是简单随机抽样的
2、是（ ） A在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定 号码的后四位为 2709 为三等奖 B某车间包装一种产品，在自动的传送带上，每隔 5 分钟抽一包产品，称其重量是否合 格 C某校分别从行政，教师，后勤人员中抽取 2 人，14 人，4 人了解学校机构改革的意见 D用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 5 （5 分）已知函数，则下列判断错误的是（ ） Af（x）的最小正周期为 Bf（x）的值域为1，3 Cf（x）的图象关于直线对称 Df（x）的图象关于点对称 6 （5 分）已知命题 p：x22x30，命题 q：xa，若 q 的一个充分不必要
3、条件是 p，则 a 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 19 页） A3，+） B （3，+） C （，1 D （，1） 7 （5 分）已知函数 f（x），则使函数值为 5 的 x 的值是（ ） A2 B2 或 C2 或2 D2 或2 或 8 （5 分）已知向量 （2，m） ， （m+1，4） ， （12m，4） ，且 则向量 在 向量 方向上的投影为（ ） A B C D 9 （5 分）若 a 是从区间0，2中任取的一个实数，b 是从区间0，3中任取的一个实数，则 ab 的概率是（ ） A B C D 10 （5 分）函数 f（x）（3x3 x）log 3x2的图象大致为（ ） A B C
4、D 11 （5 分）直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F 且与抛物线交于 A，B 两点，若线段 AF，BF 的长分别为 m，n，则 4m+n 的最小值是（ ） A10 B9 C8 D7 12 （5 分）已知函数 f（x）x2e x，g（x）xlnx+c若对x 1（0，+） ，x2（ ） ， 使 f（x1）g（x2）成立，则 c 的取值范围是（ ） A） B） C （ D （） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若（2x2）n的展开式的所有奇数项二项式系数之和为 32，则 n 第 3 页（共 19 页） 14 （5
5、分）在ABC 中，若 cos2Acos2Bcos2CcosAcosB+cosCcos2B，且 AB6，则 SABC的最大值为 15 （5 分） “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色 社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百 姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门 app该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学 习”两个学习板块和“每日答题” 、 “每周答题” 、 “专项答题” 、 “挑战答题”四个答题板 块某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习” 两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 种
6、 16（5分） 已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上， PAPBPC， AB2， AC3，E，F 分别为 AC，PB 的中点，则球 O 的体积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17设等差数列an满足 a33，a713 （1）求an的通项公式； （2）求an的前 n 项和 Sn及 Sn的最大值 18如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA 2，E 为 PD 中点 （1）求证：AEPC； （2）求二面角 BAEC 的正弦值 19 “微信运动”已经成为当下热门的健身方式，韩梅梅的微信朋友圈内有 800 为好友参与 了“微信运
7、动” 他随机抽取了 50 为微信好友（男、女各 25 人） ，统计其在某一天的走 路步数其中女性好友的走路步数数据记录如下： 12860 8320 10231 6734 7323 8430 3200 4543 11123 第 4 页（共 19 页） 9860 8753 6454 7292 4850 10222 9734 7944 9117 6421 2980 1123 1786 2436 3876 4326 男性好友走路步数情况可以分为五个类别 A（02000 步） （说明： “02000”表示大于 等于 0，小于等于 2000，下同） ，B（20015000） 、C（50018000） 、D
8、（800110000 步） 、E（10001 步及以上） ，且 A，C，E 三中类型的人数比例为 1：2：3，将统计结果绘 制如图所示的柱形图 若某人一天的走路步数超过 8000 步则被系统评定为“积极型” ，否则被系统评定为“懈 怠型” （1） 若以韩梅梅抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数 的概率分布，请估计韩梅梅的微信好友圈里参与“微信运动”的 800 名好友中，每天走 路步数在 500110000 步的人数； （2）请根据选取的样本数据完成下面的 22 列联表，并据此判断能否有 95%以上的把 握认为“评定类型”与“性别”有关？ 积极型 懈怠型 总计 男 25
9、 女 25 总计 50 （3） 若从韩梅梅当天选取的步数大于 10000 的好友中按男女比例分层选取 5 人进行身体 状况调查，然后再从这 5 位好友中选取 2 人进行访谈，求至少有一位女性好友访谈的概 率 参考公式：，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 第 5 页（共 19 页） 20如图，椭圆1（ab0）的长轴长为 4，点 A，B，C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC 过中心 O，且|BC|2|AB|，SABC3 （）求椭圆的标准方程； （）设 P，Q 是椭圆上
10、位于直线 AC 同侧的两个动点（异于 A，C） ，且满足PBC QBA，试讨论直线 BP 与直线 BQ 斜率之间的关系，并求证直线 PQ 的斜率为定值 21已知函数 f（x）elnxax+1 （）讨论 f（x）的单调性； （）若 a0，且对任意的 x1，e，都有 f（x）a，求 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在极点为 O 的极坐标系中，直线 l：cos1 上有一动点 P，动点 M 在射线 OP 上，且 满足|OP|OM|2，记 M 的轨迹为 C （1）求 C 的极坐标方程，并说明 C 是何种曲线； （2）若，M2（2，0） ，均在曲线 C 上，求M1M2M3
11、的面积 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）当 a2 时，求不等式 f（x）6 的解集； （2）设函数 g（x）|2x1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知三个集合 U，A，B 及元素间的关系如图所示，则（UA）B（ ） A5，6 B3，5，6 C3 D0，4
12、，5，6，7，8 【解答】解：U0，1，2，3，4，5，6，7，8，A1，2，3，B3，5，6， UA0，4，5，6，7，8， （UA）B5，6， 故选：A 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi1+2i，则 z 的共轭复数为（ ） A2i B2+i Cl2i Di2 【解答】解：zi1+2i，z2i， z 的共轭复数为：2+i， 故选：B 3 （5 分）能得出成立的是（ ） A0ba Bba0 Ca0b Dab0 【解答】解：由得0， 则当 ab0 时，不等式0，成立， 其余不成立， 故选：D 4 （5 分）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ） A在某年明信片销售活动中，
13、规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定 第 7 页（共 19 页） 号码的后四位为 2709 为三等奖 B某车间包装一种产品，在自动的传送带上，每隔 5 分钟抽一包产品，称其重量是否合 格 C某校分别从行政，教师，后勤人员中抽取 2 人，14 人，4 人了解学校机构改革的意见 D用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 【解答】解：总体和样本容量都不大，采用随机抽样 故选：D 5 （5 分）已知函数，则下列判断错误的是（ ） Af（x）的最小正周期为 Bf（x）的值域为1，3 Cf（x）的图象关于直线对称 Df（x）的图象关于点对称 【解答】解：2sin（2x+）+
14、1， 对于选项 A，由于 f（x）的最小正周期为，故正确； 对于选项 B，由于 sin（2x+）1，1，可得 f（x）2sin（2x+）+11，3， 故正确； 对于选项 C，由于 f（）2sin（2+）+13 为 f（x）最大值，故正确； 对于选项 D，由于 f（）2sin（2+）+110，故错误 故选：D 6 （5 分）已知命题 p：x22x30，命题 q：xa，若 q 的一个充分不必要条件是 p，则 a 的取值范围是（ ） A3，+） B （3，+） C （，1 D （，1） 【解答】解：由 x22x30 得1x3， q 的一个充分不必要条件是 p， a3， 故选：A 第 8 页（共 19
15、 页） 7 （5 分）已知函数 f（x），则使函数值为 5 的 x 的值是（ ） A2 B2 或 C2 或2 D2 或2 或 【解答】解：由题意，当 x0 时，f（x）x2+15，得 x2，又 x0，所以 x2； 当 x0 时，f（x）2x5，得 x，舍去 故选：A 8 （5 分）已知向量 （2，m） ， （m+1，4） ， （12m，4） ，且 则向量 在 向量 方向上的投影为（ ） A B C D 【解答】解：由向量 （m+1，4） ， （12m，4） ，且 ， 则 4（m+1）（4） （12m）0， 解得 m2， 所以 （2，2） ， （3，4） ， 所以向量 在向量 方向上的投影为 |
16、 |cos 故选：A 9 （5 分）若 a 是从区间0，2中任取的一个实数，b 是从区间0，3中任取的一个实数，则 ab 的概率是（ ） A B C D 【解答】解：如图，所有的基本事件对应集合 （a，b）|0a2，0b3， 所构成的区域为矩形及其内部，其面积为 S326， 事件 A 对应的集合 A（a，b）|0a2，0b3，且 ab， 且在直线 ab 的右上方部分，其面积 S6224， 故事件 A 发生的概率 P（A）， 故选：A 第 9 页（共 19 页） 10 （5 分）函数 f（x）（3x3 x）log 3x2的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，函数 f（x）（3
17、x3 x）log 3x2，其定义域为x|x0， 且 f（x）（3x3 x）log 3x2（3x3 x）log 3x2）f（x） ，即函数 f（x）为奇函 数，排除 A、C， 又由 x0 时， （3x3 x）0，则 f（x）0，排除 D； 故选：B 11 （5 分）直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F 且与抛物线交于 A，B 两点，若线段 AF，BF 的长分别为 m，n，则 4m+n 的最小值是（ ） A10 B9 C8 D7 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1， 如图所示，过 B 点作 BDAD，作 AMMN，BNMN， 由抛物线的定义可得 AMAFm，
18、BNBFn， ADmn，EF2n， ，化简得：， 4m+n（4m+n） 1（4m+n） （） 第 10 页（共 19 页） 2+59， 当且仅当 n2m 时等号成立 所以 4m+n 的最小值为 9 故选：B 12 （5 分）已知函数 f（x）x2e x，g（x）xlnx+c若对x 1（0，+） ，x2（ ） ， 使 f（x1）g（x2）成立，则 c 的取值范围是（ ） A） B） C （ D （） 【解答】解：f（x）x2e x，x（0，+） ， f（x），令 f（x）0，解得：x2， 故 f（x）在（0，2）递增，在（2，+）递减， 故 f（x）maxf（2）， 而 x0 时，f（x）0，x
19、+时，f（x）0， 故 f（x）（0， 对于 g（x）c+xlnx， 则：g（x）lnx+1， 令 g（x）0，则 xe 1，g（x）0，则 0xe1，即在 xe1 为极小值且 g（e 1）c ， x2（） ， 第 11 页（共 19 页） g（e）c+e，g（）c，所以 g（x）c，c+e） 对x1（0，+） ，x2（） ，使 f（x1）g（x2）成立， 可得，解得 c（ 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若（2x2）n的展开式的所有奇数项二项式系数之和为 32，则 n 6 【解答】解：由（2x2）n的展开
20、式的所有奇数项二项式系数之和为 32， 二项式系数之和为 64，即 2n64，可得 n6， 故答案为：6 14 （5 分）在ABC 中，若 cos2Acos2Bcos2CcosAcosB+cosCcos2B，且 AB6，则 SABC的最大值为 3 【解答】解：设三角形内角 A，B，C 对应的三边为 a，b，c， cos2Acos2Bcos2CcosAcosB+cosCcos2B， （1sin2A）（1sin2B）（1sin2C）cosAcosBcos（A+B）（12sin2B） ， 可得：sinAsinB+sin2B+sin2Asin2C0， 由正弦定理可得：ab+b2+a2c20，由余弦定理
21、可得：ab+2abcosC0，解得 cosC ，可得：sinC， ABc6， 由余弦定理 c2a2+b22abcosC，可得 36a2+b2+ab， 362ab+ab3ab，即 ab12，当且仅当 ab 时取等号 SABCabsinC123，即 SABC的最大值为 3 故答案为：3 15 （5 分） “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色 社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百 姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门 app该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学 习”两个学习板块和“每日答题” 、 “每周答题” 、 “专项答题”
22、 、 “挑战答题”四个答题板 第 12 页（共 19 页） 块某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习” 两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 432 种 【解答】解：由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为种； “阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为种； 共有 240+192432 种方法 故答案为：432 16（5分） 已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上， PAPBPC， AB2， AC3，E，F 分别为 AC，PB 的中点，则球 O 的体积为 【解答】解：如图所示： 由已知可得ABC90，因 PAPBPC，
23、所以点 P 在ABC 内的投影为ABC 的外心 E， 所以 PE平面 ABC，PEBE， 所以 PB2EF3， 所以 PE， 又球心 O 在 PE 上，设 POr，则，所以， 所以球 O 体积， 故答案为：4 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17设等差数列an满足 a33，a713 第 13 页（共 19 页） （1）求an的通项公式； （2）求an的前 n 项和 Sn及 Sn的最大值 【解答】解： （1）由 ana1+（n1）d 及 a33，a713， 得， 所以数列an的通项公式为 an154n （2）由（1）知， 因为， 所以当 n3 时，Sn取得最大值 21 18如图，四棱
24、锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA 2，E 为 PD 中点 （1）求证：AEPC； （2）求二面角 BAEC 的正弦值 【解答】 （1）证明：底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA2，E 为 PD 中点， AEPD，CDAD PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，CDPA PAADA，CD平面 PAD， AE平面 PAD，CDAE， CDPDD，AE平面 PCD， PC平面 PCD，AEPC； （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴建立如图空间直角坐标系 则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C
25、（2，2，0） ，E（0，1，1） ， 第 14 页（共 19 页） ， 设平面 ABE 的一个法向量， 则，取 y1，得； 设平面 AEC 的一个法向量为， 则，取 a1，得， cos， 二面角 BAEC 的正弦值为 19 “微信运动”已经成为当下热门的健身方式，韩梅梅的微信朋友圈内有 800 为好友参与 了“微信运动” 他随机抽取了 50 为微信好友（男、女各 25 人） ，统计其在某一天的走 路步数其中女性好友的走路步数数据记录如下： 12860 8320 10231 6734 7323 8430 3200 4543 11123 9860 8753 6454 7292 4850 1022
26、2 9734 7944 9117 6421 2980 1123 1786 2436 3876 4326 男性好友走路步数情况可以分为五个类别 A（02000 步） （说明： “02000”表示大于 等于 0，小于等于 2000，下同） ，B（20015000） 、C（50018000） 、D（800110000 步） 、E（10001 步及以上） ，且 A，C，E 三中类型的人数比例为 1：2：3，将统计结果绘 制如图所示的柱形图 第 15 页（共 19 页） 若某人一天的走路步数超过 8000 步则被系统评定为“积极型” ，否则被系统评定为“懈 怠型” （1） 若以韩梅梅抽取的好友当天行走步
27、数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数 的概率分布，请估计韩梅梅的微信好友圈里参与“微信运动”的 800 名好友中，每天走 路步数在 500110000 步的人数； （2）请根据选取的样本数据完成下面的 22 列联表，并据此判断能否有 95%以上的把 握认为“评定类型”与“性别”有关？ 积极型 懈怠型 总计 男 16 9 25 女 10 15 25 总计 26 24 50 （3） 若从韩梅梅当天选取的步数大于 10000 的好友中按男女比例分层选取 5 人进行身体 状况调查，然后再从这 5 位好友中选取 2 人进行访谈，求至少有一位女性好友访谈的概 率 参考公式：，其中 na+b+c+d
28、临界值表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （1）25 名女性朋友有 12 人，25 名男性朋友有 14 人， 则 800 名好友中，每天走路步数在 500110000 步的人数为 800448（人） ； （2）根据题意填写 22 列联表如下， 积极型 懈怠型 总计 第 16 页（共 19 页） 男 16 9 25 女 10 15 25 总计 26 24 50 计算 K25.7693.841， 所以能有 95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关； （3）步数大于 10000 的男性好友
29、6 人，女性好友 4 人，按男女比例分层选取 5 人， 则男性好友 3 人，记为 a、b、c，女性好友 2 人，记为 D、E，从这 5 位好友中选取 2 人， 基本事件为：ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE 共 10 种； 至少有一位女性好友的基本事件为 6 种， 则所求的概率为 P 20如图，椭圆1（ab0）的长轴长为 4，点 A，B，C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC 过中心 O，且|BC|2|AB|，SABC3 （）求椭圆的标准方程； （）设 P，Q 是椭圆上位于直线 AC 同侧的两个动点（异于 A，C） ，且满足PBC QBA，试讨论直线 BP 与直
30、线 BQ 斜率之间的关系，并求证直线 PQ 的斜率为定值 【解答】解： （）2 分 又OAB 是等腰三角形，所以3 分 把 B 点带入椭圆方程，求得 b234 分 椭圆方程为5 分 （）由题易得直线 BP、BQ 斜率均存在， 又PBCQBA，所以 kBPkBQ7 分 第 17 页（共 19 页） 设直线代入椭圆方程， 化简得9 分 其一解为 1，另一解为10 分 可求11 分 用k 代入得12 分 为定值13 分 21已知函数 f（x）elnxax+1 （）讨论 f（x）的单调性； （）若 a0，且对任意的 x1，e，都有 f（x）a，求 a 的取值范围 【解答】解： （）函数的定义域为（0，
31、+） ， （i）当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增； （ii）当 a0 时，令 f（x）0，解得，令 f（x）0，解得， f（x）在上单调递增，在上单调递减； 综上，当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，f（x）在上单调递增，在上单调递减； （）当 a0 时，由（）知 f（x）在上单调递增，在上单调递 减， 当，即 ae 时，f（x）在1，e上单调递减，则 f（x）maxf（1）1a， 由 1aa，解得， 此时实数 a 的取值范围为e，+） ； 当，即 a1 时，f（x）在1，e上单调递增，则 f（x）maxf（e）eae+1， 由 eae
32、+1a，解得 a1， 第 18 页（共 19 页） 此时 a； 当，即 1ae 时，f（x）在上单调递增，在上单调递减， 则， 故 1elnaa，即 elna+a10， 设 g（x）elnx+x1，x（1，e） ，则， g（x）在（1，e）上单调递增， 又 g（1）0， 对任意 x（1，e） ，都有 g（x）0， a（1，e）满足题意； 综上所述，实数 a 的取值范围为（1，+） 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在极点为 O 的极坐标系中，直线 l：cos1 上有一动点 P，动点 M 在射线 OP 上，且 满足|OP|OM|2，记 M 的轨迹为 C （1）求 C 的极坐标方程，
33、并说明 C 是何种曲线； （2）若，M2（2，0） ，均在曲线 C 上，求M1M2M3 的面积 【解答】解： （1）极点为 O 的极坐标系中，直线 l：cos1 上有一动点 P，动点 M 在 射线 OP 上，记 M 的轨迹为 C 设点 P（1，y0） ，M（x，y） 由于点 O，P，M 三点共线，所以， 由于且满足|OP|OM|2，整理得，化简得 x2+y22x， （除去原点 （0，0） ） ， 转换为极坐标方程为 22cos， 整理得 2cos 故该曲线为以（1，0）为圆心，1 为半径的圆 （2）由于点，M2（2，0） ，均在曲线 C 上， 所以，22cos02， 第 19 页（共 19 页
34、） 所以转换为直角坐标，M2（2，0） ， 所以， 所以 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）当 a2 时，求不等式 f（x）6 的解集； （2）设函数 g（x）|2x1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a2 时，f（x）|2x2|+2， f（x）6，|2x2|+26， |2x2|4，|x1|2， 2x12， 解得1x3， 不等式 f（x）6 的解集为x|1x3 （2）g（x）|2x1|， f（x）+g（x）|2x1|+|2xa|+a3， 2|x|+2|x|+a3， |x|+|x|， 当 a3 时，成立， 当 a3 时，|x|+|x|a1|0， （a1）2（3a）2， 解得 2a3， a 的取值范围是2，+）
