1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A1，2，3，4，B3，4，5，全集 UAB，则集合U（AB） 的元素个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2 （5 分）已知 a+bi（a，bR）是的共轭复数，则 a+b（ ） A1 B C D1 3 （5 分）已知 mn，则下列不等式中一定成立的是（ ） Am+an+b Bmcnc Caman Dma2na2 4 （5 分）我校三个年级共有 24
2、 个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号， 依次为 1 到 24，现用系统抽样方法，抽取 4 个班进行调查，若抽到编号之和为 48，则抽 到的最小编号为（ ） A2 B3 C4 D5 5 （5 分）函数 y2sinxcosx+3 的最小正周期为（ ） A B C2 D4 6 （5 分） “是“cos“成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）设函数若 f（a）a，则实数 a 的值为（ ） A1 B1 C2 或1 D1 或2 8 （5 分）已知向量，且，则等于（ ） A B C0 D1 9 （5 分）有一种“三角形”能够像圆一样
3、，当作轮子用这种神奇的三角形，就是以 19 世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形 这种三角形常出现在制造业中 （例如图 1 中的扫地机器人） 三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角 第 2 页（共 18 页） 形，如图 2 所示现从图 2 中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概 率为（ ） A B C D 10 （5 分）著名数学家华罗庚先生曾说： “数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百 般好，隔裂分家万事休”如函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 11 （5 分）已知直线 x0 绕点（0，1）按逆时针方向旋转后所得直线与圆（xa）2+
4、 （yb）22（a，b0）相切，则的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 12 （5 分）在 R 上定义运算“” ：xyx（1y） 若存在实数 x，使得不等式（xm） （x+m）1 成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，） B （，） C （，） D （，）（，+） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 3 页（共 18 页） 13 （5 分）若双曲线与有相同的焦点，则实数 m 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c4，且 C 为锐角，则ABC 面积的最大值为 15 （5 分）已知一个圆锥
5、的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为圆锥内有 一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接 球表面积为 16 （5 分）设定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，则不等式 ex 1f（x）f（2x 1）的解为 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17设等差数列an满足 a36，a108 （1）求an的通项公式； （2）求an的前 n 项和 Sn及使得 Sn最小的序号 n 的值 18如图，已知边长为 2 的正三角形 ABE 所在的平面与菱形 ABCD 所在的平面垂直，且 DAB60，点 F 是 BC 上一点，且k（0k1） （1）当
6、k时，证明：BDEF； （2） 是否存在一个常数 k， 使得三棱锥 DFEB 的体积等于四棱锥 EABCD 的体积的， 若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 192017 年 3 月 18 日，国务院办公厅发布了生活垃圾分类制度实施方案 ，我市环保部 门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信 平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的 100 人的得分（满分按 100 分计）数据，统计结果如表 组别 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 女 2 4 4 15 21 9 第 4
7、页（共 18 页） 男 1 4 10 10 12 8 （1）环保部门规定：问卷得分不低于 70 分的市民被称为“环保关注者” 请列出 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，认为是否为“环保关注者” 与性别有关？ （2）若问卷得分不低于 80 分的人称为“环保达人” 现在从本次调查的“环保达人”中 利用分层抽样的方法随机抽取 5 名市民参与环保知识问答，再从这 5 名市民中抽取 2 人 参与座谈会，求抽取的 2 名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率 附表及公式：K2，na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10
8、0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20过双曲线的右焦点 F2，倾斜角为 30的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为 坐标原点，F1为左焦点 （1）求|AB|； （2）求AOB 的面积； （3）求证：|AF2|+|BF2|AF1|+|BF1| 21已知函数， （a 为常数，e 为自然对数的底） （1）令，a0，求 （x）和 f（x） ； （2）若函数 f（x）在 x0 时取得极小值，试确定 a 的取值范围； 理（3）在（2）的条件下，设由 f（x）的极大值构成的函数为 g（x） ，试判断曲线 g（x） 只可能与直线
9、 2x3y+m0、3x2y+n0（m，n 为确定的常数）中的哪一条相切，并 说明理由 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖 国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲 线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲 线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin（02，0） ，M 为该曲线 第 5 页（共 18 页） 上的任意一点 （1）当|OM|时，求 M 点的极坐标； （2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转与该曲线相交于点 N
10、，求|MN|最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）|2x+3a2| （1）当 a0 时，求不等式 f（x）+|x2|3 的解集； （2）对于任意实数 x，不等式|2x+1|f（x）2a 成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 18 页） 2020 年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A1，2，3，4，B3，4，5，全集 UAB，则集合U（AB） 的元素个数有（ ）
11、A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：AB1，2，3，4，5 AB3，4 U（AB）1，2，5 故选：C 2 （5 分）已知 a+bi（a，bR）是的共轭复数，则 a+b（ ） A1 B C D1 【解答】解：i， a+bi（i）i， a0，b1， a+b1， 故选：D 3 （5 分）已知 mn，则下列不等式中一定成立的是（ ） Am+an+b Bmcnc Caman Dma2na2 【解答】解：mn，则取 m1，n0，a0，b2，c0，可排除 A，B，D 对 C，mn，mn，aman，故 C 正确 故选：C 4 （5 分）我校三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理状
12、况，将每个班编号， 依次为 1 到 24，现用系统抽样方法，抽取 4 个班进行调查，若抽到编号之和为 48，则抽 到的最小编号为（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：系统抽样的抽取间隔为6 第 7 页（共 18 页） 设抽到的最小编号 x， 则 x+（6+x）+（12+x）+（18+x）48， 所以 x3 故选：B 5 （5 分）函数 y2sinxcosx+3 的最小正周期为（ ） A B C2 D4 【解答】解：因为 y2sinxcosx+3sin2x+3； T 故选：B 6 （5 分） “是“cos“成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
13、 【解答】解：由 一定能推出 cos，当由 cos，则不一定推出 ， 故“是“cos“成立的充分不必要条件， 故选：A 7 （5 分）设函数若 f（a）a，则实数 a 的值为（ ） A1 B1 C2 或1 D1 或2 【解答】解：由题意知，f（a）a； 当 a0 时，有，解得 a2， （不满足条件，舍去） ； 当 a0 时，有，解得 a1（不满足条件，舍去）或 a1 所以实数 a 的值是：a1 故选：B 8 （5 分）已知向量，且，则等于（ ） A B C0 D1 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：向量，且， 所以 2m40， 解得 m2； 所以 （2，2） ， 所以2 +80+816，
14、 所以| |4， 所以 （ + ）+8+08， 所以 故选：B 9 （5 分）有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用这种神奇的三角形，就是以 19 世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形 这种三角形常出现在制造业中 （例如图 1 中的扫地机器人） 三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角 形，如图 2 所示现从图 2 中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概 率为（ ） A B C D 【解答】 解： 设圆半径为 R， 因为阴影部分面积为， 勒洛三角形的面积为， 若从勒洛三角形内部随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为 故选：D 10 （5 分）著名数学家
15、华罗庚先生曾说： “数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百 第 9 页（共 18 页） 般好，隔裂分家万事休”如函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，函数 f（x），其定义域为x|x0， 有 f（x）（）f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，排除 A， 又由 x0 时，有 exe x，即有 exex0，则有 f（x）0，排除 D， 当 x+时，f（x）+，排除 C； 故选：B 11 （5 分）已知直线 x0 绕点（0，1）按逆时针方向旋转后所得直线与圆（xa）2+ （yb）22（a，b0）相切，则的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：直线
16、x0 绕点（0，1）按逆时针方向旋转， 所得直线的斜率为1，则直线方程为 x+y10， 所得直线与圆（xa）2+（yb）22（a，b0）相切， ，即 a+b3， 又a，b0， （）+23， 第 10 页（共 18 页） 当且仅当，即 a1，b2 时取等号， 的最小值为 3 故选：C 12 （5 分）在 R 上定义运算“” ：xyx（1y） 若存在实数 x，使得不等式（xm） （x+m）1 成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，） B （，） C （，） D （，）（，+） 【解答】解：由题可知， 原不等式可化为（xm） （1xm）1， 即存在实数 x，使得 x2xm2+m+10 成立，
17、 故只需1+4（m2m1）0， 解得 m或 m 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若双曲线与有相同的焦点，则实数 m 4 【解答】解：由双曲线，得， 则双曲线的焦点坐标为（） ； 由双曲线，得， 则双曲线的焦点坐标为（，0） ， 双曲线与有相同的焦点， ，即 m4 故答案为：4 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c4，且 C 第 11 页（共 18 页） 为锐角，则ABC 面积的最大值为 4 【解答】解：因为 c4，又， 所以， 又 C 为锐角， 所以 因为， 所以，当且
18、仅当时等号成立， 即， 即当时，ABC 面积的最大值为 故答案为： 15 （5 分）已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为圆锥内有 一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接 球表面积为 【解答】解：由题意画出圆锥的轴截面，如图所示，则 PO 为圆锥的高，AC 为圆锥内接 正方体的面的对角线， 由题意可得 OF，PF3OF，所以 PO2， 设正方体的棱长为 a，则 OOa，ACa，OCa， POCPOF， 即，a，解得：a，设正方体外接球的半径为 R， 则 2Ra，4R23a23， 所以外接球的表面积为 S4R2， 故答案为： 第 12 页（共
19、 18 页） 16 （5 分）设定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，则不等式 ex 1f（x）f（2x 1）的解为 （1，+） 【解答】解：令 g（x），则 g（x）0， 故 g（x）在 R 递增， 不等式 ex 1f（x）f（2x1） ， 即， 故 g（x）g（2x1） ， 故 x2x1，解得：x1， 故答案为： （1，+） 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17设等差数列an满足 a36，a108 （1）求an的通项公式； （2）求an的前 n 项和 Sn及使得 Sn最小的序号 n 的值 【解答】解： （1）等差数列an满足 a36，a108 d2， ana3
20、+2（n3）2n12， （2）an的前 n 项和 ， 当 n5 或 6 时，Sn取得最小值30 18如图，已知边长为 2 的正三角形 ABE 所在的平面与菱形 ABCD 所在的平面垂直，且 DAB60，点 F 是 BC 上一点，且k（0k1） （1）当 k时，证明：BDEF； 第 13 页（共 18 页） （2） 是否存在一个常数 k， 使得三棱锥 DFEB 的体积等于四棱锥 EABCD 的体积的， 若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 【解答】 （1）证明：取 AB 的中点 O，连结 EO，OF，AC，由题意知 EOAB 又平面 ABCD平面 ABE，EO平面 ABCD BD平面 AB
21、CD，EOBD， 四边形 ABCD 为菱形，BDAC， 又OFAC，BDOF，得 BD平面 EOF 又 EF平面 EOF，BDEF； （2）解：， ， k， 故存在常数 k，使得三棱锥 DFEB 的体积等于四棱锥 EABCD 的体积的 192017 年 3 月 18 日，国务院办公厅发布了生活垃圾分类制度实施方案 ，我市环保部 门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信 平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的 100 人的得分（满分按 100 分计）数据，统计结果如表 组别 40，50） 50，60） 60，70） 70，80
22、） 80，90） 90，100 女 2 4 4 15 21 9 男 1 4 10 10 12 8 （1）环保部门规定：问卷得分不低于 70 分的市民被称为“环保关注者” 请列出 22 第 14 页（共 18 页） 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，认为是否为“环保关注者” 与性别有关？ （2）若问卷得分不低于 80 分的人称为“环保达人” 现在从本次调查的“环保达人”中 利用分层抽样的方法随机抽取 5 名市民参与环保知识问答，再从这 5 名市民中抽取 2 人 参与座谈会，求抽取的 2 名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率 附表及公式：K2，na+b+c
23、+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）22 列联表如下： 非“环保关注者” “环保关注者” 合计 女 10 45 55 男 15 30 45 合计 25 75 100 将2 2列 联 表 中 的 数 据 代 入 公 式 计 算 ， 得K2的 观 测 值 ， 所以在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是 有关的； （2）由题意可知，利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3 人，男“环保达人
24、”2 人 设女“环保达人”3 人分别为 A，B，C；男“环保达人”2 人为 D，E 从中抽取两人的所有情况为： （A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ， （B，C） ， （B，D） ， （B，E） ， （C，D） ， （C，E） ， （D，E） ，共 l0 种情况 既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有（A，D） ， （A，E） ， （B，D） ， （B，E） ， （C，D） ， （C，E） ，共 6 种情况 故所求概率为 20过双曲线的右焦点 F2，倾斜角为 30的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为 坐标原点，F1为左焦点 （1）求|AB|； 第 15 页（共
25、18 页） （2）求AOB 的面积； （3）求证：|AF2|+|BF2|AF1|+|BF1| 【解答】 （1）解：由双曲线的方程得 a，b， c3，F1（3，0） ，F2（3，0） 直线 AB 的方程为 y（x3） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由得 5x2+6x270 x1+x2，x1x2 |AB|x1x2| （2）解：直线 AB 的方程变形为x3y30 原点 O 到直线 AB 的距离为 d SAOB|AB|d（8 分） （3）证明：如图，由双曲线的定义得 |AF2|AF1|2，|BF1|BF2|2， |AF2|+|BF2|AF1|+|BF1|（12 分） 21已知函数， （a
26、 为常数，e 为自然对数的底） （1）令，a0，求 （x）和 f（x） ； （2）若函数 f（x）在 x0 时取得极小值，试确定 a 的取值范围； 理（3）在（2）的条件下，设由 f（x）的极大值构成的函数为 g（x） ，试判断曲线 g（x） 只可能与直线 2x3y+m0、3x2y+n0（m，n 为确定的常数）中的哪一条相切，并 说明理由 第 16 页（共 18 页） 【解答】解： （1）， （2）f（x）（2x+a）e xex（x2+ax+a）exx2+（2a）x e x （x） x（2a），令 f（x）0，得 x0 或 x2a， 当 a2 时，f（x）x2e x0 恒成立，此时 f（x）单
27、调递减； 当 a2 时，2a0，若 x0，则 f（x）0，若 0x2a， 则 f（x）0，x0 是函数 f（x）的极小值点； （4 分） 当 a2 时，2a0，若 x0，则 f（x）0，若 2ax0，则 f（x）0， 此时 x0 是函数 f（x）的极大值点， 综上所述，使函数 f（x）在 x0 时取得极小值的 a 的取值范围是 a2 理（3）由（1）知 a2，且当 x2a 时，f（x）0， 因此 x2a 是 f（x）的极大值点，fmax（x）f（2a）（4a）ea 2， 于是 g（x）（4x）ex 2（x2） （8 分） g（x）ex 2+ex2（4x）（3x）ex2， 令 h（x）（3x）e
28、x 2（x2） ， 则 h（x）（2x）ex 20 恒成立，即 h（x）在（，2）是增函数， 所以当 x2 时，h（x）h（2）（32）e2 21，即恒有 g（x）1， 又直线 2x3y+m0 的斜率为，直线 3x2y+n0 的斜率为， 所以由导数的几何意义知曲线 g（x）只可能与直线 2x3y+m0 相切 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖 国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲 线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲
29、 线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin（02，0） ，M 为该曲线 上的任意一点 （1）当|OM|时，求 M 点的极坐标； （2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值 第 17 页（共 18 页） 【解答】解： （1）设点 M 在极坐标系中的坐标， 由 1sin，得， 02， 或 所以点 M 的极坐标为或 （1）由题意可设 M（1，） ， 由 1sin，得 11sin， 故时，|MN|的最大值为 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）|2x+3a2| （1）当 a0 时，求不等式 f（x）+|x2|3 的解集； （2）对于任意实数 x，不等式|2x+1|f（x）2a 成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a0 时，f（x）+|x2|2x|+|x2|3； ，得；，得 1x2；，得 x2； f（x）+|x2|2 的解集为； （2）对于任意实数 x，不等式|2x+1|f（x）2a 成立，即|2x+1|2x+3a2|2a 恒成立； 又因为|2x+1|2x+3a2|2x+12x3a2|3a21|； 所以原不等式恒成立只需|3a21|2a； 第 18 页（共 18 页） 当 a0 时，无解；当时，13a22a，解得； 当时，3a212a，解得； 所以实数 a 的取值范围是
