1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年四川省高考数学（理科）模拟试卷（年四川省高考数学（理科）模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 2 （5 分）复数 z 满足（12i）z4+3i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模等于（ ） A 5 5 B5 C25 D45 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若 MN，则 log2Mlog2N B若 2M2N，则 MN C22= 22，则 MN D若 M
2、2N2，则 1 2= 1 2 4 （5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名 同学的得分都在50，100内，按得分分成 5 组：50，60） ，60，70） ，70，80） ，80， 90） ， 90， 100， 得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 （ ） A72.5 B75 C77.5 D80 5 （5 分）( 2 1)5展开式中， 1 2的系数是（ ） A80 B80 C40 D40 6 （5 分）已知 = 5 13，（，2） ，则( + 6) =（ ） A5+123 26 B5123 26 C12+53 26
3、 D5312 26 7 （5 分）已知夹角为 的向量 ， 满足 （ + ）2，且| |2| |2，则向量 ， 的关 系是（ ） 第 2 页（共 17 页） A互相垂直 B方向相同 C方向相反 D成 120角 8 （5 分） 已知点 （1， 2） 在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （ ） A3 2 B5 C 5 2 D 6 2 9 （5 分）已知函数() = ( 1 2) ， 0 ( + 2)，0 ，则(2 1 5) =（ ） A 5 16 B5 4 C5 2 D5 10 （5 分）已知函数() = 2( + 4)(0)的图象在区间0，1上恰有 1 个纵坐标是
4、2 最高点，则 的取值范围为（ ） A 4 ， 5 4 ) B 2 ， 5 2 ) C 4 ， 9 4 ) D3 2 ，2) 11 （5 分）已知 f（x）|lnx|，() = 0， 0 1 | 2| 2，1 ，则方程|f（x）+g（x）| 1 的实数根个数为（ ） A4 B3 C2 D1 12 （5 分） 在ABC 中， B= 2 3 ， AB3， E 为 AB 的中点， SBCE= 33 8 ， 则 AC 等于 （ ） A13 B10 C7 D3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 sin+cos= 1 5，则
5、 sincos 14（5 分） 已知函数 f （x） alnxbx2图象上一点 （2， f （2） ） 处的切线方程为 y3x+2ln2+2， 则 a+b 15 （5 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)，为右顶点过坐标原点 O 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，线段 AP 的中点为 M，直线 QM 交 x 轴于 N（2，0） ，椭圆 C 的离心率 为2 3，则椭圆 C 的标准方程为 16 （5 分） 已知正方体的棱长为 a， 则其内切球、 棱切球、 外接球的半径比为 （注： 棱切球即与正方体的 12 条棱都相切的球） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分
6、，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn= 2+ 2 （nN*） 第 3 页（共 17 页） （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnan2an+（1）nan，求数列bn的前 2n 项和 T2n 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 中，ABD 为等边三角形，BCD 是等 腰三角形，且顶角BCD120，PCBD，平面 PBD平面 ABCD，M 为 PA 中点 （1）求证：DM平面 PBC； （2）若 PDPB，求二面角 CPAB 的余弦值大小 19 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感
7、染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周
8、期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 20 （12 分）已知函数() = 2 2，() = + （1）设函数 f（x）与 g（x）有相同的极值点 （i）求实数 a 的值； 第 4 页（共 17 页） （ii）若对1，2 1 ，3，不等式(1)(2) 1 1恒成立，求实数 k 的取值范围 （2）a0 时，设函数 h（x）eg （x）sin（g（x） ）1，试判断 h（x）在（，0）上 零点的个数 21 （12 分）已知抛物线：y24x，A，B，C，D 四点都在抛物线上 （）若线段 AC 的斜率为
9、 2，求线段 AC 中点的纵坐标； （）记 R（4，0） ，若直线 AC，BD 均过定点（2，0） ，且 ACBD，P，Q 分别为 AC， BD 的中点，证明：P，Q，R 三点共线 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此 表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡 尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin（02，0）
10、，M 为 该曲线上的任意一点 （1）当|OM|= 3 2时，求 M 点的极坐标； （2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 2与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|x+1|+|2x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 a，且 x+y+za，求 x2+（y+1）2+（z+2）2的最小值 第 5 页（共 17 页） 2020 年四川省高考数学（理科）模拟试卷（年四川省高考数学（理科）模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60
11、 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4， 所以 AB1，2，3， 故选：A 2 （5 分）复数 z 满足（12i）z4+3i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模等于（ ） A 5 5 B5 C25 D45 【解答】解：（12i）z4+3i（i 为虚数单位） ， 则|z|= |4+3| |12| = 42+32 12+(2)2 = 5 故选：B 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若 MN，则 l
12、og2Mlog2N B若 2M2N，则 MN C22= 22，则 MN D若 M2N2，则 1 2= 1 2 【解答】解：对选项 A：若 MN，当 M、N 为负时，无法得到 log2Mlog2N，从而 A 错误； 对选项 B：若 2M2N，因为函数 y2x是单调函数，所以 MN，从而 B 正确； 对选项 C：若22= 22，则 M2N2，从而 MN，从而 C 错误； 对选项 D：若 M2N2，则 MN，无法得到 1 2= 1 2，从而 D 错误； 故选：B 4 （5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名 同学的得分都在50，100内，按得分分成
13、 5 组：50，60） ，60，70） ，70，80） ，80， 90） ， 90， 100， 得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 （ ） 第 6 页（共 17 页） A72.5 B75 C77.5 D80 【解答】解：由频率分布直方图得： 50，70）的频率为： （0.010+0.030）100.4， 70，80）的频率为：0.040100.4， 这 100 名同学的得分的中位数为： 70+ 0.50.4 0.4 10 =72.5 故选：A 5 （5 分）( 2 1)5展开式中， 1 2的系数是（ ） A80 B80 C40 D40 【解答】 解： 展开式的通项
14、公式为 Tk+1C 5 （ 2 ） 5k （1） k （1）kC 5 25kx 5 2， 由 5 2 = 2，得 5k4， 得 k1， 即 1 2的系数是（1） 1C 5 12451680， 故选：B 6 （5 分）已知 = 5 13，（，2） ，则( + 6) =（ ） A5+123 26 B5123 26 C12+53 26 D5312 26 【解答】解： = 5 13，（，2） ，sin= 12 13， cos（ + 6）coscos 6 sinsin 6 = 53+12 26 ， 故选：C 7 （5 分）已知夹角为 的向量 ， 满足 （ + ）2，且| |2| |2，则向量 ， 的关
15、第 7 页（共 17 页） 系是（ ） A互相垂直 B方向相同 C方向相反 D成 120角 【解答】解：由 （ + ）2，可得 2 + =2， 即| |2 +| | |cos2， 即 22+21cos2， 所以 cos1，即 ， 所以 、 方向相反 故选：C 8 （5 分） 已知点 （1， 2） 在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （ ） A3 2 B5 C 5 2 D 6 2 【解答】解：点（1，2）在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 可得 =2，所以 a24b24c24a2，4c25a2，所以双曲线的离心率为：e= 5 2 故选：C 9 （5 分）
16、已知函数() = ( 1 2) ， 0 ( + 2)，0 ，则(2 1 5) =（ ） A 5 16 B5 4 C5 2 D5 【解答】解：根据题意，函数() = ( 1 2) ， 0 ( + 2)，0 ， 又由 log21 5 = log25，则3log21 5 = log252， 则 f （log21 5） f （log25） f （2log25） f （4log25） f （log2 16 5 ） = (1 2) 216 5= 22 5 16= 5 16， 故选：A 10 （5 分）已知函数() = 2( + 4)(0)的图象在区间0，1上恰有 1 个纵坐标是 2 最高点，则 的取值范围
17、为（ ） A 4 ， 5 4 ) B 2 ， 5 2 ) C 4 ， 9 4 ) D3 2 ，2) 第 8 页（共 17 页） 【解答】解：当 0x1 时， 4 x+ 4 4 +， 要使 f（x）的图象在区间0，1上恰有 1 个纵坐标是 2 最高点，即只有一个最大值 2， 则 2 4 +2+ 2， 即 4 9 4 ， 故选：C 11 （5 分）已知 f（x）|lnx|，() = 0， 0 1 | 2| 2，1 ，则方程|f（x）+g（x）| 1 的实数根个数为（ ） A4 B3 C2 D1 【解答】解：当 0x1 时，f（x）lnx，g（x）0，|f（x）+g（x）|lnx|1， 解得 x=
18、1 ； 当 x1 时，f（x）lnx，g（x）|x2|2= 4， 2 ，12， |f（x）+g（x）|1 即有 f（x）+g（x）1 或 f（x）+g（x）1， 所以，当 x2 时，lnx+x41 或 lnx+x41，由图可知 ylnx 与 y5x 有一个交点，所以当 x2 时，lnx+x41 有一个根 ylnx 与 y3x 有一个交点，所以当 x2 时，lnx+x41 有一个根 当 1x2 时，lnxx1 或 lnxx1， ylnx 与 yx1 的图象相切于（1，0） ，所以当 1x2 时，lnxx1 没有根 ylnx 与 yx+1 的图象没有交点，所以当 1x2 时，lnxx1 没有根 综
19、上，方程|f（x）+g（x）|1 的实数根个数为 3 个 故选：B 12 （5 分） 在ABC 中， B= 2 3 ， AB3， E 为 AB 的中点， SBCE= 33 8 ， 则 AC 等于 （ ） A13 B10 C7 D3 【解答】解：由题意可知在BCE 中，B= 2 3 ，BE= 3 2， BCE 的面积 S= 1 2 BCBEsinB= 1 2 BC 3 2 3 2 = 33 8 ， 解得 BC1，在ABC 中由余弦定理可得： 第 9 页（共 17 页） AC2AB2+BC22ABBCcosB32+12231（ 1 2）13， AC= 13， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4
20、 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 sin+cos= 1 5，则 sincos 12 25 【解答】解：sin+cos= 1 5， 两边平方可得：sin2+cos2+2sincos= 1 25， 1+2sincos= 1 25，则 sincos= 12 25 故答案为： 12 25 14（5 分） 已知函数 f （x） alnxbx2图象上一点 （2， f （2） ） 处的切线方程为 y3x+2ln2+2， 则 a+b 3 【解答】解：将 x2 代入切线得 f（2）2ln24 所以 2ln24aln24b， 又() = 2， (2) = 2
21、4 = 3， 联立解得 a2，b1 所以 a+b3 故答案为：3 15 （5 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)，为右顶点过坐标原点 O 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，线段 AP 的中点为 M，直线 QM 交 x 轴于 N（2，0） ，椭圆 C 的离心率 为2 3，则椭圆 C 的标准方程为 2 36 + 2 20 = 1 【解答】解：设 P（x，y） ，则由 A（a，0） ； 线段 AP 的中点为 M，则 M（+ 2 ， 2） ； 第 10 页（共 17 页） 由题意，Q，N，M 三点共线，kMNkNQ； 即 1 20 + 2 2 = 0() 2()； 可得 x+a42+x
22、； 所以 a6，由椭圆 C 的离心率为2 3，得 c4，b 220； 故椭圆 C 的标准方程为： 2 36 + 2 20 = 1 故答案为： 2 36 + 2 20 = 1 16（5 分） 已知正方体的棱长为 a， 则其内切球、 棱切球、 外接球的半径比为 1： 2： 3 （注： 棱切球即与正方体的 12 条棱都相切的球） 【解答】解：正方体的棱长为 a，则它的内切球的半径为1 2a， 正方体的面对角线长为2，则正方体的棱切球棱切球的半径为 2 2 ， 正方体的对角线长为3，则它的外接球的半径为 3 2 ， 其内切球、棱切球、外接球的半径比为：1：2：3 故答案为：1：2：3 三解答题（共三解
23、答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn= 2+ 2 （nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnan2an+（1）nan，求数列bn的前 2n 项和 T2n 【解答】解： （1）由 Sn= 2+ 2 （nN*） ，得 a1S11 当 n2 时，anSnSn1= 2+ 2 (1)2+(1) 2 =n a11 适合上式，ann； （2）bnan2an+（1）nann2n+（1）nn， 设数列bn的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n（1211）+（222+2）+（3233）+（2n22n+2
24、n） （12+222+323+2n22n）+1+23+（2n1）+2n 设 A2n121+222+323+2n22n 则 2A2n122+223+324+2n22n+1 第 11 页（共 17 页） 得：A2n2+（22+23+24+22n）2n22n+1 2+ 2222+1 12 2 22+1 2+（12n）22n+1 所以 A2n2+（2n1）22n+1； T2nA2n+1+23+（2n1）+2n2+（2n1）22n+1+n 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 中，ABD 为等边三角形，BCD 是等 腰三角形，且顶角BCD120，PCBD，平面 PBD平面 ABC
25、D，M 为 PA 中点 （1）求证：DM平面 PBC； （2）若 PDPB，求二面角 CPAB 的余弦值大小 【解答】 （1）证明：设 AB 的中点为 N，连接 MN，DN， ABD 为等边三角形，DNAB， DCCB，DCB120，CBD30， ABC60+3090，即 CBAB DNAB，DNBC BC平面 PBC，DN平面 PBC，DN平面 PBC， MN 为PAB 的中位线，MNPB， PB平面 PBC，MN平面 PBC，MN平面 PBC， MN、DN平面 DMN，且 MNDNN， 平面 DMN平面 PBC，而 DM平面 DMN， 则 DM平面 PBC； （2）解：设 BD 的中点为
26、O，连接 AO，CO， ABD 为等边三角形，BCD 是等腰三角形，且BCD120， AOBD，COBD，则 A、C、O 共线， 第 12 页（共 17 页） PCBD，BDCO，PCCOC，BD平面 PCO， PO平面 PCO，BDPO， 平面 PBD平面 ABCD，PO平面 ABC， 设 AB2，则 AO= 3 在BCD 中，由余弦定理可得 BD2BC2+CD22BCCDcosBCD， 又 BCCD，222BC22BC2cos120， CBCD= 23 3 ，CO= 3 3 PDPB，O 为 BD 的中点，PO= 1 2 = 1 建立直角坐标系如图，则 C（ 3 3 ，0，0） ，P（0，
27、0，1） ，A（3，0，0） ，B（0，1，0） ， =（3，1，0） ， =（3，0，1） 设平面 PAB 的一个法向量为 = (，)， 则 = 3 = 0 = 3 = 0 ，取 x1，得 = (1， 3 ，3) 平面 PAC 的一个法向量为 = (0，1，0) cos ， = | | | = 21 7 二面角 CPAB 为锐角， 二面角 CPAB 的余弦值为 21 7 19 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程
28、中， 利用小白鼠进行科学试验 为 第 13 页（共 17 页） 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X
29、 的分布列及数学期望 【解答】解： （）连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的 概率均为1 4， 假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验， 由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得： 一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为： P1= 1 4 + 3 4 1 4 + 3 4 3 4 1 4 = 37 64 （）随机变量 1，2，3，设事件 C 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状” ， P（X1）P（C）= 3 2(1 4) 2(3 4) + 3 3(1 4) 3 = 5 32， P
30、（X2）1P（C）P（C）（1 5 32） 5 32 = 135 1024， P（X3）1P（C）1P（C）1（1 5 32）（1 5 32）1= 729 1024， 所以 X 的分布列为： 1 2 3 P 5 32 135 1024 729 1024 X 的数学期望 E（X）= 1 5 32 + 2 135 1024 + 3 729 1024 = 2617 1024 20 （12 分）已知函数() = 2 2，() = + 第 14 页（共 17 页） （1）设函数 f（x）与 g（x）有相同的极值点 （i）求实数 a 的值； （ii）若对1，2 1 ，3，不等式(1)(2) 1 1恒成立，
31、求实数 k 的取值范围 （2）a0 时，设函数 h（x）eg （x）sin（g（x） ）1，试判断 h（x）在（，0）上 零点的个数 【解答】解： （1） （i）() = 2(12) ， 当 x（0，1）时，f（x）0，函数单调递增，x（1，+） ，f（x）0，函数单调 递减， 故 x1 时，函数取得唯一的极大值， 故 x1 也是 g（x）的极值点，() = 1 2， 由 g（1）1a0 可得 a1， 经检验 x1 是 g（x）的极小值点，故 a1， （ii）由（i）知 a1，由于 f（1 ）2 1 2，f（1）1，f（3）2ln39， 显然 f（3）f（1 ）f（1） ，故 x 1 ，3时，
32、f（x）min2ln39， 又 g（1 ）e+ 1 ，g（1）2，g（3）= 10 3 ，故 g（1）g（1 ）g（3） ， 所以当 x 1 ，3时，g（x）min2，g（x）max= 10 3 ， 当 k1 时，问题等价于 f（x1）g（x2）k1， 所以 kf（x1）g（x2）+1 恒成立，即 kf（x1）g（x2）max+1， f（x1）g（x2）+112+12， k2， 故 k1 适合题意， 当 k10 即 k1 时，问题等价于 f（x1）g（x2）k1 即 kf（x1）g（x2） +1 恒成立， 即 kf（x1）g（x2）min+1， 因为(1) (2) + 1 23 9 10 3
33、+ 1 =2ln3 34 3 ， 23 34 3 ， 第 15 页（共 17 页） 综上 k 23 34 3 或 k1， （2）当 a0 时，g（x）x，h（x）exsinx1，x（，0） ， 令 u（x）= +1 1，x（，0） ，则() = 1 = 2(+ 4)1 ， 当 (， 1 2 )时，u（x）0，函数单调递减，当 x ( 1 2 ，0)，u（x）0， 函数单调递增， 又 u（）e10，( 1 2 ) = 10，u（0）0， 所以 u（x）在（，0）上只有 1 个零点， 因此 h（x）在（，0）上只有 1 个零点， 21 （12 分）已知抛物线：y24x，A，B，C，D 四点都在抛物
34、线上 （）若线段 AC 的斜率为 2，求线段 AC 中点的纵坐标； （）记 R（4，0） ，若直线 AC，BD 均过定点（2，0） ，且 ACBD，P，Q 分别为 AC， BD 的中点，证明：P，Q，R 三点共线 【解答】解： （）设 A（x1，y1） ，C（x2，y2） ，由 A，C 在抛物线上，得1 2 = 41 22= 42， 两式相减可得（y1+y2） （y1y2）4（x1x2） 由题意知，x1x2，所以12 12 = 4 1+2 = 2， 则 y1+y22，则线段 AC 中点的纵坐标为 1 （）因为 ACBD，故直线 AC，BD 的斜率存在且不为零 设直线 AC：xm1y+2，直线
35、BD：xm2y+2易知 m10，m20，m1m2 由 2 = 4 = 1 + 2，得 y 24m1y80，则 y1+y24m1 设 P（xP，yP） 则= 1+2 2 = 21，= 2 + 21 2，即(2 + 212，21) 同理可得，(2 + 22 2，22) 所以= 2221 (2+22 2)(2+212) = 1 1+2， 则直线： 21 = 1 1+2 ( 21 2 2) 因为 ACBD，所以 1 1 1 2 = 1，即 m1m21 所以直线： = 1 1+2 ( 4)，故直线 PQ 过点 R，即 P，Q，R 三点共线 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每
36、小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此 第 16 页（共 17 页） 表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡 尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin（02，0） ，M 为 该曲线上的任意一点 （1）当|OM|= 3 2时，求 M 点的极坐标； （2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 2与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值 【解答】解： （1）设点 M 在极坐标系中的坐标
37、(3 2，)， 由 1sin，得3 2 = 1 ， = 1 2， 02， = 7 6 或 = 11 6 所以点 M 的极坐标为(3 2， 7 6 )或(3 2， 11 6 ) （1）由题意可设 M（1，） ，(2， 2 + ) 由 1sin，得 11sin，2= 1 ( 2 + ) = 1 | = 1 2 + 2 2 = (1 )2+ (1 )2= 3 2( + ) = 3 22( + 4) 故 = 5 4 时，|MN|的最大值为2 + 1 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|x+1|+|2x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）的最小值为
38、 a，且 x+y+za，求 x2+（y+1）2+（z+2）2的最小值 第 17 页（共 17 页） 【解答】解： （1）f（x）|x+1|+|2x1|= 3， 1 + 2， 1 1 2 3， 1 2 f（x）3，当 x1 时，由3x3，解得 x1； 当1 1 2时，由x+23，解得 x1； 当 1 2时，由 3x3，解得 x1 所求不等式的解集为x|x1 或 x1 （2）由（1）知，当 = 1 2时， = () = 3 2， + + = 3 2，x+（y+1）+（z+2） 2 x2+（y+1）2+（z+2）2+2x（y+1）+x（z+2）+（y+1） （z+2） 3x2+（y+1）2+（z+2）2， 由 + + = 3 2，可知 + ( + 1) + ( + 2) 2 = 81 4 ， 2+ ( + 1)2+ ( + 2)2 27 4 ， 当且仅当 = 3 2 ， = 1 2， = 1 2时，等号成立 x2+（y+1）2+（z+2）2的最小值为27 4
