1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年西藏高考数学（理科）模拟试卷（年西藏高考数学（理科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若集合 Ax|x（x2）0，且 ABA，则集合 B 可能是（ ） A1 B0 C1 D2 2 （5 分）已知 a+bi（a，bR）是1; 1:的共轭复数，则 a+b（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 3 （5 分）集合 Mx|2x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示以 M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） A B C D 4 （5 分）设等差数列an的公
2、差为 d，若数列21为递减数列，则（ ） Ad0 Bd0 Ca1d0 Da1d0 5 （5 分）要得到函数 ycos（2x+ 3）的图象，只需将函数 ycos2x 的图象（ ） A向左平行移动 3个单位长度 B向右平行移动 3个单位长度 C向左平行移动 6个单位长度 D向右平行移动 6个单位长度 6 （5 分）函数 f（x）在0，+）单调递减，且为偶函数若 f（2）1，则满足 f（x 3）1 的 x 的取值范围是（ ） A1，5 B1，3 C3，5 D2，2 7 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件 2 2 0 + 4 0 2 ，则 z= +2 1的最小值是（ ） 第 2 页（共 18 页）
3、 A2 3 B4 5 C8 7 D4 8 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，如表给出了 Sn的部分数据： n 1 2 3 4 5 6 Sn 1 13 8 55 16 那么数列an的第四项 a4等于（ ） A81 16 B27 8 C 81 16或 81 16 D 27 8 或27 8 9 （5 分）用数学归纳法证明 1+a+a2+an+1= 1+2 1 （a1，nN*） ，在验证 n1 成立 时，左边的项是（ ） A1 B1+a C1+a+a2 D1+a+a2+a4 10 （5 分）如图框图中，若输入 m，n 的值分别为 225 和 175，则输出的结果是（ ） A25 B50
4、 C225 D275 11 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的离心率 = 5 3，且其虚轴长为 8，则 双曲线 C 的方程为（ ） 第 3 页（共 18 页） A 2 4 2 3 = 1 B 2 9 2 16 = 1 C 2 3 2 4 = 1 D 2 16 2 9 = 1 12（5 分） 若关于 x 的不等式 x2+axc0 的解集为x|2x1， 且函数 = 3+ 2+ + 2在区间( 1 2，1)上不是单调函数，则实数 m 的取值范围是（ ） A(2， 3) B,3， 3- C(， 2) (3，+ ) D(， 2) (3，+ ) 二填空题（共二填空题（共 4 小题，
5、满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设 xR+，则 x+ 2 +1最小值为 14 （5 分） 已知向量 = (1，2)， = (2，3)， + 与2 + 共线， 则 的值为 15 （5 分） 如图是调查某学校高一年级男、 女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图， 阴影部分表示喜欢徒步的频率已知该年级男生 500 人、女生 400 名（假设所有学生都 参加了调查） ，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取 23 人，则抽取的男生 人数为 16 （5 分）已知恰有两条不同的直线与曲线 yex 2 和 x22py 都相切，则实数 p 的取值范 围是 三解
6、答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，bsinAa（23cosB） （1）求角 B 的大小； （2）D 为边 AB 上的一点，且满足 CD2，AC4，锐角三角形 ACD 面积为15，求 BC 的长 18 （12 分） 如图， 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， AD1， CD2， A1D平面 ABCD， AA1与底面 ANCD 所成角为 （0 2） ，ADC2 第 4 页（共 18 页） （1）求证：平面六面体 ABCDA1B1C1D1的体积 V4sin2，并
7、求 V 的取值范围； （2）若 45，求二面角 AA1CD 所成角的大小 19 （12 分） 某大学自主招生考试面试环节中， 共设置两类考题， A 类题有 4 个不同的小题， B 类题有 6 个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答 （）求该考生至少抽取到 2 道 B 类题的概率； （）设所抽取的四道题中 B 类题的个数为 X，求随机变量 X 的分布列与期望 20 （12 分）已知函数 f（x）ax 2lnx（a0） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若函数 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 1x1e证明：|f（x1）f（x2）| 1 21 （12 分）如图，已知 A（1，0
8、） ，B（1，0）Q、G 分别为ABC 的外心、重心，QG AB （1）求点 C 的轨迹 E 的方程 （2）是否存在过 P（0，1）的直线 L 交曲线 E 与 M，N 两点且满足 = 2 ，若存在 求出 L 的方程，若不存在请说明理由 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 5 页（共 18 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 1 + 2 2 = 2 2 （t 为参数） ，以该直 角坐标系的原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下， 圆C的方程为6cos （）求直线 l 的普通方程和圆
9、 C 的直角坐标方程： （）若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，记点 P（1，0） ，求|PA|PB|的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|2x1|+|2xa|，xR （1）当 a4 时，求不等式 f（x）9 的解集； （2）对任意 xR，恒有 f（x）5a，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 18 页） 2020 年西藏高考数学（理科）模拟试卷（年西藏高考数学（理科）模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若集合 Ax|x（x
10、2）0，且 ABA，则集合 B 可能是（ ） A1 B0 C1 D2 【解答】解：A（0，2） ； ABA； BA； 选项中，只有1A 故选：C 2 （5 分）已知 a+bi（a，bR）是1; 1:的共轭复数，则 a+b（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 【解答】解：1; 1: = (1;)2 (1:)(1;) = ;2 2 = i， a+bi（i）i， a0，b1， a+b1， 故选：D 3 （5 分）集合 Mx|2x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示以 M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） A B C D 【解答】解：由题意可知：Mx|2x2，Ny|0y2， 第
11、7 页（共 18 页） 对在集合 M 中（0，2内的元素没有像，所以不对； 对不符合一对一或多对一的原则，故不对； 对在值域当中有的元素没有原像，所以不对； 而符合函数的定义 故选：B 4 （5 分）设等差数列an的公差为 d，若数列21为递减数列，则（ ） Ad0 Bd0 Ca1d0 Da1d0 【解答】解：数列21为递减数列， 2 1+1 21 1，即21(+1;)1， a1（an+1an）a1d0 故选：C 5 （5 分）要得到函数 ycos（2x+ 3）的图象，只需将函数 ycos2x 的图象（ ） A向左平行移动 3个单位长度 B向右平行移动 3个单位长度 C向左平行移动 6个单位长
12、度 D向右平行移动 6个单位长度 【解答】解：ycos（2x+ 3）cos2（x+ 6）， 第 8 页（共 18 页） 将函数 ycos2x 的图象向左平移 6个单位，即可得到 ycos（2x+ 3）的图象 故选：C 6 （5 分）函数 f（x）在0，+）单调递减，且为偶函数若 f（2）1，则满足 f（x 3）1 的 x 的取值范围是（ ） A1，5 B1，3 C3，5 D2，2 【解答】解：法一：因函数 f（x）在0，+）单调递减，且为偶函数， 则函数 f（x）在（，0）单调递增，由 f（2）f（2）1，则2x321 x5 法二：由 f（x3）1 得 f（x3）f（2） ，即 f（|x3|）
13、f（2） ， 即2x32，得 1x5即 x 的取值范围是1，5， 故选：A 7 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件 2 2 0 + 4 0 2 ，则 z= +2 1的最小值是（ ） A2 3 B4 5 C8 7 D4 【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件 2 2 0 + 4 0 2 ，作出可行域如图，z= +2 1的几 何意义是（x，y）与（1，2）连线的斜率 联立 = 2 2 2 = 0，解得 A（6，2） ， z= +2 1的最小值为 2:2 6;1 = 4 5 故选：B 8 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，如表给出了 Sn的部分数据： 第 9 页（共 18 页）
14、 n 1 2 3 4 5 6 Sn 1 13 8 55 16 那么数列an的第四项 a4等于（ ） A81 16 B27 8 C 81 16或 81 16 D 27 8 或27 8 【解答】解：由题意得等比数列an中， 1= 1= 1 5= 14= 5 4= 55 16 13 8 ，且 q0， 5= 4= 81 16，解得 q= 3 2， 4= ( 3 2) 3 = 27 8 故选：B 9 （5 分）用数学归纳法证明 1+a+a2+an+1= 1+2 1 （a1，nN*） ，在验证 n1 成立 时，左边的项是（ ） A1 B1+a C1+a+a2 D1+a+a2+a4 【解答】解：用数学归纳法
15、证明 1+a+a2+an+1= 1+2 1 （a1，nN*） ， 在验证 n1 时，把当 n1 代入，左端1+a+a2 故选：C 10 （5 分）如图框图中，若输入 m，n 的值分别为 225 和 175，则输出的结果是（ ） 第 10 页（共 18 页） A25 B50 C225 D275 【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序是求 m225 和 n175 的最大公约数的问题， 由 225 和 175 的最大公约数是 25， 所以程序运行后输出的结果为 25 故选：A 11 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的离心率 = 5 3，且其虚轴长为 8，则 双曲线 C
16、 的方程为（ ） A 2 4 2 3 = 1 B 2 9 2 16 = 1 C 2 3 2 4 = 1 D 2 16 2 9 = 1 【解答】解：双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的离心率 = 5 3，且其虚轴长为 8， 由 = = 5 3 2 = 8 2= 2+ 2 ，得 = 3 = 4 = 5 可得 2 9 2 16 = 1 故选：B 第 11 页（共 18 页） 12（5 分） 若关于 x 的不等式 x2+axc0 的解集为x|2x1， 且函数 = 3+ 2+ + 2在区间( 1 2，1)上不是单调函数，则实数 m 的取值范围是（ ） A(2， 3) B,3， 3- C(， 2)
17、 (3，+ ) D(， 2) (3，+ ) 【解答】解：关于 x 的不等式 x2+axc0 的解集为x|2x1， 对应方程 x2+axc0 的实数根为2 和 1， 由根与系数的关系知 a（2+1）1，c（2）12； 函数 = 3+ 2+ + 2 =x3+mx2+x+1， y3x2+2mx+1； 又函数 yx3+mx2+x+1 在区间（1 2，1）上不是单调函数， y3x2+2mx+1 在区间（1 2，1）上有正有负， 可以转化为 3x2+2mx+10（*）在区间（1 2，1）上有解，且不是重解 由 3x2+2mx+10，可得 2m3x 1 ； 令 f（x）3x 1 ，其中 1 2 x1， 且
18、f（x）3+ 1 2， 令 f（x）0，得 x= 3 3 ， x（1 2， 3 3 ）时，f（x）0，f（x）递增， x（ 3 3 ，1）时，f（x）0，f（x）递减， f（x）maxf（ 3 3 ）23； f（1）4，f（1 2）= 7 2， f（x）的值域为（4，23， 2m（4，23， m（2，3； 又当 m= 3时， （*）中0，有 2 个相等的根，不合题意， m 的范围是（2，3） 第 12 页（共 18 页） 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设 xR+，则 x+ 2 +1最小值为 22 1 【解
19、答】 解： 设 xR+， 则 x+ 2 +1 = + 1 + 2 +1 1 2( + 1) 2 (+1) 1 = 22 1， 当且仅当（x+1）22，即 x= 2 1时，等号成立 故答案为：22 1 14 （5 分）已知向量 = (1，2)， = (2，3)， + 与2 + 共线，则 的值为 1 2 【解答】解： + = (1 + 2，2 + 3)，2 + = (4，7)； + 与2 + 共线； 7（1+2）4（2+3）0； 解得 = 1 2 故答案为：1 2 15 （5 分） 如图是调查某学校高一年级男、 女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图， 阴影部分表示喜欢徒步的频率已知该年级男生
20、500 人、女生 400 名（假设所有学生都 参加了调查） ，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取 23 人，则抽取的男生 人数为 15 【解答】解：设抽取的男生人数为 x，由题意可得喜欢徒步运动的男生约占男生总数的 1 0.40.6，约有 5000.6300 人， 喜欢徒步运动的女生约占男生总数的 10.60.4，约有 400（10.6）160 人， 则抽取的男生人数为 23 300 300+160 =15 人， 故答案为：15 第 13 页（共 18 页） 16 （5 分）已知恰有两条不同的直线与曲线 yex 2 和 x22py 都相切，则实数 p 的取值范 围是 0p2 【解答】
21、解：恰有两条不同的直线与曲线 yex 2 和 x22py 都相切， 可得 yex 2 和 x22py 在第一象限有两个不同的交点， 即为 2p= 2 2，设 f（x）= 2 2， f（x）= (2) 2 ，可得 0x2 时，f（x）递增； x2 或 x0 时，f（x）递减，即有 f（x）的极小值为 f（0）0，极大值为 f（2）4， 则 02p4，可得 0p2 故答案为：0p2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，bsinAa（23cosB） （1）求角 B 的
22、大小； （2）D 为边 AB 上的一点，且满足 CD2，AC4，锐角三角形 ACD 面积为15，求 BC 的长 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）因为 bsinAa（23cosB） ， 所以 sinBsinAsinA（23cosB） ， 解得：sinB+3cosB2， 所以：sin（B+ 3）1， 因为：B（0，） ， 所以：B+ 3（ 3， 4 3 ） ，B+ 3 = 2，解得 B= 6 6 分 （2）因为锐角三角形的面积为15， 所以：1 2ACCDsinACD= 15，解得：sinACD= 15 4 ， 因为三角形 ACD 为锐角三角形， 所以 cosACD= 1 2 =
23、1 4， 在三角形 ACD 中，由余弦定理可得：AD2AC2+CD22ACCDcosACD， 所以：AD4， 第 14 页（共 18 页） 在三角形 ACD 中， = ， 所以 sinA= 15 8 ， 在三角形 ABC 中， = ，解得 BC= 1512 分 18 （12 分） 如图， 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， AD1， CD2， A1D平面 ABCD， AA1与底面 ANCD 所成角为 （0 2） ，ADC2 （1）求证：平面六面体 ABCDA1B1C1D1的体积 V4sin2，并求 V 的取值范围； （2）若 45，求二面角 AA1CD 所成角的大小 【解答】证明： （
24、1）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AD1，CD2，A1D平面 ABCD AA1与底面 ANCD 所成角为 （0 2） ，ADC2， A1AD，A1DAD，tanA1AD= 1 =AD， 由已知，有 DA1tan， 由面积公式，四边形 ABCD 的面积为： S四边形ABCD2SADC2（1 2 ）2sinADC2sin2， 平行六面体 ABCDA1B1C1D1的体积 VS四边形ABCDA1D2sin2tan4sin2 0 2，04sin 24， 平行六面体 ABCDA1B1C1D1的体积 V 的取值范围为（0，4） 解： （2）45，ADC90，即 CDAD， 分别以 DA，DC，D
25、A1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz， A（1，0，0） ，D（0，0，0） ，A1（0，0，1） ，C（0，2，0） ， 1 =（1，0，1） ， =（1，2，0） ， 第 15 页（共 18 页） 设平面 AA1C 的法向量 =（x，y，z） ， 则1 = + = 0 = + 2 = 0 ，取 y1，得 =（2，1，2） ， 平面 A1CD 的法向量 =（1，0，0） ， 设 c 二面角 AA1CD 所成角为 ， 则 cos|cos ， |=| | | |= 2 3， 二面角 AA1CD 所成角的大小为 arccos2 3 19 （12 分） 某大学自主招生考试面试环节中，
26、共设置两类考题， A 类题有 4 个不同的小题， B 类题有 6 个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答 （）求该考生至少抽取到 2 道 B 类题的概率； （）设所抽取的四道题中 B 类题的个数为 X，求随机变量 X 的分布列与期望 【解答】解： （）设事件 A： ”该考生至少取到 2 道 B 类题” ， P（A）= 1 4 4+ 4 3 6 1 10 4 = 37 42（4 分） （2）随机变量 X 的取值分别为 0，1，2，3，4，（5 分） ( = 0) = 4 4 10 4 = 1 210，( = 1) = 4 3 6 1 10 4 = 24 210，( = 2) = 4 2 6 2
27、 10 4 = 90 210， ( = 3) = 4 1 6 3 10 4 = 80 210，( = 4) = 6 4 10 4 = 15 210，（10 分） 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 210 24 210 90 210 80 210 15 210 （11 分） 随机变量 X 的期望为： = 0 1 210 + 1 24 210 + 2 90 210 + 3 80 210 + 4 15 210 = 12 5 第 16 页（共 18 页） （13 分） 20 （12 分）已知函数 f（x）ax 2lnx（a0） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若函数
28、 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 1x1e证明：|f（x1）f（x2）| 1 【解答】解： （1）f（x）的定义域为（0，+） ，() = 22+ 2 ， 当 0a1 时，函数 f（x）在 (0， 112 )，(1+ 12 ，+ )上单调递增 在(1 12 ， 1+12 ) 上单调递减， 当 a1 时，f（x）在（0，+）单调递增 （2）由（1）知 x1，x2，是方程 ax22x+a0 的根，故 1+ 2= 2 ，12 = 1， 故 = 2 1+2 = 21 1 2+1，x1（1，e） ，2 = 1 1 (1 ，1)，21， 当 x（x2，x1）时，函数 f（x）单调递减， |f（
29、x1）f（x2）|1f（x2）f（x1）1， 又 (2) (1) = (2 2 22) (1 1 21) = 2(21+ 1 1) = 4(1 1 21 1 2+1) = 4( 1 21 2 1 21 1 2+1)， 令 = 1 2，则 t（1，e2） ， 设() = 1 2 1 +1，则 () = (1)2 2(+1)0， 函数 h（t）在（1，e2）上单调递增， ()(2) = 2 2+1，(2) (1) 4( 2) = 8 2+1 1 即原不等式得证 21 （12 分）如图，已知 A（1，0） ，B（1，0）Q、G 分别为ABC 的外心、重心，QG AB （1）求点 C 的轨迹 E 的方
30、程 （2）是否存在过 P（0，1）的直线 L 交曲线 E 与 M，N 两点且满足 = 2 ，若存在 求出 L 的方程，若不存在请说明理由 第 17 页（共 18 页） 【解答】解： （1）设 C（x，y） （y0） 则( 3， 3)，由于 QGAB 则(0， 3)， 由| = | 1 + 2 9 = 2+ 42 9 2+ 2 3 = 1， 故轨迹 E 的方程为2+ 2 3 = 1( 0) （2）当 L 与 y 轴重合时不符合条件假设存在直线 L：ykx+1， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 联立 = + 1与2+ 2 3 = 1，则有（3+k2）+2kx20， 1+ 2= 2 3+2
31、，1 2= 2 3+2 由于 = 2 则有 x12x2，即1 2 = 2， (1:2)2 12 = ( 42 3:2) 2 ( 3:2 2 ) = 22 3:2 由于(1:2) 2 12 = 1 2 + 2 1 + 2 = 1 2则有 k 21 即 k1， 则直线 L 过（1，0） ，或（1，0） ， 轨迹 E 的方程为2+ 2 3 = 1( 0) 所以直线 L 不存在 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 1 + 2 2 = 2 2 （t 为参数） ，以该直 角坐
32、标系的原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下， 圆C的方程为6cos （）求直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程： （）若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，记点 P（1，0） ，求|PA|PB|的值 第 18 页（共 18 页） 【解答】解： （）由 = 1 + 2 2 = 2 2 消去参数 t 得直线 l 的普通方程：xy10 由 6cos 得 26cos，得圆 C 的直角坐标方程为：x2+y26x0 （）直线 l 过 P（1，0） ，将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程并整理得： t222t50， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 则|PA|P
33、B|t1|t2|t1t2|5|5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|2x1|+|2xa|，xR （1）当 a4 时，求不等式 f（x）9 的解集； （2）对任意 xR，恒有 f（x）5a，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a4 时，f（x）|2x1|+|2x4|= 4 + 5， 1 2 3， 1 2 2 4 52 f（x）9， 4 + 59 1 2 或4 59 2 ， x1 或 7 2， 不等式的解集为*| 1或 7 2+； （2）f（x）|2x1|+|2xa|（2x1）（2xa）|a1|，f（x）min|a1| 对任意 xR，恒有 f（x）5a， f（x）min5a，即|a1|5a，a3， a 的取值范围为3，+）
