1、第一章 知识点总结1.复数是指形如 的数,实部记为 ,虚部记为 .2.模:辐角:辐角主值:xz Rezxiyyz Im22yxzrkzArgz2arg zarg 0,00,0arctan0,020arctanargyxyxxyyxxxyz 3.令有如下一些常用的不等式:zx iyxzzy 2121zzzz2121zzzz4.4.表示表示 (3)(3)三角表示三角表示:(4)(4)指数表示指数表示:(5)(5)代数表示代数表示:)sin(cos)sin(cosirizzirez zxiy5.5.运算运算 1)1)相等相等;2)2)四则运算四则运算,及运算规律及运算规律;3)3)共轭运算共轭运算,
2、及运算规律及运算规律;4)4)5)5)sin()cos(21212121 irrzz1211121222()12cos()sin()izrizrrer 6)方根运算:nkinknkerzw2)(12,1,0nkzn6.实变复值函数实变复值函数:复变函数复变函数:)()()(tiytxtz),(),()(yxivyxuzfw7.复变函数导数与微分8.C-R(Cauchy-Riemann)条件条件 0000()()()limzzf zf zfzzzdzzfdw)(0,uvvuxyxy 9.可导的充要条件可导的充要条件:函数 在区域 内一点 处可导的充分必要条件是：在点 处可微、且满足C-R条件.1
3、0.可写成以下四种形式：),(),()(yxivyxuzfEiyxz),(),(yxvyxu),(yx)(zf yuiyvxvixuzf)(xviyvyuixu11.解析与奇点解析与奇点 1)定义:如果函数 在 的某一邻域内处处可导，则称 在 处解析；如果 在区域 内每一点解析，则称 在 内解析，或称 是 内的一个解析函数 不解析的点就称为是奇点。)(zf0z)(zf0z)(zfE)(zfE)(zfE 2)函数在区域内解析与它在这一区域可导是等价的3）解析一定可导，但可导不一定解析。1)定义:2)性质:1.在复平面内处处解析；2.；3.；)sin(cosexpyiyeezxzexpzzezze
4、xp)(exp0ze12.指数函数指数函数13.三角函数三角函数 1）定义：2）性质：在复平面内是解析的，且 ，sin,cos22izizizizeeeezzizzcos)(sinzzsin)(cos14.对数函数对数函数 lnwLnzziArgz15.乘幂乘幂 定义:注:1.由于 是多值的，因而一般来讲 也是多值的定义中的 如果取主值 ，所得结果 称为的 主值 2.当 是特殊的 或 时,就是我们所熟悉的幂函数 或 .21zz1221Lnzzzez1Lnz21zz1Lnz1ln z12ln zze21zz2znn1nznz第一章 习题课;1311.155iiizzP）模与幅角：数、的实部与虚部
5、、共轭复求下列复数.,1,0,235arctan,234,2523,25Im,23Re,25231kkArgzzizzziz）解：成立。等于什么实数时，等式当iiyixyx135)3(1,.2.111,8321,82)3(1yxyxiyix即相等的概念，有根据复数原式等价于解：;11)5;31)3;51.3iiii）和指数式：将下列复数化为三角式;)2sin()2cos()5;2)3sin()3cos(2)3;5)2sin()2cos(51232iiieizeizeiz）解：;27)2311.5310；）（求下列各式的值：i.3512512)32sin32(cos1024)320sin320(
6、cos2)32sin32(cos2311101010iiiii）（解：).2321(3,3),2321(3.2,1,0,327)2210323iwwiwkeik；）的轨迹，并作图：指出下列各题中点1)2Re()3;5321.9zizz;3)3;25)3()2(122xyx为一直线：）为一圆周：解：.411.1222yxzz）平面上怎样的曲线？平面上的曲线映射成把下列函数.41,1222222vuivuyxyiyxxz解：平面上的像。在）区域求：已知映射3arg02,.133zz.arg03arg023zzz映成将区域）映射解：的极限不存在。时，试证：当设)(0),0(),(21)(.15zfz
7、zzzzzizf的极限不存在。时的改变而改变，因此当极限随的时，有关，即当极限值与，则的方向趋近于沿着令解：)(,0)(0,12)1(2lim2lim0,2)(22220220,22zfzkzfzkkkxkkxyxxykxyzyxxyzfxxkxy;)()3;)(1.16222yixxyzfyixzf）处解析？下列函数何处可导？何不解析。处上可导，在复平面上处仅在）上处处不解析。上可导，在复平面仅在直线）解：)0,0()(321)(1zfxzf;11)3;21.1723zizz）区域，并求其导数。指出下列函数的解析性;)1(2)(1)3;23)(1222zzzfzizzf点外处处解析，除，）在
8、整个复平面上解析解：;0,0;0,)()0.18222zzyxyxzfDz点处是否解析？下列复函数在ikxxkxkxxzfzfkxyzzfzfzxz0)1(lim0)0()(lim0,0)0()(022200时，有趋于沿直线当时，极限考察解：点不解析。点不可导，从而在在不存在，则函数时，极限当的改变而改变，从而极限随000)0()(0,)1)(1(2zzzfzfzkkikk;)1(11.202zzz）求下列函数的奇点：.,01izz）函数的奇点是解：);1Resin()3);(Imexpexp1.24ii）计算：;1cosh1sin)3);1sin(sin11cose）解：;13.25ze）求下列方程的全部解：.,1,0,)12()1(3kikLnz）解：;)1)(3);43ln(),43(1.27iiiiLn）计算：);34arctan(5ln)43ln(),234arctan(5ln)43(1iikiiLn）解：;)1)(32ln)24()1(ikiiLnieei
