1、2021/7/261(最新整理)复合材料细观力学(哈工大)2021/7/262复合材料细观力学(1)2021/7/263第一章 绪 论l定义：根据国际标准化组织为复合材料所下的定义，复合材料是由两种或两种以上物理和化学性质不同的物质组成的一种多相固体材料。l连续体：基体l分散体：增强材料l两相之间存在界面相2021/7/264l复合材料的分类l按增强相材料形态分类l连续纤维复合材料l短纤维复合材料l晶须增强复合材料l颗粒增强复合材料l编织复合材料2021/7/2652021/7/266l按纤维种类分类l玻璃纤维复合材料l碳纤维复合材料l有机纤维复合材料l金属纤维复合材料（钨丝、不锈钢丝）l陶瓷
2、纤维复合材料（硼纤维、碳化硅纤维）l混杂纤维复合材料（两种以上纤维）2021/7/267l按基体材料分类l聚合物基复合材料（热固性、热塑性树脂）l金属基复合材料（铝、钛、镁）l无机非金属基复合材料（陶瓷、水泥）l碳碳复合材料l按材料作用分类l结构复合材料（卫星承力筒）l功能复合材料 （导电、换能、防热）2021/7/268复合材料的基本特点l共同特点：l可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料具有多种功能l可按对材料性能需要进行材料的设计和制造l可制成所需要任意形状产品，避免多次加工工序l一般优点：l比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好、抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等2021/7/2693D kn
3、itted composites for bicycle helmets (a)cylinder and flange;(b)egg crate structures;(c)turbine rotors woven by Techniweave Inc.;and(d)various 2021/7/2610l复合材料性能和损伤破坏规律取决于l组分材料性能l微细观结构特征2021/7/2611l复合材料结构设计l复合材料本身是非均质、各向异性材料，因此复合材料力学在经典非均匀各向异性弹性力学基础上迅速发展。复合材料不仅是材料，更确切的说是结构l以纤维增强的层合板结构为例，复合材料设计可分为三个阶段
4、：1、单层材料设计，选择增强材料、基体材料、配比关系2021/7/2612l2、铺层设计 铺层方案l3、结构设计 产品结构的形状、尺寸、使用环境分析角度l复合材料具有非均匀性和各向异性特点，这种差别属于物理方面l弹性模量、拉压强度、剪切强度、热膨胀系数等2021/7/2613l复合材料细观力学的核心任务l建立复合材料宏观性能同其组分性能及其细观结构之间的定量关系，并揭示复合材料结构在一定工况下的响应规律及其本质，为复合材料优化设计、性能评价提供必要的理论依据及手段。l追溯到19世纪爱因斯坦关于两种不同介电性能的电介质组成的复合电介质等效介电常数预报问题。l50年代-70年代l80年代快速发展l
5、90年代不可缺少2021/7/2614复合材料有效性能复合材料有效性能l有效弹性模量的影响因素l组分材料的弹性常数l基体基体 -各向同性各向同性l纤维纤维 -横观各向同性横观各向同性l微结构特征l夹杂形状（纤维、颗粒、晶须、孔洞、裂纹）夹杂形状（纤维、颗粒、晶须、孔洞、裂纹）l几何尺寸、分布几何尺寸、分布l体积含量体积含量l等等等等2021/7/2615成熟的细观力学方法成熟的细观力学方法lEshelby 等效夹杂理论l自洽理论（自相似理论）lMori-Tanaka方法（背应力法）l微分法lHashin 变分原理求解上下限方法l其他方法2021/7/2616复合材料有效弹性模量定义复合材料有效
6、弹性模量定义l两类均匀边界条件jijijijinsTxsu00)()(在均匀边条作用下，除边界点附近可能有扰动存在，统计均匀复合材料应力场和应变场也是统计均匀的。即，代表性体积单元内场量=复合材料体积平均值klijklijklijklijSC*2021/7/2617l证明00,0,00000)(21),(),(21)(21)(21iViVijjiVijjisijjiijjisVijijVdVdVxxdVxxdsnxnxdsnunudVV2021/7/26181)(1010001000*nrrnrrklijklrijklrklijklnrrijrijklijklffCCfCffC式中上标0代表复
7、合材料基体相，r代表复合材料第r类增强相nrrklijklrijklrklijklnrrijrijklijklSSfSffS10001000*)(2021/7/2619l利用散度定理可以证明复合材料的应变能和余能分别是dVSdVUdVCdVUklijijklVijijcklijijklVijij00*00*212121212021/7/2620第二章 复合材料有效性能l第一节 Eshelby等效夹杂理论 1957年Eshelby在英国皇家学会会刊发表了关于无限大体内含有椭球夹杂弹性场问题的文章，证明了在均匀外载作用时，椭球夹杂内部弹性场亦均匀。（椭圆积分形式）2021/7/26212.1Esh
8、elby相变问题将应变分解为两部分*ijijije根据虎克定律，弹性体应力场)(*klklijklijC扰动应变扰动应变本征应变本征应变2021/7/2622将上式代入平衡方程0,jij*,jklijkljklijklCC分布体力问题VjimklmjklVimjklmjklixdVxxGCxdVxxGCu)(),()(),(,*,利用格林函数方法和高斯定理：2021/7/2623 格林函数，表示在x处沿方向作用单位集中力，点x处产生的位移i分量),(xxGim上述位移对应的应变场（几何方程）)(21,ijjiijuu)()(),(*ln,*xxdVxxGCCinmnmkjiijklpqmnpq
9、2021/7/2624),(ln,*dVxxGCCoutmkjiijklpqmnpq得到各向同性介质椭球体中，存在*klijklijSS是四阶Eshelby张量，与材料性能和夹杂形状有关，具有椭圆积分形式，并可推广到各向异性介质和本征应变不均匀情况。对于特殊形状夹杂，可以写出解析表达式：2021/7/2625l对于球形夹杂，具有下列形式：0)1(15)54()1(15)51()1(1557313123231212331122331122333322221111321其余分量为SSSSSSSSSaaa2021/7/26262.2 等效夹杂原理 由于椭球夹杂存在，则无夹杂存在000000010)(
10、)(klijklijklklijklijijklklijklijijCoutCinC 假定远场受均匀应力作用，椭球夹杂内场均匀，给定一均匀本征应变*ij2021/7/2627outCinCklklijklijijklklklijklijij)()(000*000001110*0001*)()()()(CCSCISCCCSklklklijklklklijklmnijmnij联立求解已知作业：求解复合材料内部弹性场作业：求解复合材料内部弹性场2021/7/2628l第二节 Mori-Tanaka方法 1973年Mori and Tanaka在研究弥散硬化材料的加工硬化问题时，提出求解材料内部平均盈
11、利的背应力法，即Mori-Tanaka方法2021/7/2629l设给定复合材料在其边界上受到远场均匀应力场作用*00010)1(0000)()()(SCCC已知在夹杂中在基体中）（复合材料的体积平均应力应等于其远场作用的均匀应力2021/7/2630*000*000)1()0(0)()()()()1(ISfCCfCCff*)(ISf补充方程*0)(ISfCf2021/7/2631)()1()(1010100*CCSffICCCAA复合材料内部体平均应变场10*010*0)1()0()()()1(fAICCCfAIfff复合材料等效弹性模量2021/7/2632算例：含缺陷纤维复合材料热膨胀系
12、数预报l含圆币型基体裂纹的单向复合材料，假定定向分布的微裂纹垂直于纤维方向*22*1*2*0)()()()(SSCTCCmmfmf已知在圆币型裂纹夹杂中配应变是纤维与基体之间热失在纤维夹杂中2021/7/2633将（4）是代入（1，3）式中)()()()(12*111*ISISCCCCCISCCmfmffmf*22*11*22*1)()(0)()(ISfISfff平衡（背应力法）得：由材料内部扰动应力自2021/7/2634复合材料体平均应变场)()()()()(1)(1122*1111*1*2121ISfISCCCCCISCCffdVVdVVdVVmfmffmfvvvvvTTmcomcom/
13、胀系数作用下，复合材料热膨在温差2021/7/2635l第三节 复合材料性能的自洽理论 50年代，Hershey and Kroner研究多晶体材料的弹性性能时，先后提出了Self-consistent method.思想：在计算夹杂内部应力场时，为了考虑其他夹杂的影响，认为夹杂单独处于一有效介质中，而夹杂周围有效介质的弹性常数就是复合材料的弹性常数。2021/7/2636在远场均匀应力作用下，夹杂内应力为：*1)()(ISLLpt 为了表征夹杂外部材料对夹杂变形的约束作用，Hill引入一个约束张量使其满足：*1*1)(SLLLpt夹杂中的应变*1ptLLLPLSSILSL1*)()(2021
14、/7/2637对于两相复合材料夹杂与基体中平均应力、应变：0)()()(0)()(0)()(222111221122112211LfLfffLLffff约束张量满足系列关系得由2221112*21*1,)()(LLLL2021/7/2638迭代求解代入上页公式为集中因子应变张量即PLLfLLfALLfALLfLLPIALLPILLPAAAAAPLLLLLL11212122211121211*112122111*22*11*)()(0)()()()()(,)()()(2021/7/2639lBudiansky指出，当离散相为空洞时，按自洽理论计算的等效剪切模量0,5.01)21(30GfGffG
15、当原因：仅考虑了单夹杂与周围有效介质的作用，而当夹杂体积分数或裂纹密度较大时，预报的有效弹性模量过高（含硬夹杂）或过低（含软夹杂），特别是夹杂与基体弹性模量相差较大时，等明显。随机取向微裂纹密度=9/16，有效杨氏模量=02021/7/2640lKerner提出广义自洽模型l上海交通大学 罗海安 三相模型夹杂基体基体等效介质等效介质合理原因：考虑夹杂、基体壳和有效介质相互作用，比重平衡广义自洽理论放宽了相介质之间界面约束缺点：解题难度增加2021/7/2641l第四节 微分法 1952年,Roscoe研究悬浊液体性质时提出微分等效介质概念，设某一时刻复合材料增强相体积比率f，等效模量L，经过一
16、个取出与添入过程后，f增至f+df，L增至L+dLVVVVVVVdVLLVLdVLVdVLVdVVdVVLL)(11111)(1010000002021/7/2642由上节已知夹杂应变011111)()(VVALLLLLSLIAAA为应变集中因子张量注意：在取出与添入dV时，取出部分中含有体积为fdV的增强相材料，添入dV后复合材料实际的增强相材料为：ffVVVfVfVdffV1)(000整理得2021/7/2643确定等效弹性模量的微分方程001001)(11)(110SSBSSfdfdSLLALLfdfdLfff初始条件柔性张量初始条件其中,A,B均可由自洽模型确定2021/7/2644算
17、例l对于各向同性球形颗粒增强复合材料，微分方程为：)/()(1(1)(341*001010000*1*1*1KKKKfKKfKKKKGKKKKKKKKfKKdfdKf求解边界条件引入的约束张量，为增强相体模量，为复合材料体积模量，2021/7/2645l第五节 复合材料有效性能的上、下限 5.1 Voigt and Reuss上下限 1889年，Voigt根据晶体内常应变假设研究了多晶体有效模量问题。Voigt等应变假设和Reuss等应力假设混合律基础2021/7/2646复合材料各组成相都是各向同性材料给定远场应变，由Voigt假设有模量、体积分数相材料体积模量、剪切为第ifGKGfGKfK
18、iiiNiiiVNiiiV,0*0*给定远场应力，由Reuss假设有10*01*)()(NiiiRNiiiRGfGKfKuVoigt and Reuss假设适用于长纤维复合材料沿纤维方向的拉伸刚度，分别对应真实解的上下限2021/7/2647证 明复合材料代表性单元内力势能为：复合材料代表性单元内力势能为：VCklijijkl00*21根据等应变假设，势能根据等应变假设，势能Voigt近似值为近似值为vNrrijklrijklvijklklijvijklvCCdvCvCVC0)(00121根据最小势能原理，有根据最小势能原理，有0)(2100*klijvijklijklCCvijklijklC
19、C*2021/7/2648复合材料代表性单元余能为：复合材料代表性单元余能为：VSklijijklc00*21NrrijklrvijklRijklklijRijklRSCdvSvSVS0)(00121根据等应力假设，余能根据等应力假设，余能Reuss近似值为近似值为根据最小余能原理，有根据最小余能原理，有VijklijklRijklRijklijklCCCSS*2021/7/26495.2 Hashin and Shtrikman上下限 1963年Hashin and Shtrikman对于各向异性均匀体采用变分法研究了材料应变能的极值条件。设有一n相统计均匀各向同性复合材料，它的第r相体积与
20、弹性模量分别为Vr,Lr(r=1,2,3.n)。取一均匀的各向同性比较材料，弹性模量为L0,只要在该比较材料中作用适当分布体力，复合材料的弹性场就可以在该比较材料中实现，作用应变的边界条件，应力场为：2021/7/2650)()(),0*00*rrrrrrrrrrrrLLVLLVonpolarizatiL内的平均值，在是内有：是分片均匀的，在体积设体力有关它与比较材料内的分布称为应力极化张量（根据最小势能原理，任意给定位移边条应变情况下复合材料平均应变，复合材料等效弹性模量LdVLVLNrVrr121212021/7/2651NrrrrNrVrrrNrrrrrrNrVrrrNrrrrrVALf
21、LdVLLVLLIAfAAdVLLLVVLdVrr1101101*)(1)()(2121210)(21其中引入应变集中因子叠加上式式根据虚功原理，有恒等2021/7/2652IijIijIijijjiijkikVkjkijiruudVGxuLLLLLnrLLL一均匀应变场须在近似应变场上叠加能够满足，为使外部位移边界条件本征应变分布体力场下复合材料的应变确定在极化应力有足够小否则那么恒有半正定足够大，使若)(21)(,).2,1(,0002021/7/26531001000*00*0*0*0*0*010*00000)()89101(,34)32()()(LLPIAAGKGGGKGKLLLLPL
22、LPPrrIrrklijjkiljlikklijijklIrrIrr式中对于各向同性材料为约束张量其中2021/7/2654NrrrrrrrNrNrrrrrrNrrrNrrrrNrrrrrrrNrrrINrNrIrrrrLLLfLLLALLLLPIALLPLAfALLfIAfALfLAfAAAAfAff1*011*00*0*010010*001*11*011111111)()()(,)()()()()()(简化上式（恒等变换自洽理论）其中根据比较与为复合材料体平均应变场2021/7/2655算例NrrrrrNrrrrKKKfKGKGKGKGGGKKKKfKGGKKK1*01*000maxmaxmax*0max*01*011*0max0max0)(,)89101(23,34)(:,值与中最小等于复合材料各相材料同样则有等于各相材料最大值最大值等于各相材料对于各向同性材料，若2021/7/2656
