1、第五章第五章 积积 分分5.1 定积分的概念定积分的概念1定积分问题的提出定积分问题的提出问题一问题一:曲边梯形面积的计算曲边梯形面积的计算 设设 y=f(x)0,x a,b 计算计算:由曲线由曲线 y=f(x),y=0,x=a,x=b 所界的曲边梯形所界的曲边梯形 abcd 的面积的面积 Aabxyo)(xfy cdAabxyoabxyo（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积 可以看到可以看到,小矩形越多小矩形越多,小矩形的总面积越接近小矩形的总面积越接近于曲边梯形面积于曲边梯形面积 A(1)分割分割:：内内任任意
2、意插插入入分分点点在在区区间间),(ba121 n，i x i，bxxxxxa nn 1210使使 a,b 被划分为被划分为 n 个子区间个子区间 xi-1,xi ,121 n，i,记记 xi-1,xi 上小曲边梯形的面积为上小曲边梯形的面积为Ai,n ,，i21 abxyoy=f(x)Aiix1x1 ix1 nxabxyoi ix1x1 ix1 nx则则 n1ii AA(2)近似近似:若区间若区间a ,b被分割的很细被分割的很细,即每个子区间即每个子区间 xi-1,xi 的长度很小的长度很小,则则 f(x)在在 xi-1,xi 上近似于上近似于 常数常数,小曲边梯形近似于矩形小曲边梯形近似于
3、矩形.任取任取,x xiii,1 ,ni，21 ni，2，1若记若记 xi=xi-xi-1,则则,xfAiii )(,ni，21(3)精确化精确化:可以看出可以看出,将区间将区间,x xii,1,ni，21 分割得越小分割得越小,则式则式(1)的近似越精确的近似越精确 niiin1iixfAA 1)(1)则有则有 niiixfA10)(lim (2)记记 xini1max (分割的最大直径分割的最大直径)问题二问题二:变速直线运动的路程变速直线运动的路程设运动物体以速度设运动物体以速度 v=v(t)作直线运动作直线运动,求在时求在时刻刻 t=a 到到 t=b 这段时间内这段时间内,物体行经的路
4、程物体行经的路程 S.(1)分割分割:,：中中任任意意插插入入分分点点在在区区间间ba t t tn,21,bttttta nn 1210使使记记 时间段时间段 ti-1,ti 内内,物体行经的路程物体行经的路程 Si ,则则 n1iiSS(2)近似近似:若子区间若子区间,t tii,1,ni，21 很小很小,则则速度速度 v(t)在在 上近似不变上近似不变(即近似于常数即近似于常数)t tii,1 任取任取,t tiii,1 ,ni，21 ,tvSiii )()(1iiit tt niiin1iitvSS 1)(3)(3)精确化精确化:可以看出可以看出,越小越小,it)(ni ，21 则式则
5、式(3)的近似程度越高的近似程度越高 记记,max1init 则有则有 niiitvS10)(lim (4)说明说明:(1)问题一问题一,问题二问题二是不同背景的问题是不同背景的问题,但面临同但面临同一数学问题一数学问题,即和式极限即和式极限 niiixfA10)(lim 的计算的计算(2)在问题的处理过程中在问题的处理过程中,都使用了都使用了“以不变处以不变处理变理变”的思想的思想 20 定积分的定义定积分的定义定义定义bxxxxxann 1210设设 f(x)在在 a,b 上有定义上有定义,在在(a,b)内任意内任意 ：插插入入分分点点使 ,121nxxx),(,ni xxii211 将将
6、 a,b 分成分成 n 个小区间个小区间:,maxiniiiix ,xxx 11 记记在每个小区间上任在每个小区间上任取取,xfinii )(1 一点一点 ,作和式作和式 x xiii,1 如果如果Axfniii10)(lim 则称则称 f(x)在在 a,b 可积可积,A 称为称为 f(x)在在 a,b上的上的 定积分定积分,记为记为 ,badxxfA)(a 称为称为积分下限积分下限;b 称为称为积分上限积分上限;f(x)称为称为被积被积函数函数;f(x)dx 称为称为被积表达式被积表达式;x 称为称为积分变量积分变量 说明说明:(1)定积分的几何意义定积分的几何意义:abxyo)(xfy c
7、dbadx)x(fA如果如果 y=f(x)0,x a,b曲边梯形的面积曲边梯形的面积:badxxfA)(2)极限值极限值 A 与区间与区间 a,b 的划分方式无关的划分方式无关,iiixx1 与与 的选取方式无关的选取方式无关 niiibaxfdxxf10)(lim)(即即(3)在上述定义中认为在上述定义中认为 a b 的情形的情形:规定规定:abbadxxfdxxf)()(对于对于 b=a 的情形的情形:规定规定:0)(aadxxf(面积为零面积为零)定理定理(定积分存在的必要条件定积分存在的必要条件)如果如果 f(x)在在 a,b上可积上可积,则则 f(x)在在 a,b 上有界上有界 说明
8、说明:a,b上的无界函数是不可积的上的无界函数是不可积的 定理定理(定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件)如果如果 f(x)在在 a,b上连续或分段连续上连续或分段连续,则则 f(x)在在 a,b上可积上可积 说明说明:连续函数连续函数必是必是可积函数可积函数,不连续的函数也不连续的函数也可能是可能是可积函数可积函数 例例利用定义计算定积分利用定义计算定积分adxx02解解2xxf)(由由 在在 0,a 上连续上连续,将将 0,a 区间区间 n 等分等分,分点分点:,niaxi)(ni 121 ，,naxi naxini max1 取取iiix,xnia1 )(ni ，21 则有则有nia
9、naniadxx12002lim 0,a上可积上可积.可知可知 f(x)在在 nii 120 limnii1230lim 612130)(lim nnn )(lim121630 aaa 620)(lim aaa 331a 说明说明:此例说明用定义此例说明用定义niiibaxfdxxf10)(lim)(计算定积分是非常困难的计算定积分是非常困难的 定积分可被用来计算定积分可被用来计算“和式和式”的极的极限限若若 f(x)在在 a,b 上连续上连续,则根据定积分的定义有则根据定积分的定义有即当所求极限的即当所求极限的“和式和式”为积分和时为积分和时,可利用可利用(1)转化为定积分的计算转化为定积分
10、的计算 当然当然,(1)也只能解决是也只能解决是“积分和积分和”或或“可化可化为为积分和积分和”的和式极限计算问题的和式极限计算问题 bankndxxfnabnabkaf)()(lim1(1)例例计算计算)(lim22222212111nnnnn 解解)(lim22222212111nnnnn )()()(limnnnnnnnn11112111111222 nnknkn11112 )(lim 1021 xdx)ln()ln(211102 xx例例计算计算 nknknkn112lim解解nknnnknknk1212112 nknknknknknknknn1111212112由于由于2122212
11、10101lnlnlim xxnknkndxn2112111211ln)(limlim nknknnknknnnnn据夹逼定理知据夹逼定理知21121lnlim nknknkn例例计算计算nnnn!lim 解解记记,!nnann 则则nnnnnnnna21 !nknkne11ln nknnke11)(ln由于由于 nknxdxnnk1101ln)(lnlim11010 dxxxln所以所以1 ennnn!limnnnnn)()(21 解解例例nniinx 1 lim把区间把区间 a,b (a 0)分成分成 n 等分等分,分点为分点为 xi,计算计算 设设nniinxy 1 niinxny11ln lnnxyniinnn11 ln lim lnlim baxdxabln1nabxabniin 11ln lim)ln(babadxxxab1)(lnlnabaabbab 111 ababablnababnnnniinabeyx 111lim lim所以所以
