1、第第2章导数与微分章导数与微分1.1导数的概念1.2导数的运算1.3微分前页前页结束结束后页后页章2.1.1 2.1.1 引出导数概念的实例引出导数概念的实例例例1 1 平面曲线的切线斜率平面曲线的切线斜率 曲线曲线 的图像如图所示的图像如图所示,在曲线上任取两点在曲线上任取两点 和和 ，作割线作割线 ，割线的斜率为，割线的斜率为)(xfy 00()M x,y),(00yyxxN xxfxxfxykMN )()(tan00MN2.1 2.1 导数的概念导数的概念yxO()yf x MNTx0 xxx0yP前页前页结束结束后页后页章这里这里 为割线为割线MN的倾角，设的倾角，设 是切线是切线MT
2、的倾角，的倾角，当当 时，时，点点N沿曲线趋于点沿曲线趋于点M。若上式的若上式的极限存在，记为极限存在，记为k，则此极限值，则此极限值k就是所求切线就是所求切线MT的斜率，即的斜率，即xxfxxfxykxxx )()(limlimtanlimtan00000 0 xyxO()yf x MNTx0 xxx0yP前页前页结束结束后页后页章当当 趋向于趋向于0 0时，如果极限时，如果极限设某产品的总成本设某产品的总成本C是产量是产量Q的函数，即的函数，即C=C(Q )，当产当产量量Q 从从 变到变到 时时，总成本相应地改变量为总成本相应地改变量为 当产量从当产量从 变到变到 时时，总成本的平均变化率
3、总成本的平均变化率0Q0QQ 00()()CC QQC Q Q0 00QQ 00()()C QQC QCQQ 0000()()limlimQQC QQC QCQQ 存在，则称此极限是产量为存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率。时总成本的变化率。0Q0Q例例2 2 产品总成本的变化率产品总成本的变化率前页前页结束结束后页后页章定义定义 设设y=f(x)在点在点x0的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，属于该邻域，记属于该邻域，记 若若存在，则称其极限值为存在，则称其极限值为y=f(x)在点在点x0 处的导数，记为处的导数，记为xx0),()(00 xfxxfy xyx0limxxfxxfx
4、)()(lim000.|dd,|dd,|)(0000 xxxxxxxfxyyxf或或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 或或2.1.2 导数的概念导数的概念前页前页结束结束后页后页章导数定义与下面的形式等价：导数定义与下面的形式等价：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 若若y=f(x)在在x=x0 的导数存在，则称的导数存在，则称y=f(x)在点在点x0 处可导，反之称处可导，反之称y=f(x)在在x=x0 不可导，此时意不可导，此时意味着不存在味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，
5、导数的大小反映都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化了函数在一点处变化(增大或减小增大或减小)的快慢的快慢.前页前页结束结束后页后页章三、左导数与右导数三、左导数与右导数 左导数左导数:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 右导数右导数:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx显然可以用下面的形式来定义左、右导数显然可以用下面的形式来定义左、右导数,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 定理定理3.1 y=f(x)在在x=x0可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是y=f(x)在在x=x0
6、 的左、右导数存在且相等的左、右导数存在且相等.前页前页结束结束后页后页章三、导数的几何意义三、导数的几何意义 当自变量当自变量 从变化到从变化到 时，曲线时，曲线y=f(x)上的点由上的点由 变到变到).(,(00 xxfxxM此时此时 为割线两端点为割线两端点M0，M的横坐标之差，而的横坐标之差，而 则为则为M0，M 的纵坐标之差，的纵坐标之差，所以所以 即为过即为过M0，M两点两点的割线的斜率的割线的斜率.0 x).(,(000 xfxMxyxyxx0M0M0 xxx0前页前页结束结束后页后页章 曲线曲线y=f(x)在点在点M0处的切线即为割线处的切线即为割线M0M当当M沿曲沿曲线线y=
7、f(x)无限接近无限接近 时的极限位置时的极限位置M0P，因而当因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：即：0 0 xD D00()limlimtantanxyfxkx 所以，导数所以，导数 的几何意义的几何意义是曲线是曲线y=f(x)在点在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率处的切线斜率.)(0 xf M0M0 xxx0P P0 0M 前页前页结束结束后页后页章 设函数设函数y=f(x)在点处可导，则曲线在点处可导，则曲线y=f(x)在在点处的切线方程为：点处的切线方程为：而而当当 时时,曲线曲线 在在 的切线方程为的切线方程为0001()().()
8、yf xxxfx 0 xx(即法线平行y轴).0 xx 000()()().yf xfxxx 当当 时时,曲线曲线 在在 的法线方程为的法线方程为0()0fx ()f x0M而当而当 时时,曲线曲线 在在 的法线方程为的法线方程为0()0fx ()f x0M0()fx ()f x0M前页前页结束结束后页后页章例例3 3 求函数求函数 的导数的导数解解:(1):(1)求增量求增量:(2)(2)算比值算比值:(3)(3)取极限取极限:同理可得同理可得:特别地特别地,.,.2xy()()yf xxf x 222()2()xxxx xx xxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00为正整数）nn
9、xxnn()(111()()xn 前页前页结束结束后页后页章例例4 4 求曲线求曲线 在点在点 处的切线与法线方程处的切线与法线方程.解解:因为因为 ,由导数几何意义由导数几何意义,曲线曲线 在点在点 的切线与法线的斜率分别为的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为:即即法线方程为法线方程为:3xy)8,2(233)(xx3xy)8,2(1211,12)3(122221kkxykxx)2(128xy01612 yx)2(1218xy即09812yx前页前页结束结束后页后页章2.1.4 2.1.4 可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系定理定理2 若函数若函数y=f(
10、x)在点在点x0处可导，处可导，则则f(x)在点在点x0 处连续处连续.证证 因为因为f(x)在点在点x0处可导，故有处可导，故有00()lim.xyfxx 根据函数极限与无穷小的关系根据函数极限与无穷小的关系,可得可得:00()lim0.xyfxx ，其其中中两端乘以两端乘以 得得:0()yfxxx x由此可见由此可见:000limlim()0.xxyfxxx 即函数即函数y=f(x)在点在点x0 处连续处连续.证毕证毕.前页前页结束结束后页后页章例例5 证明函数证明函数 在在x=0处连续但不可导处连续但不可导.|yx 证证 因为因为0lim|0 xx 所以所以 在在x=0=0连续连续|yx
11、 00(0)limlim1xxyxfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx而而即函数即函数 在在x=0处左右导数不相等处左右导数不相等,从而在从而在|yx x=0不可导不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要导的必要条件，但不是充分条件条件，但不是充分条件即可导定连续即可导定连续,连续不一定可导连续不一定可导.前页前页结束结束后页后页章 设函数设函数u(u(x)与与v(v(x)在点在点x处均可导，则处均可导，则:定理一定理一);()()()()1(xvxuxvxu ),()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu uCCuCC
12、xv )(,()(,则则为为常常数数）特特别别地地2)()()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu ()1,u x 2.2.1 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则2.2 2.2 导数的运算导数的运算特别地特别地,如果如果可得公式可得公式21()()0)()()v xv xv xv x 前页前页结束结束后页后页章wvuwvu )(注：法则（注：法则（1）（）（2）均可推广到有限）均可推广到有限多个可导函数的情形多个可导函数的情形wuvwvuvwuuvw )(例：例：设设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点在点x处均处均可导，则可导，则
13、前页前页结束结束后页后页章)3lnsin(3 xexyx解：解：)3(ln)(sin)()(3 xexxxexxcos32 例例2 设设52,xyxy 求求)(52)(5 xx2xx解：解：)25(xxy2ln25225xxxx yxexyx ，求求设设3lnsin3例例1前页前页结束结束后页后页章)(tan xy)cossin(xx解：解：xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 即即 2(ta n)secxx 2(cot)cscxx 类似可得类似可得例例3 求求y=tanx 的导数的导数前页前页结束结束后页后页章)cos1(
14、xxx2cossin)(sec xy解：解：xxtancos1 xx tansec 即即(sec)sectanxxx (csc)csccotxxx 类似可得类似可得例例4 求求 y=secx 的导数的导数前页前页结束结束后页后页章基本导数公式表基本导数公式表为为常常数数）CC(0).(1 为为常常数数）().(21 xxaxxaln1).(log3 14.(ln)xx xxee ).(6xxcos).(sin7 xxsin).(cos8 2.2.2 基本初等函数的导数基本初等函数的导数aaaxxln)(5 .前页前页结束结束后页后页章xxx22cos1sec).(tan9 xxxtansec)
15、.(sec11 xxxcotcsc).(csc12 211).(arcsin13xx 211).(arccos14xx 211).(arctan15xx 21161.(arccot)xx xxcosh).(sinh17 xxsinh).(cosh18 xxx22sin1csc).(cot10 前页前页结束结束后页后页章)sin2()sin2(3222 xxxx)cos4()sin2(322xxxx )sin2(32 xxy解：解：22)cos4()sin2(322 xxxxxxy22)12(6 2,)sin2(32 xyxxy求求设设例例5前页前页结束结束后页后页章 定理二定理二)(xu 如果
16、函数如果函数在在x处可导，而函数处可导，而函数y=f(u)在对应的在对应的u处可导，处可导，那么复合函数那么复合函数)(xfy 在在x处可导，且有处可导，且有dydy dudxdu dx或或xuxyyu对于多次复合的函数，其求导公式类似，对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法此法则也称链导法注：注：2.2.3 复合函数的导数复合函数的导数前页前页结束结束后页后页章xuxuy)1()(sin2 xu 2cos )1cos(22xx 例例7yxy 求求,2lnsin222lncos22 xxxxxxxy2221212lncos222 解：解：解：解：复复合合而而成成可可看看作作221
17、,sin)1sin(xuuyxy yxy 求求),1sin(2例例6前页前页结束结束后页后页章定理三定理三,0)(y 且且)(yx 如果单调连续函数如果单调连续函数在某区间内可导，在某区间内可导，则它的反函数则它的反函数y=f(x)在对应的区间在对应的区间内可导，且有内可导，且有1dydxdydx 1()()fxy 或或证证 因为因为 的反函数的反函数 ()()yf xxy 是是()()xyf x所所以以有有dxdydydx 1上式两边对上式两边对x求导得求导得xyf 1或或dydxdxdy1 或或1()()fxy 所所以以 0)(ydydx 2.2.4 反函数的求导法则反函数的求导法则前页前
18、页结束结束后页后页章）内内单单调调且且可可导导，在在区区间间（而而2,2sin yx,0cos)(sin yyy且且解：解：y=arcsinx 是是x=siny 的反函数的反函数因此在对应的区间（因此在对应的区间（-1，1）内有）内有)(sin1)(arcsin yxxycos1 y2sin11 211x 21(arcsin)1xxx 即即同理同理21(arccos)1xxx 21(arctan)1xx 21(cot)1arcxx 求函数求函数y=arcsinx 的导数的导数例例8 前页前页结束结束后页后页章22xyxyeyex 1.隐函数的导数隐函数的导数例例9 求方程求方程 所确定的函数的
19、导数所确定的函数的导数解：解：方程两端对方程两端对x求导得求导得0)2(2 xyeyxxyye2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把所确定的函数，其求导方法就是把y看成看成x的函数，方程两端同时对的函数，方程两端同时对x求导，然后解出求导，然后解出 。(,)F x yy 20yxex ye 即即前页前页结束结束后页后页章例例10dxdyyxy求求设设),2arctan(解：解：两边对两边对x求导得求导得)21()2(112yyxy 1)2(12 yxy得得解解出出,y 前页前页结束结束后页后页章)
20、1ln(2)1(xxxexyy 2 2可可以以写写成成函函数数解一解一)1ln(2 xxey)1ln(2)1ln(2 xxexx )1(1)1ln(222)1ln(2xxxxexx 222212)1ln()1(xxxxxyxyx 求求设设,)1(2例例11前页前页结束结束后页后页章)1ln(ln2xxy 两边对两边对x求导，由链导法有求导，由链导法有xxxxyy21)1ln(122 22212)1ln(xxx 222212)1ln()1(xxxxyx 解二称为解二称为对数求导法对数求导法，可用来求幂指函数和多个因，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导子连乘
21、积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：注：两两边边取取自自然然对对数数将将函函数数xxy)1(2 解二解二前页前页结束结束后页后页章)1ln(21)43ln(21)1ln(21ln2 xxxy解：解：将函数取自然对数得将函数取自然对数得)1(21)43(23112 xxxxyy两边对两边对x求导得求导得2231(1)(34)(1)12(34)2(1)xyxxxxxx 所所以以yxxxy 求求设设,)1)(43)(1(2例例12前页前页结束结束后页后页章且且)(tx )(),(tytx 设设均可导均可导,具有单值连续具有单值连续反函数反函数)(1xt ，则参数方程确定的函数可看成则参数
22、方程确定的函数可看成)(ty 与与)(1xt 复合而成的函数，复合而成的函数，根据求导法则有：根据求导法则有：求得求得y对对x的导数的导数对参数方程所确定的函数对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接可利用参数方程直接dydy dtdxdtdxdtdxdtdy1 )(1)(tt ()()tt 此即参数方程所确定函数的此即参数方程所确定函数的求导公式求导公式2.参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数变量变量y与与x之间的函数关系有时是由参数方程之间的函数关系有时是由参数方程)()(txty 确定的，其中确定的，其中t 称为参数称为参数前页前页结束结束后页后页章 解：解
23、：曲线上对应曲线上对应t=1的点（的点（x,y)为（为（0,0）,曲线曲线t=1在处的切线斜率为在处的切线斜率为1 tdxdyk12231 ttt122 于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为 y=x123 txtty求曲线求曲线在在t=1处的切线方程处的切线方程例例13前页前页结束结束后页后页章 dxdydxddxyd22即即,)(yy)()(xfxf或或22)(dxxfd,y 记作记作),(xf 22dxyd或或二阶导数：二阶导数：)(xfy 如果函数如果函数f(x)的导函数的导函数仍是仍是x的可导的可导函数，就称函数，就称)(xfy 的导数为的导数为f(x)的二阶导数，的二阶导数，n阶
24、导数：阶导数：()()()()nnnnd ddd yf xfxydx dxdxdx 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数的计算：高阶导数的计算：运用导数运算法则与基本公式将函运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导数逐次求导2.2.6 高阶导数高阶导数前页前页结束结束后页后页章,lnaayx 解：解：nxnaay)(ln)(,)(ln2aayx ,特别地特别地,)(xxee xnxee)()(,)(xxee ,例例15)(,sinnyxy求求设设 )2sin(xy)2cos(x)22sin(x解：解：)(sin xyxcos)2sin(x )22sin(
25、xy)23sin(x)2sin()(nxyn即即()(sin)sin()2nxxn 同理同理()(cos)cos()2nxxn )(,nxyay求求设设 例例14前页前页结束结束后页后页章解解如图，正方形金属片的面如图，正方形金属片的面积积 A 与边长与边长 x 的函数关系的函数关系为为A=x2,受热后当边长由受热后当边长由x0伸长到伸长到x0+时时,面积面积A相应的增量为相应的增量为x2.3.1 微分的概念微分的概念例例1 设有一个边长为设有一个边长为x0的正方形金属片，受热后它的的正方形金属片，受热后它的边长伸长了边长伸长了 ，问其面积增加了多少？，问其面积增加了多少？x 2 0 x A
26、0 x x x 0 x x 0 x 2 x 202020)(2)(xxxxxxA 2.3 2.3 微分微分前页前页结束结束后页后页章的线性函数的线性函数同阶的无穷小；同阶的无穷小；时与时与是当是当xxxx 0,20从上式可以看出，从上式可以看出，xA是分成两部分：第一部分xA 是是分成两部分：第一部分分成两部分：第一部分高高阶阶的的无无穷穷小小。时时比比是是当当第第二二部部分分xxx 0,)(2这表明这表明的的近近似似值值：数数作作为为很很小小时时，可可用用其其线线性性函函Ax 02.Axx 这部分就是面积这部分就是面积A 的增量的主要部分（线性主部）的增量的主要部分（线性主部）,2)()(0
27、200 xxxxx A A因为因为所以上式可写成所以上式可写成0().AA xx 前页前页结束结束后页后页章)()(00 xfxxfy 可以表示为可以表示为定义定义 设函数设函数)(xfy在点在点0 x的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，处的增量处的增量0 x在点在点)(xf如果函数如果函数),(xoxAy 00 d|d|.x xx xyyAx，即即于是于是,（2.3.1)式可写成式可写成0 xxdAA 处的微分，处的微分，0 x)(xfxA 可微，可微，称为称为在点在点0 x处处在点在点)(xf高阶的无穷小，则称函数高阶的无穷小，则称函数时时0 x)(xo x其中其中A是与是与无关的常数，无
28、关的常数，是当是当比比x记为记为前页前页结束结束后页后页章由微分定义，函数由微分定义，函数f(x)在点在点x0处可微与可导等价，处可微与可导等价，且且0()Afx ,因而因而)(xf在点在点 x0处的微分可写成处的微分可写成00d()x xyf xx00d()dx xyf xx于是函数于是函数通常把通常把x 记为记为，称自变量的微分，称自变量的微分，上式两端同除以自变量的微分，得上式两端同除以自变量的微分，得d()dyf xx因此导数也称为微商因此导数也称为微商可微函数：如果函数在区间可微函数：如果函数在区间(a,b)内每一点都可微，内每一点都可微，则称该函数在则称该函数在(a,b)内可微。内
29、可微。d()dyfxxf(x)在点在点x0 处的微分又可写成处的微分又可写成d xf(x)在在(a,b)内任一点内任一点x处的微分记为处的微分记为前页前页结束结束后页后页章解：解：0201.0101.1)(2222 xxxy例例2 求函数求函数 y=x2 在在 x=1,01.0 x时的改变量和微分。时的改变量和微分。于是于是 110.010.01d20.02xxxxyx x 面积的微分为面积的微分为 d2.rssrr r.)(2)(222rrrrrrs解：面积的增量解：面积的增量面积的增量与微分面积的增量与微分r当半径增大当半径增大2rs例例3 半径为半径为r 的圆的面积的圆的面积时，求时，求
30、2d()2yxxx x 在点在点1x处，处，前页前页结束结束后页后页章2.3.2 微分的几何意义微分的几何意义x当自变量当自变量x有增量有增量时，时，切线切线MT 的纵坐标相应地有增量的纵坐标相应地有增量tan()dPxf xxy Q(,)M x y因此，微分因此，微分d()yfxx几何上表示当几何上表示当x有增量有增量x时，曲线时，曲线()yf x在对应点在对应点处的切线的纵坐标的增量处的切线的纵坐标的增量 y用用d y近似代替近似代替dyyPN 就是用就是用QP近似代替近似代替QN，并且，并且tan()f x设函数设函数y=f(x)的图形如下图所示的图形如下图所示.过曲线过曲线y=f(x)
31、上一点上一点M(x,y)处作切线处作切线MT,设设MT的倾角为的倾角为则则,y()yf x MNOxy d yxxx Q QP前页前页结束结束后页后页章2.3.3 微分的运算法则微分的运算法则1.微分的基本公式：微分的基本公式：(1)d0 ()CC为为常常数数1(2)dd ()aaxaxxa 为为常常数数(4)dee dxxx 1(6)dlndxxx(8)dcossin dxx x (3)dln d (01)xxaaaxa,a 11(5)dlogd (01)lnaxxa,axa (7)dsincos d xx x 前页前页结束结束后页后页章21(16)d arccot d 1xxx 21(14
32、)d arccos d1xxx 21(13)darcsin d1xxx 21(15)d arctan d 1xxx 2(10)dcotcscdxx x 2(9)d tan secdxx x(12)dcsc csccot dxxx x (11)dsec sectan dxxx x 续前表续前表前页前页结束结束后页后页章2.2.微分的四则运算法则微分的四则运算法则设设u=u(x)，v=v(x)均可微均可微，则，则d()dd;uvuv d()dd;uvv uu vd()dCuCu （C 为常数）；为常数）；2ddduvuuvvv0().v 前页前页结束结束后页后页章3复合函数的微分法则复合函数的微分
33、法则都是可导函数，则都是可导函数，则()()yf uux，设函数设函数的微分为的微分为)(xfy复合函数复合函数d()d()()dxyfxxf uxx 利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分函数的微分.这就是一阶微分形式不变性这就是一阶微分形式不变性.可见，若可见，若y=f(u)可微，不论可微，不论u是自变量还是中间变量，是自变量还是中间变量，d()dyf uu总有总有而而d()duxxuufyd)(d 于是前页前页结束结束后页后页章解：解：)32(3221)32(222 xxxxyd dd d2326xx 26dd.23xyxx 解：对方程
34、两边求导，得解：对方程两边求导，得04222yyyxyx)(xfy d y的导数的导数ddyx与微分与微分例例5 5 求由方程求由方程12222yxyx所确定的隐函数所确定的隐函数即导数为即导数为 xyyxy 微分为微分为 ddxyyxyx例例4 4 .,322yxyxyd dd dd d与与求求设设 前页前页结束结束后页后页章 由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常把函数的导数与微分的运算
35、统称为微分法把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数学中，把研究导数和微分的有关内在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学容称为微分学前页前页结束结束后页后页章2.3.4 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用000()()d()yf xxf xyf xx 或写成或写成000()()().fxxfxfxx （1）上式中令上式中令00 xx（2）000()()()().f xf xfxxx ，则，则特别地特别地,当当x x0 0=0=0，x很小时很小时,有有()(0)(0)fxffx （3）公式公式(1)(2)(3)可用来求函数可用来求函数f(x)的近似值。的近似值。0()
36、0f x，且，且x很小时，我们有近似公式很小时，我们有近似公式在在 x0 点的导数点的导数()yf x由微分的定义可知，当函数由微分的定义可知，当函数前页前页结束结束后页后页章注：注：在求在求)(xf的近似值时，要选择适当的的近似值时，要选择适当的0 x，使，使)(0 xf，)(0 xf 容易求得，且容易求得，且0 xx 较小较小应用（应用（3 3）式可以推得一些常用的近似公式）式可以推得一些常用的近似公式,当当x很小时很小时,有有(1)(1)xx sin（用弧度作单位）用弧度作单位）(3)(3)xex1(4)(4)xx )1ln(5)(5)xnxn111(2)(2)xx tan(用弧度作单位
37、）用弧度作单位）前页前页结束结束后页后页章例例6.46sin的的近近似似值值计计算算则则18010 xx解解:设设,sin)(xxf取取46x，4450 x于是由（于是由（2）式得）式得).(cossinsin000 xxxxx719.01802222 1804cos4sin46sin 即即 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，
38、我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科
39、斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。
40、JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的
41、速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：
42、自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类
43、做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过
44、程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。
45、约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
