1、 （理数）第 1 页 共 16 页 试卷类型：A 重庆市名校联盟高重庆市名校联盟高 2020 级“二诊”模拟考试级“二诊”模拟考试 理科数学理科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合
2、题目要求的） 1已知集合， 2 0 ,1 x AxBx x x ，则AB A0,1 B1,2 C0,1 D,0 2若单位向量 1 e， 2 e夹角为60， 12 2aee，则a A4 B2 C 3 D1 3观察式子： 2 13 1 22 ， 22 115 1 233 ， 222 1117 1 2344 ，.，则可归纳出式子 为 A 222 1111 1. 2321nn B 222 1111 1. 2321nn C 222 11121 1. 23 n nn D 222 1112 1. 2321 n nn （理数）第 2 页 共 16 页 4已知 2 57 log 2,log 2,0.5aabc
3、，则 a，b，c 的大小关系为 Abac Babc Ccba Dcab 5某教研机构随机抽取某校 20 个班级， 调查各班关注汉字听写大赛的学生人数， 根据所得数据的茎叶图， 以组距为5将数据分组成0,5 , 5,10 , 10,15 , 15,20 , 20,25 , 25,30 , 30,35 , 35,40时， 所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是 A B C D 6我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图 是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该刍童的表面积为 A12 5 B40 C16 12 3 D
4、16 12 5 7已知2a，向量a在向量b上的投影为 1，则a与b的夹角为 A 3 B 6 C 2 D 2 3 8已知函数 ( )cos()f xAx （0A，0，| 2 ） ，将函数( )f x的图象向左 （理数）第 3 页 共 16 页 平移 3 4 个单位长度，得到函数( )g x的部分图象如图所示， 则 1 ( ) 3 f x 是 3 2123 x g 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9如图两个同心球，球心均为点O，其中大球与小球的表面积 之比为 3:1，线段AB与CD是夹在两个球体之间的内弦，其中 A C、两点在小球上，B D、两点在大球上
5、，两内弦均不穿过小 球内部.当四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直线 AD与BC的夹角为，则sin 2 A 6 6 B 2 4 C 30 6 D 2 6 33 102019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID 19）疫情，并快速席卷我国其他 地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没 有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武 汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、 疑似的新冠肺炎患者、 无 法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员， 强化网格化管理
6、， 不落一户、不漏一人.在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这 种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭 为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0 1p ）且相互独立，该 家庭至少检测了 5个人才能确定为“感染高危户”的概率为( )f p， 当 0 pp时，( )f p最大， 则 0 p （理数）第 4 页 共 16 页 A 6 1 3 B 6 3 C 1 2 D 3 1 3 4在平面直角坐标系中，定义 1212 ,max,d A Bxxyy为两点 11 ,A x y， 22 ,B x y的“切比雪夫距离
7、”，又设点P及l上任意一点Q，称,d P Q的最小值为点P到 直线l的“切比雪夫距离”，记作,d P l，给出下列三个命题： 对任意三点A、B、C，都有 ,d C Ad C Bd A B； 已知点 3,1P 和直线l：210xy ，则 4 , 3 d P l ； 到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形. 其中正确的命题有 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 12已知函数 3 1f xxa ， 1 ,xe e 与 3lng xx 的图象上存在关于x轴对称的 点，则实数a的取值范围是 A 3 0,4e B 3 1 0,2 e C 3 3 1 2,4e e D 3 4,e
8、（理数）第 5 页 共 16 页 二、填空题微博橙子辅导（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若 2 0 sin dax x ，则函数 1 exf xax 的图象在1x 处的切线方程为_ 14已知圆C的圆心是抛物线 2 4xy的焦点，直线432 0xy与圆C相交于AB、两 点，且6AB ，则圆C的标准方程为_ 15已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，1AB ，若将DEF沿直线FD 翻折，使得点E落在边BC上（即点P） ，则当AD取最小值时，四面体FADP的外接 球的半径是_. 16设函数 1 ( )ln ()f xxax aR x 的两个极值点分别为 12 ,x
9、 x，若 12 2 12 2 2 1 f xf xe a xxe 恒成立，则实数a的取值范围是_ 三、解答题微博橙子辅导（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知 n S为等差数列 n a的前n项和， 3 5a ， 7 49S. （1）求数列 n a的通项公式； （理数）第 6 页 共 16 页 （2）设 2 n n n a b ， n T为数列 n b的前n项和，求证：3 n T . 18微博橙子辅导（本小题满分 12 分） 如图，在四面体ABCD中，ABACDBDC，点 E 是BC的中点，点 F 在线段AC 上，且 A
10、F AC . （1）若/EF平面ABD，求实数的值； （2）求证：平面BCD平面AED. 19 （本小题满分 12 分） 2020 年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区 助力 福建省漳州市东山县共 101 个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力， 募捐价值百万的 海鲜输送武汉东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福 建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤 东渔场交汇处， 因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优势 根据养殖规模与以往的 养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服
11、从正态分布(280,25)N （1）随机购买 10 只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于 265 克该海产品的概率； （2）2020 年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为 49 千 元时的年收益增量现用以往的先进养殖技术投入 i x（千元）与年收益增量 i y（千 （理数）第 7 页 共 16 页 元） (1,2,3,8)i 的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在 曲线yab x的附近，且46.6,x 563,y 6.8,t 8 2 1 289.8, i i xx 8 2 1 1.6 i i tt ， 8 1 1469, ii i xxyy
12、 8 1 108.8 ii i ttyy ， 其中, ii tx 8 1 1 8 i i tt 根据所给的统计量，求 y 关于 x 的回归方程，并预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量 附：若随机变量(1,4)ZN，则( 57)0.9974,PZ 10 0.99870.9871 ; 对于一组数据 11 ,u v 22 ,u v , , nn u v， 其回归线vu的斜率和截距的最小二乘 估计分别为 1 2 1 , n ii i n i i uuvv uu vu 20 （本小题满分 12 分） 已知函数 lnf xxx， 2 1 2 gaxaxx， 1 x h xmxe. （1）讨论
13、F xg xf x的单调性： （2）若不等式 h xf x 对任意(0,)x恒成立，求m的取值范围. 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中,点B 与点 ( 1,1)A 关于原点对称，P 是动点，且直线AP与BP 的斜率之积等于 1 3 . （理数）第 8 页 共 16 页 (1) 求动点P的轨迹方程，并注明x的范围; (2) 设直线AP与BP 分别与直线3x 交于 ,M N ，问是否存在点P 使得 PAB与 PMN面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所 微博橙子辅导做的第一个
14、题目计分 22 （本小题满分 10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系Ox， 极坐标系中 357 2,2,2,2, 4444 ABCD ，弧 ,AB BCCD DA 所在 圆的圆心分别为 3 1, 1, 1, 1,0 22 ， 曲线 1 C是弧AB， 曲线 2 C是弧BC， 曲线 3 C 是弧CD，曲线 4 C是弧DA. （1）分别写出 1234 ,C C C C的极坐标方程； （2）直线l的参数方程为 2 2 xt yt （t为参数） ，点P的直 角坐标为2,2， 若直线l与曲线 1 C有两个不同交点,M N， 求 实数的取值范围，并求出P
15、MPN的取值范围. 23 （本小题满分 10 分） 已知0a，0b，且1ab. （1）求 12 ab 的最小值； （理数）第 9 页 共 16 页 （2）证明： 22 25 12 abb ab . 理科数学参考答案（A 卷） 17 （1）设数列 n a的公差为d， 则由已知得 1 1 25 72149 ad ad ，解之得， 1 1a ，2d ， 所以 1 (1)21 n aandn. （2） 21 22 n n nn an b ， 所以 13521 2482 n n n T ， 1 11352321 2481622 n nn nn T ， 两式相减得 11 11111121 2224822
16、n nn n T ， 故 2 12123 333 222 n nnn nn T . 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C A C A A D A B A A C B 20xy （或 2yx ） 2 2 110xy 6 2 1 ae e （理数）第 10 页 共 16 页 （1）因为/EF平面ABD，得EF 平面ABC， 平面ABC平面=ABD AB， 所以/EF AB， 又点 E 是BC的中点，点 F 在线段AC上， 所以点 F 为AC的中点， 由 AF AC ，得 1 = 2 ； （2）因为ABACDBDC，点 E 是BC的中点， 所以BCA
17、E，BCDE， 又=AEDE E，AE 平面AED，DE 平面AED， 所以BC平面AED， 又BC 平面BCD， 所以平面BCD平面AED. 19 （1）由已知，单只海产品质量(280,25)N，则280,5， 由正态分布的对称性可知， 11 (265)1(265295)1(33 ) 22 PPP 1 (1 0.9974)0.0013 2 ， 设购买 10 只该商家海产品，其中质量小于 265g 的为 X 只，故(10,0.0013)XB， 故 10 (1)1(0)1 (1 0.0013)1 0.98710.0129P XP X ， （理数）第 11 页 共 16 页 所以随机购买 10 只
18、该商家的海产品，至少买到一只质量小于 265 克的概率为 0.0129 （2）由6.8,t 563,y 8 1 108.8, ii i ttyy 8 2 1 1.6 i i tt ， 有 8 1 8 2 1 108.8 68 1.6 ii i i i ttyy b tt ， 且 56368 6.8100.6aybt， 所以 y 关于 x 的回归方程为100.668yx， 当49x时，年销售量 y 的预报值100.668 49576.6y 千元 所以预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量为 576.6 千元 20 （1） 2 1 1ln 2 F xaxaxx， 111 10 axx F
19、xaxax xx ， 当 0a 时， 0Fx ，所以 F x在(0,)上单调递减； 当0a时，由 0Fx ，得 1 0x a ，由 0Fx ，得 1 x a ， 所以 F x在 1 0, a 上单调递减，在 1 (,) a 上单调递增. （2）不等式 h xf x 对任意 0()x恒成立，即 1ln x mxexx 恒成立， 因为0x，所以 ln1 x xx m xe （理数）第 12 页 共 16 页 令 ln1 x xx G x xe 2 1ln x xxx G x x e 令 lnp xxx， 1 10px x ， 故 p x在(0,)上单调递减，且 11 10p ee ， 1 10p
20、， 故存在 0 1 ,1x e 使得 000 ln0P xxx ， 即 00 ln0xx即 0 0 x xe， 当 0 0,xx时， 0p x ， 0Gx ； 当 0 (,)xx， 0p x ， 0Gx ； 所以 000 ax 0 m 0 0 0 ln11 1 xxx xx G xG x x eee ， 故实数m的取值范围是m1. 21 （1） ( 1,1)A ，故(1, 1)B，设,P x y，故 2 2 1111 1113 PAPB yyy kk xxx . 整理得到： 22 3 1 44 xy ，1x. （2） 设 00 ,P x y， 则P到直线AB的距离为 00 2 xy d ， 故
21、 00 1 2 PAB SAB dxy ； （理数）第 13 页 共 16 页 0 0 1 1 AP y k x ，故直线PA： 0 0 1 11 1 y yx x ，取3x 得到 0 0 41 3,1 1 y M x ， 同理可得： 0 0 21 3,1 1 y N x ， 故 2 00 00000 2 000 41212266 11 111 yyxx yyx MN xxx ， 故 2 00000 0 2 0 22661 3 21 PMN xx yyx Sx x ， 故 2 00000 000 2 0 22661 3 21 xx yyx xxy x ， 整理得到 2 2 00 31xx， 故
22、 0 5 3 x . 故存在点 533 , 39 P 或 533 , 39 P 满足条件. 22 （1）如图所示： （理数）第 14 页 共 16 页 设弧AB上任意一点 1, M 因为 ABCD 是边长为 2 的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为 1， 所以 1 3 2sin , 44 所以 1 C的极坐标方程为 1 3 2sin , 44 ； 同理可得： 2 C的极坐标方程为 2 35 2cos , 44 ； 3 C的极坐标方程为 3 57 2sin , 44 ； 4 C的极坐标方程为 4 2cos，0 4 （或 7 2 4 ） （2）因为直线l的参数方程为 2 2 xt yt 所
23、以消去 t 得22yx，过定点P2,2， 1 C直角坐标方程为 2 2 11xy 如图所示： （理数）第 15 页 共 16 页 1 3 PQ k 因为直线l与曲线 1 C有两个不同交点,M N， 所以 1 0 3 因为直线l的标准参数方程为 2 2 1 2 1 2 1 xt yt ，代入 1 C直角坐标方程 2 2 11xy 得 2 2 42 40 1 tt 1212 2 42 ,4 1 ttt t 2 2 1212 2 12 42 1 ttPttMPNtt 2 22 2 2 244 54 1 121 1 2 2 255 令 13 1 , ) 27 2 所以 2 12110 1 5, ) 25549 4 m 所以 7 10 (4, 5 PMPN 所以PMPN的取值范围是 7 10 (4, 5 23 （理数）第 16 页 共 16 页 （1） 121222 ()()33232 2 aba b ab ababbab a ，当且仅当“ 2ba ”时取等 号， 故 12 ab 的最小值为3 2 2 ； （2） 2222 22 2 2 22225 2 412 4 (2 ) 1 221 555 55 abbabbabbabb bbab bb abb a a ， 当且仅当 15 , 22 ab时取等号，此时1ab 故 22 25 12 abb ab
