1、14 4 截面图形的几何性质截面图形的几何性质24 4 截面图形的几何性质截面图形的几何性质4.1 4.1 截面的静矩与形心截面的静矩与形心4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积4.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式4.4 4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式4.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩34.1 4.1 截面的静矩与形心截面的静矩与形心1 1、静矩、静矩yzOCdAyyCzCz任意平面图形任意平面图形 A （例如杆的横截面）（例如杆的横截面）建立建立 yz 坐标系（坐标系（x轴为杆的轴线）轴为杆的轴线）平面图形的形心平面图形的形心
2、C(yc,zc)图形对图形对 y 轴的轴的AyzdAS图形对图形对 z 轴的轴的AzydAS 静矩的单位：静矩的单位：m3,cm3,mm34ASAydAyzACASAzdAzyAC，静矩的性质静矩的性质（1）静矩与轴有关，可正可负可为零。）静矩与轴有关，可正可负可为零。（2）若）若yC,zC坐标轴过形心，则有坐标轴过形心，则有0CyS0CzS（3）组合图形静矩可分块计算求代数和）组合图形静矩可分块计算求代数和221121CCzzzyAyASSS（4 4）求形心）求形心AyAyAASyCCzC2211AzAzAASzCCyC2211A2c2A1c12 2、形心的位置、形心的位置4.1 4.1 截
3、面的静矩与形心截面的静矩与形心5例例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。轴的静矩。yzb(y)byhOdy解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，)()(yhhbyb易求yyhhbAd)(d 因此所以对所以对 x 轴的静矩为轴的静矩为6d)(d20bhyyyhhbAyShAx4.1 4.1 截面的静矩与形心截面的静矩与形心6例例2 试计算图示试计算图示T型截面的形心位置。型截面的形心位置。解：解：zC=0，只需计算，只需计算yCCCzyyCzCCCzzCyy60206020将截面分为将截面分为I、II两个矩形，建立如两个矩形，建
4、立如图所示坐标系。图所示坐标系。各矩形的面积和形心坐标如下：各矩形的面积和形心坐标如下：220mm60mm=1200mmAA10mmCy50mmCy22221200mm10mm+1200mm50mm30mm1200mm1200mmiiCCCCiA yA yA yyAAA于是：于是：4.1 4.1 截面的静矩与形心截面的静矩与形心74.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积1 1、惯性矩、惯性矩yOzdAyz图形对图形对 y，z 轴的轴的 AydAzI2AzdAyI2惯性矩的单位：惯性矩的单位：m4,cm4,mm484.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积yOzdAyz图形对原点的图形对原
5、点的 yzAApIIdAzydAI)(222图形对图形对z轴和轴和y轴轴 ZzIiAyyIiA9例例3 3 试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z z和和y y的惯性矩的惯性矩I Iz z和和I Iy y，及其惯性积，及其惯性积I Iyzyz。zdzydyyzbhO解：取平行于解：取平行于z z轴的狭长条作为面积元素，轴的狭长条作为面积元素，则则 ddAb y32222dd12hhzAbhIyAbyy同理同理 32222dd12bbyAb hIzAhzz因为因为z z轴（或轴（或y y轴）为对称轴，故惯性积轴）为对称轴，故惯性积 0yzI4.2
6、4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积10例例4 试计算图示圆形截面对试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩点的极惯性矩IP和对于其形心轴和对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩（即直径轴）的惯性矩Iy和和Iz。yzddO解：建立如图所示坐标系，取图示微元解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,d2 dA 4222P0d(2 d)32dAdIA 由于圆截面对任意方向的直径轴都是对称的，由于圆截面对任意方向的直径轴都是对称的，故故yzII4P264yzIdII所以所以4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积11矩形：矩形：hbyz圆形：圆形：yzd123bhIz123hbIy644dIIyz324dIp
7、z空心圆形：空心圆形：ydD)1(64644444DdDIIzy)1(3244DIpDd4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积122 2、惯性积、惯性积整个截面对于整个截面对于z、y两坐标轴的两坐标轴的 dyzAIyz AyOzdAyz（1）惯性积与轴有关，可正可负可）惯性积与轴有关，可正可负可为零。为零。（2）若）若 y,z 轴有一为图形的对称轴，轴有一为图形的对称轴，则则 Iyz=0。性质性质4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积13 已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩 及惯性积 ，现需导出该截面对于与形心轴xC，yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix
8、，Iy和惯性积Ixy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为CCyxII，CCyxI。和aybx1 1、平行移轴公式、平行移轴公式4.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式144.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为ayybxxCC ，于是有AaSaIAaAyaAyAayAyICCxxAACACACAx222222 dd2dddAaIICxx2注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 等于零，从而有CxS154.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式同理可得 以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴
9、公式时要特别注意。AbIICyy2abAIICCyxxyAaIICxx2164.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式2 2、组合截面的惯性矩及惯性积、组合截面的惯性矩及惯性积 若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为nixyixyniyiynixixIIIIII111 ，y2 y1yx bd1 hOd2x174.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式 例例5 试求图试求图a所示截面对所示截面对于于x轴的惯性矩轴的惯性矩Ix，对于，对于y轴轴的惯性矩的惯性矩Iy，以及对于，以及对于x，y轴的惯性积轴的惯性积Ixy。(a)184.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式
10、解：解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图组成，半圆形的形心位置如图b所示。所示。212xxxIII(1)求求Ix 设矩形对设矩形对x轴的惯性矩为轴的惯性矩为 ，每个半圆形对，每个半圆形对x轴的惯性矩为轴的惯性矩为 ，则有，则有1xI2xI其中：其中：4433mm10333512mm200mm801221adIx194.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式83212883222422dddddIIxxC 至于至于 则需先求出半圆形对其自身则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得得 ，而
11、半圆形对于，而半圆形对于直径轴直径轴x x(图图b)b)的惯性矩等于圆形对的惯性矩等于圆形对x x 轴轴的惯性矩的惯性矩 的一半，于是得的一半，于是得83222ddIICxx644d2xI20然后再利用平行移轴公式求半圆形对然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：轴的惯性矩：将将 d=80 mm，a=100 mm 代入后得代入后得从而得图从而得图a所示截面对所示截面对x轴的惯性矩：轴的惯性矩：832832128 83222224222ddadddddaIICxx44mm1046732xI44mm1027012221xxxIII4.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式21（2）求惯性矩求惯
12、性矩 Iy 此组合截面的此组合截面的y轴就是矩形和半圆形轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式而的形心轴，故不必应用平行轴公式而有有将将 d=80 mm，a=100 mm 代入后得代入后得128212224321ddaIIIyyy44mm100541yI4.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式22（3）求求 惯性积惯性积 Ixy 由由 可知，只要可知，只要x 轴或轴或y 轴为截面的对称轴，则由于轴为截面的对称轴，则由于与该轴对称的任何两个面积元素与该轴对称的任何两个面积元素dA的惯性积的惯性积 xydA 数值相等而正负数值相等而正负号相反，致使整个截面的惯性积必号相反，致使整个截面的
13、惯性积必定等于零。图定等于零。图a所示截面的所示截面的x 轴和轴和y 轴都是对称轴，当然轴都是对称轴，当然 Ixy=0。AxyAxyId4.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式234.4 4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O旋转 角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩 ,和惯性积 。1xI1yI11yxI24由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标的关系为 sincossincos11xyEBADACyyxBDOEOCx于是有Ax
14、yAyIAAxd)sincos(d2211AAAAxyAxAydcossin2dsindcos22222sinsincos22xyyxIII4.4 4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式25利用三角函数),2cos1(21cos)2cos1(21sin22和由上式得2sin2cos221xyyxyxxIIIIII（a）同理，根据AyxAxIAAyd)sincos(d2211AxyyxAyxIAAyx)dsincos()sincos(d1111有2sin2cos221xyyxyxyIIIIII（b）2cos2sin211xyyxyxIIII（c）式(a),(b),(c)就是惯性
15、矩和惯性积的转轴公式。4.4 4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式261.截面对于任何轴的惯性矩是否总是正值？截面对于相互垂直的一对轴的惯性积是否可能是负值？AyxAIAAd)(d222p思考思考:2.将惯性矩的转轴公式(a)和(b)相加可得到什么结论？这又意味着什么？3.试利用 从基本概念上论证(2)中的问题。4.4 4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式27002cos2sin20000 xyyxyxIIII有yxxyIII22tan0 截面对于通过任意点O的主惯性轴x0，y0的方向角 ，只需利用惯性积的转轴公式令 便可导出。由000yxI4.5 4.
16、5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩282202004)(22tan12tan2sinxyyxxyIIII以此代入惯性矩的转轴公式即得主惯性矩的计算公式：,4)(212220 xyyxyxxIIIIII224)(2120 xyyxyxyIIIIII根据上式利用三角函数关系将 和 写为02cos02sin220204)(2tan112cosxyyxyxIIIII4.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩292cos2sin211xyyxyxIIII（c）与7-2中关于平面应力状态下求 斜截面上正应力和切应力的公式完全相似：2sin2cos22xyxyx2co
17、s2sin2xyx注意到惯性矩的转轴公式(a)和惯性积的转轴公式(c):2sin2cos221xyyxyxxIIIIII（a）4.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩30(Ix,Ixy)Ix0IxyIx,Iy(-)(Iy,-Ixy)(Ix1,Ix1y1)Iy0202 由惯性圆显然可见，主惯性矩 和 就是截面对于通过同一点的所有轴的惯性矩中的极大值Imax和极小值Imin。0 xI0yI1xI1yI而惯性矩转轴公式(b)所示 的表达式实际上只需在 的表达式(a)中以(+90)代替 即得，这与求 +90也完全相似。因此惯性矩和惯性积的转轴公式也可用与应力圆类似的一个圆惯性圆
18、来表达。上述计算主惯性轴方向角和主惯性矩值的公式也就可根据惯性圆上的几何关系来记忆。4.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩31在确定截面的形心主惯性轴位置和计算形心主惯性矩时，须先确定截面的形心C的位置，并取一对通过形心而相互垂直的轴xC ,yC作为参考轴，计算出 ，然后求主惯性轴的方向角0和主惯性矩 和 。CxICyI0CxI0CyICCyxIxCyCCxC0yC0004.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩321.试根据惯性积的转轴公式判断是否任何形心轴都是形心主惯性轴？思考思考:对于正方形截面:2.试根据惯性矩的转轴公式判断截面对于任何形
19、心轴的惯性矩的值是否都是相等的？4.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩33 例例6 试确定图示不等边试确定图示不等边L形截面的形心主惯性轴的方向，并形截面的形心主惯性轴的方向，并计算截面的形心主惯性矩。截面形心计算截面的形心主惯性矩。截面形心C的位置已示于图中。的位置已示于图中。4.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩34矩形矩形的形心在参考坐标系的形心在参考坐标系xC,yC中的坐标为中的坐标为 a=15 mm,bI=20 mm矩形矩形的形心在参考坐标系的形心在参考坐标系中的坐标为中的坐标为 a=-25 mm,b=-35 mm 解：解：1.取与
20、截面周边平行的形心轴取与截面周边平行的形心轴xC，yC作为参考轴。将作为参考轴。将截面分为截面分为，两个矩形两个矩形(如图所示如图所示)A=1 200 mm2,A=700 mm24.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩3544223223mm104.100)mm25(mm70012)mm70(mm10)mm15(mm200112)mm10(mm120CCCxxxIII2.利用平行移轴公式求截面的利用平行移轴公式求截面的 ,和和CxICCyxICyI4.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩364422mm103.97)mm35)(mm25(mm70
21、00)mm20()mm15(mm12000CCCCCCyxyxyxIII由于通过矩形由于通过矩形和和各自形心而平行于各自形心而平行于xC，yC的轴是它们各自的轴是它们各自的对称轴，故上式在计算中每一矩形对于其一对相互垂直的形的对称轴，故上式在计算中每一矩形对于其一对相互垂直的形心轴的惯性积为零。心轴的惯性积为零。44223223mm104.278)mm35(mm70012)mm10(mm70)mm20(mm120012)mm120(mm10CCCyyyIII4.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩373.确定截面的形心主惯性轴确定截面的形心主惯性轴 xC0，yC0 的方
22、向的方向093.1mm104.278mm104.100)mm103.97(222tan4444440CCCCyxyxIII 从所示惯性圆可见，从所示惯性圆可见，2ao180,且为逆时针转向，于是由且为逆时针转向，于是由tan2a0=1.093 和和 2a0=180+47.6=227.6，而，而a0=113.8。图。图中据此示出了形心主轴中据此示出了形心主轴 xC0 和和 yC0。IxC0IxyIx,Iy(IxC,IxCyC)(IyC,-IxCyC)IyC0204.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩384.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩39
23、4.4.该截面的形心主惯性矩为该截面的形心主惯性矩为4424424444444422maxmm10321)mm103.97(4)mm104.278mm104.100(212mm104.278mm104.1004)(2120CCCCCCCyxyxyxxIIIIIII4422minmm104.574)(2120CCCCCCCyxyxyxyIIIIIII4.5 4.5 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩40小结小结1 1、静矩、静矩AyAzzdASydAS,2 2、形心、形心ASzASyyCzC,3 3、惯性矩、惯性矩AyAzdAzIdAyI22,4 4、惯性积、惯性积AzyzydAI415 5、平行移轴公式、平行移轴公式abAIIAbIIAaIICCCCyzxyyyzz226 6、转轴公式、转轴公式2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII
