1、2023年2月14日星期二第六讲第六讲 数学与金融数学与金融引言金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展的前沿课题及前景。的前沿课题及前景。简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问简单地说，金融数
2、学就是用数学的方法解决金融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖工作为基础的。工作为基础的。1990年诺贝尔经济奖授予年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz，W.Sharpe 和和M.Miller，奖励他们在金融经济奖励他们在金融经济学中的先驱工作学中的先驱工作H.Markowitz 的投资组合理论、的投资组合理论、W.Sharpe的的 资本资产定价理论资本资产定
3、价理论M.Miller 的公司财务理论。的公司财务理论。诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（1）注H.H.Markowitz Markowitz 在资产组合在资产组合选择一文中，第一次从风选择一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间险资产的收益率和风险之间的关系出发，讨论了不确定的关系出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的经济环境中最优资产组合的选择问题。选择问题。其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清资组合的期望回
4、报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。W.Sharpe W.Sharpe 的资本资产定价理论，的资本资产定价理论，在较强的市场假设下，给出了在较强的市场假设下，给出了Markowitz Markowitz 均值方差模型的均均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型。衡版本，即资本资产定价模型。（CAPMCAPM）22 其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件下金融决策的规范分析，以及资本市场理
5、论方面关于下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进一步发展为著名的克维茨的分析方法进一步发展为著名的资本资产定资本资产定价模型价模型，用来说明在金融市场上如何建立反映风险，用来说明在金融市场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价格。和潜在收益有价证券价格。M.MillerM.Miller的公司财务理论（的公司财务理论（19581958）主要研究资本结构与其企业市场主要研究资本结构与其企业市场价值的关系。价值的关系。MillerMiller在资本在资本成本、公司理财和投资理论论成本
6、、公司理财和投资理论论文中证明，在一定假设下，企业文中证明，在一定假设下，企业的市场价值与其资本结构无关。的市场价值与其资本结构无关。传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起了广泛的争议。从了广泛的争议。从50年代末到年代末到60年代末，经过一轮唇年代末，经过一轮唇枪舌战的辩论之后，枪舌战的辩论之后，Miller的公司财务理论开始盛行的公司财务理论开始盛行于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。1997年
7、诺贝尔经济奖授予年诺贝尔经济奖授予R.Merton和和M.Schole,以奖励他们和以奖励他们和F.Black在确定在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关于期权定价的著名的于期权定价的著名的Black-Sholes公式。公式。诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（2）注 19731973年，年，M.M.ScholesScholes与已故的经济与已故的经济学家学家F.BlackF.Black发表期权定价和公发表期权定价和公司债务一文，给出了期权定价的司债务一文，给出了期权定价的Black-Sholes公式。公式。指出指出期权价期权价格仅依赖于股票价格的波动量
8、、无格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执行价风险利率、期权到期时间、执行价格、股票时价格、股票时价.其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。注1973年年R.Merton在经济和管理在经济和管
9、理科学杂志上发表了理性期权定科学杂志上发表了理性期权定价理论的文章，对价理论的文章，对Black-Sholes公式的假定条件做了进一公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面都对步削弱，在许多重要方面都对Black-Sholes的研究做了推广的研究做了推广 Merton对对Black-Sholes原用的分析方法进行了原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格这样推导出格跳到另一个价格而不经历其间的价
10、格这样推导出的公式更加现实的公式更加现实注2003年度诺贝尔经济学奖授予年度诺贝尔经济学奖授予Robert F.Engle和和 Clive Granger。令令Engle 摘取桂冠的是他于摘取桂冠的是他于1982年提出年提出的的ARCH模型。模型。Granger因为时间序列的协整分析方法而因为时间序列的协整分析方法而获奖获奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率他的贡献将用于研究财富与消费、汇率与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（3）对收益率的建模研究一直在计对收益率的建模研究一直在计量经济学中占据很重要的位置。
11、显量经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的刻画是比较容易的然对于一阶矩的刻画是比较容易的,所以人们将注意力都放在了对二阶所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上矩的建模上,也就是对收益率波动也就是对收益率波动的计量建模。为了寻求对股票市场的计量建模。为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和价格波动行为更为准确的描述和分析方法分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中许多金融学家尝试了不同的模型。其中,Engle于于1982年提出的年提出的ARCH模型模型,被认为是最集中被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的
12、模型。列分析的模型。20世纪世纪70年代以前计量经济学的建模年代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳这一假设条方法都是以经济变量平稳这一假设条件为基础。但在实际中件为基础。但在实际中,许多经济指标许多经济指标的时间序列都是非平稳的的时间序列都是非平稳的,并不具有固并不具有固定的期望值定的期望值,并且呈现出明显的趋势性并且呈现出明显的趋势性和周期性。经济变量表现出的非平稳和周期性。经济变量表现出的非平稳性使传统建模遇到了前所未有的困难。性使传统建模遇到了前所未有的困难。格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡关系格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡关系,但若干个非平稳经
13、济时间序列的某种线性组合却有可能是平但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整,是指多个非是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前,协整分析已成协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。本文主要介绍v投资组合理论投资组合理论vRoss套利定价理论套利定价理论v衍生证券的定价理论衍生证券的定价理论二杈树模型二杈树模型Black-Sholes模型模型vARCH模型及其应用模型及其应用
14、v利率期限结构理论利率期限结构理论v公司资本结构公司资本结构 v保险精算学简介保险精算学简介1.投资组合理论简介在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投资组合。资组合。证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形是一种证券的
15、平均收益越大，风险也越大，因而最优是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期望收益率望收益率，选择资产组合使其总风险最小。，选择资产组合使其总风险最小。2.资本资产定价模型资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPM）是在理想的资本市场是在理想的资本市场中中,根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是(Sharp-Lintner-Monssin)假设市场上可以获得无假设市场上可以获得无风险资产，当市场达到均衡时，任意资产的超额收益风险资产，当市场达到均衡时，任意
16、资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即有关系式有关系式)()(rXErXEMM 其中其中)(),(MMMXVarXXCov称为资产称为资产X的市场的市场beta系数系数,表示资产表示资产X所面临的风险系数。所面临的风险系数。注3.Ross 套利定价理论（APT）在金融理论中，确定风险资产合理价值主要有两种在金融理论中，确定风险资产合理价值主要有两种方法。一种是基于竞争均衡理论的定价方法，如上方法。一种是基于竞争均衡理论的定价方法，如上节的节的CAPM，认为资产的合理价格由所谓的认为资产的合理价格由所谓的“内在内在源源”，也就是
17、资产市场中现有的所有资产所共同确，也就是资产市场中现有的所有资产所共同确定；另一种是基于一般套利定价理论的定价方法定；另一种是基于一般套利定价理论的定价方法（GAPT），），如本节将要介绍的如本节将要介绍的Ross套利定价理论套利定价理论（APT）认为资产的合理价格由所谓的认为资产的合理价格由所谓的“外在源外在源”，也就是资本市场的其他因素所确定。也就是资本市场的其他因素所确定。基于上述思想，被誉为美国基于上述思想，被誉为美国“金融神童金融神童”的的Ross在在1976年年Journal of Economic Theory上发表的上发表的Arbitrage Theory of Capital
18、 Assert Pricing一一文中十分武断地指出：任何资产的价格可以表示为一些文中十分武断地指出：任何资产的价格可以表示为一些“共同因素共同因素”的线性组合。这些的线性组合。这些“共同因素共同因素”可以是通可以是通货膨胀率，人口出生率，工业增长指数，证券市场综合货膨胀率，人口出生率，工业增长指数，证券市场综合指数，外汇汇率等等各种因素，然后利用套利定价方法指数，外汇汇率等等各种因素，然后利用套利定价方法给出了资产收益率的一般表达式。给出了资产收益率的一般表达式。注5.Black-Sholes模型当考虑股票价格随时间连续变动情形时，当考虑股票价格随时间连续变动情形时，Black-Schole
19、s给出了市场的如下描述：给出了市场的如下描述：仅考虑一个简单的证券市场。市场中仅有一种债仅考虑一个简单的证券市场。市场中仅有一种债券和一种股票。设债券在券和一种股票。设债券在t t时刻的价格时刻的价格P P0 0(t)(t)，股票股票在在t t时刻的价格时刻的价格P(t).P(t).满足方程：满足方程：pPpPTttdBtPdttbPtdPTtdttrPtdP)0()0(,0)()()()(,0)()(,0000衍生证券定价问题的进一步研究方向v放宽理想市场假设（如有卖空限制，交易费等）放宽理想市场假设（如有卖空限制，交易费等）v对新型衍生证券进行定价对新型衍生证券进行定价v模型改进（如随机利
20、率，随机波动率，跳过程等）模型改进（如随机利率，随机波动率，跳过程等）v不完备市场模型不完备市场模型期权定价技术的应用 期权定价理论虽然源于对金融期权的估值，但其期权定价理论虽然源于对金融期权的估值，但其主旨为降低不确定性所必须付出的成本问题，而主旨为降低不确定性所必须付出的成本问题，而不确定性是所有经济活动的本质特征。这决定了不确定性是所有经济活动的本质特征。这决定了期权定价技术期权定价技术(以下简称以下简称0PT)的应用绝不仅仅局限的应用绝不仅仅局限于对以金融资产为标的资产的期权。许多现实问于对以金融资产为标的资产的期权。许多现实问题在分析的过程中常常可以把核心问题归结为期题在分析的过程中
21、常常可以把核心问题归结为期权定价问题来处理，即归结为确定期权价值的权定价问题来处理，即归结为确定期权价值的5个个因素：执行价格、现货价格、到期时间、波动率因素：执行价格、现货价格、到期时间、波动率和无风险利率的分析计算。和无风险利率的分析计算。注目前期权定价理论主要应用于目前期权定价理论主要应用于1 1金融衍生证券的定价金融衍生证券的定价 2 2保险合同的定价保险合同的定价 3 3政府政策与行为政府政策与行为 4 4个人家庭决策个人家庭决策 5 5投资决策投资决策 6 ARCH模型及其应用在计量经济学中在计量经济学中,收益率的建模研究一直具有收益率的建模研究一直具有很重要的地位。很重要的地位。
22、经典资本市场理论在描述股票市场收益率变经典资本市场理论在描述股票市场收益率变化时化时,所采用的计量模型一般都假定收益率方差保所采用的计量模型一般都假定收益率方差保持不变。这一模型运用简便持不变。这一模型运用简便,常用来预测和估算股常用来预测和估算股票价格。但对金融数据的大量实证研究表明票价格。但对金融数据的大量实证研究表明,有些有些假设不甚合理。一些金融时间序列常常会出现某一假设不甚合理。一些金融时间序列常常会出现某一特征的值成群出现的现象。特征的值成群出现的现象。注7 利率期限结构理论 在社会经济生活中一部分人通过储蓄或购在社会经济生活中一部分人通过储蓄或购买债券来保存多余的资金，而部分家庭
23、和厂商买债券来保存多余的资金，而部分家庭和厂商也可以通过贷款获得资金。资金的提供不是无也可以通过贷款获得资金。资金的提供不是无偿的，利息就是借入资金的个体为了在一段时偿的，利息就是借入资金的个体为了在一段时间里使用资金而必须支付给资金出借人的补偿。间里使用资金而必须支付给资金出借人的补偿。显然利息与投资本金和储蓄时间有关；利息与显然利息与投资本金和储蓄时间有关；利息与期初投资本金的比值称为该时期的利率。不同期初投资本金的比值称为该时期的利率。不同时期投资可能利率不同。利率的期限结构理论时期投资可能利率不同。利率的期限结构理论主要研究随机波动利率与（较长）时期的对应主要研究随机波动利率与（较长）
24、时期的对应关系。关系。注经济学家认为，在决定利率期限结构过程中，投经济学家认为，在决定利率期限结构过程中，投资者对未来变动的预期是致关重要的。然而，投资者对未来变动的预期是致关重要的。然而，投资者对自己是否既有十分准确地分析未来变动的资者对自己是否既有十分准确地分析未来变动的能力是缺乏信心的。因此，一般情况下，假定投能力是缺乏信心的。因此，一般情况下，假定投资者对利率未来的变动满足一随机过程。比较常资者对利率未来的变动满足一随机过程。比较常用的模型有用的模型有Cox-Ingersoll-Ross模型，模型，Hull-White-Vasicek模型。模型。由于利率期限结构理论涉及到由于利率期限结
25、构理论涉及到“利息理论利息理论”的许的许多概念和多概念和“合理预期理论合理预期理论”的思想，这里不再深的思想，这里不再深入介绍。入介绍。8 公司资本结构理论公司财务管理在西方经济理论体系中是金融理论中的公司财务管理在西方经济理论体系中是金融理论中的一个组成部分。它是专门研究企业如何进行财务决策，一个组成部分。它是专门研究企业如何进行财务决策，包括筹资、投资及股息分配政策，以实现企业价值或包括筹资、投资及股息分配政策，以实现企业价值或企业财富最大化的一门科学。企业财富最大化的一门科学。该理论的研究重点集中在两个方面：该理论的研究重点集中在两个方面：1。公司最佳资本结构的组合。即探讨企业在投资时，
26、。公司最佳资本结构的组合。即探讨企业在投资时，应怎样选择使企业资金成本最低的资产组合，包括负应怎样选择使企业资金成本最低的资产组合，包括负债与股票，短期负债与长期负债；债与股票，短期负债与长期负债；2。研究公司的最佳资产组合，即公司在制定投资政。研究公司的最佳资产组合，即公司在制定投资政策时，如何使企业在风险既定下，取得最大的投资收策时，如何使企业在风险既定下，取得最大的投资收益率。益率。注设市场满足如下完美条件：设市场满足如下完美条件：1.公司处于没有税收的经济环境之中；公司处于没有税收的经济环境之中；2.公司的股息政策与企业价值无关；公司的股息政策与企业价值无关；3.公司发行新债务时，不会
27、对公司已有债务的市公司发行新债务时，不会对公司已有债务的市场价值产生影响；场价值产生影响；4.公司没有破产成本；公司没有破产成本；5.资本市场高度完善，即资金可以充分流动，存资本市场高度完善，即资金可以充分流动，存在充分竞争机制，因此有同样预期收益率的证券在充分竞争机制，因此有同样预期收益率的证券有相同的价格，利率一致，存在充分信息。有相同的价格，利率一致，存在充分信息。MillerMiller证明了，在上述完美条件下，证明了，在上述完美条件下，企业的市场价值与其资本结构无关。企业的市场价值与其资本结构无关。注 由于由于Miller的定理是在一系列完美条件下推导的，的定理是在一系列完美条件下推
28、导的，此后二十年中，此后二十年中，Miller的公司财务理论在众多西方学的公司财务理论在众多西方学者的支持下，又在一些不完美条件下进行了拓展，到者的支持下，又在一些不完美条件下进行了拓展，到了了Miller于于1990年获得诺贝尔奖的时候，该理论已被年获得诺贝尔奖的时候，该理论已被视为现代理财理论的奠基之作。成为西方经济学、金视为现代理财理论的奠基之作。成为西方经济学、金融学和理财学课程的必修内容。融学和理财学课程的必修内容。9 保险精算学简介所谓精算学，实际上是将数学方法应用于金融保险所谓精算学，实际上是将数学方法应用于金融保险所形成的一套理论体系。包括利息理论，精算数学，所形成的一套理论体
29、系。包括利息理论，精算数学，风险理论，人口数学等。风险理论，人口数学等。在现代保险中，科学的理论和方法，特别是精确的在现代保险中，科学的理论和方法，特别是精确的定量计算起着十分重要的作用，保险业运营中的一定量计算起着十分重要的作用，保险业运营中的一些重要环节，如新险种的设计，保险费率和责任准些重要环节，如新险种的设计，保险费率和责任准备金的计算，分保额的确定，养老金等社会保障计备金的计算，分保额的确定，养老金等社会保障计划的制定等等，都需要由精算师依据精算学原理来划的制定等等，都需要由精算师依据精算学原理来分析和处理。分析和处理。有鉴于此，许多发达国家都以法律形式规定，有鉴于此，许多发达国家都
30、以法律形式规定，保险公司的营业报告必须由精算师签字方为有保险公司的营业报告必须由精算师签字方为有效。在美国，保险精算师的工作在华尔街一家效。在美国，保险精算师的工作在华尔街一家杂志的工作排名表中被排在第一或二位杂志的工作排名表中被排在第一或二位.一个一个通过北美精算师学会准会员通过北美精算师学会准会员(A.S.A)资格考试资格考试的毕业生，可获得年薪至少的毕业生，可获得年薪至少$45000的精算师的精算师工作。工作。密切相关的数学分支v概率论，随机过程，随机分析v常微分方程，差分方程，偏微分方程v线性代数，组合数学，图论v对策论，变分法与最优化理论，泛函分析v微分几何vv常常需要具有一定的编程能力
