1、1曲线和曲面上的积分曲面积分1.曲面上的测度2曲面积分 曲面表示和曲面上的测度 第一型曲面积分(质量)第二型曲面积分(流量)3曲面的映射观点定义 设a,bRk,:a,b Rn(nk+1)若连续,称S=(a,b)为 Rn中的连续超曲面 若具有一阶连续导数,且ta,b,(t)满秩,称S=(a,b)为 Rn中的k维光滑超曲面;若是单射,S=(a,b)为 Rn中的k维正则超曲面 若连续,且存在a,b可以分成m个内部不相交的闭区域Wj,Lj=(Wj)是k维光滑(正则)超曲面,称S=(a,b)为 Rn中的k维分片光滑(正则)超曲面4曲面的集合观点定义 设SRn,若存在:a,b Rk Rn,有S=(a,b)
2、若连续,就称S为Rn中的一个连续超曲面,称为S的一个表示 若光滑且导数点点不为零,就称S为Rn中的k维光滑超曲面,称为S的光滑表示 若光滑,单射且导数点点不为零,就称S为 Rn中的一条正则曲面,称为S的正则表示5同一超曲面可以有不同的表示 同一超曲面可以有不同表示：集合观点下的正则超曲面一定有非正则的表示;几何上正则的超曲面未必有正则表示;几何上非正则的超曲面一定没有正则表示 在下面的讨论中,我们总假设 连续,S是正则或分片正则超曲面,是其相应的表示 因此将对超曲面的两种观点统一6超曲面的分类 设:a,b Rn(n2),连续 若是单射,称L=(a,b)为Rn中的简单曲面 Rn中的闭超曲面：？R
3、n中的简单闭超曲面：不带边的紧流形 7超曲面的方向(定向)可定向曲面(双侧曲面)不可定向曲面(单侧曲面)8正则超曲面面积的定义 设a,bRk,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b),定义S的k维面积为其中上标T表示矩阵的转置,)()(detbaTdttftfS9对超曲面面积公式的说明 面积公式的推导 Rn中k维平行2k面体的体积计算 用切超平面块近似超曲面面积 n-1维超曲面的面积公式 由参数方程给出的曲面体积公式 由函数图像给出的曲面体积公式10 Rn中k维平行2k面体的体积 设E是由Rn中k个线性无关向量V1,V2,Vk所张成的平行2k面体,由Schmidt正交化方法得到与其等体
4、积的直角平行2k面体E0,张成E0的k个向量是a1,a2,.,ak两组向量间的关系 10*1,11kkVVaa11平行2k面体的体积(续1)体积公式:|E|=|E0|=|a1|a2|ak|也就是 也就是22221202kEEaaakTkTTEEaaaaaa2121202det12平行2k面体的体积(续2)由此就得到其中注意Vj都是列向量.VVETdet2kVVVV2113平行2k面体体积公式解释 Binet-Cauchy公式:设A=(aij)nk,B=(bij)nk,则 对这个公式的解释:Rn中的平行2k面体的体积的平方等于其在 Rn中所有k维坐标面中投影的平方和(一般勾股定理)kiiikii
5、ikiiiniikiiikiiikiiiTkkkkkkkbbbbbbbbbaaaaaaaaaBA21212112121212221111222111det14用切超平面块近似超曲面面积 设a,bRk,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b).下面按微元法给出超曲面的面积公式:任取a,b的一个分法W:W1,Wm.Sj=(Wj),j=1,m.取tjWj,用近似Sj的体积,然后求和-取极限就得到公式.jjTjtftfW)()(det15n-1维超曲面的面积公式(1)由参数方程给出的曲面体积公式:设a,bRn-1,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b).此时,习惯上有下面的记法其中e表示第i个元素标准基向量ei的列向量)(det)()(dettfetftfT16n-1维超曲面的面积公式(2)由函数图像给出的曲面体积公式:函数图像公式a,bRn-1,g:a,b R,(t)=(t,g(t),S=(a,b)2)(1)()(dettgtftfT17正则超曲面上的测度 设a,bRk,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b).ES,如果-1(E)是a,b的可测集,就说E是S的可测集,其测度定义为)(1)()(detEfTdttftfE
