1、13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题如图所示，八年级某班同学做游戏，在活动区域如图所示，八年级某班同学做游戏，在活动区域l l摆放了一排篮球，小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置摆放了一排篮球，小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的篮球，才能最快拿到球并跑到终点处？的篮球，才能最快拿到球并跑到终点处？情境导入情境导入你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？线段AB（连接AB，交直线l与点D，点D即为拾球的位置，原因是“两点之间,线段最短”.如图所示，八年级某班同学做游戏，在活动区域如图所示，八年级某
2、班同学做游戏，在活动区域l l摆放了一排篮球，小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置摆放了一排篮球，小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的篮球，才能最快拿到球并跑到终点处？的篮球，才能最快拿到球并跑到终点处？游戏变型游戏变型追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 知识探究知识探究BAl追问追问1对于问题对于问题2，如何，如何将点将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度的长度相等？相等
3、？知识探究知识探究问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlA追问追问2你能利用轴对称的你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B吗？吗？知识探究知识探究问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？BlA作法：作法：（1）作点）作点B 关于直
4、线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 知识探究知识探究问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlABC知识探究知识探究问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由
5、轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC知识探究知识探究问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC知识探究知识探究问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC证明：证明：在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC+BC，就说明，就说明AC+BC 最小最小 知识探究知识探究BlABCC追问追问1证明证
6、明AC+BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC+BC AC+BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？知识探究知识探究追问追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？BlABCC相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图
7、中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？BAl学以致用学以致用从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后饮马，然后淌水到淌水到B 地（要求淌水的距离最短）问到河边什么地地（要求淌水的距离最短）问到河边什么地方饮马并淌水可使他所走的路线全程最短？方饮马并淌水可使他所走的路线全程最短？BAl学以致用学以致用1.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假
8、设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）ABMNE作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E E，2.2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M,则点则点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。证明：由平移的性质，得证明：由平移的性质，得 BNEM BNEM 且且BN=EM,BN=EM,MN=CD,BD MN=CD,BDCE,BD=CE,CE,BD=CE,所以所以A.BA.B两地的距两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的
9、位置建在CDCD处，连接处，连接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则则ABAB两地的距离为：两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE,AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以桥的位置建在所以桥的位置建在CDCD处，处，ABAB两地的路程最短。两地的路程最短。ABMNECD归纳总结归纳总结1.将军饮马类问题解决的基本套路2.造桥选址问题获得了哪些经验3.解决
10、最短路径问题，常用的图形变换是什么？目的何在已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小一条直线上时，三角形的周长最小已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称的对称点点A，A；连接；连接A，A，分别交，分别交OM，ON于点于点B、点、点C，则点，则点B、点点C即为所求即为所求
