1、上海交通大学数学科学学院上海交通大学数学科学学院数学实验数学实验期权定价问题的期权定价问题的Black-Scholes方程和二叉树法方程和二叉树法 在世界大多数证券市场上在世界大多数证券市场上,有一种期权有一种期权实际问题实际问题(option)的交易的交易.例如例如,某种股票的现价为某种股票的现价为风险年利率风险年利率r=10%;若客户希望拥有在六个月即若客户希望拥有在六个月即 S=42美元美元,该股票的年波动率该股票的年波动率s=20%,市场的无市场的无的权利的权利,而届时他也可以放弃这种权利而届时他也可以放弃这种权利.试问试问:为为0.5年后以约定价格年后以约定价格X=40(美元美元)购
2、进这种股票购进这种股票拥有这种购买的选择权拥有这种购买的选择权,客户该付多少钱客户该付多少钱?换言换言之之,这种期权的价格为多少这种期权的价格为多少?背景知识背景知识衍生证券衍生证券 期权期权 (option)看跌期权看跌期权(put option)：卖出标的物：卖出标的物欧式欧式(European)期权；美式期权；美式(American)期权期权期权价格：一种未定权益的价格期权价格：一种未定权益的价格Black Scholes 方程方程约定价格约定价格 无风险利率无风险利率看涨期权看涨期权(call option)；购进标的物；购进标的物简单分析简单分析 股票的现价为股票的现价为S,由于股票
3、价格的波动率由于股票价格的波动率,到到Sd($37.8)显然前一情况客户会执行期权，后一情显然前一情况客户会执行期权，后一情单计单计,暂且假定涨跌幅均为暂且假定涨跌幅均为1010 ,则有则有u=1+10期时价格可能上扬为期时价格可能上扬为Su,也可能下跌为也可能下跌为Sd.为简为简=1.1，d =1-100.9Su($46.2)S($42)况会放弃期权况会放弃期权 在股票价格为在股票价格为$46.2时时,客户必定以敲定价格客户必定以敲定价格期权价格期权价格 在股票价格为在股票价格为$37.8 时时,客户必定放弃这约客户必定放弃这约 在期满日在期满日T 时时,期权价格为期权价格为 Vu (6.2
4、)反问题：由反问题：由VT 求求 V$40 购进股票购进股票.这时期权的价格应为这时期权的价格应为 Vu=Su-X=46.2-40=6.2(=46.2-40=6.2(美元美元)定的股票购买权定的股票购买权,这时期权的价格应为这时期权的价格应为 Vd=0(美元美元)VT =max(ST X,0)Vd (0)V?如何定价的思路如何定价的思路 基本思路是套期保值基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而即交易者为减少风险而组合的目的是使之不具有风险组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无从而可获得无VS)(VST其中其中rTe采取的采取的投资组合投资组合(portfolio)的策略的策略.假定现在套假
5、定现在套利者卖出一份股票期权利者卖出一份股票期权,价格为价格为V,再以价格再以价格S 买进买进a 份这种股票份这种股票,那么该组合的价格为那么该组合的价格为 风险利率，那么在期权期满日风险利率，那么在期权期满日,组合增值后价值为组合增值后价值为duTTTVSdVSuVS由于组合无风险，故由于组合无风险，故duVSdVSu)(duSVVduduTVduuVdud1duVduuVdudV将数据代入将数据代入 =e0.10.5,u=1.1,d=0.9,得到得到V=4.454时价格时价格股价上涨时股价上涨时股价下落时股价下落时另一方面，如前面分析，这组合在期权满日另一方面，如前面分析，这组合在期权满日
6、再作分析再作分析1duVduuVdudV公式dudp记记那么那么duup1 注意注意p 正是股票价格上扬的概率正是股票价格上扬的概率,1-p)1(1duVppVV是股票价格下跌的概率，于是是股票价格下跌的概率，于是这意味着可以由这意味着可以由Vu 和和 Vd 来导出来导出VVu (6.2)Vd (0)454.4)1(1duVppVVBlack Scholes 方程方程利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以02122222rVSVSrSVStV Black-Scholes 方程虽然影响巨大方程虽然影响巨大,但是它的但是它的对于欧式期权，这个方程可以求出解的公
7、式对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式导出导出数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和掌握掌握.尤其令人遗憾的是尤其令人遗憾的是:对于美式期权对于美式期权,由于方由于方程的定解问题更为复杂程的定解问题更为复杂,不可能求出解的表达式不可能求出解的表达式.二叉树二叉树 在简单分析中在简单分析中.有一个显然的问题有一个显然的问题,例子中例子中事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们 如前所述如前所述,股票预期收益率等于无风险利率股票预期收益率等于无风险利率SdppSuStr)1(e到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅到期满日
8、股价只有两种可能以及涨跌幅10的的假定都是很粗略的假定都是很粗略的将将T 分为很多小的时间间隔分为很多小的时间间隔Dt,而在每一个而在每一个Dt,股票价格变化由股票价格变化由S 到到Su或或Sd.若价格上扬的概率若价格上扬的概率为为p,那么下跌的概率为那么下跌的概率为1-p故有故有利用概率论的知识，可以导出利用概率论的知识，可以导出1udtuetdedudap)e(tra其中确定有关常数确定有关常数股票价格二叉树图股票价格二叉树图 Su4 Su3 Su2 Su2 Su Su S S S Sd Sd Sd2 Sd2 Sd3 Sd4这是一个这是一个 T=4 t 的二叉树图的二叉树图计算期权的价格计
9、算期权的价格 期权的预期收益率也应该等于无风险利率期权的预期收益率也应该等于无风险利率,dutrVppVV)1(e)1(edutrVppVV 期权的计算将从树图期权的计算将从树图故故VuVd的末端的末端(T 时刻时刻)开始向后开始向后倒推进行倒推进行.时刻时刻T 的期权价的期权价值是已知的值是已知的,可倒推出前可倒推出前一个时刻的期权价格一个时刻的期权价格 V计算的实例计算的实例 59.39 19.39 56.05 52.91 16.39 52.91 13.58 12.91 49.94 49.94 47.14 13.58 47.14 10.28 47.14 8.56 7.81 7.14 44.
10、49 44.49 44.49 42 6.51 42 6.71 42 4.83 42 4.83 4.04 3.16 2 39.64 39.64 39.64 2.79 37.42 2.02 37.42 1.11 37.42 1.27 0.61 0 35.32 35.32 0.34 33.34 0 33.34 0 0 31.47 0 29.70 0算得期权价格算得期权价格当当 t=1/12,得到得到 V=$4.83当然当然 t 越小，可得越精确的结果越小，可得越精确的结果利利用用 Matlab编制编制 m 文件后可以取文件后可以取t 充分小，例如充分小，例如取取 t=1/360,求得期权求得期权价格
11、价格$4.76function y=m14(n)t=1/n*0.5;sigma=0.2;r=0.1;S0=42;X=40;u=exp(sigma*sqrt(t);d=1/u;a=exp(r*t);p=(a-d)/(u-d);for i=0:n S(i+1)=S0*ui*d(n-i);V(i+1)=max(S(i+1)-X,0);endfor i=1:n for i=1:length(V)-1 Vn(i)=exp(-r*t)*(1-p)*V(i)+p*V(i+1);end V=Vn;Vn=;endy=V;Matlab程序程序美式期权的例子美式期权的例子 股票现价股票现价S50(美元美元),),该
12、股票的年波动率该股票的年波动率格格 X=50(美元美元),),美式看跌期权的有效期为五个美式看跌期权的有效期为五个为为 s=40%,市场的无风险年利率市场的无风险年利率 r=10%;敲定价敲定价月月,即即 T=0.4167(年年)意味着期权持有者有权在意味着期权持有者有权在五月内的任何一天执行期权五月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价即他可以用敲定价格出售股票给期权提供者格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃当然他也可以放弃这种权利这种权利.那么这种期权的定价应为多少那么这种期权的定价应为多少?有关数据有关数据 若将若将 T 分成五段分成五段,每段长度每段长度1 1个月个月,1224.1
13、e4.0tu8909.01ud,0084.1e1.0ta5076.0dudap则则 t 0.0833(年年),),利用已知数据可以求出利用已知数据可以求出用二叉树计算用二叉树计算 89.07 79.35 0 0 70.70 70.70 62.99 0 62.99 0 0.63 0 56.12 56.12 56.12 50 2.15 50 1.30 50 04.48 3.76 2.66 44.55 44.55 44.55 6.95 39.69 6.37 39.69 5.45 10.35 10.31 35.36 35.36 14.64 31.50 14.64 18.50 28.07 22.93注意第二行的数字 56.12 50 0 2.66 44.55 39.69 5.45 10.31 35.36 14.64)1(edutrVppVV（不提前执行时的期权价格）股票约定价格与当时价格的差（提前执行时的期权价格）比较之：应取较大的数字由 0和 5.45算出 2.66,差价为0，故取 2.66由5.45和14.64算出9.9,差价为10.31,故取 10.31 用前列相应两个数字和公式实验任务实验任务选择本实验必须至少完成选择本实验必须至少完成任务任务1 1、3 3谢谢各位！谢谢各位！
