1、机 器 人 学 导 论 第五章 静力和速度新疆大学机械工程学院第五章 速度和静力概述在本章中，我们将机器人操作臂的讨论扩展到静态位置问题以外。我们研究刚体线速度和角速度的表示方法并且运用这些概念去分析操作臂的运动。我们将讨论作用在刚体上的力，然后应用这些概念去研究操作臂静力学应用的问题。关于速度和静力的研究将得出一个称为操作臂雅克比的实矩阵实矩阵。矢量的导数 （5-1）位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空间一点的线速度。式5-1可以看出，可以通过计算Q相对于坐标系B的微分进行描述。左上标B是表明相对于坐标系B进行的微分像其他矢量一样速度矢量能在任意坐标系中描述，器参考坐标系用左上标注明，
2、如果在坐标系A中表示式（5-1）的速度矢量，可以写为给出速度表达式QdtdVBAQBAQBABQBAVRV 经常讨论的是一个坐标系元旦相对于某个常见的世界参考坐标系的速度，而不考虑任意坐标系中一般点的速度。对于这种情况定义一个缩写符号那么 是坐标系C的原点在坐标系A中表示的速度，尽管微分是相对于坐标系U进行的CORGUVCvCAvBABA角速度矢量角速度矢量用符号 表示。线速度描述了点的一种属性，角速度描述了刚体的一种属性。坐标系总是固连在刚体上，所以可以用角速度描述坐标系的旋转运动。图 5-2在图5-2中，描述了坐标系B相对于坐标系A的旋转。实际上 的方向就是B相对于A的瞬时旋转轴，的大小表
3、示旋转速度。角速度矢量同样可以在任意坐标中描述，例如，就是坐标系B相对于A的角速度在坐标系C中的描述。BABABAC在参考坐标系非常简单可用一种简化的表示方法 这里，为坐标系C相对于某个已知坐标系U的角速度。例如 就是坐标系C的角速度在坐标系A中的描述，尽管这个角速度是相对于坐标系U的。CUCCCA5.3刚体的线速度和角速度线速度线速度把坐标系固连在一刚体上，要求描述相对于坐标系A的运动 ,如图5-3所示。这里已经认为坐标系A是固定的。此时我们假定 不随时间变化。则Q点相对于坐标系A的运动是由于或 随时间的变化引起的。QBRABBORGAPQB角速度角速度我们讨论两坐标系的原点重合，相对线速度
4、为0的情况。(1)时 （5-10）(2)时 （5-11）QVABAQAQVVABAQBAQA0QBV0QBV线速度和角速度同时存在的情况线速度和角速度同时存在的情况 （5-13）这是把原点的线速度加到式（5-12）中，得到了从坐标系A观测坐标系B的普遍公式。5.4 对角速度的进一步研究前一节用几何方法证明了式(5-10)的有效性，这里将引入数学方法正交矩阵导数的性质我们可以推出正交矩阵和某一反对称矩阵的一种特殊关系。对于任何nn正交矩阵R，有 （5-14）当n=3，R为特征正交矩阵R，即旋转矩阵，对式（5-14）求导得nTIRRnTTTnTT)RR(RRRRRR00定义S为反对称矩阵，因此正交
5、矩阵的微分与反对称矩阵之间存在如下特性，可以写为n0TTSSRRS得到1RRS由于参考系旋转的点速度假定固定矢量 相对于坐标系B是不变的，在另一个坐标系A中的描述为由于坐标系B的旋转，代入 表达式，得将 代入有 (5-24)PBPRPBabAPRVPRPPAABABBABPBPRRV1ABPABAB1RRSPSVAPAAAB反对称阵和矢量积如果反对称阵S的各元素如下：(5-25)定义31的列矢量 (5-26)容易证明 (5-27)0-0-0SxyxxyxzyxPSP与式（5-24）联立可得PVABAPA5.5 机器人连杆的运动连杆间的速度传递操作臂是一个链式结构，每一个连杆的运动都与它的相邻连
6、杆有关。连杆i+1的速度就是连杆i的速度加上那些附加到关节i+1上的新的速度分量。如图5-6所示，连杆i+1的角速度就等于连杆i的角速度加上一个由于关节i+1的角速度引起的分量。参照坐标系i，上述关系可写成11111iiiiiiiiiZR图5-6111100iiiiZ其中在方程式5-43两边同时左乘 可以得到连杆i+1的角速度相对于坐标系i+1的表达式：Rii1111111iiiiiiiiiZR坐标系i+1原点的线速度等于坐标系i原点的线速度加上一个由于连杆i的角速度一起的新的分量。由于 在坐标系i中是常数，所以有，1iip1iiiiii1iipvv（5-46）两边同时左乘 得Rii11iii
7、iii11i1ipvvRii（5-47）从一个连杆到下一个连杆依次应用这些公式，可以计算出最后一个连杆的角速度 和线速度 ，注意，这两个公式是按照坐标系N表达的，如果用基坐标系来表达角速度和线速度的话，就可以用 去左乘速度，向基坐标系进行旋转变换。NNNNvRN0例5.3 图5-8所示是具有两个转动关节的操作臂.计算出操作臂末端的速度，将它表达成操作臂末端的函数。给出两种形式的解答，一种是用坐标系3表示，一种是用坐标系0表示。图5-8两连杆操作臂图5-9两连杆操作臂的坐标系布局首先将坐标系固连在连杆上，计算连杆变换如下100001000000111101csscT1000010000csl0s
8、cT2212212100001000010l001T223运用式（5-45）和式（5-47）从基坐标0依次计算出每个坐标系原点的速度，其中基坐标系的速度为0。21220011100000v110clsl0l01000cs0scv1211211122222222330clslv21212112133l（5-55）（5-54）（5-53）（5-52）（5-51）（5-50）式（5-55）即为答案。为了得到这些速度相对于基坐标的表达，用旋转矩阵 对它们作旋转变换，即R03100001212121223120103csscRRRR（5-56）通过这个变换可以得到0clclslsl-v211221112
9、112211130（5-57）5.7 雅克比雅克比矩阵是多元形式的导数。例如假设有6个函数，每个函数有6个独立变量：由多元函数求导法则得在任一瞬时，x都有一个确定的值，J(X)是一个线性变换。在每个新时刻，如果X改变，线性变换也随之而变。所以雅克比是时变的线性变换。在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来，比如 Jv00(5-64)式中是操作臂关节角矢量，v是笛卡尔速度矢量。在式中我们给雅克比表达式附加了左上标，以此来表示笛卡尔速度所参考的坐标系。对于通常的6关节机器人，雅克比矩阵是66阶矩阵，是61维的，也是61维的。这个61笛卡尔速度矢量是由一个31的线速度矢
10、量和一个31的角速度矢量组合起来的：v0 000(5-65)写出例5.3中的雅克比矩阵由例5.3的结果 式（5-55）可写出坐标系3的雅克比表达式式（5-57）可写出坐标系0的雅克比表达式 2221213llcl0slJ（5-66）（5-67）12212211122122113clclclsl-slsl-J雅克比矩阵参考坐标系的变换已知坐标系B中的雅克比矩阵，即我们关心的是给出雅克比矩阵在另一个坐标系A中的表达式。由于因此可以得到显然利用下列关系可以完成雅克比矩阵参考坐标系的变换：5.9 作用在操作臂上的静力操作臂的链式结构自然让我们想到力和力矩是如何从一个连杆向下一个连杆传递的。我们要做的是
11、求出保持系统静态平衡的关节扭矩。我们为相邻杆件所施加的力和力矩定义一下特殊符号：=连杆i-1施加在连杆i上的力 =连杆i-1施加在连杆i上的力矩。ifin建立连杆坐标系，图5-11为施加在连杆i上的静力和静力矩（重力除外）。将这些力相加并令其和为0，有图5-11单连杆的静力和静力矩的平衡关系将绕坐标系i原点的力矩相加，有如果我们从施加于手部的力和力矩的描述开始，从末端连杆到基座进行计算就可以计算出作用于每一个连杆上的力和力矩。将以上两式重新整理，以便从高序号连杆向低序号连杆进行迭代求解。结果如下用旋转矩阵进行变换得到最重要的连杆之间的静力“传递”表达式：除了绕关节轴的力矩外，力和力矩矢量的所有
12、分量都可由操作臂机构本身来平衡。因此，为了求出系统静平衡所需的关节力矩，应计算关节轴矢量和施加在连杆上的力矩矢量的点积：对于关节是移动关节的情况，可以计算出关节驱动力为式（5-80）到式（5-83）给出一种方法，可以计算静态作用下操作臂末端执行器施加力和力矩所需的关节力。例5.7在例5.3的两连杆操作臂，在末端执行器施加作用力矢量 （可以认为该力是作用在坐标系3的原点上）。按照位形和作用力的函数给出所需的关节力（见图5-12）。F3图5-12应用式（5-80）到式（5-82），从末端连杆开始向机器人的基座计算：于是有可将这个关系写成矩阵算子：5.10 力域中的雅可比功具有能量的单位，所以它在任
13、何广义坐标系下的测量值都相同。特别是在笛卡尔空间做的功应当等于关节空作的功式中F是一个作用在末端执行器上的61维笛卡尔力-力矩质量，是一个作用在末端执行器的61维无穷小笛卡尔位移矢量，是61维关节力矩矢量，是61维无穷小的关节位移矢量。式(5-91)也可写成雅克比矩阵的定义为因此可以写出对所有的，上式均成立，因此有对上式两边转置，可得式5-96从一般意义上证明了里5.6中两连杆操作臂的特殊情况：雅克比的转置将作用在手臂上的笛卡尔力映射成了等效关节力矩。当得到相对于坐标系0的雅克比矩阵后，可以由下式对坐标系0中的力矢量进行变换：注意，式（5-97）是一个非常有趣的关系式，它可将一个笛卡尔空间的两
14、变换为一个关节空间的两而无需计算任何运动学函数的逆解。速度和静力的笛卡尔变换根据61维的刚体广义速度表达式进行讨论：同样，考虑61维的广义力矢量表达式，即很自然的想到将这些量从一个坐标系映射到另一个坐标系。这里，用矩阵算子的形式写出式（5-45）和式（5-47），将坐标系A中的广义速度矢量变换为在坐标系B中的描述。这里涉及的两个坐标系之间的连接是刚性的，所以在式(5-45)中出现的 被置零1i式中叉乘又可看成是矩阵算子现在式（5-100）将一个坐标系的速度与两一个坐标系的速度联系起来，这个66算子被称为速速度变换矩阵度变换矩阵，用符号 表示，因此可将是（5-100）表示成紧凑的形式：已知B中的速度值，为了计算在A中的速度描述，可以对是（5-100）求逆：即vT同样，由式（5-80）和（5-81）可得66的矩阵，它可将在坐标系B中的广义力矢量变换成在坐标系A中的描述，即为可以写成紧凑形式式中 用来表示一个力力力矩变换力矩变换速度和力变换矩阵与雅克比矩阵相似，可把不同坐标系中的速度和力联系起来。参照雅克比矩阵，有fT
