1、第五章 弯曲应力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学在纵向对称面内受一对大小相等、方向相反的力偶作用的梁段称在纵向对称面内受一对大小相等、方向相反的力偶作用的梁段称为处于为处于纯弯曲纯弯曲状态。状态。可以看出可以看出,纯弯曲状态下任意横截面上的内力都等于该力偶纯弯曲状态下任意横截面上的内力都等于该力偶.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学纯弯曲纯弯曲只在常值弯矩作用下的梁段.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学横力弯曲横力弯曲剪力和弯矩同时存在的梁段.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学观察变形现象观察变形现象1.横向线仍保持直线.2.纵向线弯曲为曲线.3.纵向线仍与横向线相正交.4.
2、底部纵线伸长，顶部纵线缩短.5.纵线间距离保持不变.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学1)平面假设平面假设对于纯弯曲，各横截面变形后仍然保持为平面，且仍与对于纯弯曲，各横截面变形后仍然保持为平面，且仍与梁轴正交，只是横截面间做相对转动。梁轴正交，只是横截面间做相对转动。变形假设变形假设2)单向受力假设单向受力假设各纵向线只在其直线方向受力作用，各纵向线之间无各纵向线只在其直线方向受力作用，各纵向线之间无挤压或拉伸作用。挤压或拉伸作用。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学推论推论1.横截面上只存在正应力横截面上只存在正应力.(纵向线与横向线保持直角纵向线与横向线保持直角.)2.正应力分布不
3、是均匀的正应力分布不是均匀的.(纵向线中既有伸长也有缩短的纵向线中既有伸长也有缩短的.)第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学中性层和中性轴中性层和中性轴如图所示，当梁弯曲时，底部各纵向纤维伸长，顶部各纵向纤如图所示，当梁弯曲时，底部各纵向纤维伸长，顶部各纵向纤维缩短。底部拉伸且顶部压缩，梁的底部和顶部之间必有一个维缩短。底部拉伸且顶部压缩，梁的底部和顶部之间必有一个平面，其上各纵向纤维长度不变化，该平面被称为梁的平面，其上各纵向纤维长度不变化，该平面被称为梁的中性层中性层，中性层与各横截面的交线成为中性层与各横截面的交线成为中性轴中性轴。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 xydq q
4、qqqyyddd)(1xG HOOG HGHGHOO1变形前abcdGHOO1HO1abcdGOxy变形后 中性层中性层曲率半径曲率半径，与弯矩、截面几何性质及材料力学，与弯矩、截面几何性质及材料力学性质有关。性质有关。y距中性层的距离。距中性层的距离。1 变形几何关系变形几何关系第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学2 物理关系物理关系xxEyE x xxyMM(y)xyMM(y)xyMM(y)xyMM(y)第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学正应力的分布规律正应力的分布规律第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学3 静力等效关系静力等效关系 0dddzxAAAESEyEFAAy A 0 z
5、S 这表明：这表明：中性轴必定通过截面形心中性轴必定通过截面形心.yzAzAySd横截面对中性轴的横截面对中性轴的静矩静矩（或面积矩）（或面积矩）.0E由于，则必有 0dASAAyyzAC则 两个问题：两个问题：中性层位置？曲率半径中性层位置？曲率半径 =？第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学静力等效关系静力等效关系()0dddyAyzAAMA zEIEyzEAyz A 0yzI 横截面上无侧弯矩！横截面上无侧弯矩！yz由于由于y轴是对称轴，则必有轴是对称轴，则必有横截面对横截面对y轴、轴、z轴的轴的惯性积惯性积。AyzAyzId第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学静力等效关系静力等效关系
6、 22()dddzAAzAEyMA yAEIEyAM zzEIM1EIz 截面抗弯刚度截面抗弯刚度AyIAzd2截面对截面对Z Z轴的轴的惯性矩惯性矩yz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 maxmax/zzMMIyW xxEyExyzzEIM1联立方程联立方程最后可得最后可得 xzMyI 称为称为抗弯截面模量抗弯截面模量maxzzIWy yz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学弯曲正应力的分布弯曲正应力的分布maxmax maxmaxzzM yImaxmaxzzM yIyzyz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yzbh3212622zzbhIbhWhh3212622yyhbIhbW
7、bb43643222yzdIdWWWddzyd抗弯截面模量抗弯截面模量第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 Dd yzzcycCh1hbb1)1(633112maxbhhbbhyIWzz)1(633112maxhbbhhbzIWyyDdDyIWWWzyz)1(3243max第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学纯弯曲纯弯曲梁的受力段受剪力和弯矩同时作用，弯矩是横截面在梁轴上的位置函数。梁的纯弯曲段只受弯矩的作用，并且各横截面上弯矩相等。横力弯曲横力弯曲 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学这里，弯矩这里，弯矩M是截面位置是截面位置x的函数的函数。maxmax()()/zzM xM xIyW
8、xzM x yI（）对于足够长的等截面直梁，横力弯曲时横截面对于足够长的等截面直梁，横力弯曲时横截面上的正应力仍可按纯弯曲的正应力公式计算。上的正应力仍可按纯弯曲的正应力公式计算。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 zIyMmaxmaxmax解决三类问题解决三类问题(1)校核强度校核强度(2)设计截面尺寸设计截面尺寸(3)计算许用载荷计算许用载荷maxmax zMW zMW max zMW zWMmaxmax或或第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=50kN/mAB2m1m例例 5-1 T形截面梁受力及几何尺寸如图所示，已知截面对中性形截面梁受力及几何尺寸如图所示，已知截面对中性轴的惯
9、性矩轴的惯性矩Iz=2610cm4,（1）试求梁上的最大拉应力和最大压）试求梁上的最大拉应力和最大压应力，并指明产生于何处。（应力，并指明产生于何处。（2）若）若=160MPa，校核此梁的校核此梁的强度。强度。cyzy1=142mmy2=48mmRBRA(1)求支反力求支反力kN5.37ARkN5.112BR第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=50kN/mAB2m1mRARB(2)画弯矩图画弯矩图kN5.37ARkN5.112BRx137.562.55014.125m75.01xmkN1.14CMmkN25BM极值点弯矩：极值点弯矩：C点：点：B点：点：mkN25maxBMM最大弯矩：最
10、大弯矩：FQM(kN)(kN.m)CBCB第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学14.125M(kN.m)CBcyzy1=142mmy2=48mmzIyMmaxmaxmaxC截面截面B截面截面最大拉应力可能发生在最大拉应力可能发生在C截面的下边缘或截面的下边缘或B截面的上边缘截面的上边缘MPa7.76102610142101.14461maxzCIyMCMPa0.46102610481025462maxzBIyMB故最大拉应力为故最大拉应力为 ，发生在发生在C截面的下边缘截面的下边缘MPa7.76maxC(3)求最大应力求最大应力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学14.125M(kN.m)
11、CBcyzy1=142mmy2=48mmzIyMmaxmaxmaxC截面截面B截面截面最大压应力只可能发生在最大压应力只可能发生在B截面的下边缘截面的下边缘136MPa1026101421025461maxzBIyMB(4)强度校核强度校核 160MPaMPa7.76maxC 160MPa136MPamaxB满足强度要求。满足强度要求。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yxFQ+dFQMM+dMFQdx 1xyz 2 2t t1 1t tbxdx第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yxFQ+dFQMM+dMFQdx 1xyz 2 2t t1 1t
12、tbxdx211()0NNXFFb dxt 11ddzNAAzzMSMFAy AII 2(d)zNzMMSFI 1ddQzzzzF SSMx bIbIt 因为因为1()QzF SybIttt )4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yxFQ+dFQMM+dMFQdx 1xyz 2 2t t1 1t tbxdx1()QzF SybIttt )4(2)2(2222yhbyhbyhAySczmax31.52QFAtt 22()24QzFhyIt recFQ第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学AFQmax23tA第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学同理
13、QmaxfFAt 梁腹板面积.webFlangefA第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学AAFQmax34t同理第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学需进行弯曲切应力强度条件校核的情况：需进行弯曲切应力强度条件校核的情况：maxtt 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学解解:1)画出内力图，确定可能的危险截画出内力图，确定可能的危险截面面.max3600 3540022NQqLF Nm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mAL=3mxM82qLBxFQ2qL2qL第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=3.6kN/mAL=3mBxFQ2qL2qL2)计算最大应力并校核强
14、度.max5400NQF max4050NmM 7MPa6.25MPa 18.012.040506622maxmaxmaxbhMWMzmaxmax1.5 54001.50.12 0.18MPaMPa 0.3750.9QFAtt 梁是安全的.xM82qL第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=3.6kN/mAL=3mB3)计算 max/max 的比率.max5400NQF max4050NmM max6.25MPa=max0.375MPa=tmaxmaxmax216.73zQMALWFhtxFQ2qL2qLxM82qL第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学对弯曲梁的强度起主要影响的是正应力对弯
15、曲梁的强度起主要影响的是正应力.梁的弯曲正应力强度条件梁的弯曲正应力强度条件maxmax zMW因此提高弯曲梁强度的措施应是减小弯矩因此提高弯曲梁强度的措施应是减小弯矩M和提高和提高抗弯截面模量抗弯截面模量Wz。maxmaxmax1zMandW 显然显然第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学F/2l/2F/2l/4l/41.载荷及支座的合理配置载荷及支座的合理配置maxmax1zMandW 合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况FlMmax=Fl/4+Mmax=Fl/8+第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学maxmax1zMandW 合理安排梁的支撑位置合理安排梁的支撑位置q=F/ll+M
16、max=ql2/8=Fl/8l-2aaq=F/la本例中本例中a和和Mmax 的最合理的值是多少？的最合理的值是多少？+Fl/8-Fa/2Fa2/2lFa2/2l1.载荷及支座的合理配置载荷及支座的合理配置第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学例例 5-3 两端外伸梁如图所示，若已知钢材许用应力两端外伸梁如图所示，若已知钢材许用应力160MPa，试分别设计以下几种形状的截面尺寸和型号：（试分别设计以下几种形状的截面尺寸和型号：（1）矩形（）矩形（h/b=2）、）、（2）圆形、（）圆形、（3）工字钢、（）工字钢、（4）管形（）管形（D/d=2）、（）、（5）薄壁管）薄壁管（D/d=1.1），并比
17、较其经济性。），并比较其经济性。5kN.m15kN10kN/m0.5m0.5m0.5m0.5mAB2.梁的合理截面设计梁的合理截面设计maxmax1zMandW 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学5kN.m15kN10kN/m0.5m0.5m0.5m0.5m例例 5-3 160MPa，设计截面尺寸和型号：（，设计截面尺寸和型号：（1）矩形（）矩形（h/b=2）、）、（2）圆形、（）圆形、（3）工字钢、（）工字钢、（4）管形（）管形（D/d=2）、（）、（5）薄壁管）薄壁管（D/d=1.1）1 求支反力求支反力RARBAB2.5kN12.5kN17.5kN5kN5kN.m6.25kN.m1.
18、25kN.mFQMkN5.2ARkN5.22BR2 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图mkN25.6maxM第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 zWMmaxmax3 根据强度条件进行截面设计根据强度条件进行截面设计 maxMWzmkN25.6maxM63101601025.6)cm(39)m(1039336(1)矩形矩形（h/b=2）62bhWz123h)cm(393解得解得cm76.7hcm38.3b21cm12.30Ayzbh第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学(2)圆形圆形323dWz)cm(393cm35.7d22cm4.42A(3)工字钢工字钢查型钢表，选择查型钢表，选择No10
19、号工字钢号工字钢3cm49zW23cm3.14A(4)管形（管形（D/d=2）)1(3243DWz)cm(3935.0cm51.7D24cm2.33Acm76.3d(5)薄壁管（薄壁管（D/d=1.1）1.1/1cm78.10D24cm8.15Acm80.9dzydDd第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yzbhzyd21cm12.30A22cm4.42ADdDd23cm3.14A24cm2.33A24cm8.15A)cm(393zW第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yz2.梁的合理截面设计梁的合理截面设计提高提高WZ：尽可能使截面的面积分布得尽可能使截面的面积分布得远离中性层。远离中性
20、层。Dd第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学62bhWzyzbh对于矩形截面：对于矩形截面：增加高度减小宽度来提高增加高度减小宽度来提高WZ。R北宋李诫于北宋李诫于1100年著年著 营造法式营造法式 一书中指出一书中指出:矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比 (h/b =)=)1.5T.Young(英英)于于1807年著年著 自然哲学与机械技术讲义自然哲学与机械技术讲义 一书中指出一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为矩形木梁的合理高宽比为刚度最大。时强度最大时,3 ;,2bhbhbh第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 如果抗拉和抗压能力不同，如脆性材料，则应采用上下非如果抗拉和抗压能力
21、不同，如脆性材料，则应采用上下非对称截面对称截面.Czmaxmaxmaxmax 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学3.合理设计梁的外形合理设计梁的外形FM 变截面等强度设计变截面等强度设计.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学本章完本章完第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学2 惯性矩的计算惯性矩的计算量纲量纲:L4单位单位:m4 或或 mm4惯性矩的值恒为正惯性矩的值恒为正.平面图形关于平面图形关于z轴和轴和y轴的惯性矩定义：轴的惯性矩定义：关于关于z轴的惯性矩轴的惯性矩.关于关于y轴的惯性矩轴的惯性矩.AzAyId2AyAzId2ApAId2AAzy)d(22极惯性矩极惯性矩.yzI
22、I zyyzdAO第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学bhzcycCh/2ydydA12d32/2/2bhybyhh12dd32/2/22hbyhzAzIbbAyCAzAyICd2第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学DzcycCyzpIII324DIpyzII 644DIIyz)1(6444DIIyz)1(3244DIp第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩niizzII1)(niiyyII1)(zcycCh1hbb112123113hbbhICz12123113bhhbICy第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学abAbIICzz21AaIICyy21CzzII1CyyII1平行移轴公式平行移轴公式
