1、通过对临界压力公式的理论分析，通过对临界压力公式的理论分析，可得到：可得到：1 1、细长压杆应以细长压杆应以丧失稳定丧失稳定为其失效形式。为其失效形式。失稳失稳是一种完全不同于轴向压缩破坏的失效形式。是一种完全不同于轴向压缩破坏的失效形式。(与达与达.芬奇的方法比较芬奇的方法比较)上节课的结论：上节课的结论：2 2、欧拉公式欧拉公式已从理论上指明了提高临界压力的方法已从理论上指明了提高临界压力的方法:（3 3）用合金钢代替低碳钢并不能显著提高临界压力）用合金钢代替低碳钢并不能显著提高临界压力22LEIPcr（1 1）减小杆的长度）减小杆的长度L L（最有效的方法）（最有效的方法）（2 2）增加
2、横截面的尺寸，并尽可能地采用完全对称）增加横截面的尺寸，并尽可能地采用完全对称 的横截面形状和空心截面，以提高压杆的的横截面形状和空心截面，以提高压杆的minmin3 3、应当指出：应当指出：实际压杆的轴线不是理想直线。实际压杆的轴线不是理想直线。受压时不施加横向力也会发生弯曲。受压时不施加横向力也会发生弯曲。当当crcr 时，时，实际压杆一定失稳；实际压杆一定失稳；但但crcr 时，并不能保证实际压杆一定不失稳。时，并不能保证实际压杆一定不失稳。即使如此，我们毕竟对细长压杆所能承受的压即使如此，我们毕竟对细长压杆所能承受的压力提出了一个量的判据。力提出了一个量的判据。EulerEuler先生
3、先生17601760年发表了细长杆的临界压力公式。年发表了细长杆的临界压力公式。但工程界并不接受该理论。但工程界并不接受该理论。222LEkPcr称称“E EK K2 2”项为项为 “绝对弹性绝对弹性”。解释其力学意义时，认为：解释其力学意义时，认为：EK2 hb2 实际上：实际上：E EK K2 2 h hb b3 3 遗憾的是：遗憾的是：EulerEuler先生未做实验以验证理论。先生未做实验以验证理论。原因在于：原因在于：1 1、EulerEuler先生最初导出的公式是先生最初导出的公式是:而工程师们早就知道而工程师们早就知道 P PcrcrDD4 4 因此，无法解释与因此，无法解释与实
4、际的差别。实际的差别。对此，对此，EulerEuler先生已在先生已在17681768年作了修正年作了修正 。2 2、即使作了以上修改，、即使作了以上修改，EulerEuler公式仍然与一些压杆的公式仍然与一些压杆的 实验结果不相符。工程界又不理解原因所在。致使实验结果不相符。工程界又不理解原因所在。致使 EulerEuler的天才发现未能在工程上及时得到应用。的天才发现未能在工程上及时得到应用。库伦先生库伦先生也怀疑也怀疑EulerEuler理论的正确性。理论的正确性。并报告了他的实验结果：并报告了他的实验结果：压杆强度与长度无关。压杆强度与长度无关。（1 1）实验中应当使用较细长的杆）实验
5、中应当使用较细长的杆（2 2）不能使用铸铁一类的脆性材料。）不能使用铸铁一类的脆性材料。库伦先生库伦先生的铸铁压杆在发生失稳以前就断裂了。的铸铁压杆在发生失稳以前就断裂了。因而，基于该实验之上的结论是错误的。因而，基于该实验之上的结论是错误的。但库伦先生违背了但库伦先生违背了EulerEuler先生的两点猜测：先生的两点猜测：Euler Euler 公式的适用条件公式的适用条件：法国的法国的拉马尔拉马尔于于18461846年提出年提出（1 1）分析了）分析了Euler Euler 公式与实验不相符的原因。公式与实验不相符的原因。（2 2）首次提出）首次提出“长细比长细比”概念。概念。（3 3）
6、指出欧拉公式的适用范围。）指出欧拉公式的适用范围。实际上：实际上：时，时，EulerEuler公式是正确的；公式是正确的；纳维叶先生于纳维叶先生于18261826年发表了一篇文章，虽然没有分析公年发表了一篇文章，虽然没有分析公式与实验不符的原因，但他提出了一些具体的规定：式与实验不符的原因，但他提出了一些具体的规定：压杆较短时，应按压缩强度计算。压杆较短时，应按压缩强度计算。他已猜到了使用他已猜到了使用EulerEuler公式是有条件的。公式是有条件的。欧拉及纳维叶都意识到只有欧拉及纳维叶都意识到只有细长杆细长杆受压才有失稳现象。受压才有失稳现象。这个问题一直未被注意。这个问题一直未被注意。确
7、切地定义出确切地定义出“细长杆细长杆”概念成为正确应用欧拉公式概念成为正确应用欧拉公式的前提条件。的前提条件。无论在理论上还是在工程应用上，都具有重要的意义。无论在理论上还是在工程应用上，都具有重要的意义。什么样的杆才能称为什么样的杆才能称为“细长杆细长杆”呢？呢？14-4 压杆的临界应力及压杆的临界应力及 临界应力总图临界应力总图一、压杆的临界应力一、压杆的临界应力PEIlcr22()crcrPA22EIlA()222E i AlA()()22Eli惯性半径（回转半径）惯性半径（回转半径）AIi il压杆的长细比或压杆的柔度压杆的长细比或压杆的柔度计算压杆的临界应力的欧拉公式计算压杆的临界应
8、力的欧拉公式令li则crE22 的物理意义：的物理意义：反映杆的长度、杆端支承情况及横截面形状、大反映杆的长度、杆端支承情况及横截面形状、大小对小对 crcr的综合影响。的综合影响。二、欧拉公式的二、欧拉公式的适用范围适用范围 经验公式经验公式在推导欧拉公式时在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程使用了挠曲线的近似微分方程EIvM x()crpE22在推导该方程时在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉应用了胡克定律。因此，欧拉公式也只有在满足胡克定律时才能适用：公式也只有在满足胡克定律时才能适用：或写成2Ep欧拉公式的适用范围：欧拉公式的适用范围：满足该条件的杆称为满足该条件的杆称为
9、细长杆细长杆或大柔度杆或大柔度杆记ppE2则p为材料的为材料的长细比极限长细比极限。即：即：与与 条件是等价的条件是等价的定义：定义：PE2注意到右边的量仅与材料的参数有关。注意到右边的量仅与材料的参数有关。PPE2P 只有满足只有满足的杆才称为的杆才称为“细长杆细长杆”或或“大大柔度杆柔度杆”。只有大柔度杆才能使用只有大柔度杆才能使用Euler公式。公式。至此，完全解决含糊的至此，完全解决含糊的“细长杆细长杆”概念问题。概念问题。“细长杆细长杆”是可以定量描述的。是可以定量描述的。（2 2）P称为称为杆材料杆材料的的长细比极限长细比极限。只与杆件的材料有关。只与杆件的材料有关。与杆件的长度、
10、截面尺寸无关。与杆件的长度、截面尺寸无关。(1)(1)称为称为杆件杆件的的长细比长细比（柔度）。（柔度）。只与杆件的长度、截面尺寸有关，只与杆件的长度、截面尺寸有关，是有关杆件的一个几何量，与材料无关。是有关杆件的一个几何量，与材料无关。比较下两个概念：比较下两个概念：对对A3钢，当取钢，当取E=206GPa，p=200MPa,则则ppE22962061020010 10016钢：钢：因为因为即为大柔度杆，即为大柔度杆，16:82，3钢钢:100，即：即：16 比比 A3 更容易成为大柔度杆。更容易成为大柔度杆。矩形：矩形：是杆件的长细比，仅由杆件的几何参数是杆件的长细比，仅由杆件的几何参数
11、L，I I 和和 A 决定。决定。实心圆：实心圆：对于推广的欧拉公式：对于推广的欧拉公式：LL，给定杆件的几何参数，即可求出给定杆件的几何参数，即可求出。以判别压杆是否为大柔度杆。以判别压杆是否为大柔度杆。3212/3minbbhbhAIi44/64/24minDDDAIi 某压杆两端为球绞。长度某压杆两端为球绞。长度L200mm，矩形，矩形截面尺寸截面尺寸10mm，0.6mm，材料为，材料为钢求钢求cr解：解：算例算例:一、判断压杆是否为大柔度杆一、判断压杆是否为大柔度杆1 1、求杆件的长细比、求杆件的长细比（矩形）：（矩形）：mmbi17.033.0326.0322、求材料的长细比极限求材
12、料的长细比极限 A3钢：钢：1001160100L1200/0.171160两端绞支：两端绞支：1，长细比：长细比：i0.17所以是大柔度杆，可用欧拉公式。所以是大柔度杆，可用欧拉公式。二二 求求cr压杆仪实验结果为：压杆仪实验结果为：.(）；（）。）；（）。（1：6，150g6）)(88.8)2001()12/6.010(102)(235222NlEIPcr更确切的实验应当是：更确切的实验应当是：1 1、以、以L L为横轴，为横轴，I I=C=C做出下降的双曲线。做出下降的双曲线。2 2、以、以I I为横轴，为横轴，L LC C做出上升的直线。做出上升的直线。一个错误的想法是：一个错误的想法
13、是：cr=Pcr/A=则则 Pcr=A=C得出的得出的P Pcrcr只与截面尺寸只与截面尺寸A A有关，而与杆长有关，而与杆长L L无关。无关。四四 结论结论（1）使用欧拉公式的条件是压杆的长细比）使用欧拉公式的条件是压杆的长细比大于材大于材 料的长细比极限料的长细比极限PP 的压杆称为大柔度杆。的压杆称为大柔度杆。大柔度杆才能用临界压力的欧拉公式。大柔度杆才能用临界压力的欧拉公式。（2 2）压杆的长细比）压杆的长细比由压杆的几何尺寸（长度、截由压杆的几何尺寸（长度、截 面尺寸）决定，与外力和所用材料无关；压杆面尺寸）决定，与外力和所用材料无关；压杆 的长细比极限的长细比极限P P由压杆材料决
14、定，与杆件的几由压杆材料决定，与杆件的几 何尺寸无关。何尺寸无关。（3）不同材料的、）不同材料的、对于决定对于决定是有影是有影 响的。响的。高强度钢比低碳钢更容易成为大柔高强度钢比低碳钢更容易成为大柔 度杆。度杆。然而，然而，如果都是大柔度杆，则高强度钢并不能提高如果都是大柔度杆，则高强度钢并不能提高cr。压杆的工程应用压杆的工程应用 对大柔度理想压杆的临界压力问题已取得了大量对大柔度理想压杆的临界压力问题已取得了大量的理论性进展。的理论性进展。而在压杆的工程应用中，非大柔度杆的压杆设计而在压杆的工程应用中，非大柔度杆的压杆设计问题如何解决？问题如何解决？即使是大柔度杆，工程中的实际压杆也不是
15、理想即使是大柔度杆，工程中的实际压杆也不是理想压杆，其设计问题又该如何解决？压杆，其设计问题又该如何解决？问题：问题：p p 的大柔度杆才能用的大柔度杆才能用 EulerEuler公式。当公式。当p p 时不能用时不能用EulerEuler公式公式。为了考查为了考查p p这类压杆的临界压力问题，需要更全这类压杆的临界压力问题，需要更全面地了解临界应力的整体状态。面地了解临界应力的整体状态。当压杆的长细比当压杆的长细比p时，欧拉公式已不适时，欧拉公式已不适用。用。crab直线公式直线公式式中式中 a、b是与材料性质有关的系数。是与材料性质有关的系数。在工程上，一般采用经验公式。在工程上，一般采用
16、经验公式。在我国在我国的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物线公式。线公式。表表 11-2 直直线线公公式式的的系系数数 a 和和 b 材材料料 a(MPa)b(MPa)A3 钢钢 304 1.12 优优质质碳碳钢钢 461 2.568 硅硅钢钢 578 3.744 铬铬钼钼钢钢 9807 5.296 铸铸铁铁 332.2 1.454 强强铝铝 373 2.15 松松木木 28.7 0.19 下面考虑经验公式的适用范围：下面考虑经验公式的适用范围：crsab经验公式的适用范围经验公式的适用范围对于塑性材料：对于塑性材料：即absbass记则sp对于对于
17、 s的杆，不存在失稳问题，应考虑强度的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问题问题crscrab112ab11、经验公式中，抛物线公式的表达式为经验公式中，抛物线公式的表达式为式中式中 也是与材料性质有关的系数，可也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中查到。在有关的设计手册和规范中查到。三、临界应力总图三、临界应力总图srcsrcpsrcpbaE用强度条件粗短杆用经验公式中长杆用欧拉公式细长杆),(.3),(.2),(.122crscrabcrE22ssabppE2licrO小柔度杆小柔度杆中柔度杆中柔度杆大柔度杆大柔度杆sp14-5 压杆的稳定性计算压杆的稳定性计算稳定性条件：稳定性
18、条件：PPncrstmaxPmaxPcrnstnPPnstcrstmaxnst式中式中-压杆所受最大工作载荷压杆所受最大工作载荷-压杆的临界压力压杆的临界压力-压杆的规定稳定安全系数压杆的规定稳定安全系数稳定性条件也可以表示成：稳定性条件也可以表示成：式中式中 为压杆实际的工作稳定安全系数。为压杆实际的工作稳定安全系数。注意：注意：若截面有局部削弱时，还应按净面积检若截面有局部削弱时，还应按净面积检 查该截面的强度。查该截面的强度。但实际压杆存在初始曲率，实际压杆的承载但实际压杆存在初始曲率，实际压杆的承载能力一定小于理想压杆的承载能力能力一定小于理想压杆的承载能力。按理想压杆计算出的临界压力
19、按理想压杆计算出的临界压力cr，必须打个，必须打个折扣（取安全系数）才能作为实际压杆的稳折扣（取安全系数）才能作为实际压杆的稳定标准。定标准。nst 称为稳定安全系数，一般取称为稳定安全系数，一般取1.8 3。例：图示圆截面压杆例：图示圆截面压杆d=40mm，s=235MPa。求可以用经验公式求可以用经验公式cr=304-1.12(MPa)计算临计算临界应力时的最小杆长。界应力时的最小杆长。解：ssab304235112616.由得：lislis616004407088.m计算步骤计算步骤(2)由临界应力总图，计算出相应的由临界应力总图，计算出相应的cr或或Pcr(1)计算柔度计算柔度，判断压
20、杆是大（中）柔度杆。，判断压杆是大（中）柔度杆。若成立，则压杆是稳定的。若成立，则压杆是稳定的。校核：校核：(3)按给定的稳定安全系数及理论力学方法按给定的稳定安全系数及理论力学方法stcrstcrnnPP或者 例：例：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比实际；横截面上界力，其结果比实际；横截面上的正应力有可能。的正应力有可能。大，危险大，危险超过比例极限超过比例极限（a)l=200PP解：解：一、求一、求：xyyx1 1、xyxy平面内失稳，平面内失稳，z z为为 中性轴：中性轴：=1=1cmhbhbhAIiz194.2121232.91194.22
21、00111il例：机车连杆，已知：例：机车连杆，已知：P=120kN,L=200cm,P=120kN,L=200cm,L L1 1=180cm,b=2.5cm,h=7.6cm=180cm,b=2.5cm,h=7.6cm。材料为。材料为A3A3钢钢E=206GPaE=206GPa,若规定若规定n nstst=2=2，试校核稳定性。，试校核稳定性。bzxl1=1802 2、xzxz平面内失稳，平面内失稳，y y为中性轴：为中性轴：=0.5=0.5cmbbhhbAIiy7217.0121237.1247217.01805.0212il由于由于1122，故先在，故先在xzxz平面内，以平面内，以y y
22、为中性轴弯曲为中性轴弯曲二、求临界应力、校核稳定性：二、求临界应力、校核稳定性：p=1002用欧拉公式用欧拉公式MPaEcr7.13022实际工作应力：实际工作应力：MPabhP16.63076.0025.0120000stcrcrnPpn07.216.637.130满足稳定条件。满足稳定条件。例：三根材料、长度均相同、两端均为球例：三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细长杆结构，各自的截面形状如图，铰支座的细长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力之比以及临界力之比。求三根杆的临界应力之比以及临界力之比。cracrbcrc:212222232EEE:iii122232:IAIAI
23、A112233:dddddddd42424222644642426442444:1 1 5:PPPcracrbcrc:cracrbcrcAAA123:1 2 20:BAC1500QD50030o解：解：一、分析受力一、分析受力取取CBDCBD横梁研究横梁研究QNABCBABABcNQQNm8302000150030sin:00例：托架，例：托架，AB杆是圆管，外径杆是圆管，外径D=50mm，两端，两端 为球铰，材料为为球铰，材料为A3钢，钢，E=206GPa,p=100 若规定若规定nst=3,试确定许可荷载试确定许可荷载Q。二、计算二、计算 并求临界荷载并求临界荷载mmdDdDdDAIi16
24、4)(4)(642222441173030cos15000mmlAB1081617301ilA3钢，p=100,p，用欧拉公式kNNAEPcr54.1211054.121322三、根据稳定条件求许可荷载三、根据稳定条件求许可荷载kNNQkNnpNnNpstcrstcr2.155.4083835.40354.121由：DEFCPBAaaa解：1、结构为一次超静定求杆内力DCPBANsNc0642:0PNNMcsABCBE21变形条件：例：图示结构，CF为铸铁圆杆，直径d1=10cmc=120MPa,E=120GPa。BE为A3钢圆杆,直径d2=5cm，=160MPa,E=200GPa,如横梁视为
25、刚性，求许可荷载P。由：代入EAN sccsNNNN8.41.0414.31012022105.0414.31020022929代入第一式后求解得：PNPNcs36.1,283.02、求杆许可荷载：1）按BE杆：kNANs31405.0414.31016026kNNPs1110283.012）按压杆FC计算：ANwc8041.021ilkNNPkNNccyw18036.124526.026.02临界应力的经验公式：一，规范TJI774：欧拉公式计算；：经验公式计算，cr=s(1-0.43(/c)2)其中 A3钢：cr=235-0.006682ScE57.02Ps22)(Esc235-0.006
26、682a-bcrcp例：图示等边角钢制成的两端固定的中心受压直杆。已知：压力F=5kN，杆长L=1.2m，p=200Mpa,E=2105Mpa,压杆的稳定安全系数 nst=1.7 试校核稳定性。（A=1.132cm2,Iy0=0.17cm4,Iz0=0.63cm4,Iz=0.4cm4)。解：（1）求 =0.5 I min=Iy0 =L/iminPLz0zy0388.0132.117.0minminAIi=0.5120/0.388=154.643.99p2pE(2)细长杆、欧拉公式kN32.9)(22crLEIP（3）校核 Pst/nst=Pst=5.48kN P st AB杆不安全100kN0.7m0.3m1mABC
