1、材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例4-2 受弯构件的简化受弯构件的简化4-3 剪力和弯矩剪力和弯矩4-4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系4-6 平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例受力特点受力特点：变形特点变形特点：一、弯曲的概念一、弯曲的概念以弯曲变形为主要变形的杆件称为以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁梁。轴线是直线的称为轴线是直线的称为直梁直梁，轴线是
2、曲线的称为，轴线是曲线的称为曲梁曲梁。有对称平面的梁称为有对称平面的梁称为对称梁对称梁，没有对称平面的梁称，没有对称平面的梁称为为非对称梁。非对称梁。材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力对称弯曲对称弯曲：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。非对称弯曲非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。FqFAFB纵向纵向对称对称面面对称弯曲时和特定条
3、件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力弯弯曲曲实实例例材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-2 受弯构件的简化受弯构件的简化梁的梁的计算简图计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。吊车大梁简化实例吊车大梁简化实例材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-2 受弯构件的简化受弯构件的简化一、梁支座的简化一、梁支座的简化a)滑动铰支座滑动铰支座b)固定铰
4、支座固定铰支座c)固定端固定端RFRyFRxFRyFRxFRM材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 二、载荷的简化二、载荷的简化(a)集中荷载集中荷载F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷载分布荷载q(x)任意分布荷载任意分布荷载q均布荷载均布荷载材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力静定梁静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。(a)悬臂梁悬臂梁(b)简支梁简支梁(c)外伸梁外伸梁 三、静定梁的基本形式三、静定梁的基本形式超静定梁超静定梁仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。材料力学材料力学
5、 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-3 剪力和弯矩剪力和弯矩ASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0FlalFAFlaFB材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力剪力：剪力：平行于横截面的内力平行于横截面的内力符号规定：符号规定：MMMMFSFSFSFS 弯矩：弯矩：绕截面转动的内力绕截面转动的内力符号规定：符号规定：剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力例例4-3-1 4-3-1 如图所示的简
6、支梁，试求如图所示的简支梁，试求1 11 1及及C左右截面上左右截面上的内力。的内力。解：解：1.1.求支座反力求支座反力03,0)(0,0lFlFFMFFFFBABAy得得FFFFBA31,322.2.求截面求截面1 11 1上的内力上的内力FFFAD32SFaaFMAD32材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力右左右左CCCCMMFF,SS同理同理,对于对于C C左左截面：截面：FllFMFFFCAC9233232S左左对于对于C C右右截面：截面：3SFFFFAC右FllFMAC923右在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，
7、突变值为该集中力的大小；而弯矩保持不变。中力的大小；而弯矩保持不变。负号表示假设方向与实际方向相反。负号表示假设方向与实际方向相反。材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力)0(kN29030kN1502335.460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM例例4-3-2 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-1与与2-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解：1、求支反力、求支反力材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力mkN26)5.12(2kN7A1A1SFFMFF
8、FmkN3025.15.15.1kN115.1B2B2SqFMFqF2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力FBq=12kN/mS2F2MF=8kNFAS1F1M材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图)()(SSxMMxFF剪力、弯矩方程：剪力、弯矩方程：剪力、弯矩图：剪力、弯
9、矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。小。材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力例例4-4-1 作图示悬臂梁作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。FxxMFxF)()(S剪力、弯矩方程：xFSFFlMFlMFFmaxmaxS|FlAB材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力例例4-4-2 试画出如图示简支梁试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求支反力，由求支反力，由0,0AxmF得得lFaFlFbFBA,2.2.列剪力、弯
10、矩方程列剪力、弯矩方程在在AC段内，段内，axlFbFxFAS0,)(1axxlFbxFxMA0,)(1在在BC段内，段内，lxalFaFxFB,)(2S lxaxllFaxlFxMB,)(2材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力集中力作用处剪力图有突变，变集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小；弯矩图化值等于集中力的大小；弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折上无突变，但斜率发生突变，折角点。角点。在某一段上若无载荷作用，剪力在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直图为一水平线，弯矩图为一斜直线。线。材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 32/32
11、ql32/32qlBAl解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/lxqxqlxxM02/2/2FSxMx2/ql2/ql8/2ql 例例4-4-3 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。并画出剪力图和弯矩图。材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力v集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。弯矩图上无突变，但
12、斜率发生突变，弯矩图上为折角点。v在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。一斜直线。v在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩为一抛物线。且弯矩M最大值发生于最大值发生于FS=0处。处。v在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图无改变。偶的大小而剪力图无改变。总结材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系
13、一一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系假设：规定假设：规定q(x)向上为正，向下为负；向上为正，向下为负；yxMF1q(x)ABxdxdxO材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力yxMF1q(x)ABxdxq(x)dxO)(d)(d0)()(d)()(0SSSSxqxxFdxxqxFxFxFFy：)(d)(d0)(21)()()(d)(0S2SxFxxMxqdxxFxMxMxMMdxO：)(d)(d22xqxxM材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力1微分关系的几何意义：微分关系的几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集剪力图上某
14、点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。力的大小。二、讨论微分关系的几何意义二、讨论微分关系的几何意义材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力例例4-5-1 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FSM图。图。解：解：1、求支反力、求支反力kN8.3kN2.7BAFF2、判断各段、判断各段FS、M图形状：图形状：CA和和DB段：段：q=0，FS图为水图为水平线，平线，M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：q0，FS 图为向下斜图为向下斜直线，直线，M图为上凸抛物线。图为
15、上凸抛物线。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3、先确定各分段点的、先确定各分段点的FS、M值，用相应形状的线值，用相应形状的线条连接。条连接。FS+_3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kNm)3.81.4132.2_+FAFB材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力一段梁上的一段梁上的外力情况外力情况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截最大弯矩所在截面的可能位置面的可能位置q0向下的均布荷载向下的均布荷载无荷载无荷载集中力集中力FC集中力偶集中力偶mC上凸的二次抛上凸的二次抛物线物线在在FS=0的截面的截面一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突
16、变处有突变F在在C处有尖角处有尖角或或在剪力突变的在剪力突变的截面截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变m在紧靠在紧靠C的某一的某一侧截面侧截面向右下倾斜的直线向右下倾斜的直线 水平直线水平直线 2 各种荷载下剪力图与弯矩图的形态各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力（-）（+）F FAyAy0.89 kN0.89 kN F FFyFy1.11 kN1.11 kN FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11例例4-5-2 作图示梁的作图示梁的FSM图。图。（-）（-）M（kN.m）1.3300.
17、3301.665解：解：1 1、确定约束力、确定约束力材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力解：解：1 1、确定约束力、确定约束力qaFqaFByAy4349,qaqBAC例例4-5-3 作图示梁的作图示梁的FSM图。图。（+）（-）（+）OFSxOMx4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qaFByFAy材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力3 其它规律其它规律：|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；处；q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸
18、凹性反转拐点；荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。矩图关于梁中点反对称。材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力（-）（-）（+）（+）（-）Fs2/qaFDy从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqa2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDq例例4-5-4 作图示梁的作图示梁的FSM图。图。解：解：1 1、确定约束力、
19、确定约束力材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-6 平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力平面曲杆：平面曲杆：轴线为平面内曲线的杆件结构。轴线为平面内曲线的杆件结构。内力符号和内力图画法约定：内力符号和内力图画法约定：（1）轴力：）轴力：拉伸为正，可画在曲杆轴线的任一拉伸为正，可画在曲杆轴线的任一侧（通常正值画在曲杆外侧），但须注明正负号；侧（通常正值画在曲杆外侧），但须注明正负号；（2）剪力：）剪力：以所考虑的一段曲杆内任一点取矩，以所考虑的一段曲杆内任一点取矩，顺时针为正，可画在曲杆轴线的任一侧（通常正值顺时针为正，可画在曲杆轴线的任一侧（通常正值画在曲杆外侧），但须注明正负号；画在曲杆外侧），但须注明正负号；（3）弯矩：）弯矩：使轴线曲率增加一侧的弯矩为正，使轴线曲率增加一侧的弯矩为正，画在曲杆受压一侧，不注明正、负号；画在曲杆受压一侧，不注明正、负号；材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 sinFFN解：写出曲杆的内力方程解：写出曲杆的内力方程FRmmF NF SF M cosFFS sinFRMFNF FSF FRM例例4-6-1 作出该曲杆的内力图。作出该曲杆的内力图。材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力材料力学材料力学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力祝大家学习愉快祝大家学习愉快!
