1、极限的概念极限的概念 许聪聪高等数学高等数学之之 授课部分授课部分2流程流程 说课部分说课部分1教学内容教学内容 教学目标教学目标 重点难点重点难点 地位作用地位作用 学生情况学生情况 教学方法教学方法 设计思路设计思路引入引入 极限思想极限思想 数列的极限数列的极限 函数的极限函数的极限 极限的应用极限的应用一、说课一、说课理解数列极限及函数极限的概念及理解数列极限及函数极限的概念及思想，并判断简单函数的极限思想，并判断简单函数的极限 高度概括能力高度概括能力 抽象思维能力抽象思维能力用极限及辩证的思维模式去思考用极限及辩证的思维模式去思考问题、分析问题、解决问题问题、分析问题、解决问题一、
2、说课一、说课 数列极数列极限的概念及求法限的概念及求法 函数极限的概念及判断函数极限的概念及判断 数列极限概念的理解数列极限概念的理解 函数极限概念的理解与判断函数极限概念的理解与判断 教学难点教学难点教学重点教学重点一、说课一、说课 定积分定积分极限极限连连续续导导数数无穷无穷级数级数不定积分不定积分微分方程微分方程一元一元函数函数多元多元函数函数一、说课一、说课一、说课一、说课学生情况学生情况高中阶段接触过极限的概念高中阶段接触过极限的概念只能对最简单的数列进行判断只能对最简单的数列进行判断只能对最简单的函数进行计算只能对最简单的函数进行计算对极限思想的理解不够对极限思想的理解不够 教学内
3、容教学内容教法教法问题问题驱动法驱动法对比对比讲授讲授讨论讨论启发启发一、说课一、说课数学史融入数学教学数学史融入数学教学1 1信息化方式引入数学教学信息化方式引入数学教学3 3.4 4数学建模思想渗入数学教学数学建模思想渗入数学教学一、说课一、说课数学文化融入数学教学数学文化融入数学教学 2 2一、说课一、说课数学理论篇数学理论篇数学应用篇数学应用篇数学文化篇数学文化篇文化价值文化价值科学价值科学价值应用价值应用价值艺术价值艺术价值数学的素质教育数学的素质教育导入新课导入新课1数学文化篇数学文化篇2数学理论篇数学理论篇3数学应用篇数学应用篇4一、说课一、说课二、授课二、授课请思考这两句诗的意
4、境！导入新课导入新课1刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家。他撰写我国古代魏末晋初的杰出数学家。他撰写重差重差对对九章算术九章算术中的方法和公式作了全面中的方法和公式作了全面的评注，指出并纠正了其中的错误，在数学方法的评注，指出并纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献和数学理论上作出了杰出的贡献。他的。他的“割圆割圆术术”求圆周率求圆周率 的方法的方法：它包含了它包含了数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割，则与圆周合体而无所失矣则与圆周合体而无所失矣”“用已知逼近未
5、知用已知逼近未知 ,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想的重要极限思想“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 边形的面积边形的面积126 nnA,321nAAAAS数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课2 2、截丈问题：、截丈问题：11;2X 221;2X 1;2nnX 12nnX 0数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课庄子庄子.天下篇
6、天下篇第一天截完后所剩杖的长度为第一天截完后所剩杖的长度为第二天截完后所剩杖的长度为第二天截完后所剩杖的长度为第第n天截完后所剩杖的长度为天截完后所剩杖的长度为按一定次序排列的一列数按一定次序排列的一列数,21nxxx这一列有序的数就叫这一列有序的数就叫数列数列.记为记为 .nx其中的每个数称其中的每个数称为数列的项为数列的项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).).数学理论篇数学理论篇3（一）数列的极限一）数列的极限二、授课二、授课 定义定义1 1 简洁美简洁美对于数列对于数列 ，否则称该数列否则称该数列发散发散 nununulimnnuA()nuA n定义定义2 2如果当如果当n n无限
7、增大时，无限增大时，无限无限接近于某个确定的常数接近于某个确定的常数A，则称则称A为数列为数列或称数列或称数列收敛收敛于于A,A,记为记为或或的的极限，极限，数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课1.1.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn 例例1 1 观察下列数列的极限：观察下列数列的极限：注：注：2.2.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴可看作一动点在数轴.,21nxxx;1nn（1）123,2341nn；4x3x1x01nx2x45233412lim11nnn所以所以收敛于收敛于1 1上依次取上依次取数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课2,4,8
8、,2,;n11,1,1,(1),;n（4）lim2=nn所以所以1)1(nnx所以所以发散发散（2）01x22x43x84x16011趋势不定，趋势不定，发散发散 2;n1(1)n；（3）;1n;,1,31,21,1n1x01nx122x133x1lim=0nn所以所以收敛于收敛于1 1播放播放数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课1(1)lim1 nnnn收敛于收敛于1 1。1(1);nnn 1143(1)2,;234nnn（5）趋势不直观，趋势不直观，观察下面动画观察下面动画数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课;1nn（1）（2）2;n（4）1(1)n；1(1);nnn（5）单调增加趋近
9、于单调增加趋近于1 1单调增加但无极限单调增加但无极限摆动无极限摆动无极限左右摆动趋近于左右摆动趋近于1收收敛敛单调增加收敛单调增加收敛单调减少收敛单调减少收敛左右摆动收敛左右摆动收敛发发散散无穷发散无穷发散摆动发散摆动发散单调数列不一定有单调数列不一定有极限极限摆动不一定摆动不一定发散发散（1）（5）（3）（4）（2）（3）;1n单调增加趋近于单调增加趋近于0 0引例引例 考察函数考察函数 当当 无限增大时的变化趋势。无限增大时的变化趋势。1yx数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课（二）函数的极限二）函数的极限()nuf n()yf x把数列推广到一般函数把数列推广到一般函数1.自变量趋向
10、无穷时函数的极限自变量趋向无穷时函数的极限xxOxy1 y由高中知识可知，由高中知识可知，01limxx注意到注意到01limxx，此时，此时，1lim0 xxnn1lim。定义定义可看作可看作的推广。的推广。与数列极限定义对比可得与数列极限定义对比可得y=A为函数为函数 f(x)的水平渐近线。的水平渐近线。定义定义3 3:如果当如果当x的绝对值无限增大时的绝对值无限增大时,)(xf函数函数无限接近于常数无限接近于常数,A则称常数则称常数A为为函数函数)(xf当当 x时的极限时的极限,记作记作Axfx )(limAxfx )(lim或或).()(xAxf如果在上述定义中如果在上述定义中,限制限
11、制x只取正值或者只取负值只取正值或者只取负值,即有即有或或,)(limAxfx 则称常数则称常数A为为函数函数)(xf当当x 或或时的极限时的极限.数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课x注意到注意到 x意味着同时考虑意味着同时考虑 x与与,x可以得到下面的定理可以得到下面的定理:所以极限所以极限二、授课二、授课数学理论篇数学理论篇3.arctanlim,arctanlim,arctanlimxxxnnn及lim arctan2xx,arctanlimarctanlimxxnnxxarctanlim例例 2 2 讨论极限讨论极限解解由于由于不存在不存在.Oxy22lim arctan2xx定理
12、定理1 1 极限极限Axfx )(lim的充分必要条件是的充分必要条件是lim()lim().xxf xf xA对称美对称美极限与有无极限与有无定义无关定义无关 图图O1-1(1,2)xyf(x)=x+1图图2 2O1-1(1,2)xyf(x)=x+12.自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限二、授课二、授课数学理论篇数学理论篇311lim()lim(1)xxf xx22111lim()lim1xxxg xx以及函数以及函数 的变化趋势？的变化趋势？21()1xg xx1lim(1)2xx引例引例 讨论当讨论当1x()1f xx时，时，的变化趋势，的变化趋势，函数函数二、授课
13、二、授课数学理论篇数学理论篇3定义定义4 4 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一去心领域内有的某一去心领域内有定义定义.如果当如果当)(00 xxxx 时时,函数函数)(xf无限接无限接近于常数近于常数,A则称常数则称常数A为为函数函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限.记作记作Axfxx)(lim0或或).)()(0 xxAxf函数函数)(xf从左侧从左侧(或右侧或右侧)趋于趋于当自变量当自变量x0 x时时,趋于常数趋于常数A,则称则称A为为)(xf在点在点0 x处的处的左极限左极限(或或右极限右极限),),记为记为Axfxx )(lim0或或Axfxx )(lim0二、授课二、授
14、课数学理论篇数学理论篇3OyxA)(xfOyxA)(xf注意到注意到0 xx 意味着同时考虑意味着同时考虑 0 xx与与,0 xx可以得到下面的定理可以得到下面的定理:定理定理2 2极限极限Axfxx)(lim0的充分必要条件为的充分必要条件为00lim()lim().xxxxf xf xA0 xx 0 xx例例3.3.e,1()0,1 1,1xxf xxx x解解 从右图易见，从右图易见，1。e2)(xfx)(lim1xfx xxelim1 e)(lim1xfx)1(lim1 xx2 显然显然 e 2,从而从而)(lim)(lim11xfxfxx 故函数故函数 f(x)当当 x 1 时极限不
15、存在。时极限不存在。1x 讨论函数讨论函数当当时，极限时，极限是否存在？是否存在？数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课。yO可以借助图像去观可以借助图像去观察，但不要过分依赖图像察，但不要过分依赖图像极限极限无限接近无限接近无限接近无限接近数列数列函数函数n0 xx0 xxAunx0 xxxxAxf)(Axf)(Axf)(Axf)(Axf)(Axf)(数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课无无穷穷点点量量变变到到质质变变统统一一美美数学应用篇数学应用篇4 有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔。而所生小兔下小兔一对
16、，以后每月生产一对小兔。而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，试问一年后共有小兔几对？后亦每月生产小兔一对，试问一年后共有小兔几对？以后每月的增长速度怎么样？以后每月的增长速度怎么样？二、授课二、授课1 提出问题提出问题问题假设问题假设1 1 假定每产一对小兔必一雌一雄；假定每产一对小兔必一雌一雄；2 2 均无死亡。均无死亡。1.1.问题假设是建立问题假设是建立 模型的模型的关键；关键；2.2.注意假设的注意假设的合理性。合理性。1月月 12月月 23月月 34月月 55月月 86月月 13成兔成兔仔兔仔兔数学应
17、用篇数学应用篇4二、授课二、授课观察一下数列之间有什么样的关系？观察一下数列之间有什么样的关系？目前目前 12 分析问题分析问题Fibonacci数列数列 1，1，2，3，5，8，13，写出数列写出数列数学应用篇数学应用篇4二、授课二、授课).,2,1,0(12nFFFnnn递推关系：递推关系：3 解决问题解决问题89，通项：通项：1125125151nnnF一年后兔子共一年后兔子共有兔子有兔子233233对对21，34，55，233144，数学应用篇数学应用篇4二、授课二、授课1limnnnFF多年后成年兔子与多年后成年兔子与仔兔数量均以每月仔兔数量均以每月61.8%61.8%速度增长速度增
18、长与与Fibonacci 数列紧密相关的一个重要极限数列紧密相关的一个重要极限黄金分割黄金分割4 问题升华问题升华（2 2）证券投资的艾略特）证券投资的艾略特“波浪理论波浪理论”（1 1）树的分枝）树的分枝 510.6182内容小结内容小结1.1.数列极限的概念及简单计算数列极限的概念及简单计算2.2.函数极限，左、右极限概念及判定函数极限，左、右极限概念及判定思考与练习思考与练习1.若极限若极限)(lim0 xfxx存在存在,)()(lim00 xfxfxx 课后作业课后作业 是否一定有是否一定有二、授课二、授课 P47 10;11 2.设函数设函数)(xf且且)(lim1xfx存在存在,则
19、则.a1,121,2xxxxa31 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽二、授课二、授课数学文化篇数学文化篇2“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：
20、、割圆术：刘徽刘徽数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无
21、所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽数学文化篇数学文化篇2二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.
22、)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授
23、课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn数学理论篇数学理论篇3二、授课二、授课如果当如果当 无限增大时，无限增大时，数学理论篇数学理论篇3（一）数列的极限一）数列的极限二、授课二、授课数列数列 ，否则称该数列否则称该数列发散发散 nununulimnnuA()nuA n定义定义2 2无限无限接近于某个确定的常数接近于某个确定的常数A，则称则称A为为或称数列或称数列收敛收敛于于A,A,记为记为或或的的极限，极限，)(xfx函数函数)(xf函数函数对于对于n数列数列)(xfAxfx)(lim)()(xAxf
