1、xyxyooMv8.1 相对运动牵连运动绝对运动通过观察可以发现，物体对一参考体的运动可以由几个运动组合而成。例如，在上述的例子中，车轮上的点M是沿旋轮线运动，但是如果以车厢作为参考体，则点M对于车厢的运动是简单的圆周运动，车厢对于地面的运动是简单的平动。这样，轮缘上一点的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运动，同时车厢对地面作平动。于是，相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，以oxy坐标系表示；固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，以oxy坐标系表示。8.1 相对
2、运动牵连运动绝对运动用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两个参考系，区分三种运动：(1)动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动；(2)动点相对于动参考系的运动，称为相对运动；(3)动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。定参考系动参考系动点牵连运动绝对运动相对运动一点、二系、三运动8.1 相对运动牵连运动绝对运动 (1)动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。(2)动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹。8.1 相对运动牵连运动绝对运动 由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动
3、，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此定义：在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和加速度称为动点的牵连速度(用ve表示)和牵连加速度(用ae表示)。如果没有牵连运动，则动点的相对运动就是它的绝对运动；如果没有相对运动，则动点随同动参考系所作的运动就是它的绝对运动；动点的绝对运动既取决于动点的相对运动，也决定于动参考系的运动即牵连运动，它是两种运动的合成。例例 如图杆长如图杆长l，绕绕O轴以角速轴以角速度度 转动，圆盘半径为转动，圆盘半径为r，绕绕 轴以角速度轴以角速度 转动。转动。求圆盘
4、边缘求圆盘边缘 和和 点的牵点的牵连速度和加速度。连速度和加速度。o1M2M 解：静系取在地面上，动系静系取在地面上，动系取在杆上，则取在杆上，则)(1rlve21)(rlae222rlve2222rlaeoo1M2M1ev1ea2ev2ea重点要弄清楚牵重点要弄清楚牵连点的概念连点的概念8.2 点的速度合成定理rMrOrM(M)OjkiyzxxyzOMOrrrxyz r=ijkMMrrddrxyzt rv=ijk动系上与动点重合的点(牵连点)在定系中的矢径记为rM，在图示瞬时有相对速度vr是动点相对于动参考系的速度，因此i、j、k是常矢量。这种导数称为相对导数。动点的相对速度vr为8.2 点
5、的速度合成定理rMrOrM(M)OjkiyzxxyzOddMeOxyzt rv=rijkddMaOerxyzxyzt rv=rijk+ijk=vv动点的牵连速度ve为牵连速度是牵连点M点的速度，该点是动系上的点，因此它在动系上的坐标x、y、z是常量。动点的绝对速度va为aervvv即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。8.2 点的速度合成定理处理具体问题时应注意：(1)选取动点、动参考系和定参考系。(2)应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。
6、动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。8.2 点的速度合成定理在有的机构中，一个构件上总有一个点被另一个构件所约束。这时，以被约束的点作为动点，在约束动点的构件上建立动系，相对运动轨迹便是约束构件的轮廓线或者约束动点的轨道。通常选动点和动系主要有以下几种情况：1.有一个很明显的动点，在题中很容易发现；2.有一个不变的接触点，可选该点为动点；3.没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确定的点为动点；4.必须选某点为动点，而动系要取两次；5.根据题意，必须取两次动点和动系；6.两个不相关的动点，可根据题意来确定；8.2 点的速度合成定理8.3 点的加速
7、度合成定理aervvv即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。aer aaa？8.3 点的加速度合成定理kji,(1)(2)(1)带入（2），得到又因为所以zyxokiyzxxyzO设动参考系 以角速度 e绕定轴转动，不失一般性，取定坐标系的z轴为其转轴。设k的端点A的矢径为rA，则A点的速度既等于rA对时间的一阶导数，又可用矢积来表示，即ArA eddAAeAtrvr AOrrkedd()ddOOttrkrk eddOOOtrvr eddtkk 一、当牵连运动是定轴转动时，动系 坐标的单位矢量的方向随时间不断变化，是时间t 的函数。先分
8、析 对时间的导数相对速度vr是动点相对于动参考系的速度，因此 是常矢量。这种导数称为相对导数。MOrrrddrxyzt rv=ijkeeeddddddtttijki,j,k 同理可得i、j的导数。22ddrxyzt ra=ijkrMrOrM(M)OjkiyzxxyzOxyz r=ijk(3)二、推导点的加速度合成定理 动点、动系、定系的选取如图所示,动点在动系中的坐标为x、y、z.kji,所以因为8.3 点的加速度合成定理ddMeOxyzt rv=rijk22ddMeOxyzt ra=rijk22dd2()2()MaOerxyztxyzxyzxyz ra=rijk+ijk+ijkaaijkrM
9、rOrM(M)OjkiyzxxyzO牵连速度是牵连点M点的速度，该点是动系上的点，因此它在动系上的坐标x、y、z是常量。ddMaOerxyzxyzt rv=rijk+ijk=vv8.3 点的加速度合成定理三、结论 点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。eeeee2()2()()()2()2rxyzxyzxyz ijkijki+jkvaerer2aaavCer2av令,称为科氏加速度，于是有aerCaaaa8.3 点的加速度合成定理q evraCCer2av科氏加速度等于动系角速度矢与点的相对速度矢的矢积的两倍。aC大小为Cer2s
10、inavq其中q为 e与vr两矢量间的最小夹角。矢aC小垂直于 e和vr，指向按右手螺旋法则确定。工程中常见的平面机构中 e和vr是垂直的，此时aC=2evr；且vr按e转向转90就是aC的方向。8.3 点的加速度合成定理当牵连运动为平移时，e=0，因此aC=0，此时有aer aaa当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。例1 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径ROA10 cm，已知曲柄绕轴O以匀速n120 rpm转动，求当j30时滑道BCD的速度和加速度。njROO1ABCDjvavrve解：取滑块A为动点，动系与滑道BCD固连。求得曲柄OA转
11、动的角速度为 4rad/s30naer vvv125.6 cm/s125.6 cm/s125.6 cm/saeraBCDevOAvvvvv12030hAOO1ABCDj分析加速度得 artaearnaan22n2rr1125.61579 cm/s10vaO An2aa22(4)101579 cm/saaOAntaerr aaaa将加速度向h轴上投影有：nare22cos601579 0.5 1579cos303/22740 cm/s27.4 m/saaanaer:cos60cos30aaa h例11 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1
12、=l，求当OA水平时O1B的角速度1。解：在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。21122sinsin()eaevvrrvO Alrjj2221122()rO AlrlrvevavrjAO1OBjAO1OB1a1araetaenaaaC由于动参考系作转动，因此加速度合成定理为：2aar12sin90Crav42n2e113222()raO Alrte11aO AantaerCeerCaaaaaaaa2re12222,rlrvlrlr2332222()Cr la
13、lrjAO1OB1a1araetaenaaaCh为了求得aet，应将加速度合成定理向轴h投影：ntaeerCaaaaahhhhh即：taeCcosaaaj得：22t2e3222()()rl lralr 摇杆O1B的角加速度：t222e12221()()arl lrO Alr aABOC例12 偏心凸轮的偏心距OCe、半径为，以匀角速度绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB的速度和加速度。3Revrvaveq解：选取杆AB的端点A作为动点，动参考系随凸轮一起绕O轴转动。evOA32 3tan33aeevvOAq243cos
14、332erveevqaervvvABOCq加速度分析如图arnartaCaaaenhaerCaaaa222neaOAe22163 3nrrveaR2482sin(,)2133Crreeav v coscosnnaerCaaaaqq2222231682(2)2933 33aeeaee 例13 图示曲杆OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。已知OB10 cm，OB与BC垂直，曲杆的角速度为0.5rad/s，求当=60时小环M的速度和加速度。BACOMj解：选取小环M作为研究的动点，动参考系随曲杆OBC一起绕O轴转动。点A的绝对运动是小环M沿OA杆的直线运动，相对运动是沿着BC的直
15、线运动，牵连运动则是曲杆绕O轴的转动。于是：10 0.510 cm/s1cos602eOBvOMtan10317.3 cm/saevvj由三角关系求得小环的绝对速度为：BACOMjavevrv220 cm/srevv小环M的加速度分析如图所示：222 0.5 2020 cm/sCrav2220.5205 cm/sneaOM2/cos522035 cm/snaeCaaaj 可得：aerCaaaa向y方向投影,有:coscosnaeCaaajjBACOMjcaaanearayj例14 平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接
16、触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC=e，凸轮绕轴O转动的角速度为w，角加速度为e。求OC与水平线成夹角j时顶杆的速度和加速度。BACOj jyxe e M解1 用运动方程求解。因推杆作平动，其上各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与凸轮的接触点M分析：2sincoscoscossincossinyR edydveedtdtdvddaeedtdtdteejjjjjjjejjBACOj jyxe e My解2 取圆盘的中心C为研究的动点，动参考系与平底推杆AB固连，分析动点的速度和加速度如图所示。avecoscoseavvejjBACOj jj jyxe e Mavevrv2naaeaaee2
17、sincoscossinneaaaaaeejjejj 可求得：BACOj jj jxyraeaaanaanaaer aaaa向y轴正向投影：sincosnaaejj-aaa例15 牛头刨床机构如图所示；已知 。求图示位置滑枕CD的速度和加速度。1200 mmO A12 rad/s解：一、速度分析1）取套筒A为动点，动参考系与摇杆O2B固连。相对运动是套筒A沿摇杆O2B的直线运动，牵连运动是摇杆O2B绕O2的定轴转动，绝对运动是套筒A绕O1的圆周运动，绝对速度的大小是：111200 2400 mm/savO A 650mmCDO2O1BA 130211121211sin30200 mm/s400
18、 mmsin302000.5 rad/s400cos302003mm/seaeo BravvO AO AvO Avv由速度合成定理可得：650mmCDO2O1BA 1301av1ev1rv222226500.5cos30650mm/s3cos30325 mm/sao BeavO Bvv2）取套筒B为动点，动参考系与滑枕CD固连。相对运动是套筒B沿滑杆的竖直直线运动，牵连运动是滑枕CD的水平平动，绝对运动是套筒B绕O2的圆周运动。由速度合成定理 可得：650mmCDO2O1BA 1302av2ev2rv30二、加速度分析，动点和动系的选择分别同前。2212200 3 mm/sCo Brav222
19、111200 2800 mm/snaaO A1）A点的加速度分析如图所示，由于动参考系O2B作定轴转动，有科氏加速度，其方向可由相对速度顺着摇杆O2B的转动方向转过得到，是垂直于O2B斜向上方，大小为：O2O1A 1301Ca1ea1nea1aay各加速度之间的关系为：1111nnaeerCaaaaa向y轴投影得：112cos303800200 3 200 3mm/s2neaCaaa2212200 33rad/s4002eo BaO AeO2O1A 1301Ca1ea1nea1aay2）B点的加速度分析 22naaeraaaa22222222226503250.5mm/scos3036503650 mm/scos302naaaO BaO Be将各加速度向水平方向投影得：2222222cos60cos30325 13cos60cos30650657mm/s223naaeneaaaaaaaa 即滑枕的加速度约为657mm/s2，方向向左。650mmCDO2O1BA 1302aa2ea302naa2ra谢谢大家！
