1、 nnnPnn.:Y(n1,2,)r.v.,a ,0,limP Y1,Y a,Ya.a 一一 定定义义 设设是是序序列列是是一一个个常常 数数 若若对对于于有有则则称称序序列列依依概概率率收收敛敛于于记记作作第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理1.大数定律大数定律 大数定律是从理论上阐述频率的稳定性和大数定律是从理论上阐述频率的稳定性和在一定条件下大量在一定条件下大量r.v.的算术平均值的稳定性的算术平均值的稳定性.首先要介绍首先要介绍r.v.序列的一种收敛性序列的一种收敛性:依概率收敛依概率收敛.PPnnPnn:Xa,Yb,g(x,y)(a,b),g(X,Y)g(a,b
2、).性性质质 设设又又设设函函数数在在点点连连续续 则则注注:r.v.序列的序列的依概率收敛性与数列的收敛性依概率收敛性与数列的收敛性是不同的。是不同的。注注：大数定律就是叙述：大数定律就是叙述r.v.序列的序列的依概率依概率收敛性收敛性的定理的定理.12nk2nk1nnkn1()X,X,X,:E(X),(k1,2,),1XX,0,lim P X1 lim P|X1 .Xkkkp.,D(X)n|n 二二 定定理理一一 切切比比雪雪夫夫定定理理的的特特殊殊情情况况设设随随机机变变量量相相互互独独立立 且且具具有有相相同同的的数数学学期期望望和和方方差差令令对对于于有有即即证明证明:nnkkk 1
3、k 12nnkk2k 1k 12nk2k 1nknk 111EXE(X)nn11DXD(X)nnn1nPX1nn,11PX1.nlim 由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式令令并并注注意意到到概概率率不不能能大大于于，则则有有注注:1.本定理表明本定理表明,n个个r.v.,如果它们相互独立如果它们相互独立,且具有有限的相同的数学期望和方差且具有有限的相同的数学期望和方差,那么那么当当n很大时很大时,这这n 个随机变量的算术平均值几个随机变量的算术平均值几乎是一个常数乎是一个常数,就是它们的数学期望就是它们的数学期望.12n12nnnkknk 1k 12.:X,X,X,D(X)C,D(X)C,D(X
4、)C,0,11 limPXE(X)1.nn 切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律 设设是是由由两两两两互互不不相相关关的的随随机机变变量量所所构构成成的的序序列列 每每一一个个随随机机变变量量都都有有有有限限的的方方差差 并并且且它它们们有有公公共共的的上上界界则则对对都都有有注注:本定理说明本定理说明,事件事件A发生的频率发生的频率nA/n依概率收敛依概率收敛于事件于事件A发生的概率发生的概率p,这就以严格的数学形式表达这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性了频率的稳定性,就是说就是说,当当n很大时很大时,事件事件A发生的发生的频率与概率有较大的差别的可能性很小频率与概率有较大的差别的可能性很小
5、,因而在实因而在实际中便可以用频率来代替概率际中便可以用频率来代替概率.AAnAAn.:nnA pA,n0,limP 1 nnnlimP 0 nnP,pp,p.(三三 贝贝努努利利大大数数定定理理 设设是是 次次独独立立重重复复试试验验中中事事件件发发生生的的 次次数数是是事事件件 在在每每次次试试验验中中发发生生的的概概率率 则则对对于于有有或或即即可可利利用用定定理理一一证证明明）12nn11.r.v.X,X,X,1 2,),0,1 lim P 1.n1nknkknpkkE(X),(k,XX.四四 定定理理三三(辛辛钦钦定定理理)设设相相互互独独立立 服服从从同同一一分分布布 且且具具有有
6、数数学学期期望望则则对对有有即即(伯伯努努利利大大数数定定理理是是本本定定理理的的特特殊殊情情况况）主要定理有主要定理有独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理,李雅李雅普诺夫定理普诺夫定理,德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理等拉普拉斯定理等.中心极限定理是描述在一定条件下中心极限定理是描述在一定条件下,相互独相互独立的立的r.v.之和近似服从正态分布的有关定理之和近似服从正态分布的有关定理.2.中心极限定理中心极限定理 2nkk 1nnntx2-Xnlim F(x)limPx n1 e dt(x).(x)2 其其中中 为为任任意意实实数数2n2kknnnkkkk 1k 1k 1nnnkk 1
7、,X,X,:E(X),D(X)0,k1,2,XE(X)Xn Y F(x)nD(X)1 1设设随随机机变变量量X X相相互互独独立立 服服从从同同一一分分布布且且具具有有有有限限的的数数学学期期望望 和和方方差差则则的的分分布布函函数数有有定理四（定理四（独立同分布的中心极限定理）独立同分布的中心极限定理）12n211 XXX1 2KKnkknkk:,E(X),D(X)(k,n),nXnNnN,bnanP aXb)()().nn 实实际际意意义义 由由 独独立立同同分分布布中中心心极极限限定定理理可可知知若若，独独立立同同分分布布当当 较较大大时时，有有近近似似服服从从（0,10,1）分分布布，
8、X-X-近近似似服服从从（0,10,1）分分布布/n/n（定理五（定理五（李雅普诺夫定理）李雅普诺夫定理）12nn222kkkknkk 1n2kk2k 1nr.v.X,X,X,:E(X),D(X)0,k1,2,B,0,n,1E X-0,B 设设相相互互独独立立 具具有有数数学学期期望望和和方方差差记记若若存存在在使使得得当当时时则则有有2nnnnkkkkk 1k 1k 1k 1nnnnkk 1nntkkxk 1k 12nnnnXE(X)XZF(x)xBD(X)X1 limF(x)limPxedt(x).B2 的的分分布布函函数数对对任任意意的的说明说明:nnkkk 1k 1nnnnknnkk
9、1k 1n2knkk 1nkk 1X,r.v.ZnB,N(0,1),n,XB ZN(,B),r.v.X(k1,2,),Xn,.在在定定理理条条件件下下当当 很很大大时时 近近似似地地服服从从正正态态分分布布由由此此当当 很很大大时时近近似似地地服服从从正正态态分分布布这这就就是是说说 无无论论各各个个服服从从什什么么分分布布 只只要要满满足足定定理理条条件件 那那么么它它们们的的和和当当 很很大大时时 就就近近似似地地服服从从正正态态分分布布定理六（定理六（德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）2t-x2-n1 2,)n,p),x,1 limPedt.(x)1 2nnr.v.(n,b(np
10、xnp(p)设设服服从从分分布布 对对于于有有说明说明:2ntb-n2an :b(n,p),np1limP abedt(b)(a),npq2 n,本本定定理理不不难难看看出出 若若有有因因而而当当 较较大大时时 我我们们可可以以用用正正态态分分布布近近似似计计算算二二项项分分布布的的概概率率。（本本定定理理可可以以由由独独立立同同分分布布的的中中心心极极限限定定理理证证明明）k20kk 11.20V(k1,2,20),r.v.,(0,10),VV,PV105.例例一一加加法法器器同同时时收收到到个个噪噪声声电电压压设设它它们们是是相相互互独独立立的的且且都都在在区区间间上上服服从从均均匀匀分分
11、布布 记记求求的的近近似似值值kk20kk 1:E(V)5,D(V)100/12(k1,2,20).,V205V-205 Z100/1220100/1220N(0,1),V-205105-205PV105P 100/1220100/1220 解解 易易知知由由独独立立同同分分布布的的中中心心极极限限定定理理知知近近似似服服从从正正态态分分布布于于是是1-(0.387)0.348.例例2.一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪已知每遭受一次波浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇角大于30的概率的概率p=1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了90000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有2
12、950030500次纵次纵摇角大于摇角大于30的概率是多少的概率是多少?0k90000-k:,900003X,Xr.v.Xb(90000,1/3),9000012PXk,k0,1,90000.k33P29500X30500 解解我我们们将将船船舶舶每每遭遭受受一一次次波波浪浪冲冲击击看看成成是是一一次次试试验验 并并假假定定各各次次试试验验是是独独立立的的 在在次次波波浪浪冲冲击击中中纵纵摇摇角角度度大大于于的的次次数数记记为为则则是是一一个个且且其其分分布布律律为为所所求求概概率率为为,-P29500X3050029500-npX-np30500-np Pnp(1-p)np(1-p)np(1
13、-p)30500-np29500-np -np(1-p)np(1-p)P 显显然然直直接接计计算算十十分分麻麻烦烦 我我们们利利用用德德莫莫佛佛 拉拉普普拉拉斯斯定定理理来来求求它它的的近近 似似 值值即即有有29500X30500(5 2 2)-(-5 2 2)0.9995.例例3、对于一个学生而言，来参加家长会的、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率分名家长来参加会议的概率分别为别为0.05、0.8、0.15.若学校共有若学校共有400名学生，名学生，设各学生参加会议的
14、家长数相互独立，且服设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（从同一分布。（1）求参加会议的家长人数）求参加会议的家长人数超过超过450人的概率；人的概率；(2)求有一名家长参加会求有一名家长参加会议的学生家长数不多于议的学生家长数不多于340的概率。的概率。k400kkkk 1:(1)X(k1,400)kE(X)1.1,D(X0.19,XXPX450 解解设设为为第第 个个学学生生来来参参加加会会议议的的家家长长数数，）求求2Y （）表表示示有有一一名名家家长长参参加加会会议议的的学学生生数数，Y Yb b(4 40 00 0,0 0.8 8)求求P P Y Y3 34 40 0
15、231126XY22,14,0.5,P|XY|6?E(XY)E(X)E(Y)220D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)14212(-0.5)3 P|(XY)E(XY)|6 例例设设随随机机变变量量和和的的数数学学期期望望分分别别为为和和方方差差分分别别为为 和和而而相相关关系系数数为为由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式推推出出解解复习题2005%90%例例设设某某单单位位有有台台电电话话机机，每每台台电电话话机机有有的的时时间间需需要要使使用用外外线线通通话话。若若每每台台电电话话机机是是否否使使用用外外线线是是相相互互独独立立的的。问问该该单单位位总总机机至至少少需需要要安安装装多多少
16、少条条外外线线才才能能以以以以上上的的概概率率保保证证每每台台电电话话机机需需要要使使用用外外线线时时不不被被占占用用？111 2200020000 90 0520010011knnkknnnnn,k;Xk,kX(n).k,Pk.npY,p.,nnp(p)npknpPkPYnp(p)np(p)第第 台台电电话话机机使使用用外外线线解解设设第第 台台电电话话机机不不使使用用外外线线则则表表示示同同时时使使用用外外线线的的电电话话机机总总数数求求 值值 使使令令则则120000 90 0520010011100 9119 510101 301409 59 5nnkknnnnnX(n).k,Pk.n
17、pY,p.,nnp(p)npknpPkPYnp(p)np(p)knpnpk()()().np(p)np(p).k.,k().则则表表示示同同时时使使用用外外线线的的电电话话机机总总数数求求 值值 使使令令则则则则例例 装配工人装配某种零件，每只需要装配工人装配某种零件，每只需要2分钟，但分钟，但若装配不合格就需要重装，再要用若装配不合格就需要重装，再要用2分钟，且一分钟，且一定能装好。设每个零件的装配是相互独立的，每定能装好。设每个零件的装配是相互独立的，每个零件需要重装的概率为个零件需要重装的概率为0.3。若每个工人每天的。若每个工人每天的实际工作时间是实际工作时间是8小时，任务是装配小时，
18、任务是装配180个零件，个零件，求工人每天完不成任务的概率的近近似值。求工人每天完不成任务的概率的近近似值。iiiiiiXi1 2180P(X2)0.7,P(X4)0.3E(X)2.6D(X)0.84 i i解解设设第第 个个零零件件的的装装配配时时间间为为，X X 相相互互独独立立同同服服从从两两点点分分布布，180180iii 1i 1180ii 1PX4801 PX480X1802.64801802.61P1800.841800.841(0.9759)0.166 i1iXi1,2,180i 又又解解考考虑虑需需重重装装的的零零件件数数第第 个个零零件件需需要要重重装装设设0 0第第 个个零零件件不不需需要要重重装装180180iii 1i 1180ii 1PX601P0X60X1800.301800.3601800.31P1800.30.71800.30.71800.30.71(0.9757)0.166 180ii 1X b(180,0.3)
