1、 数学课程标准中指出：学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、试验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。何谓合情推理？所谓合情推理就是从具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段而进行的一种推理这种推理的途径是从观察、实验入手，通过类比而产生联想，或通过归纳而作出猜想这就是说，合情推理的条件与结论之间是以联想或猜想作为桥梁的。归纳推理、类比推理、统计推理是其三种重要形式。合情推理与演绎推理的关系合情推理与演绎推理的关系。科学结论科学结论(包括数学的定理包括数学的定理,法则法则,公式公式等等)发现往往发端于对事物的观察发现往往发端于对事物的观察
2、,比较比较,归纳归纳,类比类比即通过合情推理提出猜即通过合情推理提出猜想想,然后再通过演绎推理证明猜想正确然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误或错误.长期以来长期以来,中学数学教学一直强调教学中学数学教学一直强调教学的严谨性的严谨性,过分渲染逻辑推理的重要性过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理而忽视了生动活泼的合情推理,使人们使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学误认为数学就是一门纯粹的演绎科学.事实事实上上,数学发展史中的每一个重要的发现数学发展史中的每一个重要的发现,除除演绎推理外演绎推理外,合情推理也起重要作用合情推理也起重要作用,如哥如哥德巴赫猜想德巴赫猜想,费尔马大定理
3、费尔马大定理,四色问题等的四色问题等的发现发现.其它学科的一些重大发现也是科学家其它学科的一些重大发现也是科学家通过合情推理通过合情推理,提出猜想提出猜想,假说和假设假说和假设,再经再经过演绎推理或实验得到的过演绎推理或实验得到的.如牛顿通过苹果如牛顿通过苹果落地而产生灵感落地而产生灵感,经过合情推理经过合情推理,提出万有提出万有引力的猜想引力的猜想,后来通过库仑的纽秤实验证实后来通过库仑的纽秤实验证实.合情推理与演绎推理是相辅相成的合情推理与演绎推理是相辅相成的.发展学生合情推理能力的意义？合情推理的核心是新的发现，即创新合情推理的核心是新的发现，即创新性性。培养学生的创新能力是其目的所。培
4、养学生的创新能力是其目的所 在。在。这种创新性主要来源于合情推理过程中这种创新性主要来源于合情推理过程中的直觉和灵感直觉是一种思维形式，它的直觉和灵感直觉是一种思维形式，它是在丰富的知识与经验的基础上，在短时是在丰富的知识与经验的基础上，在短时间内直观地把握事物的本质、瞬间做出判间内直观地把握事物的本质、瞬间做出判断的思维形式在合情推理的过程中，无断的思维形式在合情推理的过程中，无论是类比联想，还是归纳联想，往往要借论是类比联想，还是归纳联想，往往要借助于直觉思维助于直觉思维灵感在合情推理中，也是一种重要的灵感在合情推理中，也是一种重要的思维形式灵感是经过长期思维后的思维形式灵感是经过长期思维
5、后的瞬间顿悟，是思维的信息迅速转化和瞬间顿悟，是思维的信息迅速转化和急剧重组，形成新的信息系统，从而急剧重组，形成新的信息系统，从而使思维出现新的突破例如，俄国化使思维出现新的突破例如，俄国化学家门捷列夫给出的元素周期表，就学家门捷列夫给出的元素周期表，就“完成了科学史上的一个勋业完成了科学史上的一个勋业”前前苏联科学史学家凯德洛夫曾经详尽的苏联科学史学家凯德洛夫曾经详尽的研究了门捷列夫的发现过程研究了门捷列夫的发现过程 据凯德洛夫介绍，门捷列夫的第一张元素周期据凯德洛夫介绍，门捷列夫的第一张元素周期表出现于表出现于1869年年2月月17日虽然在此以前，门日虽然在此以前，门捷列夫曾经从各个方面
6、研究过元素及其他化合捷列夫曾经从各个方面研究过元素及其他化合物的各种相互关系，但总不得要领发现周期物的各种相互关系，但总不得要领发现周期律的决定性观念是在很短的时间里产生的，那律的决定性观念是在很短的时间里产生的，那一天，门捷列夫动身离开彼德堡去办与周期律一天，门捷列夫动身离开彼德堡去办与周期律毫不相干的事情，就在一切准备就绪，提了箱毫不相干的事情，就在一切准备就绪，提了箱子要上火车之际，一个天才的猜想在他脑海里子要上火车之际，一个天才的猜想在他脑海里突然闪现，于是，在这种紧张的突然闪现，于是，在这种紧张的“思索时间不思索时间不足足”之中诞生了伟大的发现门捷列夫当天就之中诞生了伟大的发现门捷列
7、夫当天就把元素周期表送往印刷厂发排，这是一个直觉把元素周期表送往印刷厂发排，这是一个直觉闪现和顿悟的典型事例闪现和顿悟的典型事例由此可见，灵感的出现往往会带来一由此可见，灵感的出现往往会带来一种崭新的思想、方法，从而使思维结种崭新的思想、方法，从而使思维结果具有创新性爱因斯坦曾经宣称果具有创新性爱因斯坦曾经宣称“我相信直觉和灵感我相信直觉和灵感”许多发明和许多发明和创造的事实都证实了直觉和灵感在其创造的事实都证实了直觉和灵感在其创造过程中的决定作用这就更加肯创造过程中的决定作用这就更加肯定了合情推理的核心是创造性的这一定了合情推理的核心是创造性的这一特征。发展学生的合情推理能力，培特征。发展学
8、生的合情推理能力，培养学生发现的本领，是现阶段教育的养学生发现的本领，是现阶段教育的核心。也与我国现阶段提出的发展创核心。也与我国现阶段提出的发展创新型国家，发展创新性人才的国策相新型国家，发展创新性人才的国策相吻合吻合 如何培养学生的合情推理能力？能力的发展决不等同于知识与技能的获得能力的发展决不等同于知识与技能的获得.能力的能力的形成是一个缓慢的过程形成是一个缓慢的过程,有其自身的特点和规律有其自身的特点和规律,它不是学生它不是学生“懂懂”了了,也不是学生也不是学生“会会”了了,而是而是学生自己学生自己“悟悟”出了道理、规律和思考方法等出了道理、规律和思考方法等.这这种种“悟悟”只有在数学
9、活动中才能得以进行只有在数学活动中才能得以进行,因而教因而教学活动必须给学生提供探索交流的空间学活动必须给学生提供探索交流的空间,组织、引组织、引导学生导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程动过程”,并把推理能力的培养有机融合在这样的并把推理能力的培养有机融合在这样的“过程过程”之中之中.任何试图把能力任何试图把能力“传授传授”给学生给学生,试图把能力培养试图把能力培养“毕其功于一役毕其功于一役”的做法的做法,都不可都不可能真正取得好的效果。能真正取得好的效果。首先、为学生的合情推理创设空间 波利亚说：波利亚说：“有效地应用合情推理是一种实际技能有效
10、地应用合情推理是一种实际技能”，“要通过模仿和实践来学习它，在实践中发展合情推理要通过模仿和实践来学习它，在实践中发展合情推理能力能力”，因此，教师要充分发挥其主导作用，引导学因此，教师要充分发挥其主导作用，引导学生参与教学。问题情境的创设是学生参与学习的前提。生参与教学。问题情境的创设是学生参与学习的前提。把学科的内容隐入情境，提供给学生足以探索的数学材把学科的内容隐入情境，提供给学生足以探索的数学材料，创设具有一定合理自由度的思维空间，要突出问题料，创设具有一定合理自由度的思维空间，要突出问题（应有一定的难度和开放性），把问题放在（应有一定的难度和开放性），把问题放在“需要需要”与与“认知
11、结构认知结构”矛盾的风口浪尖。不仅要创设引入问题的矛盾的风口浪尖。不仅要创设引入问题的情境，也要创设好每个环节的情境。情境的创设应满足：情境，也要创设好每个环节的情境。情境的创设应满足：a.可能导致发现；可能导致发现；b.一定的趣味性；一定的趣味性；C.便于学生参与，便于学生参与，但要防止让学生看了书上的结论一语点破。但要防止让学生看了书上的结论一语点破。如如 学习学习“有理数乘法运算定律有理数乘法运算定律”时，可以时，可以联系学生原有联系学生原有“学习加法运算定律学习加法运算定律”的的知识经验，利用类比推理创设问题情境知识经验，利用类比推理创设问题情境 例1学习学习“车轮为什么是圆形车轮为什
12、么是圆形”时为学生创设时为学生创设一个操作情境：可以提供图钉、铅笔、棉一个操作情境：可以提供图钉、铅笔、棉线等材料，让学生在自主探索如何画圆时，线等材料，让学生在自主探索如何画圆时，初步发现圆的基本性质和概念。初步发现圆的基本性质和概念。例2再以多媒体动画展示儿童玩风车的情境。同时再以多媒体动画展示儿童玩风车的情境。同时,给给学生提出诸如学生提出诸如“风车旋转时所形成的是什么图风车旋转时所形成的是什么图形形”、“为什么这些图形的大小各有不同为什么这些图形的大小各有不同”等问等问题。学生在观察中发现题。学生在观察中发现,这些风车尽管在颜色、形这些风车尽管在颜色、形状和大小等方面各有不同状和大小等
13、方面各有不同,但是但是,当它们在风力的当它们在风力的作用下快速转动时作用下快速转动时,所产生的视觉效果却有着相似所产生的视觉效果却有着相似性性,即即“变成变成”了一个个色彩斑斓的了一个个色彩斑斓的“圆圆”。在交。在交流与探究中流与探究中,学生还发现了学生还发现了“圆圆”的大小与风车叶的大小与风车叶片长度之间的关系。可见片长度之间的关系。可见,这种动态的视觉效果不这种动态的视觉效果不仅增强了情境的趣味性仅增强了情境的趣味性,而且也给学生提供了一个而且也给学生提供了一个深入感知深入感知“圆圆”的基本特征的经验平台。在随后的基本特征的经验平台。在随后的学习活动中的学习活动中,学生通过对折学生通过对折
14、(事先准备的事先准备的)圆形纸圆形纸片片,进一步发现和认识了进一步发现和认识了“圆圆”的基本要素的基本要素圆心和半径以及圆心和半径以及“圆圆”的基本特征与对称性。的基本特征与对称性。二、把合情推理能力的培养有机地融合在数学教学的过程中 日本的著名教育家米山国藏曾说：日本的著名教育家米山国藏曾说：“我们搞了我们搞了这么多年的数学教育，发现学生们在初中、高这么多年的数学教育，发现学生们在初中、高中等接受的数学知识，出校不到一两年，很快中等接受的数学知识，出校不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，惟就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，惟有深深铭记于头脑中的数学精神、数学思维的有深深
15、铭记于头脑中的数学精神、数学思维的方法、研究方法、推理方法却随时发生作用，方法、研究方法、推理方法却随时发生作用，使他们受益终生使他们受益终生”。也正因为如此，我们在不。也正因为如此，我们在不同教学时如果能注意对学生合情推理能力培养，同教学时如果能注意对学生合情推理能力培养，学生会因此积累一些解决问题的经验。学生会因此积累一些解决问题的经验。数学中的法则、性质、公式或辨析易混概念等教数学中的法则、性质、公式或辨析易混概念等教学时，我们可以有意识地引导学生根据所掌握的学时，我们可以有意识地引导学生根据所掌握的信息，对一定条件下可能产生的结论，用合理推信息，对一定条件下可能产生的结论，用合理推理的
16、方法先进行合理的猜测，形成假说、猜想，理的方法先进行合理的猜测，形成假说、猜想，然后再予以验证，从而得出法则、性质、公式等然后再予以验证，从而得出法则、性质、公式等知识。知识。1、发现规律性知识时 例3“平方差公式平方差公式”的教学可设置如下的问题串的教学可设置如下的问题串(见见标准标准第第9394页页):(1)计算并观察下列每组算式计算并观察下列每组算式 (2)已知已知2525=625,那么那么2426=_.(3)你能举出一个类似的例子吗？你能举出一个类似的例子吗？(4)从上述过程从上述过程,你发现了什么规律你发现了什么规律 你能用语言叙述这个你能用语言叙述这个规律吗规律吗 你能用代数式表示
17、这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？(5)你能证明自己所得到的规律吗你能证明自己所得到的规律吗？88=6479=6355=2546=241212=1441113=143在这样的过程中在这样的过程中,学生从对具体算式的观察学生从对具体算式的观察,比较中比较中,通通过合情推理过合情推理(归纳归纳)提出猜想提出猜想,进而用数学符号表达进而用数学符号表达若若aa=m,则则(a-1)(a+1)=m-1,然后用多项式乘法法然后用多项式乘法法则证明猜想是正确的则证明猜想是正确的.例4观察算式观察算式:34+43=77,51+15=66,26+62=88,你发现了什么你发现了什么?可能的猜想可能的猜想:个
18、位数字与十位数字互换前后的两个个位数字与十位数字互换前后的两个两位数的和是个位数字与十位数字相同的一个两两位数的和是个位数字与十位数字相同的一个两位数位数;所得的两位数能被所得的两位数能被11整除整除验证验证:74+47=121,原来的猜想成立吗原来的猜想成立吗?再继续验证再继续验证,结论仍然成立吗结论仍然成立吗?以上是进行归纳推理以上是进行归纳推理(合情推理合情推理)的过程的过程问题问题:能否证明结论是正确的呢能否证明结论是正确的呢?方法一方法一:对所有的两位数一一加以验证对所有的两位数一一加以验证,但这既繁复又费但这既繁复又费时时;方法二方法二:若若a,b表示一个两位数两个数位上的数字表示
19、一个两位数两个数位上的数字,则则(a10+b)+(b10+a)=11a+11b=11(a+b),于是于是所得所得的两位数能被的两位数能被11整除整除的猜想得到证实的猜想得到证实这样的过程这样的过程,是一个经历观察是一个经历观察,猜想猜想,归纳归纳,证明的过程证明的过程,即即既有合情推理又有演绎推理的过程既有合情推理又有演绎推理的过程.2、预测可能性问题时 例5“体验事件发生的可能性，游戏规则的公平性，计算一体验事件发生的可能性，游戏规则的公平性，计算一些简单事件发生的可能性。些简单事件发生的可能性。”这是这是标准标准的具体目标的具体目标之一。学生在日常生活、游戏中，的确需要对一些可能之一。学生
20、在日常生活、游戏中，的确需要对一些可能发生的事件，作出判断和合情推理。发生的事件，作出判断和合情推理。在两方球队比赛时，预测此场比赛谁获胜的可能性大，在两方球队比赛时，预测此场比赛谁获胜的可能性大，并阐述理由。引导学生根据两支球队以往比赛的胜负并阐述理由。引导学生根据两支球队以往比赛的胜负情况或当时赛场的情况等方面作出假设，提醒学生利情况或当时赛场的情况等方面作出假设，提醒学生利用类比、归纳等多种方法进行猜想，从而得出合情推用类比、归纳等多种方法进行猜想，从而得出合情推理的结果。理的结果。例6两个人握一次手两个人握一次手,若每两人握一次手若每两人握一次手,则三个人共则三个人共握几次手？握几次手
21、？n个人共握多少次手呢？个人共握多少次手呢？(通过合情通过合情推理探索规律推理探索规律)这与这与“由上海开往北京的由上海开往北京的1462次列车途中停靠次列车途中停靠23个站个站(不包括上海和北京不包括上海和北京),这次列车共发售多这次列车共发售多少种不同的车票少种不同的车票”这样的问题这样的问题,有什么联系呢有什么联系呢？(类比类比)3、实验探究问题时 引导学生对要探究的问题，通过动手操作，计算引导学生对要探究的问题，通过动手操作，计算初步形成假说、猜想，但此时学生对知识的理解初步形成假说、猜想，但此时学生对知识的理解仅停留在猜测阶段，没有真正的内化。我们应积仅停留在猜测阶段，没有真正的内化
22、。我们应积极引导学生创造条件，要求学生极引导学生创造条件，要求学生“做出来看一做出来看一看看”，这也是数学课在对猜想进行推理证明前所，这也是数学课在对猜想进行推理证明前所进行的必要步骤。教师在实验的过程中，应起到进行的必要步骤。教师在实验的过程中，应起到画龙点睛的作用，帮助学生用类比、特殊化等合画龙点睛的作用，帮助学生用类比、特殊化等合性推理的方法选择特例或设计实验来检验猜想，性推理的方法选择特例或设计实验来检验猜想，并引导学生用学科规范的语言表达结论；在逐步并引导学生用学科规范的语言表达结论；在逐步形成结论的过程中，教师要引导学生真正暴露出形成结论的过程中，教师要引导学生真正暴露出合情推理的
23、思维过程，并使之得到优化合情推理的思维过程，并使之得到优化。图图1探索下列问题：探索下列问题：（1 1）在图）在图1 1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成4545角的直角的直线、任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；线、任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；我们知道：由于我们知道：由于圆是中心对称图圆是中心对称图形，所以过圆心形，所以过圆心的任何一条直线的任何一条直线都可以将圆分割都可以将圆分割成面积相等的两成面积相等的两部分
24、部分 例7中心对称图形，过中心的任何一条直线都中心对称图形，过中心的任何一条直线都可以将其分割成面积相等的两部分可以将其分割成面积相等的两部分图2mmmmn图3（2）一条竖直方向的直线）一条竖直方向的直线m以及任意的直线以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为六边形分成左右两部分，其面积分别记为S S1 1和和S S2 21 1 请你在图请你在图2 2中相应图形下方的横线上，分别填写中相应图形下方的横线上，分别填写S S1 1与与S S2 2的数量关系式（用的数量关系式（用 “”，“”，“”连接）；连接）；2 2 请你在图
25、请你在图12123 3中分别画出反映中分别画出反映S S1 1与与S S2 2三种大小关系的直线三种大小关系的直线n n，并在相应图形下，并在相应图形下方的横线上，分别填写方的横线上，分别填写S S1 1与与S S2 2的数量关系式（用的数量关系式（用“”，“”，“”连连接）接）S1S2S1S2S1S2S1S2S1S2S1S2任意方向的直线在由左向右在由左向右平移的过程中平移的过程中都可以将中心对称图形分割的两部分面积，可以产生由小于到等于再到大于的变化过程。（3 3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4 4）分割）分割成面积相等的两部分
26、？请简略说出理由成面积相等的两部分？请简略说出理由 图4S1S2S1S2S1S2任意方向的直线在由左向右平移的过程中在由左向右平移的过程中都可以将中心对称图形分割的两部分面积，可以产生由小于到等于再到大于的变化过程。三、在反思、评价和引申中培养合情推理能力 对学生合情推理的能力的培养与提高离不开学对学生合情推理的能力的培养与提高离不开学生对其生对其“提出猜想提出猜想检验检验”；“修正猜想修正猜想验证、证明验证、证明”这一学习过程的反思。无论是这一学习过程的反思。无论是提出猜想的过程、修正猜想还是验证猜想的过提出猜想的过程、修正猜想还是验证猜想的过程都必须进行适当的反思，通过反思可以让学程都必须
27、进行适当的反思，通过反思可以让学生更好地认识猜想的提出必须要有合理性且充生更好地认识猜想的提出必须要有合理性且充满着探索性和创造性，感受验证和证明的必要。满着探索性和创造性，感受验证和证明的必要。反思也是提高学生提出猜想的质量，修正猜想反思也是提高学生提出猜想的质量，修正猜想的能力和验证猜想的能力必不可少的重要一环，的能力和验证猜想的能力必不可少的重要一环，同时也是学生学会数学思考的必要条件。同时也是学生学会数学思考的必要条件。平常我们应多要求学生在形成结论后，及时平常我们应多要求学生在形成结论后，及时回顾和重新审视解决问题的全过程，如：在得回顾和重新审视解决问题的全过程，如：在得出出“结论的
28、特征结论的特征”后，教师可适当反思：刚才后，教师可适当反思：刚才我们是怎样发现规律的？学生可能会说出探究我们是怎样发现规律的？学生可能会说出探究问题时的过程问题时的过程“先先再再”；也可能说出；也可能说出自己在学习过程中听取了哪些同学的意见，受自己在学习过程中听取了哪些同学的意见，受到了哪些启发；聪明的学生就会能根据所学习到了哪些启发；聪明的学生就会能根据所学习的内容进行质疑，寻找新的思路、方法。在引的内容进行质疑，寻找新的思路、方法。在引导学生自我认知的过程中，重建学生的认知结导学生自我认知的过程中，重建学生的认知结构，使其与原有知识的逻辑联系更明晰，使某构，使其与原有知识的逻辑联系更明晰，使某些些“技巧技巧”上升为上升为“方法方法”，使一些有意义的，使一些有意义的经验、方法、思想得到及时的提取。经验、方法、思想得到及时的提取。同时，在学生进行合情推理的过程中教同时，在学生进行合情推理的过程中教师作为学生学习的合作者和指导者，必师作为学生学习的合作者和指导者，必须对学生的合情推理进行积极地评价，须对学生的合情推理进行积极地评价，尤其对学生的认识体会教师要进行及时尤其对学生的认识体会教师要进行及时的、有效的分析和概括，帮助学生对解的、有效的分析和概括，帮助学生对解决问题的方法进行提炼和哲学思考。决问题的方法进行提炼和哲学思考。
