1、理想流体有旋无旋流动理想流体有旋无旋流动8.1 8.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程 单位时间内单位时间内x x方向净质量流量方向净质量流量dxdydzx)v(x 同理：单位时间内同理：单位时间内y y方向净质量流量方向净质量流量dxdydzy)v(y z z方向：方向：dxdydzz)v(z 单位时间内控制体内密度变化引起的质量变化量为：单位时间内控制体内密度变化引起的质量变化量为：dxdydzt l 由质量守恒：即：控制体内流体质量的增长率即：控制体内流体质量的增长率 通过界面流出控制体的质量流量通过界面流出控制体的质量流量0 08.1 8.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程
2、0z)v(y)v(x)v(tzyx 微分形式的连续方程微分形式的连续方程kzjyix zvyvxvvzyx z)v(y)v(x)v()v(zyx 引入哈密顿算子引入哈密顿算子8.1 8.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程0)v(t 用欧拉法分析流体运动时用欧拉法分析流体运动时:zvyvxvtdtdzyx 当地导数当地导数迁移导数迁移导数0z)v(y)v(x)v(tzyx 展开并整理，得：展开并整理，得：0)zvyvxv(dtdzyx 0)v(dtd 8.1 8.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程vzvyvxv)vzyx div(0)v(t div0)v(dtd div 散度：散度：
3、微分形式的连续方程适用于所有流体（粘性、理想），所有微分形式的连续方程适用于所有流体（粘性、理想），所有流态（层、紊、亚音速、超音速等）。流态（层、紊、亚音速、超音速等）。8.1 8.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程 对定常流动：对定常流动：0z)v(y)v(x)v(zyx 0)v(div0)v(0zvyvxvzyx 0)v(div0v 对不可压缩流体定常流动：对不可压缩流体定常流动：5 欧拉积分 伯努利积分如果已知，则可得速度场。绕这一点的旋转运动；亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）9 有势流动 速度势和流函数 流网8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理几个无旋流动的速度势及流函数的代数和等
4、于新的无旋流动的速度势和流函数。其中vx0，vy0为常数角变形速度的定义为每秒内一个直角的角度变化量。10 几种简单不可压缩流体平面流动当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。1 微分形式的连续方程2 流体微团运动的分解规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；流网：在平面上可以将等势线簇和流线簇构成正交网络，称为流网。在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出，这种流动称为点源，这个点称为源点。8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定
5、理微分形式的连续方程适用于所有流体（粘性、理想），所有流态（层、紊、亚音速、超音速等）。1 微分形式的连续方程8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解刚体的运动速度刚体的运动速度刚体任意参考点的平移速度刚体任意参考点的平移速度绕参考点的旋转速度绕参考点的旋转速度流体任一质点流体任一质点速度速度质点上任意参考点的平移速度质点上任意参考点的平移速度绕通过该点的瞬时轴旋转速度绕通过该点的瞬时轴旋转速度变形速度变形速度8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解xzyABCDEFGHdxdydzyvxvzv2dzzv2dyyv2dxxvvxxxx 2dzzv2dyyv2dxxvvv
6、yyyyFY 2dzzv2dyyv2dxxvvvzzzzFZ 8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解2dzzv2dyyv2dxxvvvxxxxFX 2dzxv212dyxv21zy 2dz)xvzv(212dy)xvyv(212dxxvvzxyxxx 2dz)xvzv(212dy)xvyv(21zxyx 移动移动线变形运动线变形运动角变形运动角变形运动旋转运动旋转运动ABCD22xxxvvdxdyvxy 22yyyvvdxdyvxy 22xxxvvdxdyvxy 22yyyvvdxdyvxy 22xxxvvdxdyvxy 22yyyvvdxdyvxy 22xxxvvdxdyvxy
7、 22yyyvvdxdyvxy xvyv8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解 移动移动移动速度：移动速度：xv yv zv8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解 线变形线变形每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度线变形速度：线变形速度：xvx yvy 角变形角变形8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解角变形速度的定义为每秒内一个直角的角度变化量。记为：角变形速度的定义为每秒内一个直角的角度变化量。记为：)(2 8.2 8.2 流体微团运动的分解流
8、体微团运动的分解通过形心互相垂直的两条中心线直角夹角的减小量（即变化量）通过形心互相垂直的两条中心线直角夹角的减小量（即变化量）为为 ，于是得流体微团在垂直于，于是得流体微团在垂直于z z轴的平面上的角变形轴的平面上的角变形速度分量速度分量 dd dtddtd2z )yvxv(21)dtddtd(21xyz )zvyv(21yzx )xvzv(21zxy )yvxv(21xyz 流体微团角变形速度之流体微团角变形速度之半的三个分量半的三个分量8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解 旋转运动旋转运动d dt tx xv vd dy y dtdty yv vd dx x 流体微团的旋
9、转角速度的定义为每秒内绕同一转轴的两条互相流体微团的旋转角速度的定义为每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值。垂直的微元线段旋转角度的平均值。流体微团沿流体微团沿z z轴的旋转角速度分量轴的旋转角速度分量8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解流体微团旋转角流体微团旋转角速度的三个分量速度的三个分量把以上结果代入把以上结果代入F F点的速度公式点的速度公式8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解在一般情况下流体微团的运动可分解为三部分：随流体微团在一般情况下流体微团的运动可分解为三部分：随流体微团中某一点一起前进的平移运动；绕这一点的旋转运动；变中某一
10、点一起前进的平移运动；绕这一点的旋转运动；变形运动（包括线变形和角变形）。形运动（包括线变形和角变形）。10 几种简单不可压缩流体平面流动角变形速度的定义为每秒内一个直角的角度变化量。9 有势流动 速度势和流函数 流网1 微分形式的连续方程6 涡线 涡管 涡束 涡通量5 欧拉积分 伯努利积分10 几种简单不可压缩流体平面流动3 理想流体的运动微分方程5 欧拉积分 伯努利积分9 有势流动 速度势和流函数 流网当a 时，qv 且保持2aqv=M为一有限常数。8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理注：定常流动不需要给定初始条件。此方程组称为兰姆（HLamb）运动微分方程。在流线上 0或常数。11 几种简单
11、平面无旋流动的叠加平面流动的流线微分方程为流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动。角变形速度的定义为每秒内一个直角的角度变化量。在每条流线上函数都有它自己的常数值，所以称函数为流函数。8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理8.2 8.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解 流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动；流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动；0 0 流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动。流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动。0 0 有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而
12、与流体微团本身的运动轨迹无关。团本身的运动轨迹无关。8.3 8.3 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程xzyABCDEFGHdxdydz2dxxpp2dxxppxfzfyf在在x x方向：方向：8.3 8.3 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程a am mF F x xp pf fdtdtdvdvx xx x 1 1y yp pf fd dt td dv vy yy y 1 1z zp pf fdtdtdvdvz zz z 1 1理想流体的欧拉运理想流体的欧拉运动微分方程组动微分方程组p pf fd dt tv vd d 1 1矢量形式：矢量形式：8.3 8.3 理想流体的
13、运动微分方程理想流体的运动微分方程 欧拉方程对于不可压缩流体和可压缩流体都是适用的。欧拉方程对于不可压缩流体和可压缩流体都是适用的。当当 时欧拉运动微分方程成为欧拉平衡时欧拉运动微分方程成为欧拉平衡微分方程。微分方程。0zyxvvv8.3 8.3 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程的另一种形式理想流体的运动微分方程的另一种形式此方程组称为兰姆（此方程组称为兰姆（H HLambLamb）运动微分方程。）运动微分方程。8.4 8.4 理想流体基本方程组的定解条件理想流体基本方程组的定解条件p方程组的封闭问题方程组的封闭问题连续方程连续方程 1 1个个运动方程运动方程
14、 3 3个个4个个未知量未知量 5 5个：个：,p,v,v,vzyx对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，对于密度仅是压强的函数的流体对于密度仅是压强的函数的流体const )p(8.4 8.4 理想流体基本方程组的定解条件理想流体基本方程组的定解条件p方程组的定解条件方程组的定解条件初始条件初始条件指在起始瞬时指在起始瞬时t t0 0所给定的流场中每一点的流动参数。即求得所给定的流场中每一点的流动参数。即求得的解在的解在t t0 0时所应分别满足的预先给定的坐标函数。时所应分别满足的预先给定的坐标函数。注：定常流动不需要给定初始条件。注：定常流动不需要给定初始条件。8.4 8.4 理想流体基本
15、方程组的定解条件理想流体基本方程组的定解条件边界条件边界条件指任一瞬时运动流体所占空间的边界上必须满足的条件。指任一瞬时运动流体所占空间的边界上必须满足的条件。运动学条件：边界上速度运动学条件：边界上速度动力学条件：边界上的力（压强）动力学条件：边界上的力（压强）固体壁面：流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形成空隙，固体壁面：流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形成空隙，即流体与壁面在法线方向的相对分速度应等于零。即流体与壁面在法线方向的相对分速度应等于零。wnnvv 固壁是静止的固壁是静止的0nv不同流体交界面上不同流体交界面上n2n1vv 不同流体交界面或固体壁面不同流体交界面或固体壁面
16、ppamb 8.5 8.5 欧拉积分欧拉积分 伯努利积分伯努利积分p两类积分的前提条件两类积分的前提条件流动是定常的流动是定常的作用在流体上的质量力是有势的作用在流体上的质量力是有势的流体不可压缩或为正压流体流体不可压缩或为正压流体如果流体的密度仅与压强有关，即如果流体的密度仅与压强有关，即=(p)(p)，则这种流场称为，则这种流场称为正压性的，流体称为正压流体。这时存在着一个压强函数正压性的，流体称为正压流体。这时存在着一个压强函数p pF F(x,y,z,t)(x,y,z,t)8.5 8.5 欧拉积分欧拉积分 伯努利积分伯努利积分正压流体存在压强函数正压流体存在压强函数p pF F(x,y
17、,z,t)(x,y,z,t)常见的正压流体常见的正压流体等温（等温（T TT T1 1）流动中的可压缩流体）流动中的可压缩流体;绝热流动中的可压缩流体绝热流动中的可压缩流体;对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，ppF如果是不可压缩流体的平面无旋流动（即有势流动），必然同时存在速度势和流函数流体微团的旋转角速度的定义为每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值。区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界。对于非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，流场中任一点的单位质量流体质量力的位势能、压强势能、和动能的总和保持不变，而这三种
18、机械能可以互相转换。新无旋流动的速度是这些无旋流动速度的矢量和。11 几种简单平面无旋流动的叠加微分形式的连续方程适用于所有流体（粘性、理想），所有流态（层、紊、亚音速、超音速等）。8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理流体微团的旋转角速度的定义为每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值。8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理流网：在平面上可以将等势线簇和流线簇构成正交网络，称为流网。当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。不同流体交界面或固体壁面10 几
19、种简单不可压缩流体平面流动这一性质对任何方向都成立。11 平行流绕过圆柱体的平面流动在有旋流动流场的全部或局部区域中连续地充满着绕自身轴线旋转的流体微团，于是形成了一个用角速度 表示的涡量场（或称角速度场）。通过界面流出控制体的质量流量0通过界面流出控制体的质量流量07 速度环量 斯托克斯定理在流线上 0或常数。只要是不可压缩流体的平面流动，就存在着流函数。10 几种简单不可压缩流体平面流动微分形式的连续方程适用于所有流体（粘性、理想），所有流态（层、紊、亚音速、超音速等）。10 几种简单不可压缩流体平面流动在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形
20、成一个管状表面，称为涡管。运动学条件：边界上速度8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理新无旋流动的速度是这些无旋流动速度的矢量和。对有旋流动，沿某条流线求积分角变形速度的定义为每秒内一个直角的角度变化量。不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。9 有势流动 速度势和流函数 流网8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理固体壁面：流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形成空隙，即流体与壁面在法线方向的相对分速度应等于零。理想流体的欧拉运动微分方程组流体微团的旋转角速度的定义为每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值。不同流体交界面或固体壁面当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线
21、的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。推论：涡管不可能在流体中终止。即：控制体内流体质量的增长率在以上三个前提条件下在以上三个前提条件下,兰姆运动微分方程可简化为兰姆运动微分方程可简化为:8.5 8.5 欧拉积分欧拉积分 伯努利积分伯努利积分p 欧拉积分欧拉积分8.5 8.5 欧拉积分欧拉积分 伯努利积分伯努利积分在无旋流动中在无旋流动中0zyx欧拉积分式欧拉积分式对于非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质对于非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，流场中任一点的单位质量流体量力作用下作定常无旋流动时，流场中任一点的单位质量流体质量力
22、的位势能、压强势能、和动能的总和保持不变，而这三质量力的位势能、压强势能、和动能的总和保持不变，而这三种机械能可以互相转换。种机械能可以互相转换。p 伯努利积分伯努利积分8.5 8.5 欧拉积分欧拉积分 伯努利积分伯努利积分对有旋流动，沿某条流线求积分对有旋流动，沿某条流线求积分8.5 8.5 欧拉积分欧拉积分 伯努利积分伯努利积分定常流动流场中的流线和迹线重合，定常流动流场中的流线和迹线重合，dxdx、dydy、dzdz就是在就是在dtdt时间时间内流体微团的位移内流体微团的位移dsdsvdtvdt在三个轴向的分量。在三个轴向的分量。const22vpF对于非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压
23、流体，在有势的对于非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，沿同一流线上各点单位质质量力作用下作定常有旋流动时，沿同一流线上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持常数值，量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持常数值，而这三种机械能可以互相转换。而这三种机械能可以互相转换。p 伯努利方程伯努利方程8.5 8.5 欧拉积分欧拉积分 伯努利积分伯努利积分质量力仅仅是重力质量力仅仅是重力不可压缩流体不可压缩流体gzconstppFconst22vpgz8.6 8.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量在有旋流动流场的全部或局部区域中
24、连续地充满着绕自身轴在有旋流动流场的全部或局部区域中连续地充满着绕自身轴线旋转的流体微团，于是形成了一个用角速度线旋转的流体微团，于是形成了一个用角速度 表示的涡量场（或称角速度场）。表示的涡量场（或称角速度场）。),(tzyx流线流线流管流管流束流束流量流量涡线涡线涡管涡管涡束涡束涡通量涡通量8.6 8.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量p 涡线涡线涡线是一条曲线，在给定瞬时涡线是一条曲线，在给定瞬时t t，这条曲线上每一点的切线与，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合，所以涡线也就位于该点的流体微团的角速度的方向相重合，所以涡线也就是沿曲线各流体微团的
25、瞬时转动轴线。是沿曲线各流体微团的瞬时转动轴线。p 涡管涡管 涡束涡束8.6 8.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量在给定瞬时，在涡量场中任取一在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管。形成一个管状表面，称为涡管。涡管中充满着作旋转运动的流体，涡管中充满着作旋转运动的流体，称为涡束。称为涡束。p 涡通量涡通量8.6 8.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量旋转角速度的值旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积与垂直于角速度方向的微元涡管横
26、截面积dAdA的乘积的两倍称为微元涡管的涡通量的乘积的两倍称为微元涡管的涡通量(也称涡管强度也称涡管强度)。dAdJ2有限截面涡管的涡通量有限截面涡管的涡通量AndAJ28.7 8.7 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某一核心旋转，涡通量越大，实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某一核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋转范围越扩大。旋转速度越快，旋转范围越扩大。可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系。可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系。p速
27、度环量速度环量速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分。速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分。sdv8.7 8.7 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的正方包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统。向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统。8.7 8.7 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理p斯托克斯定理斯托克斯定理当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该当封
28、闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。封闭周线内所有涡束的涡通量之和。AnkdAJ2适用于微元涡束、有限单连通区域、空间曲面。适用于微元涡束、有限单连通区域、空间曲面。8.7 8.7 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理单连通区域单连通区域区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界。区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界。这种区域称为单连通区域。否则，称为多连通区域。这种区域称为单连通区域。否则，称为多连通区域。8.7 8.7 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理对多连通域：对多连通域：dAAnKK221通
29、过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度环通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环量总和之差。量与沿所有内周线的速度环量总和之差。8.8 8.8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理p 汤姆孙（汤姆孙（W.ThomsonW.Thomson）定理）定理正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有势质量力作用对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有势质量力作用下速度环量
30、和旋涡都是不能自行产生、也是不能自行消灭的。下速度环量和旋涡都是不能自行产生、也是不能自行消灭的。流场中原来有漩涡和速度环量的，永远有漩涡和保持原有的环量；流场中原来有漩涡和速度环量的，永远有漩涡和保持原有的环量；原来没有漩涡和速度环量的，就永远没有漩涡和环量原来没有漩涡和速度环量的，就永远没有漩涡和环量速度势和流函数存在以下关系：1 微分形式的连续方程平行流绕过圆柱体的平面流动+点涡推论：涡管不可能在流体中终止。3 理想流体的运动微分方程对不可压缩流体定常流动：亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系。单位时间内控制体内密度变化引起的质量变化
31、量为：变形运动（包括线变形和角变形）。5 欧拉积分 伯努利积分3 理想流体的运动微分方程1 微分形式的连续方程作用在流体上的质量力是有势的9 有势流动 速度势和流函数 流网5 欧拉积分 伯努利积分速度势函数 速度势10 几种简单不可压缩流体平面流动a 0时 偶极流(偶极子)绕通过该点的瞬时轴旋转速度5 欧拉积分 伯努利积分8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理8.8 8.8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理亥姆霍兹第一定理亥姆霍兹第一定理在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。8.8 8.8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理推论：涡管不可能在流体中终止。只能自成封闭的管圈
32、推论：涡管不可能在流体中终止。只能自成封闭的管圈或起于边界、终于边界。或起于边界、终于边界。亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。为由相同流体质点组成的涡管。8.8 8.8 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。强度不随时间而变化，永远保持定值。8.
33、9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网p有势流动有势流动 速度势速度势对无旋流动：对无旋流动：0此式是此式是 成为某一函数的全微分的必要且充分的条件。成为某一函数的全微分的必要且充分的条件。dzvdyvdxvzyx用用(x,y,z,t)(x,y,z,t)表示该函数表示该函数8.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网),(tzyx速度势函数速度势函数 速度势速度势速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数。速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数。这一性质对任何方向都成立。这一性质对任何方向都成立。svs8.9 8
34、.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网对于柱面坐标对于柱面坐标当不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在。当不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在。无旋流动有势流动无旋流动有势流动如果已知如果已知，则可得速度场。，则可得速度场。求求 zyx,v,vv8.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网代入连续方程代入连续方程0zvyvxvzyx02222222zyx拉普拉斯方程拉普拉斯方程2222222zyx拉普拉斯算子拉普拉斯算子对于圆柱坐标对于圆柱坐标8.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流
35、网p 流函数流函数由不可缩流体平面流动的连续方程得由不可缩流体平面流动的连续方程得平面流动的流线微分方程为平面流动的流线微分方程为8.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网函数函数永远满足连续方程。在流线上永远满足连续方程。在流线上 0 0或或常数。在常数。在每条流线上函数每条流线上函数都有它自己的常数值，所以称函数都有它自己的常数值，所以称函数为流为流函数。函数。8.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别
36、为：流函数的微分和速度分量分别为：8.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网流函数的物理意义是，平面流动中两条流线间单位厚度通过的流函数的物理意义是，平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数之差。体积流量等于两条流线上的流函数之差。只要是不可压缩流体的平面流动，就存在着流函数。只要是不可压缩流体的平面流动，就存在着流函数。如果是不可压缩流体的平面无旋流动（即有势流动），必然同如果是不可压缩流体的平面无旋流动（即有势流动），必然同时存在速度势和流函数时存在速度势和流函数对于对于oxyoxy平面上的无旋流动平面上的无旋流动8.9 8.9 有势流
37、动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。调和函数。速度势和流函数存在以下关系：速度势和流函数存在以下关系：8.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网上上式是等势线簇和流线簇互相垂直的条件，式是等势线簇和流线簇互相垂直的条件，即正交性条件。即正交性条件。流网：流网：在平面上可以将等势线簇和流线簇构成正交网络，称为在平面上可以将等势线簇和流线簇构成正交网络，称为流网。流网。例：试证明不可压缩流体平面流动yyxvy22,2xxyvx能满足连续方
38、程，是一个有势流动，并求出速度势。能满足连续方程，是一个有势流动，并求出速度势。解：解：,2xxyvxyyxvy2201212yyyvxvyx8.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网xyvx2xxvy2xvyvyx8.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网dyvdxvdyydxxdyxdyyyxdxxxy)()2(22YdyXdxdF如果如果dyyxYdxyxXyxFxxyy),(),(),(000dyyxYdxyxXyxFxxyy),(),(),(0008.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网dyy
39、ydxxxyxy)0()2(00222322322yyxyxdyxxydxyyx)2()(22dyvdxvdyydxxdxydyyxYdxyxXyxFxxyy),(),(),(0008.9 8.9 有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网dyydxxyyxy)002()(0022332xyxxy设设)(),(yfdxvyxx)(222yfxyxyyxyfxy222)(yyyf2)(23)(23yyyf232),(2322yyxyxyx8.10 8.10 几种简单不可压缩流体平面流动几种简单不可压缩流体平面流动p均匀等速流均匀等速流yvxvdyvdxvdyydxxdyxyx000
40、0jvivjvivvyxyx00其中其中v vx0 x0，v vy0y0为常数为常数yvxvdyvdxvdyydxxdxyxy00008.10 8.10 几种简单不可压缩流体平面流动几种简单不可压缩流体平面流动p 源流和汇流源流和汇流在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出，这在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出，这种流动称为点源，这个点称为源点。种流动称为点源，这个点称为源点。若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点。汇，这个点称为汇点。8.10 8.10 几种简单不可压缩流体平面流动几种简
41、单不可压缩流体平面流动8.10 8.10 几种简单不可压缩流体平面流动几种简单不可压缩流体平面流动8.10 8.10 几种简单不可压缩流体平面流动几种简单不可压缩流体平面流动符合符合0rvr2v的流动的流动点涡点涡p 涡流和点涡涡流和点涡通过界面流出控制体的质量流量06 涡线 涡管 涡束 涡通量7 速度环量 斯托克斯定理平面流动的流线微分方程为5 欧拉积分 伯努利积分10 几种简单不可压缩流体平面流动这一性质对任何方向都成立。2 流体微团运动的分解7 速度环量 斯托克斯定理通过界面流出控制体的质量流量0流场中原来有漩涡和速度环量的，永远有漩涡和保持原有的环量；9 有势流动 速度势和流函数 流网
42、正压流体存在压强函数pF(x,y,z,t)运动学条件：边界上速度当 时欧拉运动微分方程成为欧拉平衡微分方程。正压流体存在压强函数pF(x,y,z,t)流场中原来有漩涡和速度环量的，永远有漩涡和保持原有的环量；新无旋流动的速度是这些无旋流动速度的矢量和。4 理想流体基本方程组的定解条件当a 时，qv 且保持2aqv=M为一有限常数。5 欧拉积分 伯努利积分8.10 8.10 几种简单不可压缩流体平面流动几种简单不可压缩流体平面流动222282rpvpp8.11 8.11 几种简单平面无旋流动的叠加几种简单平面无旋流动的叠加无旋流动叠加后仍然是无旋流动。无旋流动叠加后仍然是无旋流动。几个无旋流动的
43、速度势及流函数的代数和等于新的无旋流几个无旋流动的速度势及流函数的代数和等于新的无旋流动的速度势和流函数。动的速度势和流函数。新无旋流动的速度是这些无旋流动速度的矢量和。新无旋流动的速度是这些无旋流动速度的矢量和。p 源流和汇流叠加源流和汇流叠加8.11 8.11 几种简单平面无旋流动的叠加几种简单平面无旋流动的叠加8.11 8.11 几种简单平面无旋流动的叠加几种简单平面无旋流动的叠加当当a a 时，时，q qv v 且保持且保持2aq2aqv v=M=M为一有限常数。为一有限常数。a 0 a 0时时 偶极流偶极流(偶极子偶极子)M M：偶极矩偶极矩8.11 8.11 几种简单平面无旋流动的
44、叠加几种简单平面无旋流动的叠加令令1C令令2C8.11 8.11 平行流绕过圆柱体的平面流动平行流绕过圆柱体的平面流动p 均匀直线流均匀直线流+偶极流偶极流令令0 x x轴轴半径为半径为的圆的圆8.11 8.11 平行流绕过圆柱体的平面流动平行流绕过圆柱体的平面流动202rvMsin)1(220rrrvcos)1(220rrrv8.11 8.11 平行流绕过圆柱体的平面流动平行流绕过圆柱体的平面流动当当 r=rr=r0 0 时：时：01800v驻点驻点90 vv2max8.11 8.11 平行流绕过圆柱体的平面流动平行流绕过圆柱体的平面流动圆柱面上压强分布圆柱面上压强分布018090前后驻点前
45、后驻点 c cp p1 1 最大最大c cp p3 3 最小最小8.11 8.11 平行流绕过圆柱体的平面流动平行流绕过圆柱体的平面流动当理想流体的平行流无环流地绕流圆柱体时，圆柱体既不受阻力作用，也当理想流体的平行流无环流地绕流圆柱体时，圆柱体既不受阻力作用，也不产生升力。不产生升力。达朗伯疑题达朗伯疑题8.11 8.11 均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动p 平行流绕过圆柱体的平面流动平行流绕过圆柱体的平面流动+点涡点涡8.11 8.11 均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动0 xDFFvFFyL库塔库塔儒可夫斯基升力公式儒可夫斯基升力公式
