1、 吉林市普通中学 20192020 学年度高中毕业班第三次调研测试 理科数学 本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。 注意事项： 1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。 4. 作图可先用铅笔
2、画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求。 1. 已知集合-1,0,1,2A , |lg(1)Bx yx，则AB A. 2 B. 1,0 C. 1 D. 1,0,1 2. 已知复数z满足i z 1 1，则z= A. i 11 22 B. i 11 22 C. i 11 22 D. i 11 22 3. 已知向量ab(3,1),(3, 3) ，则向量b在向量a方向上的投影为 A. 3 B. 3 C. 1
3、 D. 1 4. 已知m n,为两条不重合直线，, 为两个不重合平面，下列条件中， 的充分条件 是 A. mn mn, B. mn mn, C. mn m, n, D. mn m, n, 保 密 5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A. 10 3 B. 3 C. 8 3 D. 7 3 6. 函数f xx 2 ( )cos(2) 3 的对称轴不可能为 A. x 5 6 B. x 3 C. x 6 D. x 3 7. 已知f x( )为定义在R上的奇函数，且满足f xf x(4)( ),当x(0,2) 时， f xx2( )2 , 则f (3) A. 18 B. 18 C. 2
4、 D. 2 8. 已知数列 n a为等比数列，若aaa 768 26，且aa 59 36，则 aaa 768 111 A. 13 18 B. 13 18 或 19 36 C. 13 9 D. 13 6 9. 椭圆 xy 22 1 92 的焦点为F F 12 ,，点P在椭圆上，若PF2| 2 ，则F PF 12 的大小为 A. 150 B. 135 C. 120 D. 90 10. 已知 b abca 0.2 1 2 1 ( ) 2 ,log 0.2, ，则a b c, ,的大小关系是 A. abc B. cab C. acb D. bca 11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元 22
5、2 年，赵爽为周髀算经一书作序时， 介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三 角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1） ） ，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如 图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正 六边形，设A FF A2 ,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率 为 A. 2 13 13 B. 4 13 C. 2 7 7 D. 4 7 AB C DE F A B C D E F 图图1图图2 22 2 1 正视图正视图 俯视图俯视图 侧视图侧视图 12. 已知F F 12 ,分别为双曲线
6、 xy C ab 22 22 :1的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点， 且以F F 12为直径的圆经过点P，若 PF F 12 的面积为b2 2 3 3 ，则双曲线的离心率为 A. 3 B. 2 C. 5 D. 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置 13. 二项式x 5 (2) 的展开式中x3的系数为（用数字作答） . 14. 已知两圆相交于两点A aB( ,3), ( 1,1) ，若两圆圆心都在直线xyb0上，则ab 的 值是 . 15. 若点P(cos ,sin )在直线yx2 上，则cos(2) 2 的值等于 . 16. 已知数列
7、 n a的前n项和 nn Sa 1 4 且 1 1 4 a ，设 xx f xee2( )1 ，则 fafafa7 21222 (log)(log)(log)的值等于 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17.（12 分） 在ABC 中，角A B C, ,的对边分别为a b c, ,，若abCC3(sin3cos). （1）求角B的大小； （2）若A 3 ，D为ABC 外一点，DBCD2,1,求四边形ABDC面积的最大值. 18.（1
8、2 分） 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学 生线上学习。 某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系， 对高 三年级随机选取 45 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于 5 小时的有 19 人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足 120 分的占 8 13 ，统计成绩后得到如下2 2 列联表： 分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计 线上学习时间不少于 5 小时 4 19 线上学习时间不足 5 小时 合计 45 （1）请完成上面2 2列联表；并判断是否有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学
9、生线上学习时间有关”； （2） （）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于 120 分和分数不足 120 分的 两组学生中抽取 9 名学生，设抽到不足 120 分且每周线上学习时间不足 5 小时的人数是X， 求X的分布列（概率用组合数算式表示） ； （）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于 120 分的学生中随 机抽取 20 人，求这些人中每周线上学习时间不少于 5 小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考） 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
10、10.828 （参考公式 n adbc K ab cd ac bd 2 2 () ()()()() 其中nabcd） 19.（12 分） 如图所示，在四棱锥PABCD 中，ABCD,ADABCDDAB 1 ,60 2 ，点 E F,分别为CD AP,的中点. （1）证明：PC面BEF； （2）若PAPD ，且PAPD ，面PAD 面ABCD,求二面角FBEA的余弦 值. 20.（12 分） 已知倾斜角为 4 的直线经过抛物线 2 :2(0)Cxpy p的焦点F，与抛物线C相交于 A、B两点,且| 8AB . （1）求抛物线C的方程； （2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点） ，过P做倾斜角互
11、补的两条直线 1 l、 2 l， 交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为 ，直线CD的倾斜角 为 ，求证： 与 互补. 21.（12 分） 已知函数 2 ( )ln(1)1( ,).f xxaxabxba bR （1）若0a ，试讨论( )f x的单调性； （2）若02,1ab，实数 12 ,x x为方程 2 ( )f xmax的两不等实根， 求证： 12 11 42a xx . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 AB CD E F P 一题计分。 22.（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程
12、为 3cos sin x y （ 为参数） ，以原点O为极 点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin()2 6 . （1）求曲线 1 C的普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程； （2）设,A B为曲线 1 C上位于第一，二象限的两个动点，且 2 AOB ,射线,OA OB交 曲线 2 C分别于,D C，求AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积. 23.（10 分） 已知, ,a b c均为正实数，函数 222 111 ( ) | 4 f xxx cab 的最小值为1. 证明： （1） 222 49abc； （2） 111 1 22abbcac . -
13、7 - 吉林市普通中学 20192020 学年度高中毕业班第三次调研测试 理科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A D A D C A C B D B 二、填空题 13. - 40； 14. -1; 15. 4 5 ； 16. 7 三、解答题 17. 解： （1）3(sin3cos)abCC,由正弦定理得: 3sinsin(sin3cos)ABCC 3sin()sinsin3sincosBCBCBC，即3cossinsinsinBCBC -3 分 sin0,3cossinCBB即tan3B (0, ), 3 BB -6 分 （2）
14、在BCD中，2,1BDCD 222 122 1 2 cosBCD 5 4cosD 又 3 A ， 则ABC为 等 边 三 角 形 ， 2 1 s i n 23 ABC SBC 5 3 3cos 4 D -8 分 又 1 sinsin 2 BDC SBDDCDD， 5 3 sin3cos 4 ABCD SDD 5 3 2sin() 43 D -10 分 当 5 6 D 时 ， 四 边 形A B C D的 面 积 取 最 大 值 ， 最 大 值 为 5 3 2 4 . -12 分 18.解： - 8 - （1） 分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计 线上学习时间不少于 5 小时 15
15、 4 19 线上学习时间不足 5 小时 10 16 26 合计 25 20 45 -3 分 2 2 45(15 16 10 4) 7.296.635 25 20 19 26 K 有 99% 的 把 握 认 为 “ 高 三 学 生 的 数 学 成 绩 与 学 生 线 上 学 习 时 间 有 关 ” -5 分 （ 2 ）（ I ） 由 分 层 抽 样 知 ， 需 要 从 不 足120分 的 学 生 中 抽 取 20 94 45 人 -6 分 X的可能取值为 0，1,2,3,4. 4 4 4 20 (0) C P X C , 31 416 4 20 (1) C C P X C , 22 416 4
16、20 (2) C C P X C 13 416 4 20 (3) C C P X C , 4 16 4 20 (4) C P X C -8 分 （II）从全校不少于 120 分的学生中随机抽取 1 人 此人每周上线时间不少于5小时的概率为 15 0.6 25 -10 分 设从全校不少于 120 分的学生中随机抽取 20 人，这些人中每周线上学习时间不少于 5 小 时的人数为Y，则(20,0.6)YB，故 ()200.612E Y ,( )20 0.6 (1 0.6)4.8D Y -12 分 19解“ （1）证明：连接AC交BE于H，连接FH ,ABCEHABHCE BHACHA ABHCEH
17、AHCHFHPC -2 分 FH 面,FBEPC面FBE - 9 - PC面FBE -4 分 （2）取AD中点O，连PO，OB.由PAPD，POAD 面PAD面ABCD PO面ABCD，又由60DAB，ADAB OBAD 以,OA OB OP分 别 为, ,X Y Z轴 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 -6 分 设2AD ，则(1,0,0)A，(0, 3,0)B,( 1,0,0)D , 11 (0,0,1),( ,0, ) 22 PF (2,0,0)EBDA， 11 ( ,3, ) 22 BF -8 分 1 (0,0,1)n 为面BEA的一个法向量 -9 分 设面FBE的法
18、向量为 2000 (,)nx y z， 依题意， 2 2 0 0 EB n BF n 即 0 000 20 11 30 22 x xyz 令 0 3y ，解得 02 6.(0, 3,6)zn -10 分 12 12 12 ,62 39 cos, 1339 n n n n nn 因为二面角为锐角，故其余弦值为 2 39 13 -12 分 20.解： （1）由题意设直线AB的方程为 2 p yx 令 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy，联立 2 2 2 p yx xpy 得 2 2 30 4 p ypy -3 分 12 3yyp， 根据抛物线的定义得 12 4AByypp，又8AB
19、， 48,2pp AB CD E F P xy z H O - 10 - 故所求抛物线方程为 2 4xy -5 分 （2）依题意，设 2 0 0 (,) 4 x P x， 2 (,) 4 C C x C x， 2 (,) 4 D D x D x 设 1 l的方程为 2 0 0 () 4 x yk xx，与 2 4xy联立 消去y得 22 00 440xkxkxx -7 分 0 4 C xxk，同理 0 4 D xxk -8 分 0 2 CD xxx ， 直 线CD的 斜 率 22 21 21 4() CD xx K xx = 1 () 4 CD xx 0 1 2 x -10 分 切 线l的 斜
20、 率 0 0 1 2 lxx Kyx 。 由0 lCD KK， 得与互 补 -12 分 21. 解： （1）依题意0x，当0a时， 1 ()(1)fxb x -1 分 当1b时 ，()0fx恒 成 立 ， 此 时( )f x在 定 义 域 上 单 调 递 增 ； -3 分 当1b时，若 1 0, 1 x b ，( )0fx；若 1 , 1 x b ，( )0fx 故 此 时( )f x的 单 调 增 、 减 区 间 分 别 为 1 0, 1b 、 1 , 1b -5 分 （2）方法 1：由 2 ( )f xmax得ln(2)20xaxm - 11 - 令( )ln(2)2g xxax，则 12
21、 ( )()g xg xm -7 分 依题意有 1122 ln(2)ln(2)xaxxax， 2 1 12 ln 2 x x a xx - 8 分 要证 12 11 42a xx ，只需证 2 121 1212 2ln 2(2) x xxx a x xxx （不妨设 12 xx） ， 即证 122 211 2ln xxx xxx -10 分 令 2 1 (1) x t t x ， 1 ( )2ln,g ttt t 2 2 211 ( )1(1)0g t ttt ， ( )g t在(1,)单 调 递 减 ，( )(1)0g tg， 从 而 有 12 11 42a xx -12 分 方法 2：由
22、2 ( )f xmax得ln(2)20xaxm 令( )ln(2)2g xxax，则 12 ( )()g xg xm， 1 ( )(2)g xa x -7 分 当 1 (0,) 2 x a 时( )0g x， 1 (,) 2 x a 时( )0g x， 故( )g x在 1 (0,) 2a 上 单 调 递 增 ， 在 1 (,) 2a 上 单 调 递 减 ， -8 分 不妨设 12 xx，则 12 1 0 2 xx a ， 要证 12 11 42a xx ，只需证 2 1 2 (42 )1 x x a x ，易知 2 2 1 (0,) (42 )12 x a xa ， 故只需证 2 1 2 (
23、)() (42)1 x gxg a x ，即证 2 2 2 ()() (42)1 x gxg a x -10 分 令( )( )() (42 )1 x h xg xg a x ， （ 1 2 x a ） ， - 12 - 则 2 1 ( )( )() (42 )1 421 x h xg xg a x a x = 2 1 (2)1(2)1 421 a xa x xx a x = 2 2 4(2)21 0 421 aa x a x -11 分 （也可代入后再求导） ( )h x在 1 , 2a 上单调递减， 1 ( )()0 2 h xh a ， 故 对 于 1 2 x a 时 ， 总 有()()
24、 ( 42)1 x g xg a x 。 由 此 得 12 11 42a xx -12 分 22. 解： （1）由曲线 1 C的参数方程为 3cos sin x y （为参数）消去参数得 2 2 1 3 x y -2 分 曲线 2 C的极坐标方程为sin()2 6 即sincoscossin2 66 340xy -4 分 （2）依题意得 1 C的极坐标方程为 22 22 cos sin1 3 - 5 分 设 1 (, )A , 2 (,) 2 B , 3 (, )D , 4 (,) 2 C 则 22 22 1 1 cos sin1 3 ， 22 22 2 2 sin cos1 3 ，故 22
25、12 114 3 -7 分 22 1212 2114 3 ， 当 且 仅 当 12 （ 即 4 ） 时 取 “=” -8 分 故 12 13 24 AOB S ，即AOB面积的最小值为 3 4 -9 分 - 13 - 此时 34 1122 22 sin() cos() 4646 COD S 4 8 cos 3 故所求四边形的面积为 329 8 44 -10 分 23. 证明 （1）, ,0a b c ， 222 111 ( ) 4 f xxx abc 222 111 () 4 xx abc 222 111 4abc 222 111 4abc 1 -3 分 由柯西不等式得 222 (4)abc 222 111 () 4abc 2 (1 1 1)9 当且仅当23abc时取“=”。 222 49abc -5 分 （2） 22 112 , abab 22 111 , 4bcbc 22 111 4acac （以上三式当且仅当23abc时同时取“=”） -7 分 将以上三式相加得 211 abbcac 222 111 2()2 4abc 即 111 1 22abbcac -10 分
