1、热工实验技术与数据处理热工实验技术与数据处理第第 三三 讲讲李李 彦彦2023-2-15热能工程系1第三节第三节 模拟滤波模拟滤波模拟滤波器是对模拟信号实行线性滤波的一种线性非时变系统H(j)xa(t)X(j)ha(t)ya(t)Y(j)X(j)Y(j)H(j)（1）单位冲激响应（2）传递函数（3）频率特性)()(ttx)()(thty)()()(SXSYSH)()()(jXjYjH2023-2-15热能工程系2 一、滤波器的传递函数理想幅频特性理想幅频特性模拟滤波器无源滤波 R,C,L有源滤波 R,C,运算放大器H(j)H0 2H(j)H0 0H(j)H0 0H(j)H0 2 1 10110
2、11)(bsbsasasasHnnnnnnn 二阶传输函数0120122)(bsbsasasasH2023-2-15热能工程系3低通2002200)(sqsHsH带通200200)(sqsqsHsH高通200220)(sqssHsH带阻20022200)()(sqssHsH其中：H0：任意增益因子0：特征频率，对低通，高通，0是截止频率 带通，带阻，0是截止频率q：选择性因子近似方法巴特沃思近似切比雪夫近似贝塞尔近似2023-2-15热能工程系4 通过保角变换ss1得到高通滤波器sss)1(得到带通滤波器sss1)1(得到带阻滤波器例：低通归一化二阶滤波器1)(20qssHsHss111111
3、)(22020qsssHsqsHsH2023-2-15热能工程系51.巴特沃思近似幅频函数njH2211)()()(1)(1)(21nnsssssssBsH 传递函数例：n=1 s1=-1 Bn(s)=s+1 H(s)=1/(s+1)n=1,2,.21111)(jjjH222221111)(jHn=212)(2sssBn121)(2sssH12)(1)(2jjjH4242222222221122112)1(1)2()1(1)(jH巴特沃思多项式2023-2-15热能工程系62.切比雪夫近似Tn()n阶切比雪夫多项式Vn()切比雪夫滤波多项式22)(11)(nTjH)()(0sVHsHn0.5d
4、b波纹n=1S+2.863n=2S2+1.425S+1.5161db波纹n=1S+1.965n=2S2+1.098S+1.103切比雪夫多项式Vn()2023-2-15热能工程系73.贝塞尔近似n=1S+1n=2S2+3S+3)()(0sEHsHnEn()贝塞尔滤波多项式2023-2-15热能工程系84.三种近似方法的特点巴特沃思：通带内幅频曲线的幅度平坦，最平幅度逼近，相移与频率的关系不是很线性的，阶跃响应有过冲。切比雪夫：下降最陡，但通带之间幅频曲线有波纹。贝塞尔：相移和频率之间有良好的线性关系，阶跃响应过冲小，但幅频曲线的下降陡度较差。巴特沃思贝塞尔切比雪夫H()/02023-2-15热
5、能工程系9二、RC有源滤波器无限增益多路反馈电路vov2Y3viv1Y1Y2Y4Y5设A0 ,Ib 根据电流守恒定律，则321214111)()()(YvvYvYvvYvvoi52321)()(YvvYvvo02ooAvv由此解得434321531)()()()(YYYYYYYYYsvsvsHio2023-2-15热能工程系101.低通滤波器将Y1,Y3,Y4用电阻1/R，Y2,Y5用电容CS，带入上式 高频下：C2,C5相当于短路，传输函数为0 低频下：C2,C5相当于开路，传输函数-R4/R1viv1R1C2R4C5v2voR352434312252311111/1)(CCRRRRRCss
6、CCRRsH2002200)(sqsHsH与比较得524301CCRR140RRH4234143251RRRRRRRCCq截止角频率增益因子选择性因子2023-2-15热能工程系112.高通滤波器将Y1,Y3,Y4电容，Y2,Y5用电阻，带入上式 高频下：C1,C3,C4相当于短路，传输函数为1 低频下：C1,C3,C4相当于开路，传输函数=0viv1C1R2C4R5C3vo43523443152241111)(CCRRCCCCCRsssCCsH200220)(sqssHsH与比较得435201CCRR410CCH3443431521CCCCCCCRRq截止角频率增益因子选择性因子2023-2
7、-15热能工程系12三、设计方法1.选类型，阶数2.去归一化（所有手册给出的都是归一化传输函数3.多路反馈实现，求元件值归一化H()0H0H()1H0去归一化0推广到复数0ss 2023-2-15热能工程系13例1：二阶低通巴特沃思滤波器，截止频率f0=10Hz121)(2 sssH832.620sss去归一化86.394784.888.39472)(2200220sssssH用多路反馈电路来实现8.39471524320CCRR84.88111143120RRRCq707.084.88832.62q若令R=R1=R3=R4=10K则8.39471252RCC84.8832RCFC75.08.
8、3947101038.31865FC38.322023-2-15热能工程系14例2：二阶高通切比雪夫滤波器，截止频率f0=10Hz通带波纹3db解：(1)查表7079.06449.07079.0)(2 2 sssH（二阶低通）(2)保角变换1ss7079.017079.06449.0)(2 2 ssssH（二阶高通）(3)去归一化0ss 557524.577079.0832.62832.627079.06449.07079.017079.06449.0)(2222202020ssssssssssH2023-2-15热能工程系15(4)用多路反馈电路实现55751435220CCRR2.5711
9、13443150CCCCCRq若令C=C1=C3=C4=1F24.5735CRkR521024.57365kR4.3105210557513122四、高阶滤波器的设计奇次阶：一个单极点RC与若干个二阶级联偶次阶：若干个二阶级联2023-2-15热能工程系16 练习：设计一个二阶高通滤波器，采用巴特沃思近似，滤波器截止频率为50Hz,采用无限增益多路反馈电路，C1=C3=C4=1F,求R2,R52023-2-15热能工程系17第四节第四节 数字滤波器数字滤波器一、数字滤波器的描述数字滤波器：离散时间系统，它接收一个输入序列，对该序列进行某种修正后，作为输出序列送出。H(z)x(n)X(z)h(n
10、)y(n)Y(z)二、数字滤波器的分类（一）根据冲激响应函数的时间特性分无限冲激响应 IIR有限冲激响应 FIR（二）根据滤波的实现方法和型式分递归型非递归型FFTNiNiiiinybinxany01)()()(Niiinxany0)()(2023-2-15热能工程系18三、数字滤波器的设计和实现设计：由给定的规定求找滤波器的转移函数实现：按照转移函数获得实际的数字滤波系统设计模拟H(s)数字H(z)差分方程H(z)实现软件硬件软硬结合2023-2-15热能工程系19四、差分方程和 z 变换（一）差分方程离散系统只能用差分方程描述，对于一个因果系统，用常系数线性差分方程来描述。NiNiiiin
11、ybinxany01)()()(用途用途直接得到系统的结构求解系统的瞬态响应2023-2-15热能工程系20 例：y(n)=a0 x(n)+a1x(n-1)-b1y(n-1)z-1a0a1-b1y(n)x(n)设：a0=0,a1=1,b1=1/2 y(n)=x(n)+y(n-1)/2 x(n)=(n)=1 n=0 0 n0设：y(n)=0 n2 y(-1)=1则：y(0)=x(0)+y(-1)/2=1+1/2=1.5 y(1)=x(1)+y(0)/2 =0+1.5/2=0.75 y(2)=x(2)+y(1)/2 =0+0.75/2=0.375.2215.1)(nyn0-1 0 1 2y(n)n
12、2023-2-15热能工程系21(二)Z 变换1.Z 变换的定义nnnxZznxzX)()()(双边Z变换Z是一个复变量0)()(nnznxzX单边Z变换例1：x(n)=u(n)=1n0 0n0 nnnnzzzznunuZzX2101)()()(111z1z收敛域ReImZ平面2023-2-15热能工程系22 对两个不同的序列，表示Z变换的求和表达式可能相同，而收敛域不同。一个序列的Z变换要用它的闭合形式和收敛域来共同描述。如果Z变换的收敛域包括复数平面上的单位圆，则当Z沿单位圆取值时，Z变换就成为傅立叶变换。nTnjezTjezXeXTj)()(当实变量T在(-,)间连续变化时，ejT沿Z平
13、面上的单位圆周期性变化，X(ejT)也是周期性变化。从这里可以直观地看出离散信号的频谱X(ejT)随频率T变化的周期性。2023-2-15热能工程系232.Z反变换Z反变换的目的在于使我们恢复离散时刻的原始时间函数值，也就是说，能恢复X(nT)nnznxzX)()(xxRzRcndzzzXjnx1)(21)(),(xxRRc若则一般求解反变换有三种常用办法长除法用留数定律求解部分分式展开法2023-2-15热能工程系24(1)长除法（通过长除法把x(n)表示成Z-1的幂级数根据收敛域判断x(n)为正时间序列，把分子分母按z的降幂排列)2)(1(1)(2zzzzX2z例：21)(22zzzzX然
14、后进行长除212224132102zzzzzzzz112421zzz21844zz 2141)(zzzX结果由此得 x(0)=1,x(1)=-1,x(2)=4,.2023-2-15热能工程系25(2)利用留数定律求解若X(z)Zn-1在围线C以内的所有极点集合为Zk，则根据留数定律ckknesnZZzXRdzZzXj,)()(2111其中：ResX(z)Zn-1,Zk表示X(z)Zn-1在极点Zk上的留数值kZZnkknesZzXZZZZzXR11)(lim,)(3)部分分式法对有理Z变换)()()(zDzNzX2023-2-15热能工程系261111111111311241113114113
15、1141118513311411653)(zzzBzAzzzzzzzX例：根据收敛域可以判断x(n)是一个正时间序列，则111)(aznuanaz 根据Z变换的线性特性，可得)(312)(41)(nununxnn2023-2-15热能工程系27（三）拉氏变换与Z变换对连续信号进行理想采样00)()()()()(nnacnTtnTxnTttxtx00)()()()(nnTSncenTxnTtnTxLSX这个变换的一个重要性质是它的周期性，周期为2/T)()()()(2002)2(0SXenTxeenTxenTxTjSXcnnTSnnjnTSTjSnTnc2023-2-15热能工程系28 对照采样
16、序列x(n)=x(nT)的Z变换nnZnxZX)()(当STeZ)()(ZXeXST将S表达为直角坐标形式，Z表达成极坐标形式jSjeZ TjTTjSTjeeeeZe)(TeTZ的模对应S的实部Z的幅角对应S的虚部2023-2-15热能工程系29=0=1 0 0 1S的实轴与Z的模的关系SZS的虚轴与Z的幅角的关系SZTTT3T3=0 =0 TT每增加一个采样频率2/T,就相应增加一个2，也即重复旋转一周2023-2-15热能工程系30 通过映射关系，可以找到拉氏变换和Z变换之间的关系meZTjmSXTZXST)2(1)(2023-2-15热能工程系31 通过映射关系，可以找到拉氏变换和Z变换之间的关系meZTjmSXTZXST)2(1)(2023-2-15热能工程系32
