1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学）数学 专题专题 1818 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1.(2018北京理 T10)在极坐标系中,直线 cos +sin =a(a0)与圆 =2cos 相切,则 a=_. 2.(2019全国 1理 T22 文 T22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为x = 1-t2 1+t2 , y = 4t 1+t2 (t 为参数).以坐标 原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2cos +3 sin +11=0. (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)
2、求 C 上的点到 l 距离的最小值. 3.(2019全国 2理 T22 文 T22)选修 44:坐标系与参数方程 在极坐标系中,O 为极点,点 M(0,0)(00)在曲线 C:=4sin 上,直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直,垂足为 P. (1)当 0= 3时,求 0 及 l 的极坐标方程; (2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程. 4.(2019全国 3理 T22 文 T22)选修 44:坐标系与参数方程 如图,在极坐标系 Ox 中,A(2,0),B(2, 4),C(2, 3 4 ),D(2,),弧AB ,BC,CD所在圆的圆心分别是
3、(1,0),(1, 2),(1,),曲线 M1是弧AB ,曲线 M2是弧BC,曲线 M3是弧CD. (1)分别写出 M1,M2,M3 的极坐标方程; (2)曲线 M 由 M1,M2,M3 构成,若点 P 在 M 上,且|OP|=3 5.(2018全国 1文 T 理 22)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 2+2cos -3=0. (1)求 C2的直角坐标方程; (2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求 C1的方程. 6.(2018全国 2理 T22 文
4、T22)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为(为参数),直线 l 的参数方程为(t 为参数). 2 (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率. 7.(2018全国 3文 T 理 22)选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,O 的参数方程为(为参数),过点(0,-)且倾斜角为的直线 l 与 O 交于 A,B 两点. (1)求的取值范围; (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 8.(2017全国 1理 T22 文 T22)选修 44:坐标系与参数方程
5、在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为(为参数),直线 l 的参数方程为(t 为参 数). (1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为,求 a. 9.(2017全国 2理 T22 文 T22)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 cos =4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM| |OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为(2, 3),点 B 在曲线 C2 上
6、,求OAB 面积的最 大值. 10.(2017全国 3理 T22 文 T22)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为(t 为参数),直线 l2的参数方程为(m 为参 数).设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:(cos +sin )- 2 =0,M 为 l3 与 C 的 交点,求 M 的极径. 11.(2017江苏T21)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直 线 l 的参数方程为(t 为参数),曲线 C 的参数方程为(s 为参数
7、).设 P 为曲线 C 上的动 点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值. 3 12.(2016 全国 1 理 T23 文 T23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为, = cos, = 1 + sin (t 为参数,a0). 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:=4cos . (1)说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3的极坐标方程为=0,其中0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求 a. 13.(2016全国 2理 T23 文 T23)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6
8、)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的参数方程是(t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=,求 l 的斜率. 14. (2016全国 3理 T23 文 T23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为(为参数).以 坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为sin=2. (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程; (2)设点 P 在 C1上,点 Q 在 C2上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 15.(2015全国 1理 T23 文 T
9、23)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1) 2+(y-2)2=1,以坐标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2的极坐标方程; (2)若直线 C3的极坐标方程为= 4(R),设 C2与 C3的交点为 M,N, 求C2MN 的面积. 16.(2015全国 2理 T23 文 T23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:(t 为参数,t0),其中 00),圆的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1. 由直线与圆相切,可知|1+0-a| 1+1 =1,即|1-a|=2,解得 a=12.a0,a=2+1. 2.(20
10、19全国 1理 T22 文 T22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为x = 1-t2 1+t2 , y = 4t 1+t2 (t 为参数).以坐标 原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2cos +3 sin +11=0. (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值. 【解析】(1)因为-10). 由题设知|OP|=,|OM|=1=. 由|OM| |OP|=16 得 C2 的极坐标方程 =4cos (0). 因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点 B 的极坐标为(B,
11、)(B0). 由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB 面积 S= |OA|B sinAOB =4cos =22+. 当 =-时,S 取得最大值 2+. 所以OAB 面积的最大值为 2+. 10.(2017全国 3理 T22 文 T22)选修 44:坐标系与参数方程 10 在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为(t 为参数),直线 l2的参数方程为(m 为参 数).设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:(cos +sin )- 2 =0,M 为 l3
12、 与 C 的 交点,求 M 的极径. 【解析】(1)消去参数 t 得 l1的普通方程 l1:y=k(x-2);消去参数 m 得 l2的普通方程 l2:y= (x+2). 设 P(x,y),由题设得消去 k 得 x2-y2=4(y0). 所以 C 的普通方程为 x2-y2=4(y0). (2)C 的极坐标方程为 2(cos2-sin2)=4(00). 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:=4cos . 11 (1)说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3的极坐标方程为 =0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都
13、在 C3上,求 a. 【解析】(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆. 将 x=cos ,y=sin 代入 C1的普通方程中,得到 C1的极坐标方程为 2-2sin +1-a2=0. (2)曲线 C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若 0,由方程组得 16cos2-8sin cos +1-a2=0, 由已知 tan =2,可得 16cos2-8sin cos =0, 从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去),a=1. a=1 时,极点也为 C1,C2的公共点,在 C3上, 所以 a=1. 13.(2016全国 2理 T2
14、3 文 T23)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的参数方程是(t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=,求 l 的斜率. 【解析】(1)由 x=cos ,y=sin 可得圆 C 的极坐标方程 2+12cos +11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 =(R). 设 A,B 所对应的极径分别为 1,2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2+12cos +11=0. 于是 1+2=-12cos ,12=11
15、. |AB|=|1-2|= =. 由|AB|=得 cos2= ,tan =. 所以 l 的斜率为或-. 15. (2016全国 3理 T23 文 T23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数).以 坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 sin=2. (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程; (2)设点 P 在 C1上,点 Q 在 C2上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为 x+y-4=0. 12 (2)由题意,可设点 P 的直角坐标为(cos ,s
16、in ). 因为 C2是直线, 所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2的距离 d()的最小值, d()=. 当且仅当 =2k+ (kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时 P 的直角坐标为. 15.(2015全国 1理 T23 文 T23)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1) 2+(y-2)2=1,以坐标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2的极坐标方程; (2)若直线 C3的极坐标方程为 = 4(R),设 C2与 C3的交点为 M,N, 求C2MN 的面积. 【解析】(1)因为 x=cos ,y=sin ,所以 C1的极坐标方
17、程为 cos =-2,C2的极坐标方程为 2-2cos -4sin +4=0. (2)将 = 代入 2-2cos -4sin +4=0,得 2-3+4=0,解得 1=2,2=.故 1-2=, 即|MN|=.由于 C2的半径为 1,所以C2MN 的面积为 . 16.(2015全国 2理 T23 文 T23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:(t 为参数,t0),其中 0. 在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:=2sin ,C3:=2cos . (1)求 C2与 C3交点的直角坐标; (2)若 C1与 C2相交于点 A,C1与 C3相交于点 B,求|AB|的最大值.
18、【解析】(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0. 联立 解得 所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和. (2)曲线 C1的极坐标方程为 =(R,0),其中 0.因此 A 的极坐标为(2sin ,),B 的极坐标为(2cos ,). 所以|AB|=|2sin -2cos | 13 =4. 故当 =时,|AB|取得最大值,最大值为 4. 17.(2015陕西理 T23 文 T23)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数),以原点 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,C 的极坐标方程为 =2sin .
19、 (1)写出C 的直角坐标方程; (2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标. 【解析】(1)由 =2sin ,得 2=2sin , 从而有 x2+y2=2y, 所以 x2+(y-)2=3. (2)设 P,又 C(0,), 则|PC|=, 故当 t=0 时,|PC|取得最小值, 此时,点 P 的直角坐标为(3,0). 18.(2015湖南理 T16 文 T16)已知直线 l:(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 极轴 建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 =2cos . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 M
20、的直角坐标为(5, 3 ),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA| |MB|的值. 【解析】(1)=2cos 等价于 2=2cos . 将 2=x2+y2,cos =x 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0. (2)将代入,得 t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即 知,|MA| |MB|=|t1t2|=18. 19.(2014全国 1理 T23 文 T23)已知曲线 C:=1,直线 l:(t 为参数). (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; 14 (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹
21、角为 30的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值. 【解析】(1)曲线 C 的参数方程为x = 2cos, y = 3sin ( 为参数). 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ,3sin )到 l 的距离为 d=5 5 |4cos +3sin -6|,则|PA|= d sin30 = 25 5 |5sin(+)-6|,其中 为锐角,且 tan =4 3. 当 sin(+)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为225 5 . 当 sin(+)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为25 5 . 20.(2014全国2理T23文T2
22、3)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 的极坐标方程为 =2cos ,*0, 2+. (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y=3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标. 【解析】(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1).可得 C 的参数方程为(t 为参数,0t). (2)设 D(1+cos t,sin t),由(1)知 C 是以 C(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆,因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直 线 CD 与 l 的斜率相同,tan t=,
23、t= . 故 D 的直角坐标为,即. 21.(2013全国 2理 T23 文 T23)已知动点 P,Q 都在曲线 C:(t 为参数)上,对应参数分别为 t= 与 t=2(02),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 【解析】(1)依题意有 P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2), 因此 M(cos +cos 2,sin +sin 2). M 的轨迹的参数方程为( 为参数,02). (2)M 点到坐标原点的距离 d=(02). 当 = 时,d=0,故 M 的轨迹过坐
24、标原点. 15 22.(2013全国1理T23文T23)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 =2sin . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1与 C2交点的极坐标(0,02). 【解析】(1)将消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 2-8cos -10sin+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 2-8cos -10sin +16=0. (2)C2的普通方程为 x2+y2-
25、2y=0. 由 解得 所以 C1与 C2交点的极坐标分别为. 23.(2013江苏T21)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数),曲线 C 的参数 方程为( 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. 【解析】 因为直线 l 的参数方程为(t 为参数),由 x=t+1 得 t=x-1,代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x. 联立方程组 解得公共点的坐标为(2,2),. 24.(2012全国理 T23 文 T23)已知曲线 C1的参数方程是( 为参数),以坐标原点为极
26、点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程是 =2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2上,且 A,B,C,D 依逆 时针次序排列,点 A 的极坐标为. (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. 16 【解析】(1)由已知可得 A, B, C, D, 即 A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1). (2)设 P(2cos ,3sin ), 令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则 S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2. 因为
27、 0sin21,所以 S 的取值范围是32,52. 25.(2011全国理 T23 文 T23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数).M 是 C1上的动点,P 点满足=2,P 点的轨迹为曲线 C2.(1)求 C2的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 = 3与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极 点的交点为 B,求|AB|. 【解析】(1)设 P(x,y),则由条件知 M. 由于 M 点在 C1上,所以 即 从而 C2的参数方程为( 为参数). (2)曲线 C1的极坐标方程为 =4sin ,曲线 C2的极坐标方程为 =8s
28、in . 射线 = 与 C1的交点 A 的极径为 1=4sin , 射线 = 与 C2的交点 B 的极径为 2=8sin . 所以|AB|=|2-1|=2. 26.(2010全国理 T23 文 T23)已知直线 C1:(t 为参数),圆 C2:( 为参数). (1)当 = 时,求 C1与 C2的交点坐标; 17 (2)过坐标原点 O 作 C1的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么 曲线. 【解析】(1)当 = 时,C1的普通方程为 y=(x-1),C2的普通方程为 x2+y2=1. 联立方程组 解得 C1与 C2的交点坐标为(1,0),. (2)C1 的普通方程为 xsin -ycos -sin =0. A 点坐标为(sin2,-cos sin ), 因此当 变化时,P 点轨迹的参数方程为( 为参数). P 点轨迹的普通方程为+y2=. 故 P 点轨迹是圆心为,半径为 的圆.
