1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学）数学 专题专题 1010 立体几何立体几何 1.(2019浙江T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原 理,利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体=Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图 如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( ) A.158 B.162 C.182 D.324 2.(2019全国 1理 T12)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=PC,ABC 是边长为 2 的正 三角形,
2、E,F 分别是 PA,AB 的中点,CEF=90,则球 O 的体积为( ) A.86 B.46 C.26 D.6 3.(2019全国 2理 T7 文 T7)设,为两个平面,则的充要条件是( ) A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.,平行于同一条直线 D.,垂直于同一平面 4.(2019全国 3理 T8 文 T8)如图,点 N 为正方形 ABCD 的中心,ECD 为正三角形,平面 ECD平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点,则( ) A.BM=EN,且直线 BM,EN 是相交直线 B.BMEN,且直线 BM,EN 是相交直线 C.BM=EN,且直线 BM,EN 是异面直
3、线 D.BMEN,且直线 BM,EN 是异面直线 5.(2019浙江T8)设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱 VA 上的点(不含端点).记直线 PB 与直线 AC 所成的角为 ,直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 ,二面角 P-AC-B 的平面角为 ,则( ) 2 A. =tan , 所以 .故选 B. 37 6.(2018全国 3理 T10 文 T12)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其 面积为 93,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为( ) A.123 B.183 C.243 D.543 【答案】B 【解析】
4、由ABC 为等边三角形且面积为 93,设ABC 边长为 a,则 S=1 2a 3 2 a=93.a=6,则ABC 的外接 圆半径 r=3 2 2 3a=234. 设 球 的 半 径 为R, 如 图 ,OO1=2-2=42-(23)2=2. 当D在O的 正 上 方 时,VD-ABC=1 3SABC(R+|OO1|)= 1 3936=183,最大.故选 B. 7.(2018全国 1理 T7 文 T9)某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图.圆柱表面上的点 M 在正视图 上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路 径的
5、长度为( ) A.217 B.25 C.3 D.2 【答案】B 【解析】如图所示,易知 N 为CD 的中点,将圆柱的侧面沿母线 MC 剪开,展平为矩形 MCCM,易知 CN=1 4CC=4,MC=2,从 M 到 N 的路程中最短路径为 MN. 38 在 RtMCN 中,MN=MC2+ NC2=25. 8.(2018全国 3理 T3 文 T3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫 卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬 合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 【答案】A 【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观
6、图如图所示,由直观图可知其俯视图应为 A 中图形. 9.(2018北京理 T5 文 T6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ( ) 39 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】由该四棱锥的三视图,得其直观图如图.由正视图和侧视图都是等腰直角三角形,知 PD平面 ABCD, 所以侧面PAD和PDC都是直角三角形.由俯视图为直角梯形,易知DC平面PAD.又ABDC,所以AB平面PAD, 所以 ABPA,所以侧面 PAB 也是直角三角形. 易知 PC=22,BC=5,PB=3,从而PBC 不是直角三角形.故选 C. 10.(2018上海T15)九章算术中
7、,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 AA1是正六 棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以 AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数 是( ) A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】D 【解析】设正六棱柱为 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1, 以侧面 AA1B1B,AA1F1F 为底面矩形的阳马有 40 E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B,C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F,共 8 个,以对角面 AA1C1C,AA1E1E 为底面矩形的阳马有 F-AA1C1C,F1-
8、AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA1C1C,B-AA1E1E,B1-AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E,共 8 个,所以共有 8+8=16(个), 故选 D. 11.(2018全国 1文 T10)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30,则该长方 体的体积为( ) A.8 B.62 C.82 D.83 【答案】C 【解析】在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB平面 BCC1B1,连接 BC1,则AC1B 为 AC1与平面 BB1C1C 所成的角, AC1B=30,所以在 RtABC1中,BC1= 1=23
9、,又 BC=2,所以在 RtBCC1中,CC1=(23) 2-22=22, 所以 该长方体体积 V=BCCC1AB=82. 12.(2018全国2理T9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值 为( ) A.1 5 B.5 6 C.5 5 D.2 2 【答案】C 【解析】以 DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图, 则 D1(0,0,3),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,3). 1 =(-1,0,3),1 =(1,1,3).设异面直线 AD1与 DB1所成的角为 . cos =| 1 1 |1
10、 |1 | = | 2 25| = 5 5 . 异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为5 5 . 13.(2018全国 2文 T9)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为棱CC1的中点,则异面直线 AE 与CD 所成角的正切值 为( ) A.2 2 B.3 2 C.5 2 D.7 2 【答案】C 41 【解析】如图,因为 ABCD,所以 AE 与 CD 所成的角为EAB. 在 RtABE 中,设 AB=2, 则 BE=5,则 tanEAB= = 5 2 , 所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为5 2 . 14.(2018全国 1文 T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为
11、O1,O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截 面是面积为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A.122 B.12 C.82 D.10 【答案】B 【解析】 过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为 r,母线长为 l,因为轴截面是 面积为 8 的正方形,所以 2r=l=22,r=2,所以圆柱的表面积为 2rl+2r 2=8+4=12. 15.(2018浙江T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】由三视图可知该几何体为直四棱柱. S底=1 2(1+2)2=3
12、,h=2,V=Sh=32=6. 16.(2017全国 2理 T4 文 T6)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该 几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) 42 A.90 B.63 C.42 D.36 【答案】B 【解析】由三视图知,该几何体是一个圆柱截去一部分所得,如图所示.其体积等于下部分圆柱的体积加上上 部分圆柱体积的1 2,所以该几何体的体积 V=3 24+3261 2=63. 17.(2017全国 1理 T7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形 组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角
13、形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积 之和为( ) A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】B 【解析】由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角 梯形的上底长为 2,下底长为 4,高为 2,则 S梯=(2+4)22=6,所以这些梯形的面积之和为 12. 43 18.(2017全国 2理 T10)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线 AB1与 BC1 所成角的余弦值为( ) A.3 2 B.15 5 C.10 5 D.3 3 【答案】C 【解析】 方法一:把三棱柱 ABC
14、-A1B1C1补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,如图, 连接 C1D,BD,则 AB1与 BC1所成的角为BC1D. 由题意可知 BC1=2, BD=22+ 12-2 2 1 60 = 3,C1D=AB1=5. 可知 B1 2+BD2=C1D2, 所以 cosBC1D=2 5 = 10 5 ,故选 C. 方法二:以 B1为坐标原点,B1C1所在的直线为 x 轴,垂直于 B1C1的直线为 y 轴,BB1所在的直线为 z 轴建立空间 直角坐标系,如图所示. 由已知条件知B1(0,0,0),B(0,0,1),C1(1,0,0),A(-1, 3 ,1),则 1 =(1,0,-1),1 =(1,-
15、3,-1). 所以 cos= 1 1 |1 |1 | = 2 52 = 10 5 . 所以异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为10 5 . 19.(2017北京理 T7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( ) 44 A.32 B.23 C.22 D.2 【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 可 知 , 直 观 图 为 四 棱 锥 A-BCDE( 如 图 所 示 ), 最 长 的 棱 为 正 方 体 的 体 对 角 线 AE=22+ 22+ 22=23.故选 B. 20.(2017全国 3理 T8 文 T9)已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个
16、球的球面上, 则该圆柱的体积为( ) A. B.3 4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示, 则 AC=1,AB=1 2,底面圆的半径 r=BC= 3 2 ,所以圆柱的体积是 V=r 2h=(3 2 ) 2 1=3 4 ,故选 B. 21.(2017全国 1文 T6)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则 在这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( ) 【答案】A 【解析】易知选项 B 中,ABMQ,且 MQ平面 MNQ,AB平面 MNQ,则 AB平面 MNQ;选项 C
17、中,ABMQ,且 MQ平 面 MNQ,AB平面 MNQ,则 AB平面 MNQ;选项 D 中,ABNQ,且 NQ平面 MNQ,AB平面 MNQ,则 AB平面 MNQ,故 排除选项 B,C,D;故选 A. 4.(2016浙江理T2文T2)已知互相垂直的平面,交于直线l,若直线m,n满足m,n,则( ) 45 A.ml B.mn C.nl D.mn 【答案】C 【解析】对于选项 A,=l,l,m,m 与 l 可能平行,也可能异面,故选项 A 不正确; 对于选项 B,D,m,n,m 与 n 可能平行,可能相交,也可能异面,故选项 B,D 不正确. 对于选项 C,=l,l. n,nl.故选 C. 22.
18、(2016天津文 T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视 图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( ) 【答案】B 【解析】由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示. 易知其左视图为 B 项中图.故选 B. 23.(2016全国 3理 T10 文 T11)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V 的球.若 AB BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是( ) A.4 B.9 2 C.6 D.32 3 【答案】B 【解析】先计算球与直三棱柱三个侧面相切的球的半径,再和与直三棱柱两底面相切的球的半径相比较,
19、半 径较小的球即为所求.设球的半径为 R,ABBC,AB=6,BC=8,AC=10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时, 有1 2(6+8+10)R= 1 268,此时 R=2; 46 当球与直三棱柱两底面相切时,有 2R=3,此时 R=3 2.所以在封闭的直三棱柱中,球的最大半径只能为 3 2,故最大 体积 V=4 3( 3 2) 3 = 9 2 . 24.(2016全国 1文 T4)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12 B. C.8 D.4 【答案】A 【解析】设正方体的棱长为 a,由 a 3=8,得 a=2. 由题意可知,正方体的体对角线为球的直径, 故
20、 2r=32,则 r=3. 所以该球的表面积为 4(3) 2=12,故选 A. 25.(2016全国 1理 T11 文 T11)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,平面 CB1D1,平面 ABCD=m,平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( ) A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.1 3 【答案】A 【解析】平面 CB1D1,平面 ABCD平面 A1B1C1D1,平面 ABCD=m,平面 CB1D1平面 A1B1C1D1=B1D1,m B1D1. 平面 CB1D1,平面 ABB1A1平面 DCC1D1,平面 ABB1A1=n,平面 CB1D1平面 DCC1
21、D1=CD1, nCD1. B1D1,CD1所成的角等于 m,n 所成的角, 即B1D1C 等于 m,n 所成的角. B1D1C 为正三角形,B1D1C=60, m,n 所成的角的正弦值为3 2 . 26.(2016全国 1理 T6 文 T7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半 径.若该几何体的体积是28 3 ,则它的表面积是( ) 47 A.17 B.18 C.20 D.28 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体是球截去1 8后所得几何体,则 7 8 4 3 R 3=28 3 ,解得 R=2,故其表面积为 7 84R 2+3 4R 2=14+3=17. 2
22、7.(2016全国 2理 T6 文 T7)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( ) A.20 B.24 C.28 D.32 【答案】C 【解析】因为原几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成, 所以其表面积为 S=(4 2) 2+44+1 24(23) 2 + 22=28,故选 C. 28.(2016全国 3理 T9 文 T10)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的表面积为( ) A.18+365 B.54+185 C.90 D.81 【答案】B 【解析】由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为 3 的正方形,
23、侧棱长为 35,所以所求表面积 为(33+36+335)2=54+185,故选 B. 29.(2016山东理 T5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为 48 ( ) A.1 3 + 2 3 B.1 3 + 2 3 C.1 3 + 2 6 D.1+2 6 【答案】C 【解析】由三视图可知,上面是半径为2 2 的半球,体积为 V1=1 2 4 3( 2 2 ) 3 = 2 6 ,下面是底面积为 1,高为 1 的四棱锥,体积 V2=1 311= 1 3,故选 C. 30.(2016北京理 T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A.1 6 B.1
24、 3 C.1 2 D.1 【答案】A 【解析】由三视图可得,三棱锥的直观图如图,则该三棱锥的体积 V=1 3 1 2111= 1 6,故选 A. 31.(2015全国 1理 T6 文 T6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今 有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一 个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( ) 49 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66
25、斛 【答案】B 【解析】设底面圆弧半径为 R, 米堆底部弧长为 8 尺,1 42R=8,R= 16 . 体积 V=1 4 1 3( 16 ) 2 5.3,V320 9 (尺 3).堆放的米约为320 91.6222(斛). 32.(2015全国 2理 T6 文 T6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部 分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.1 8 B.1 7 C.1 6 D.1 5 【答案】D 【解析】 由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为 a,则 V正方体=a 3,V 截去部分=1 6a 3,故截去 部分体积与剩余部分体积的比值为1 6
26、a 35 6a 3=15. 33.(2015重庆理 T5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) 50 A.1 3+ B.2 3+ C. 1 3+2 D.2 3+2 【答案】A 【解析】由题中三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长 等于 2),高为 1,所以体积 V1=1 3 1 2211= 1 3;其右边是一个半圆柱,底面半径为 1,高为 2,所以体积 V2=1 221 2=,所以该几何体的体积 V=V1+V2= 1 3+. 34.(2015浙江理 T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ) A.8 cm 3
27、 B.12 cm 3 C.32 3 cm 3 D.40 3 cm 3 【答案】C 【解析】由题中三视图知该几何体是一个正方体与正四棱锥的组合体,其中正方体与正四棱锥的底面边长为 2 cm,正四棱锥的高为 2 cm, 则该几何体的体积 V=222+1 3222= 32 3 (cm 3),故选 C. 35.(2015山东理 T7)在梯形ABCD中,ABC= 2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕AD 所在的直线旋转 一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2 3 B.4 3 C.5 3 D.2 【答案】C 51 【解析】由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥,如图所
28、示. V圆柱=1 22=2,V 圆锥=1 31 21= 3. V几何体=V圆柱-V圆锥=2- 3 = 5 3 . 36.(2015湖南文 T10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方 体 新 工 件 , 并 使 新 工 件 的 一 个 面 落 在 原 工 件 的 一 个 面 内 , 则 原 工 件 材 料 的 利 用 率 为 (材料利用率 = 新工件的体积 原工件的体积)( ) A. 8 9 B. 8 27 C.24(2-1) 3 D.8(2-1) 3 【答案】A 【解析】 由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径 r=1,母线长 l=3,所以其高 h=l
29、2-r2=22.故该圆锥 的体积 V= 31 222 =22 3 .由题意可知,加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体 ABCD-EFGH 的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方 体的 棱长为 x.在轴截面 SMN 中,由 O1GON 可得,O1G ON = SO1 SO ,即 2 2 x 1 = 22-x 22 ,解得 x=22 3 .所以正方体的体积为 V1=(22 3 ) 3 = 162 27 . 所以该工件的利用率为V1 V = 162 27 22 3 = 8 9.故选 A. 52 37.(2015全国 1理 T11 文
30、 T11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何 体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20,则 r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B 【解析】由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆 柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的 表面积的一半组成. S表=2r2r+21 2r 2+r2r+1 24r 2 =5r 2+4r2=16+20, 解得 r=2. 38.(2015北京理 T5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积
31、是( ) A.2+5 B.4+5 C.2+25 D.5 53 【答案】C 【解析】作出三棱锥的直观图如图,在ABC 中,作 AB 边上的高 CD,连接 SD. 在三棱锥S-ABC中,SC底面ABC,SC=1,底面三角形ABC是等腰三角形,AC=BC=5,AB边上的高CD=2,AD=BD=1, 斜高 SD=5. 所以 S表=SABC+SSAC+SSBC+SSAB=1 222+ 1 215 + 1 215 + 1 225=2+25. 39.(2015陕西理 T5 文 T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.3 B.4 C.2+4 D.3+4 【答案】D 【解析】由三视图可
32、知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径 r=1,高 h=2.所以几何体的侧面积 S1=C 底h=(1+2)2=2+4.几何体的 底面积 S2=1 21 2=1 2. 故该几何体的表面积为 S=S1+2S2=2+4+2 2=3+4.故选 D. 40.(2015浙江理 T8)如图,已知ABC,D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将ACD 翻折成ACD,所成二面角 54 A-CD-B 的平面角为 ,则( ) A.ADB B.ADB C.ACB D.ACB 【答案】B 【解析】设ADC=,设 AB=2,则由题意 AD=BD=1. 在空间图形中,设 AB=t. 在ABD 中, cosADB= 2+2-
33、2 2 =1 2+12-2 211 = 2-2 2 . 在空间图形中,过 A作 ANDC,过 B 作 BMDC,垂足分别为 N,M.过 N 作 NPMB,连接 AP,所以 NPDC. 则ANP 就是二面角 A-CD-B 的平面角, 所以ANP=. 在 RtAND 中,DN=ADcosADC=cos ,AN=ADsinADC=sin . 同理,BM=PN=sin ,DM=cos .故 BP=MN=2cos . 显然 BP面 ANP,故 BPAP. 在 RtABP 中,AP 2=AB2-BP2=t2-(2cos )2=t2-4cos2. 在ANP 中,cos =cosANP= 2+2-2 2 =
34、2+2-(2-42) 2 = 2+22-2 22 = 2-2 22 + 2 2 = 1 2cosADB+ 2 2. 因为 1 21, 2 20,所以 cos cosADB(当 = 2 时取等号), 因为 ,ADB0,而 y=cos x 在0,上为递减函数,所以 ADB.故选 B. 41.(2015全国 2理 T9 文 T10)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,AOB=90,C 为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 ( ) A.36 B.64 C.144 D.256 【答案】C 【解析】因为AOB=90,所以 SAOB=1 2R 2. 因为 VO
35、-ABC=VC-AOB,而AOB 面积为定值, 所以三棱锥底面 OAB 上的高最大时,其体积最大.因为高最大为半径 R,所以 VC-AOB=1 3 1 2R 2R=36,解得 R=6,故 S球=4R 2=144. 42.(2015安徽理 T5)已知 m,n 是两条不同直线, 是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若 , 垂直于同一平面,则 与 平行 55 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 , 不平行 ,则在 内不存在 与 平行的直线 D.若 m,n 不平行 ,则 m 与 n 不可能 垂直于同一平面 【答案】D 【解析】 A 选项 , 可能相交;B 选项 m,
36、n 可能相交,也可能异面;C 选项若 与 相交,则在 内平行于 它们交线的直线一定平行于 ;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知 D 选项正确. 43.(2015浙江文 T4)设 , 是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,且 l,m.( ) A.若 l,则 B.若 ,则 lm C.若 l,则 D.若 ,则 lm 【答案】A 【解析】 若 l,又 l,由面面垂直的判定定理,得 ,故选项 A 正确;选项 B,lm 或 lm 或 l 与 m 相交或异面都有可能;选项 C, 或 与 相交都有可能;选项 D,lm 或 l 与 m 异面都有可能. 44.(2015广东文 T6)若直线 l1和
37、l2是异面直线,l1在平面 内,l2在平面 内,l 是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是( ) A.l 与 l1,l2都不相交 B.l 与 l1,l2都相交 C.l 至多与 l1,l2中的一条相交 D.l 至少与 l1,l2中的一条相交 【答案】D 【解析】l1与 l 在平面 内,l2与 l 在平面 内,若 l1,l2与 l 都不相交,则 l1l,l2l,根据直线平行的传 递性,则 l1l2,与已知矛盾,故 l 至少与 l1,l2中的一条相交. 45.(2014浙江理 T3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( ) A.90 cm 2 B.129 cm 2 C.
38、132 cm 2 D.138 cm 2 56 【答案】D 【解析】由题干中的三视图可得原几何体如图所示. 故该几何体的表面积 S=246+234+36+33+34+35+2 34=138(cm 2).故选 D. 46.(2014陕西文 T5)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 ( ) A.4 B.3 C.2 D. 【答案】C 【解析】 依题意,知所得几何体是一个圆柱,且其底面半径为1,母线长也为1,因此其侧面积为211=2, 故选 C. 47.(2014辽宁理 T4 文 T4)已知 m,n 表示两条不同直线, 表示平面.下列说法正确的是( ) A.若
39、m,n,则 mn B.若 m,n,则 mn C.若 m,mn,则 n D.若 m,mn,则 n 【答案】B 【解析】对 A:m,n 还可能异面、相交,故 A 不正确.对 C:n 还可能在平面 内,故 C 不正确.对 D:n 还可能在 内,故 D 不正确.对 B:由线面垂直的定义可知正确. 48.(2014广东理 T7)在空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一 定正确的是( ) 57 A.l1l4 B.l1l4 C.l1与 l4既不垂直也不平行 D.l1与 l4的位置关系不确定 【答案】D 【解析】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1
40、D1中,取 l1为 BC,l2为 CC1,l3为 C1D1.满足 l1l2,l2l3.若取 l4为 A1D1,则 有 l1l4;若取 l4为 DD1,则有 l1l4.因此 l1与 l4的位置关系不确定,故选 D. 49.(2014浙江文 T6)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面.( ) A.若 mn,n,则 m B.若 m,则 m C.若 m,n,n,则 m D.若 mn,n,则 m 【答案】C 【解析】当 mn,n 时,可能有 m,但也有可能 m 或 m,故 A 选项错误; 当 m, 时,可能有 m,但也有可能 m 或 m,故选项 B 错误; 当 m,n,n 时,必有 ,从而
41、m,故选项 C 正确; 在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取m为B1C1,n为CC1,为平面ABCD,为平面ADD1A1,这时满足mn,n ,但 m 不成立,故选项 D 错误. 50.(2014陕西理 T5)已知底面边长为 1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的 体积为( ) A.32 3 B.4 C.2 D.4 3 【答案】D 58 【解析】 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径 R,则 2R=12+ 12+ (2)2=2,解得 R=1,所以 V=4 3 R 3=4 3 . 51.(2014大纲全国理T8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若
42、该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表 面积为( ) A.81 4 B.16 C.9 D.27 4 【答案】A 【解析】由图知,R 2=(4-R)2+2, R 2=16-8R+R2+2,R=9 4, S表=4R 2=481 16 = 81 4 ,选 A. 52.(2014湖南理 T7 文 T8)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球, 则能得到的最大球的半径等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【 解 析 】 由 三 视 图 可 得 原 石 材 为 如 右 图 所 示 的 直 三 棱 柱A1B1C1-ABC, 且 AB=8,BC=6,BB1=12
43、. 若要得到半径最大的球,则此球与平面 A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1相切,故此时球的半径与 ABC 内切圆的半径相等,故半径 r=6+8-10 2 =2.故选 B. 53.(2014全国 1理 T12)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多 面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ) 59 A.62 B.6 C.42 D.4 【答案】B 【解析】 如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 4.取 B1B 的中点 G,即三棱锥 G-CC1D1为满足要求的几何体, 其中最长棱为 D1G,D1G=(42)2+ 22=6. 54.(2014全国
44、1文 T8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个 几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 【答案】B 【解析】由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图). 55.(2014北京理 T7)在空间直角坐标系 O-xyz 中,已知 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, 2).若 S1,S2,S3分别是三棱锥 D-ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A.S1=S2=S3 B.S2=S1且 S2S3 C.S3=S1且 S3S2 D.S3=S2且 S3S1 60 【答案】D 【解析】三棱锥的各顶点在 xOy 坐标平面上的正投影分别为 A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显 然 D1点为 A1C1的中点,如图 (1),正投影为 RtA1B1C1,其面积 S1=1 222=2. 三棱锥的各顶点在 yOz 坐标平面上的正投影分别为 A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,2).显然 B2,C2 重合,如图(2),正投影为A2B2D2,其面积 S2=1 222 = 2. 三棱锥的各顶点在 zOx 坐标平面上的正投影分别为 A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),
