1、16线性系统的非奇异线性变换及其性质线性系统的非奇异线性变换及其性质6几种常见的线性变换几种常见的线性变换6对偶原理对偶原理6线性系统的规范分解线性系统的规范分解返回返回绪论绪论2uxxxxaaaaxxxxnnnnn10001000010000101211210121 6.2.3 化可控状态方程为可控标准型 前面曾对单输入-单输出建立了如下的可控标准型状态方程S 与该状态方程对应的可控性矩阵是一个右下三角阵，且其主对角线元素均为1311112000010001001011nnnnnaSbAbAbaaazPx1一个可控系统，当A，b不具有可控标准型时，定可选择适当的变换化为可控标准型。buAxx
2、设系统状态方程为 1P变换，即令 进行4101210100000100000101nPAPPbaaaa 1zPAP zPbu状态方程变换为 要求 51122221101210100001000000001nnnnnnnppppAppppaaaapp根据A阵变换要求，P应满足 TTnTTpppP21设变换矩阵为6nnnnnnnnnpapapapaAppAppAppAppAp11221101123221增补一个方程 整理后，11pp 1111nApAppP展开之 得到变换矩阵为 7100111111bAAbbpbApAppnn 另根据b阵变换要求，P应满足 11001npbAbAb 即 11100
3、1npbAbAb 故 该式表示1p是可控性矩阵逆阵的最后一行。81nSbAbAb11111nnnnssSssnnnssp11于是可以得到变换矩阵P的求法如1.计算可控性矩阵 2.计算可控性矩阵的逆阵 1S1p 3.取出的最后一行（即第n行）构成行向量 91111nApAppP4.按下列方式构造P阵 当然，也可先将任意矩阵A化为对角型，然后再将对角阵化为友矩阵的方法将A为友矩阵。1P5.便是将普通可控状态方程可化为可控标准型状态方程的变换矩阵。10111(,)SA B C6.3 对偶原理对偶原理 设有系统2(,)TTTSACB1S则称系统为系统的对偶系统。式中，x、z均为n维状态向量，u、w均为
4、p维，y、v均为q维。注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。1S如果系统 可观测，则 必然可控；2S2S1S如果系统可控，则 必然可观测；反之亦然，这就是对偶原理。1S2S也是的对偶系统。的对偶系统时，2S1S为当zBwvCzAzSCxyBuAxxSTTT,:,:21其动态方程分别为 121314 实际上，不难验证：系统1S2S的可控性矩阵与对偶系统的可观测性矩阵完全相同；在动态方程建模、系统可控性和可观测性的判别、系统线性变换等问题上，应用对偶原理，往往可以使问题得到简化。2S1S的可观测性矩阵与对偶系统系统的可控性矩阵完全相同。15cxybuAxx,TTTzA zc
5、vwb z设单输入-单输出系统动态方程为 cA,系统可观测，但 不是可观测标准型。对偶系统一定可控，但不是可控标准型。可利用可控标准型变换的原理和步骤，先将对偶系统化为可控标准型，再一次使用对偶原理，便可获得可观测标准型，下面仅给出其计算步骤。TnTTTTcAcAcV12)(2V（1）列出对偶系统的可控性矩阵（及原系统的可观测性矩阵）其对偶系统动态方程为 1612VTnTTvvv211)(nTTnTTnTnAvAvvP（2）求2V12V的逆阵，且记为行向量组 Tnv12V（3）取的第n行，并按下列规则构造变换矩阵17与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标准型需进行变换，即令 xcPx
6、PcybuPxPAPuPbxPPAxTTTTTTTTTT)()()(11zPz11P1P（4）求P 的逆阵，并引入变换即zPbwvPczPPAzTTT11,变换后动态方程为 (5)对对偶系统再利用对偶原理，便可获得原系统的可观测标准型，结果为 xPxT1TnnnnPvAvAv式中，nv为原系统可观测性矩阵的逆阵中第n行的转置。186.4 线性系统的规范分解线性系统的规范分解系统和状态空间也分成可观子系统和不可观子系统、可观子空间和不可观子空间。这个分解过程称为系统的规范分解。通过规范分解能明晰系统的结构特性和传递特性，简化系统的分析与设计。具体方法是选取一种特殊的线性变换，使原动态方程中的A，
7、B，C矩阵变换成某种标准构造的形式。、不可控系统含有可控、不可控两种状态变量；状态变量可以分解成可控cxcx、不可控两类，与之相应，系统和状态空间可分成可控子系统和不可控子系统、可控子空间和不可控子空间。同样，不可观测系统状态变量可以分解成可观oxox、不可观两类19可控不可观测、不可控可观测、不可控不可观测四类上述分解过程还可以进一步深入，状态变量可以分解成可控可观测coxocxocxocx、对应的状态子空间和子系统也分成四类。规范分解过程可以先从系统的可控性分解开始，将可控，不可控的状态变量分离开，继而分别对可控和不可控的子系统再进行可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类子系统。当然
8、，规范分解得过程也可以从系统的可观测性分解开始。下面仅介绍可控性分解和可观测性分解的方法，有关证明从略。20CxyBuAxx,无关列向量，再附加上任意尽可能简单的（n-r）个列向量，构成非奇异阵的变换矩阵，那么，只需引入变换cPcPcccxxPx6.4.1 可控性分解可控性分解 (用非奇异线性变换)(nrr 假定可控性矩阵的秩为即令 便变换成下列的标准构造，从可控性矩阵中选出r个线性11,ccccccccccxxxP APP BuyCPxxx式中维 r为可控状态子向量，为(n-r)不可控状态子向量 cxcx211111222()0()ccrAAP APnrArnr行行列列11()0crBPBn
9、rp行行列12()cCPCCqrnr行列列 22cccccccxCxCyxAxuBxAxAx212211211ccccxCyuBxAxAx1111211,cccxCyxAx222,展开 将输出向量进行分解，可得子系统状态方程。可控子系统状态方程为 不可控子系统状态方程为 23显见u只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子系统无关，故u至y之间的传递函数矩阵描述不能反应不可控部分的特性。仅含稳定特征值，以保证整个系统稳定，并且应考虑到可控子系统22A)(txc)(tycx及系统输出响应均与的状态响应有关。cP至于选择怎样的(n-r)个附加列向量是无关紧要的，只要构成的规范分解的结果。非奇异，并
10、不会改变但是，不可控子系统对整个系统的影响依然存在不可忽视，如要求24例 已知系统(,)S A b c，试按可控性进行规范分解。111,100,341010121cbAnrankbAAbbrank28310004102解 计算可控性矩阵的秩 T010故不可控。从中选出两个线性无关列，附加任意列向量并计算变换后的各矩中阵 cP，构成非奇异变换矩阵25不可控子系统动态方程为 010001130cP1301100010cP1042142001ccP AP1100cP b 121ccP ccccxyuxxx21,01224140cccxyxx,可控子系统动态方程为 26构成非奇异的变换，即令变换矩阵，
11、那么只需引入10P0P0ooxxPx110000,ooooooxxxP APP BuyCPxxx)(nll 设系统可观测矩阵的秩为便变换成下列标准构造 ox式中为l维可观测状态子向量，ox)(ln为维不可观测状态子向量，6.4.2 可观测性分解)(ln线性无关行向量，再附加上任意尽可能简单的，从可观测性矩阵中选出l个个行向量，27111021220()()clAP APnlAArnl行行列列112()crBPBnlBp行行列10()cCPCqrnl行列列 28oooooxCyuBxAxAxuBxAx1222210111yxCyuBxAxooo1111,0,2222210yuBxAxAxoo展开有 可观测子系统动态方程为 不可观测子系统动态方程为 29nrankCACACrankTTTTT2421731421)(210120130121TP 1111232001oP例 试将上例所示系统按可观测性进行分解。解 计算可观测性矩阵的秩 故不可观测，从中选出两个线性无关列，附加任意一列，构成非奇异变换矩阵，并计算变换后各矩阵 30311210001oP1010230532ooP AP 1121oP b 100ocP 1011,23210oooxxuyxy 25320oooxxxuy 可观测子系统 不可观测子系统
