1、考点一数量积的定义及夹角与模长问题考点一数量积的定义及夹角与模长问题五年高考A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组1.(2019课标,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.632356答案答案 B本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合思想;考查的核心素养是数学建模和数学运算.解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos=,又知0,所以=,故选B.解法二:如图,令=a,=b,则=-=a-b,因为(a-b)
2、b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以AOB=,即=.故选B.思路分析思路分析本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.123OAOBBAOAOB332.(2019课标,3,5分)已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=()A.-3B.-2C.2D.3ABACBCABBC答案答案C本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方程的思想方法.考查的核心素养为数学运算.=-=(1,t-3),|=1,t=3,=(2,3)(1,0)=2.思路分析思路分析先利用|=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数
3、量积.BCACABBC221(3)tABBCBC3.(2018课标,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案答案B本题考查平面向量的运算.因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选B.4.(2016课标,3,5分)已知向量=,=,则ABC=()A.30B.45C.60D.120BA13,22BC3 1,22答案答案 AcosABC=,所以ABC=30,故选A.思路分析思路分析由向量的夹角公式可求得cosABC的值,进而得ABC的大小.|BA BCBABC325.(2019课标,13,
4、5分)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos=.5答案答案23解析解析本题主要考查平面向量的数量积、模及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养.|a|=|b|=1,ab=0,ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,|c|=|2a-b|=3.cos=.小题巧解小题巧解不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=.方法总结方法总结利用数量积求解向量模的处理方法:a2=aa=|a|2或|a|=;|ab|=.5552(25)ab224a5b4 5a b|a ca c235521
5、323a a2()ab6.(2016课标,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案答案-2解析解析由|a+b|2=|a|2+|b|2可得ab=0,ab=m+2=0,m=-2.思路分析思路分析由|a+b|2=|a|2+|b|2得ab=0,然后利用数量积的坐标表示得到关于m的方程,解方程求得m.1.(2017课标,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1PAPBPC3243考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用答案答案B设BC的中点为D,AD的中点为E,则有
6、+=2,则(+)=2=2(+)(-)=2(-).而=,当P与E重合时,有最小值0,故此时(+)取最小值,最小值为-2=-2=-.PBPCPDPAPBPCPAPDPEEAPEEA2PE2EA2AE232342PEPAPBPC2EA3432方法总结方法总结在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用=-可快速求出最值.一题多解一题多解以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,PAPD2PE2EA则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.(+)=2=2(-1-x,-y)=2(x+1)+y=2+-.因此,当x=-,y=时,(+)取
7、得最小值,为2=-,故选B.313,22PAPBPCPAPD13,22xy12x32y214x234y341434PAPBPC34322.(2016课标,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案答案D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)b,43-2(m-2)=0,m=8.故选D.思路分析思路分析求出a+b的坐标,然后利用两向量垂直的充要条件列出关于m的方程,进而解得m值.易错警示易错警示要正确区分两向量垂直与平行的坐标表示,常因错误选用而导致失分.1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“
8、|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件B B组组 自主命题自主命题省省(区、市区、市)卷题组卷题组考点一数量积的定义及夹角与模长问题考点一数量积的定义及夹角与模长问题答案答案 D当|a|=|b|=0时,|a|=|b|a+b|=|a-b|.当|a|=|b|0时,|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2ab=0ab,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出ab.故选D.解后反思解后反思由向量加法、减法的几何意义知:当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当ab时,|a+b|=|a-b|.评
9、析评析本题考查向量的模及运算性质,属容易题.2.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2不恒成立答案答案B|ab|=|a|b|cos|a|b|,故A正确;由向量的运算法则知C,D也正确;当b=-a0时,|a-b|a|-|b|,B错误.故选B.评析评析本题考查向量的运算法则等知识,考查逻辑推理能力.1.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A.B.C.D
10、.3AEBE2116322516考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用答案答案A本题主要考查数量积的综合应用.解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B,C(0,),设E(0,t),t0,=(-1,t)=t2-t+,t0,当t=-=时,取得最小值,()min=-+=.故选A.解法二:令=(01),由已知可得DC=,=+,=+=+,=(+)(+)=+|2+2|233,2233AEBE33,22t32323322 134AEBEAEBE3163234322116DEDC3AEADDCBEBAAEBAADDCAEBEADDCBAAD
11、DCADBAADDCBADC=32-+.当=-=时,取得最小值.故选A.方法总结方法总结向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.3232322 314AEBE21162.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-139494答案答案 B因为n(tm+n),所以tmn+n2=0,所以mn=-,又4|m|=3|n|,所以cos=-=,所以t=-4.故选B.评析评析本题主要考查了非零向量垂直的充要条件和夹角公式,属中档题.2nt|
12、m nmn243|m nn43t133.(2015安徽,8,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.abC.ab=1D.(4a+b)ABACBC答案答案 Db=-=,|b|=|=2,故A错;=22cos60=2,即-2ab=2,ab=-1,故B、C都错;(4a+b)=(4a+b)b=4ab+b2=-4+4=0,(4a+b),故选D.ACABBCBCBABCBCBC4.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若=6,则的值是.ABACAOECABAC答案
13、答案3解析本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算.过D作DFEC,交AB于F.D为BC的中点,F为BE的中点,又BE=2EA,EF=EA,又DFEO,AO=AD,=(+).=(+)12AO12AD1212ABACAOEC14ABAC13ACAB=.=6,=-+,=3,|=|,=.一题多解一题多解由于题目中对BAC没有限制,所以不妨设BAC=90,AB=c,AC=b,建立如图所示的平面直角坐标系.则E,D,14222133ACAB ACABABACAOECABAC322AC122ABABAC2AB2AC
14、AB3 ACABAC30,3c,2 2b c易得lAD:y=x,lEC:+=1,联立得解得则O.由=6得6=0,c2=3b2,c=b,=.cbxb3yc,1,3cyxbxycb,4,4bxcy,4 4b cABACAOEC,4 4b c,3cb3ABAC35.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=.3BDAE答案答案-1解析解析本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面地考查了学生逻辑推理、直观想象及
15、数学运算的核心素养.解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30,又EA=EB,EAB=30,在EAB中,AB=2,EA=EB=2.以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示.3=(2,-),=(1,),=(2,-)(1,)=-1.解法二:同解法一,得AB=2,以,为一组基底,则=-,=+=-,=(-)=-+-=-=52-12-25=-1.BD3AE3BDAE333ABADBDADABAEABBEAB25ADBDAEADAB25ABADADAB2AB25ABAD252AD75ABAD2AB252AD7533225则A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,),336.
16、(2017天津,13,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值为.BDDCAEACABADAE答案答案311解析解析本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积.如图,由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos60=3,=9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解得=.思路分析根据=2得=+,利用=-4以及向量的数量积建立关于的方程,从而求得的值.BDDCAD13AB23ACADAE1233ABACACAB13ABAC132AB232AC23ABACABAC2AB2ACADAE83113311BDDCAD13AB23ACADAE一题多解一题多解以
17、A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,BAC=60,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=-=(1,)-(3,0)=(-3,),因此=(-3)+=-5=-4,解得=.3BDDC5 2 3,33AD5 2 3,33AEACAB33ADAE532 3331133111.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是()A.-1B.+1C.2D.2-3333C C组组 教师专用题组教师专用题组考点一数量积的定义及夹角与模长问题考点一数量积的
18、定义及夹角与模长问题答案答案 A本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离.设=a,=b,=e,以O为原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨设A点在第一象限,a与e的夹角为,点A在从原点出发,倾斜角为,且在第一象限内的射线上.设B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而=a-b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=x(x0)的距离减去圆的半径,所以|a-b|min=-1.选A.一题多解一题多解将b2-4eb+3
19、=0转化为b2-4eb+3e2=0,即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e).设=e,=a,=b,=3e,=2e,则,点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图.OAOBOEOE33BA33OEOAOBONOMEBNB|a-b|=|,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径.|=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1.BAOM3332.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足|=|=|,=-2,动点P,M满足|=1,=,则|2的最大值是()A.B.C.D.DADBDCDADBDBDCDCDAAPPMM
20、CBM434494376 34372 334答案答案 B由|=|=|及=DBCA,DCAB,DACB,且ADC=ADB=BDC=120,ABC为正三角形,设|=a,则a2cos120=-2a=2AC=2OC=3,如图建立平面直角坐标系xOy,则A(-,0),B(,0),C(0,3).由=P,M,C三点共线且M为PC的中点,设P(x,y),由|AP|=1(x+)2+y2=1,令则即P(sin-,cos),M,|2=(sin-3)2+(3+cos)2DADBDCDADBDBDCDCDADA333PMMC33sin,cos,xysin3,cos,xy3sin3 3cos,22BM143=37-(6s
21、in-6cos)=(37+12)=.|2的最大值为.143143712sin614494BM4943.(2014课标,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=()A.1B.2C.3D.5106答案答案A由|a+b|=得a2+b2+2ab=10,由|a-b|=得a2+b2-2ab=6,-得4ab=4,ab=1,故选A.思路分析思路分析分别对|a+b|=和|a-b|=两边平方,然后作差即可求得ab.一题多解一题多解设m=a+b,n=a-b,则|m|=,|n|=,且a=(m+n),b=(m-n).则ab=(m+n)(m-n)=(m2-n2)=1.1061061061212141
22、44.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|=2,则的最小值为.EFAEBF答案答案-3解析解析本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0),=(1,m),=(-2,n).=-2+mn,又知|=2,|m-n|=2.当m=n+2时,=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3.当n=-1,即E的坐标为(0,1),F的坐标为(0,-1)时,取得最小值-3.当m=n-2时,=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3.当n=1,
23、即E的坐标为(0,-1),F的坐标为(0,1)时,取得最小值-3.综上可知,的最小值为-3.AEBFAEBFEFAEBFAEBFAEBFAEBFAEBF5.(2015湖北,11,5分)已知向量,|=3,则=.OAABOAOAOB答案答案9解析解析,=0,即(-)=0,=9.OAABOAABOAOBOAOAOB2OA6.(2013课标,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则t=.答案答案2解析解析解法一:bc=0,bta+(1-t)b=0,tab+(1-t)b2=0,又|a|=|b|=1,=60,t+1-t=0,t=2.12解法二:由题意作=a,=
24、b,=60,|=|=1,设=c,则由c=ta+(1-t)b及bc=0,知A、B、C三点共线且BOC=90,如图,可知C在BA的延长线上,所以A为BC的中点,即a=b+c,所以c=2a-b,所以t=2.思路分析思路分析可以利用向量的数量积运算列方程求得t值;也可以将题中满足条件的向量用共起点的有向线段表示,从而画出符合条件的几何图形,通过分析图形中向量终点间的位置关系求得t的值.OAOBOAOBOAOBOC12127.(2013课标,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.AEBD答案答案2解析解析解法一:=(-)=-=22-22=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系
25、(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),=(1,2),=(-2,2),则=(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.思路分析思路分析解法一:以、为基底分别表示出与,从而得.解法二:建立适当的平面直角坐标系,求出与的坐标,从而利用数量积的坐标表示求得.方法点拨方法点拨在平面几何图形中计算向量的数量积主要有两种方法:(1)选择一组基底(两基向量的模和数量积已知或易于计算),并用基底表示出所涉及的向量,然后利用转化法求数量积;(2)建立平面直角坐标系,求出所涉及向量的坐标,转化为坐标运算求解.AEBD12ADABADAB2AD122AB12AEBDAE
26、BDABADAEBDAEBDAEBDAEBD8.(2012课标,13,5分)已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.10答案答案32解析解析|2a-b|=两边平方得4|a|2-4|a|b|cos45+|b|2=10.|a|=1,|b|2-2|b|-6=0.|b|=3或|b|=-(舍去).评析评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量模问题转化为数量积问题是求解的关键.102229.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案答案4;25解析解析本题考查向量的线性运算、
27、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力.解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4,|a+b|+|a-b|4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4.=,|a+b|+|a-b|2.当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时ab=0.故当ab时,|a+b|+|a-b|有最大值2.解法二:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|,得1x3.设y=|a-b|,同理,1y3.|2abab
28、22|2abab22ab555而x2+y2=2a2+2b2=10,故可设x=cos,cos,10110310y=sin,sin.设1,2为锐角,且sin1=,sin2=,则有12,又012,则x+y=(cos+sin)=2sin,1+2+,而1+2+0),C(0,t),P(1,4),=(-1,t-4)=17-17-22=13,故的最大值为13,故选A.ABAC1,0tPBPC11,4t14tt1,“”2t当且仅当时 取PBPC4.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=,I2=,I3=,则()A.I1I2I
29、3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3OAOBOBOCOCOD答案答案 C解法一:因为AB=BC,ABBC,BCO=45.过B作BEAC于E,则EBC=45.因为AD45,又BCO=45,BOC为锐角.从而AOB为钝角,所以DOC为钝角.故I10,I30.又OAOC,OB1),=-2(21),从而I3=12=12I1,又121,I10,I3I10,I3I10,nm.从而DBC45,又BCO=45,BOC为锐角.从而AOB为钝角.故I10,I30.又OAOC,OB1),=-2(21),从而I3=12=12I1,又121,I10,I30,I3I1,I3I10),则1+1+2m=4m2,
30、即2m2-m-1=0,解得m=1或m=-(舍去),即ab=1,因此|a+2b|=3,故选A.1222a4b4a b1444.(2019江西南昌NCS项目一模,10)已知平面向量a,b,a=(2cos,2sin),b=(cos,sin),且ab0,若对任意的实数,|a-b|的最小值为,则此时|a-b|=()A.1B.2C.D.323答案答案D由题意,得|a-b|=,因为ab0,所以cos(-)0,由题意可知当=2cos(-)时,|a-b|取得最小值,即|a-b|min=,解得cos(-)=,此时|a-b|=,故选D.22(2coscos)(2sinsin)244 cos()222cos()44c
31、os()3244cos()31222(2coscos)(2sinsin)54cos()35.(2018湖北天门等三地3月联考,13)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a方向上的投影为.答案答案32解析解析由已知可得ab=|a|b|cos60=25=5.所以|2a-b|cos=,所以2a-b在a方向上的投影为.12(2)|abaa22a|b aa 2225232321.(2019河南郑州二模,7)在RtABC中,BCA=90,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD上,则的最小值为()A.-B.0C.4D.-1CPBP12考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用
32、答案答案 A因为BC=2,AC=4,BCA=90,D为AC的中点,BD=2,且CBD=45.因为点P在边AC的中线BD上,所以设=(01),如图所示,所以=(+)=(+)=+2=|cos135+2(2)2=82-4=8-,当=时,取得最小值-,故选A.2BPBDCPBPCBBPBPCBBDBDCBBD2BDCBBD22141214CPBP12一题多解一题多解依题意,以C为坐标原点,分别以AC,BC所在的直线为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,2),D(2,0),所以直线BD的方程为y=-x+2,因为点P在边AC的中线BD上,所以可设P(t,2-t)(0t2),所以=(t,2-
33、t),=(t,-t),所以=t2-t(2-t)=2t2-2t=-,当t=时,取得最小值-,故选A.CPBPCPBP2122t1212CPBP122.(2019豫北名校联盟4月联考,8)已知O是ABC所在平面内一点,且满足|2+|2=|2+|2,则点O()A.在过点C且与AB垂直的直线上B.在A的平分线所在直线上C.在边AB的中线所在直线上D.以上都不对OABCOBCA答案答案A本题考查向量数量积的应用.由|2+|2=|2+|2得|2-|2=|2-|2,所以(+)(-)=(+)(-),即(+)=(+),所以(+)=2=0,所以.故点O在过点C且与AB垂直的直线上.OABCOBCAOAOBCABC
34、OAOBOAOBCABCCABCBAOAOBCACBBABAOAOBACBCOCBAABOC3.(2018湖北武汉调研,6)设A、B、C是半径为1的圆O上的三点,且,则(-)(-)的最大值是()A.1+B.1-C.-1D.1OAOBOCOAOCOB222答案答案A解法一:,|=|=1,|+|=.设(+)与的夹角为,则(-)(-)=-(+)+=1-cos,又0,cos-1,1,(-)(-)=1-cos1-,1+,(-)(-)的最大值为+1,故选A.解法二:以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系(取的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向),则A(1,0),B(0,1)
35、.设C(cos,sin)(0,2),-=(cos-1,sin),-=(cos,sin-1),(-)(-)=cos(cos-1)+sin(sin-1)=cos2+sin-(sin+cos)=1-sin,0,2),sin-1,1,(-)(-)的最大值为+1,故选A.OAOBOAOBOAOB222OAOA OB OB2OAOBOCOCOAOCOB2OCOAOBOCOAOB2OCOAOCOB222OCOAOCOB2OAOBOCOAOCOBOCOAOCOB244OCOAOCOB24.(2018河南天一大联考(三),15)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB=DC=2,点E,F分别为线段AB,BC
36、的三等分点,O为DC的中点,则cos=.12FEOF答案答案-12解析解析以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,连接OB,可得BOC为等边三角形,易知A(-1,),B(1,),C(2,0),则E,F.所以=,=,故cos=-.331,334 2 3,33OF4 2 3,33FE53,33FEOF|FE OFFE OF22225432 333335342 3333312一、选择题一、选择题(每题每题5 5分分,共共3030分分)B组 20172019年高考模拟专题综合题组(时间：30分钟 分值：40分)1.(2019湖北武汉3月调研,8)在ABC中,=0,|=4,|=5,D为线段BC的中点
37、,E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点,则=()A.B.C.-D.7ABACABBCAECB727474答案答案A解法一:=(-)=-=(-)-=-=-51+45=-+16=.故选A.解法二:依题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),因为|=5,所以C(0,3),DAECBBEBACBBECBBACBDEDBCBBACBDECBDBCBBACB524525272BC,易知直线BC的斜率为-,因为直线DE是线段BC的垂直平分线,所以直线DE的斜率为,所以直线DE的方程为y-=(x-2),令x=0,得y=-,所以直线DE与y轴的交点坐标为,不妨令E,因为=(4,-3)
38、,所以=(4,-3)=,故选A.方法技巧方法技巧平面向量数量积的两种算法:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;两个非零向量a与b,若它们的夹角为,则ab=|a|b|cos.32,2344332437670,670,6CBAECB70,6722.(2019河北衡水中学七调,8)已知菱形ABCD的边长为2,面积为2,点M是CD的中点,则=()A.1B.-C.1或D.1或33AMBD33答案答案D由面积公式可知22sinBAD=2,故sinBAD=,所以BAD=60或120.当BAD=60时,=+=22cos60+22cos120=1;当BAD=120时,=+=
39、22cos30+22cos150=3.故选D.易错警示易错警示对特殊角的三角函数值不熟练而导致漏解;不能正确理解两向量的夹角,忽略共起点的要求,从而导致求解错误.332AMBD12ADDCBDADBD12DCBD12AMBD12ADDCBDADBD12DCBD31233.(2019湖南长郡中学第五次月考,11)已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点,则|+2|的最大值是()A.2B.3C.4D.5PAPBPC3333答案答案D设ABC的外接圆的圆心为O,则圆的半径为=,+=0,故+2=4+.|4+|2=51+851+24=75,故|+2|5,当,共线且同向时取最大值,故选D.思路分析
40、思路分析设ABC的外接圆的圆心为O,因+=0,故+2=4+,计算|4+|2的最大值即可求得|+2|的最大值.名师点拨名师点拨向量数量积或模长的计算中,注意向已知长度的向量、与已知角的边有关的向量转化.另外,在三角形ABC中,如果G为三角形的重心,则+=0.332123 OAOBOCPAPBPCPOOCPOOCPOOCPAPBPC3POOCOAOBOCPAPBPCPOOCPOOCPAPBPCGAGBGC4.(2019江西金太阳大联考,12)如图所示,半圆的直径为AB,半圆的面积为4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的点,则(+)(-)的最大值为()A.2B.4C.6D
41、.8PAPBBPBC答案答案 B本题考查平面向量的综合应用.设圆的半径为r,由题意得r2=4,解得r=2.因为点O是AB的中点,所以+=2.设|=x(0 x2),则|=2-x.而-=,所以(+)(-)=2=2(2-x)x=-2x2+4x=-2(x-)2+4,因为0 x2,所以当x=时,(+)(-)取得最大值4.思路分析思路分析利用中点向量公式,将+转化为2,设|=x(0 x2),将所求数量积转化成关于x的函数,利用函数思想求最大值.122PAPBPOCP2PO2BPBCCPPAPBBPBCPOCP22222PAPBBPBCPAPBPOCP25.(2018安徽江南十校4月联考,8)已知ABC中,
42、AB=6,AC=3,N是边BC上的点,且=2,O为ABC的外心,则的值为()A.8B.10C.18D.9BNNCANAO答案答案 D由于=2,所以=+,取AB的中点E,连接OE,由于O为ABC的外心,所以,所以=62=18,同理可得=32=,所以=+=18+=6+3=9,故选D.思路分析思路分析用,表示,利用O是ABC的外心可得=,=,进而可得答案.BNNCAN13AB23ACEOABAOAB12AB EOAB122AB12ACAO122AC1292ANAO1233ABACAO13ABAO23ACAO132392ABACANABAO122ABACAO122AC6.(2017湖北黄冈二模,10)
43、已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a(a-2b),(c-2a)(c-b)=0,则|c|的最大值与最小值的和为()A.0B.C.D.327答案答案 Da(a-2b),a(a-2b)=0,即a2=2ab,又|a|=|b|=1,ab=,a与b的夹角为60.设=a,=b,=c,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系,则a=,b=(1,0).设c=(x,y),则c-2a=(x-1,y-),c-b=(x-1,y).又(c-2a)(c-b)=0,(x-1)2+y(y-)=0,即(x-1)2+=,点C的轨迹是以点M为圆心,为半径的圆.12OAOBOCOB13,2233232
44、y3431,232又|c|=表示圆M上的点与原点O(0,0)之间的距离,所以|c|max=|OM|+,|c|min=|OM|-,|c|max+|c|min=2|OM|=2=,故选D.名师点拨名师点拨解决一些向量问题时,可通过建立平面直角坐标系将问题坐标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以避免繁杂的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.22xy32322231277.(2019河南十所名校尖子生第二次调研,15)已知A,B,C均位于同一单位圆O上,且=|2,若=3,则|+|的取值范围为.BABCABPBPCPAPBPC二、填空题二、填空题(每题每题5 5分分,共共101
45、0分分)答案答案5,7解析解析由=|2得|cosB=|2,|cosB=|.BC为圆O的直径,BAC=90,以所在直线为x轴,BC的中点O为原点,建立平面直角坐标系,如图所示.BABCABBABCBABCBABC+|5,7.思路分析思路分析由=|2得BC为圆O的直径,从而建立平面直角坐标系,由=3得点P的运动轨迹,利用坐标法表示出|+|,利用点P的轨迹方程及函数思想求得|+|的取值范围.PBPCBABCABPBPCPAPBPCPAPBPC设点B(-1,0),C(1,0),A(cos,sin)(0,2),P(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),=x2-1+y2=3,即x2+y2=
46、4,故点P在以(0,0)为圆心,2为半径的圆上运动,而+=+2=(cos-x,sin-y)+2(-x,-y)=(cos-3x,sin-3y).|+|=,又知sin(+)-1,1,37-12sin(+)25,49,|PBPCPBPCPAPBPCPAPOPAPBPC22(cos3)(sin3)xy2222cossin9()6 cos6 sinxyxy22376sin()xy37 12sin()PA8.(2019河南、河北百校联盟4月联考,15)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADBD,BCD=60,CB=CD=2,点M为BC边上一动点,则的取值范围为.3AMDM答案答案45,184解析解析
47、如图,以点B为坐标原点,BC,BA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(0,0),C(2,0),BCD是等边三角形,则D(,3),BD=2,CBD=60.又ABC=90,则ABD=30,则AB=4,A(0,4).又点M为BC边上的一动点,设M(x,0),x0,2,则=(x,-4)(x-,-3)=x2-x+12=+,所以当x=时,取得最小值,当x=2时,取得最大值18,故的取值范围是.方法总结方法总结对于平面向量问题,常用的求解方法为基底法和坐标系法,前者需要选择合适的基底,利用线性运算求解;后者需建立适当的平面直角坐标系,利用坐标进行运算.3333AMDM33232x45432AMD
48、M4543AMDMAMDM45,1841.(2019福建漳州一中3月月考,8)已知非零向量a,b,满足|a|=2|b|,若函数f(x)=x3+|a|x2+abx+1在R上存在极值,则a和b夹角的取值范围为()A.B.C.D.13120,6,32,33,3C组 20172019年高考模拟应用创新题组答案答案B由题意可知,f(x)=x2+|a|x+ab,f(x)在R上存在极值,f(x)=0在R上有两个不等实数根,=|a|2-4ab0.设a与b的夹角为,则有|a|2-4|a|b|cos0,|a|4|b|cos,又知|a|=2|b|,cos0得cos的范围,最后利用余弦函数的图象及向量夹角的范围得a,
49、b夹角的取值范围.|4|ab2|4|bb12,3,32.(201953原创预测卷八,11)设|=|=1,且与的夹角为120,=+(1-),当在上的射影为时,=()A.1B.C.D.OAOBOAOBOPOAOBOAOP32|APPB3212212答案答案C由题意得三角形OAB是顶角为120的等腰三角形,且点P在直线AB上,设与的夹角为,所以在上的射影为|cos=,又|=1,=30,由此易知P在线段AB上且OAP=AOP=30,则OP=AP.在OPA中,由正弦定理得=,解得OP=,又OP=AP,所以AP=,又易求AB=,所以=.故选C.名师点拨名师点拨在解决与向量有关的三角形问题时,注意正弦定理与
50、余弦定理的应用.OPOAOAOPOA32OAsin30OPsin120OA33333|APPB123.(2019河南百校联盟3月联考,16)如图,E是边长为1的正方形ABCD的边CD上的动点(与C,D不重合),=,过E作EFBE交ADC的外角平分线于F,若,则的取值范围为.CECDEDDF316答案答案10,43,14解析解析如图,过F作CD的垂线FK交CD的延长线于点K.因为DF为ADC的外角平分线,所以FDK=45,所以FDK为等腰直角三角形,故FK=DK.因为BEF=90,所以KEF+BEC=90,又KEF+KFE=90,所以KFE=BEC,则RtBCERtEKF,故=.由已知得CE=,
