1、17.1 勾股定理第十七章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时 利用勾股定理作图或计算学习目标1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决 网格问题.（重点）2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理 解决相应的折叠问题.（难点）欣赏下面海螺的图片：导入新课导入新课情景引入在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数学教育大会的会徽.这个图是怎样绘制出来的呢？问题1 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？3-2.5问题2 求下列三角形的各边长.12123？21513复习引入 -1 0 1 2
2、 3 问题1 你能在数轴上表示出 的点吗？呢？22用同样的方法作 呢？3,4,5,6,7讲授新课讲授新课勾股定理与数轴一提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？13113213313?问题2 长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？1301234步骤：lABC1.在数轴上找到点A,使OA=3;2.作直线lOA,在l上取一点B，使AB=2;3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交 于C点，则点C即为表示 的点.133132O也可以使OA=2，AB=3，同样可以求出C点.利用勾股定理表
3、示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.归纳总结“数学海螺”类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段.2,3,5211345类比迁移 例1 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，斜边长为 ，即1到A的距离是 ，点A所表示的数为 .2221=5551易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.典例精析1.如图，点A表示的实数是 （）2.如图，在矩形ABCD
4、中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A.2 B.51 C.101 D.5CA.3 B.5 C.3 D.5D练一练01234lABC3.你能在数轴上画出表示 的点吗？17117?勾股定理与网格二画一画 在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB25,8，2AB5AB8ABBBB 例2 在如图所示的68的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).由勾股定理得ABC的周长为
5、22435AB ，221417AC，221526BC，51726.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.归纳 例3 如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 的线段？5解：如图所示，有8条.一个点一个点的找，不要漏解.例4 如图，在22的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.1113221 21 11 22222ABCS ，1,2ABCSAB CD又又22125AB，13,22AB CD解：如图，过点C作CDAB于点D.33 555CD.D 此类网格
6、中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高.归纳 如图，在55正方形网格中，每个小正方形的边长 均为1，画出一个三角形的长分别为 .2 210、ABC练一练解：如图所示.例5 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.DABCEF解：在RtABF中,由勾股定理得 BF2=AF2AB2=10282=36，BF=6cm.CF=BCBF=4.设EC=xcm，则EF=DE=(8x)cm，在RtECF中,根据勾股定理得 x2+42=(8x)2，解得 x=3.即EC的长为3cm.勾股定理与图形的计算三要用到方程思想【变
7、式题】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A的对应点为A，且BC3，求AM的长.解：连接BM，MB.设AMx，在RtABM中，AB2AM2BM2.在RtMDB中，MD2DB2=MB2.MBMB，AB2AM2MD2DB2，即92x2(9x)2(93)2，解得x2.即AM2.折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x 的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.归纳总结例6 如图，四边形ABCD中
8、A=60，B=D=90，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积解：如图，延长AD、BC交于EB=90，A=60，E=9060=30，在RtABE和RtCDE中，AB=2，CD=1，AE=2AB=22=4，CE=2CD=21=2，由勾股定理得E2222422 3213BEDE，113 3=2 323 1=.222ABCDS四四边边形形DCBA补形法求面积当堂练习当堂练习1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5 B.6 C.7 D.25A 2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后
9、点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 B3.如图，网格中的小正方形边长均为1，ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_.8 1313解：AB=AD=8cm，A=60，ABD是等边三角形.ADC=150,CDB=15060=90，BCD是直角三角形.又四边形的周长为32cm，CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm).设CD=x，则BC=16-x，由勾股定理得82+x2=(16-x)2解得x=6cm.SBCD=68=24
10、(cm)2.4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，A=60，ADC=150，已知四边形ABCD的周长为32cm，求BCD的面积125.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D处，求重叠部分AFC的面积.解：易证AFDCFB，DF=BF，设DF=x，则AF=8-x，在RtAFD中，(8-x)2=x2+42，解得x=3.AF=AB-FB=8-3=5，SAFC=AFBC=10126.问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ,求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即
11、ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）求ABC的面积；图11173 31 2231 32222ABCS 解解：.能力提升：5103a、（2）若ABC三边的长分别为 (a0)，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面积解：如图,5,2 2,17aaa思维拓展：2225,ABaaa22222 2,BCaaa22417,ACaaaABC即为所求，2111=2422243.222ABCSaaaaaaaaa图ABC课堂小结课堂小结利用勾股定理作图或计算在数轴上表示出无理数的点利用勾股定理解决网格中的问题利
12、用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常与网格求线段长或面积结合起来通常用到方程思想17.2 勾股定理的逆定理第十七章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 勾股定理的逆定理学习目标1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定 理的概念、关系及勾股数.（重点）2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）导入新课导入新课B C A 问题1 勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.bca问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：a3，b4；a2.5，b6；a4，b7.5
13、.c=5c=6.5c=8.5复习引入思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.情景引入思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?大禹治水相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.讲授新课讲授新课勾
14、股定理的逆定理一下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:5,12,13;7,24,25;8,15,17.问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？0180150120906030724255131217815是下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:5,12,13;7,24,25;8,15,17.问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？5,12,13满足52+122=132,7,24,25满足72+242=252,8,15,17满足82+152=172.问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？32+42=52，满足.a2+b2=c2我
15、觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.问题3 据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.ABC ABC？C是直角ABC是直角三角形ABCa b c 已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形构造两直角边分别为a,b的RtABC证一证:证明：作RtABC，使C=90，AC=b，BC=a，ABC ABC(SSS)，C=C=90 ，即ABC是直角三角形.则22222ABBCACab .222abc，2
16、2.A BcA Bc ，ABCA B C在和中A CACB CBCA BAB ，C B aAbcACaBbc勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足 a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.ACBabc 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.特别说明：归纳总结 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15 ，b=8 ，c=17;解：(1)152+82=289，172=289，152+82=172，根据勾股定理的
17、逆定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角.(2)a=13，b=14 ，c=15.(2)132+142=365，152=225，132+142152，不符合勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形.根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳【变式题1】若ABC的三边a,b,c满足 a:b:c=3:4:5，是判断ABC的形状.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k0),(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,(3k)2+(4k)2=(5k)2,ABC是直角三角形，且C是直角.已知三角形三边的比例关系判断三角形形状
18、：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.归纳【变式题2】(1)若ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明ABC是直角三角形.14解：a+b=4,ab=1,a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又c2=14,a2+b2=c2,ABC是直角三角形.(2)若ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断ABC的形状.解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，a26a+9+b28b+16+c210c+25=0.即(a3)+(b4
19、)+(c5)=0.a=3,b=4,c=5，即 a2+b2=c2.ABC是直角三角形.例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由 解：AFEF.理由如下：设正方形的边长为4a,则ECa，BE3a，CFDF2a.在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2.在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2.在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2.在AEF中，AE2EF2AF2，AEF为直角三角形，且AE为斜边AFE90，即AFEF.14练一练1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A
20、2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，7 C2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （）A4 B3 C2.5 D2.4D3.若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ABC是_.等腰三角形或直角三角形如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数二概念学习常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一
21、组新数，这组数同样是勾股数.下列各组数是勾股数的是 ()A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.练一练命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.前面我们学习了两个命题，分别为：互逆命题与互逆定理三命题1：直角三角形a2+b2=c2命题2：直角三角形a2+b2=c2题设结论 它们是题设和结论正好相反的两个命题.问题1
22、 两个命题的条件和结论分别是什么？问题2 两个命题的条件和结论有何联系？一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.归纳总结说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.内错角相等，两条直线平行.如果两个实数的绝对
23、值相等，那么它们相等.对应角相等的三角形全等.在角平分线上的点到角的两边距离相等.成立不成立不成立成立练一练当堂练习当堂练习1.下列各组数是勾股数的是 ()A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ()A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形BA3.在ABC中，A,B,C的对边分别a,b,c.若C-B=A,则ABC是直角三角形；若c2=b2-a2,则ABC是直角三角形,且C=90；若(c+a)(c-a)=b2,则ABC是直角三角形;若A：B：C=5：2：3，则ABC
24、是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个A 4.已知a、b、c是ABC三边的长，且满足关系式 ，则ABC的形状是 _2220cabca+-+-=等腰直角三角形5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_cm;12(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_有两个角相等的三角形是等腰三角形6.已知ABC，AB=n-1，BC=2n，AC=n+1(n为大于1的正整数).试问ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解：AB+BC=(n-1)+(2n)=n4-2n+1+4n =n4+2n+1 =
25、(n+1)=AC，ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=,求四边形ABCD 的面积.5 2222268100ABBC解：，+=+=2222(5 2)(5 2)100ADDC，+=+=2100AC，=ABC是直角三角形且B是直角.222ADDCAC，+=ADC是直角三角形且 D是直角，S 四边形 ABCD=11685 25 249.22创+创=222ABBCAC，+=课堂小结课堂小结勾股定理的逆定理内 容作用从三边数量关系判定 一 个 三 角 形 是否是直角形三角形.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么
26、这个三角形是直角三角形.注意最长边不一定是c，C也不一定是直角.勾股数一定是正整数小魔方站作品小魔方站作品 盗版必究盗版必究语文语文附赠 中高考状元学习方法 前前 言言 高考状元是一个特殊的群体，在许多高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些
27、共性，而这些对在校的同学尤其是着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。青春风采北京市文科状元北京市文科状元 阳光女孩阳光女孩-何旋何旋 高考总分：高考总分：692分分(含含20分加分分加分)语文语文131分分 数学数学145分分英语英语141分分 文综文综255分分毕业学校：北京二中毕业学校：北京二中报考高校：报考高校：北京大学光华管理学北京大学光华管理学院院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外
28、向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成
29、绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。小魔方站作品小魔方站作品 盗版必究盗版必究语文语文附赠 中高考状元学习方法 前前 言言 高考状元是一个特殊的群体，在许多高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是着一些共性，而
30、这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。青春风采北京市文科状元北京市文科状元 阳光女孩阳光女孩-何旋何旋 高考总分：高考总分：692分分(含含20分加分分加分)语文语文131分分 数学数学145分分英语英语141分分 文综文综255分分毕业学校：北京二中毕业学校：北京二中报考高校：报考高校：北京大学光华管理学北京大学光华管理学院院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是69
31、2。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。高考总分高考总分:711分分毕业学校毕业学校:北京八中北京八中语文语文139分分 数学数学140分分英语英语141分分 理综理综291分分报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心北京市理科状元杨蕙心
