1、电动力学电动力学-2013 邹正峰邹正峰求是楼求是楼 233#68948795 9-16周周16次课次课 期末考试期末考试80%平时成绩平时成绩20%每周交一次作业每周交一次作业电动力学电动力学 矢量分析与场论矢量分析与场论 电动力学电动力学 参考书：参考书：矢量分析与场论矢量分析与场论谢树艺，高教出版社谢树艺，高教出版社 电动力学电动力学 郭硕鸿，高教出版社郭硕鸿，高教出版社 电动力学简明教程电动力学简明教程 俞允强，北大出版社俞允强，北大出版社矢量分析与场论矢量分析与场论数学预备数学预备 矢量及基本运算矢量及基本运算 矢性函数的运算规则矢性函数的运算规则 哈密顿算子及其简易计算方法哈密顿算
2、子及其简易计算方法 积分变换式：高斯公式、斯托克斯公式积分变换式：高斯公式、斯托克斯公式 场场 梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度 有势场有势场 管形场管形场矢量矢量矢量：既有大小（模），又有方向矢量：既有大小（模），又有方向Aa数量数量Aa矢量矢量矢量的坐标表示方法矢量的坐标表示方法kAjAiAAzyx基矢基矢321,eeeeeezyxAzxy矢量可以用三个有序的矢量可以用三个有序的数量表示数量表示),(zyxAAA矢量矢量矢量的模矢量的模单位矢量单位矢量222zyxAAAAA)(,0AeAAzxy2220zyxzyxAAAkAjAiAAAA矢量的加、减矢量的加、减u 加、减加、减矢量的加、减
3、，满足平行四边形法则。矢量的加、减，满足平行四边形法则。以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线就是这两个矢量的和或差。就是这两个矢量的和或差。如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的和的和(差差)的分量等于这两个矢量对应分量的和的分量等于这两个矢量对应分量的和(差差)。kcbjcbicbcbazzyyxx)()(标积标积u 标积标积zzyyxxzyxzyxcbcbcbkcjcickbjbibcba)()(),cos(cbcbcba两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。两
4、个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。矢积矢积u 积，或矢积积，或矢积矢积矢积是一个矢量，其大小等于以两矢量为邻边所是一个矢量，其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。)()()()()(xyyxzxxzyzzyzyxzyxcbcbkcbcbjcbcbikcjcickbjbiba),sin(cbcbcbazyxzyxcccbbbkjicbabc
5、a并矢并矢u 并矢并矢又可以表示为又可以表示为)(kcjcickbjbibcbazyxzyxkkcbj kcbi kcbk jcbj jcbi jcbkicbj icbi icbzzyzxzzyyyxyzxyxxx zzyzxzzyyyxyzxyxxxcbcbcbcbcbcbcbcbcb并矢与张量并矢与张量张量张量：就是有坐标的量：就是有坐标的量，它们不随参照系的坐标变换，它们不随参照系的坐标变换而变化而变化坐标组一个指标的，就是一阶张量，在三维迪卡尔坐标坐标组一个指标的，就是一阶张量，在三维迪卡尔坐标系里，具有三个与坐标相关的独立变量集合，系里，具有三个与坐标相关的独立变量集合，矢量矢量坐标
6、组两个指标的，就是二阶张量矩阵，在三维迪卡尔坐标组两个指标的，就是二阶张量矩阵，在三维迪卡尔坐标系里，具有九个与坐标相关的独立变量集合，坐标系里，具有九个与坐标相关的独立变量集合，并矢并矢依次类推，三阶，四阶依次类推，三阶，四阶l本课程中，如无特别指明，本课程中，如无特别指明，张量张量均指二阶张量均指二阶张量矢量的运算符矢量的运算符标量的运算符标量的运算符矢量的运算符矢量的运算符bca cbacbacbacbacba三矢量的混合积三矢量的混合积u 三矢量的混合积三矢量的混合积)()()(bacacbcba)()()(abccabbca三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个三个矢量的混
7、合积是一个标量，其绝对值等于以这三个矢量为棱的平行六面体的体积。矢量为棱的平行六面体的体积。zyxzyxzyxcccbbbaaacba三矢量的矢积三矢量的矢积u三矢量的矢积三矢量的矢积a三个矢量的矢积，可以表示为括号内两矢量的线性组合，三个矢量的矢积，可以表示为括号内两矢量的线性组合，系数分别为括号外的矢量与括号内的另一矢量的点积，系数分别为括号外的矢量与括号内的另一矢量的点积，括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。“远交近攻远交近攻”cba)(
8、)(ac)(bcb例：例：证明证明证明：证明：是一个矢量，令是一个矢量，令 ，有：，有：利用三矢量的矢积公式可以得到利用三矢量的矢积公式可以得到，于是可得，于是可得，)()()()(dacbdbcadcbadcmbadcba)()()()()()()()(dacbdbcadcbdbcadcba)()()()(dacbdbcadcbadcm)()(dcbamba矢性函数的定义矢性函数的定义 设有数性变量设有数性变量t和变矢和变矢 ，如果对于，如果对于t在某个范在某个范围围G内的每一个数值，内的每一个数值，都以一个确定的矢量和都以一个确定的矢量和它对应，则称它对应，则称 为数性变量为数性变量t的的
9、矢性函数矢性函数，记作，记作并称并称G为函数为函数 的定义域的定义域A tAAAAA概念概念 常矢：模和方向都保持不变的矢量。零常矢：模和方向都保持不变的矢量。零矢量方向任意，作为常矢特例。矢量方向任意，作为常矢特例。变矢：模和方向只要有一个会变化（除变矢：模和方向只要有一个会变化（除零矢量外）即为变矢。零矢量外）即为变矢。矢性函数矢性函数 tAxyzOt矢性函数矢性函数 在在 直角坐标系中的三个坐标直角坐标系中的三个坐标(即它在三个坐标轴的投影即它在三个坐标轴的投影)显然都是显然都是 的函数的函数.矢性函数的坐标为矢性函数的坐标为 tAtAtAzyxktAjtAitAtAzyx)()()()
10、(矢性函数的坐标表达式为：矢性函数的坐标表达式为：矢性函数可以用三个有序的矢性函数可以用三个有序的数性函数表示数性函数表示矢端曲线，矢径，距离矢量矢端曲线，矢径，距离矢量矢径矢径：距离矢量：距离矢量：)()()(tAztAytAxzyxk zj yi xOMr tAzxylMokzzjyyixxPMrrer)()()()(10101010zxyo1r0rrMP矢性函数的极限矢性函数的极限极限极限定义定义设矢性函数设矢性函数 在在t0点的某个邻域内有定义点的某个邻域内有定义(但但t0点可以没点可以没有定义有定义)，为一常矢，若为一常矢，若 都都 ，使得当，使得当t 满足满足 时，定有时，定有 ，
11、就称，就称 为为矢性函数矢性函数 当当 时的极限。时的极限。记为：记为：0A0000tt0)(AtA0A tA0tt0)(lim0AtAtt tAktAjtAitAtAzttyttxtttt)(lim)(lim)(lim)(lim0000zzttyyttxxttAtAAtAAtA000)(lim,)(lim,)(lim000根据极限运算性质可得到根据极限运算性质可得到矢性函数的极限矢性函数的极限一个矢性函数的极限，可以用三个有序的数性函数一个矢性函数的极限，可以用三个有序的数性函数的极限来描述（或表示）。的极限来描述（或表示）。kAjAiAktAjtAitAtAzyxzttyttxtttt00
12、0)(lim)(lim)(lim)(lim0000矢性函数的极限、连续、导数、微分，矢性函数的极限、连续、导数、微分，积分积分一个矢性函数的（一个矢性函数的（），可以用三个有序的数），可以用三个有序的数性性函数的（性性函数的（）来描述（或表示）。）来描述（或表示）。极限、连续、导数、微分、积分极限、连续、导数、微分、积分极限极限连续连续导数导数ktAjtAitAtAzttyttxtttt)()()()(limlimlimlim0000ktAjtAitAtAtAzyxtt)()()()()(0000lim0kttAjttAittAttAzttyttxtttt)()()()(limlimlimli
13、m0000ktAjtAitAtAzyx)()()()(矢性函数的极限、连续、导数、微分，矢性函数的极限、连续、导数、微分，积分积分一个矢性函数的（一个矢性函数的（），可以用三个有序的数），可以用三个有序的数性函数的（性函数的（）来描述（或表示）。）来描述（或表示）。极限、连续、导数、微分、积分极限、连续、导数、微分、积分微分微分不定积分不定积分定积分定积分0)()()()(CdttAkdttAjdttAidttAzyxkdttAjdttAidttAtAdzyx)()()()(dttAkdttAjdttAidttAbazbaybaxba)()()()(当两个矢量运算时，先进行基矢间的当两个矢量运
14、算时，先进行基矢间的运算，然后再进行函数间的运算。基运算，然后再进行函数间的运算。基矢之间的运算规则是与运算符相邻的矢之间的运算规则是与运算符相邻的两个基矢之间发生运算关系。基矢运两个基矢之间发生运算关系。基矢运算只有点、叉、并运算。而函数间运算只有点、叉、并运算。而函数间运算包含了乘、微分、积分等关系。算包含了乘、微分、积分等关系。矢量运算的基本方法矢量运算的基本方法矢量的基矢运算规则矢量的基矢运算规则0,0,k kiikk ii ijijj i ,0,0,1,1jjiijjii,0,0ikjkjikjjikikkjj iki ikii,0ki jkkj jk j ikki ikii k ,
15、00,0,k ki ji ii kk ii ij ji ii jj i 哈密顿算符哈密顿算符哈密顿算符是一个矢性微分算符，在哈密顿算符是一个矢性微分算符，在运算运算中具有矢量和微分的中具有矢量和微分的双重性质。在直角坐标系中，可表示为双重性质。在直角坐标系中，可表示为其运算规则是其运算规则是：kzjyixkzujyuixuuzkyjxiu)(zAyAxAkAjAiAzkyjxiAzyxzyx)()(kyAxAjxAzAizAyAAAAzyxkjiAxyzxyzzyx)()()(算符算符)()(kzjyixkAjAiAAzyxzAyAxAzyxzuAyuAxuAuAzyx)(zBAyBAxBAB
16、Azyx)(A哈密顿算符矢量公式哈密顿算符矢量公式,)(),2(AcAcAcAc)(),3(BABA)(),5(BABA)(),6(,)(),1(uccu,)(),4(vuvu为常数）其中 (c算符之外）可以提到运换句话说 (c运算符的分配率）(矢量公式矢量公式cucu)(),7(,)()(),9(uvvuuv,)(),8(cucuAuAuAu)(),10(AuAuAu)(),11(为常矢）其中，(c ABABBABABA)()()()()(),12()()()(),13(BAABBA)()()()()(),14(BAABBAABBAuuu2)(),15(kAjAiAAAAAzyx22222)
17、()(),18(0)(),17(A0)(),16(u在下面的公式中在下面的公式中 为矢径为矢径kzj yi xr0),19(rrrr3),20(r0),21(ruufuf)()(),22(0)()()(),23(rrfrrrfrf,0)(),24(rrf)0(,0)(),25(3rrr21222zyxrrr证明算子证明算子 的公式的公式例例：证明：证明,)(uvvuuvuvkzjyixuv)()(zuvkyuvjxuviuv)()()()()(zuvzvukyuvyvujxuvxvuiuv)()()(zuvkyuvjxuvizvukyvujxvuiuvuvvu哈密顿算符的运算方法哈密顿算符的运
18、算方法“先微分，后矢量先微分，后矢量”分为三步：分为三步：第一步：利用第一步：利用的微分性，将所求表达式分成几项，每一项中的微分性，将所求表达式分成几项，每一项中只作用于一个函数上。只作用于一个函数上。此时可在此时可在算符的下标标明算符所作用的函数算符的下标标明算符所作用的函数或者在或者在算符不作用的函数下加临时的常数标记算符不作用的函数下加临时的常数标记)()()(uvuvuvvu)()()(vuuvuvccuvvuuv)(哈密顿算符的运算方法哈密顿算符的运算方法第二步：将算符看成一个矢量，利用矢量的性质重新排列，使第二步：将算符看成一个矢量，利用矢量的性质重新排列，使得得算符紧邻着排在它所
19、作用的函数前面，而把不被作用的函数算符紧邻着排在它所作用的函数前面，而把不被作用的函数移到算符作用范围外面移到算符作用范围外面或或第三步，抹去下标，得到结果第三步，抹去下标，得到结果)()()(uvuvuvvuvuuvvuvuuvvuuvcccc)()(vuuvuv)(例：证明例：证明先微分先微分 再矢量再矢量去掉下标去掉下标证毕证毕,)(AuAuAu)()()(AuAuAuuAAuAuAA)(AuAuuu)()(AuAuAu)(例例：证明：证明先微分先微分再矢量再矢量去掉下标去掉下标证毕证毕)()()(BAABBA)()()(BABABABA)()()(ABBABABA)()(BAABBA)
20、()()(BAABBA例例：证明证明先微分先微分再矢量再矢量去掉下标去掉下标证毕证毕)()()()()(BAABBAABBA)()()(BABABABA)()()(ABABBAAAABABABABBB)()()()()()()()(BAABBAABBABABA)()()()()(BAABBAABBA强调：强调：1：是一个算符，不能看成一个矢量是一个算符，不能看成一个矢量2：哈密顿算法的简易运算方法，三个步骤是一哈密顿算法的简易运算方法，三个步骤是一个整体，缺一不可，不能单独使用。个整体，缺一不可，不能单独使用。BABABA)()()(没有对没有对 做微分运算做微分运算对对做了微分运算做了微分运
21、算AA积分变换式积分变换式-1高斯公式（奥式公式）高斯公式（奥式公式）上式能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体上式能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然积分，反之亦然。采用采用符号来表示，可将上式写成：符号来表示，可将上式写成：dVZRyQxPSdAS)(dVASdAS)(kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),(积分变换式积分变换式-2斯托克斯公式斯托克斯公式上式能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界上式能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。的任意曲面的面积分，反之亦然。采用采用符号来表示，
22、可将上式写成：符号来表示，可将上式写成：SyxxZzyldxdyPQdxdzRPdydzQRl dA)()()(SlSdAldA)(kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),(场场如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量物理量的一个的一个场场数量场：数量场：温度，密度，电位温度，密度，电位矢量场：矢量场：电场强度，力，速度电场强度，力，速度稳定场稳定场：不稳定场：不稳定场：数量场的数量场的等值面和等值线：等值面和等值线：矢量场的矢量场的矢量
23、线：矢量线：曲线的每一点均与对应该点的矢量相切曲线的每一点均与对应该点的矢量相切),z,y,x(AA),z,y,x(UU),tz,y,x(UU),tz,y,x(AA为常数）cc(,)z,y,x(U为常数）cc(,)y,x(U方向导数方向导数设设M0为数量场为数量场 u=u(M)中的一点，从点中的一点，从点出发引一条射线出发引一条射线l,在在l上的点上的点M0的临近取一的临近取一动点动点M，记，记 ，如右图。若当，如右图。若当MM0时比式时比式的极限存在，则称它为函数的极限存在，则称它为函数u(M)在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数。方向的方向导数。方向导数描述了在特定点处，数量场沿指定方向的
24、变化率方向导数描述了在特定点处，数量场沿指定方向的变化率M0MlMM0MMMuMuu00coscoscoszuyuxuluu 定义定义u 计算公式计算公式其中其中coscoscosxyzlllcoscoscoszuyuxulukjilcoscoscos0kzujyuixuG),cos(00lGGlGlu方向导数最大值与方向方向导数最大值与方向l方向上的单位矢量方向上的单位矢量取取矢量矢量有有梯度梯度若在数量场若在数量场u(M)中的一点中的一点M处，存在这样的一个矢量处，存在这样的一个矢量 ，其，其方向为函数方向为函数u(M)在在M点处变化率最大的方向，其模也正好是点处变化率最大的方向，其模也正
25、好是这个最大变化率的数值。则称矢量这个最大变化率的数值。则称矢量 为函数为函数u(M)在点在点M处的处的梯度梯度，记作：，记作：u 定义定义u 计算公式计算公式Gugradkzujyuixuugradu 性质性质 方向导数等于梯度在该方向上的投影，即方向导数等于梯度在该方向上的投影，即 梯度垂直于过该点的等值面，且指向数量增大的梯度垂直于过该点的等值面，且指向数量增大的方向方向ulululgradgrad0uGG通量通量设有矢量场设有矢量场 ，沿其中有向曲面，沿其中有向曲面S的某一侧的曲面积分的某一侧的曲面积分叫做矢量场叫做矢量场 向积分所沿一侧穿过曲面向积分所沿一侧穿过曲面S的通量的通量u
26、定义定义u 通量可叠加通量可叠加MAMASSnSdAdSA miimiSiSmiiSmiimSdASdASdAAAAAA111121,则有若散度散度设有矢量场设有矢量场 ，于场中一点，于场中一点M的某个邻域内作一包含的某个邻域内作一包含M点点在内的任一封闭曲面在内的任一封闭曲面 ，设其所包围的空间区域为，设其所包围的空间区域为 ，以以 表其体积，以表其体积，以 表从其内穿出表从其内穿出S的通量，若当的通量，若当 以任以任意方式缩向意方式缩向M点时，比式点时，比式之极限存在，则称此极限为矢量场在点之极限存在，则称此极限为矢量场在点M处的散度，记作处的散度，记作u 定义定义MASVVSdAVSVS
27、dAVASMMlimlimdiv散度表示场中一点处通量对体积的变化率，即该点处散度表示场中一点处通量对体积的变化率，即该点处源的强度源的强度散度的计算公式散度的计算公式矢量场矢量场kzyxRjzyxQizyxPA),(),(,高斯公式高斯公式（奥氏公式）（奥氏公式）dVzRyQxPSdAVS)(由高斯公式由高斯公式dVzRyQxP再根据中值定理，在再根据中值定理，在 中总能找到一点中总能找到一点 ，使，使MVzRyQxPMzRyQxPzRyQxPVAMMMlimlimdiv由定义由定义AVSdAVASMMlimlimdiv环量环量设有矢量场设有矢量场 ，沿其，沿其中某一封闭的有向曲线中某一封闭
28、的有向曲线l的曲线积分的曲线积分叫做矢量场叫做矢量场 按积分所取方向沿曲线按积分所取方向沿曲线l的的环量环量u 定义定义MAMAlldAllRdzQdyPdxl dA环量面密度环量面密度设有设有M为矢量场为矢量场 中的一点，在中的一点，在M点处取定一个方向点处取定一个方向 ，再过，再过M点任作一微小曲面点任作一微小曲面 ,以以 为其在为其在M点处的法矢，其周界点处的法矢，其周界 之正向取作与之正向取作与 构成右手螺旋关系，则矢量场沿构成右手螺旋关系，则矢量场沿 之正向的之正向的环量环量 与面积与面积 之比，当曲面之比，当曲面 在保持在保持M点于其上的条件下，点于其上的条件下，沿着自身缩向沿着自
29、身缩向M点时，若点时，若 的极限存在，则称其为矢量场的极限存在，则称其为矢量场 在点在点M处沿方向处沿方向 的环量面密度，记作：的环量面密度，记作：u 定义定义Sl dASMSMSnlimlimSAllSSSA环量面密度表示环量对面积的变化率环量面密度表示环量对面积的变化率MSlnnnn环量面密度的计算公式环量面密度的计算公式矢量场矢量场kzyxRjzyxQizyxPA),(),(,SyxxZzyldxdyPQdxdzRPdydzQRl dA)()()(cos,cos,cosdSdxdydSdxdzdSdSdydzxlim()cos()cos()cosnSMRQPRQPSyzzxxy 斯托克斯
30、公式斯托克斯公式SyPxQxRzPzQyRMcos)(cos)(cos)(根据中值定理根据中值定理Sl dASMSMSnlimlimcos)(cos)(cos)(yPxQxRzPzQyRnkjincoscoscos0kyPxQjxRzPizQyRR)()()(),cos(00nRRlRn环量面密度变化率最大值与方向环量面密度变化率最大值与方向方向上的单位矢量方向上的单位矢量取取矢量矢量有有n旋度旋度若在矢量场若在矢量场 中的一点中的一点M处存在这样的一个矢量处存在这样的一个矢量 ，矢量场，矢量场 在点在点M处沿其方向的环量面密度为最大，且最大的数值为处沿其方向的环量面密度为最大，且最大的数值为
31、 ，则称矢量则称矢量 为矢量场为矢量场 在点在点M处的旋度记作：处的旋度记作：u 定义定义ARRRARArotu 计算公式计算公式RQPzyxkjiArotu 性质性质 环量面密度等于旋度在该方向上的投影，即环量面密度等于旋度在该方向上的投影，即nAAunnrotrotA梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度u 哈密顿算子哈密顿算子 u 雅可比矩阵雅可比矩阵uugradAAdivAArotPPPxyzQQQD AxyzRRRxyz(32 23)(13 31)(21 12)rotAijk 1,12,23,3PQRdivAxyz 积分变换式积分变换式高斯公式（奥式公式）高斯公式（奥式公式）斯托克斯公式斯
32、托克斯公式dVASdAS)(SlSdAldA)(dVAdivSSdA)(rot思考题思考题0rot,0div,0gradAAu的含义？梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度u 哈密顿算子哈密顿算子 uuu2)(),15(0)(),17(A0)(),16(u设矢量场设矢量场 ，若存在单值函数，若存在单值函数 满足满足 ；则称此矢量场是有势的。令则称此矢量场是有势的。令 ，并称，并称 为这个场为这个场的势函数的势函数。vuvvAgrad)(Mu)(MAuAgrad有势场有势场u 定义定义有势场为一个梯度场。有势场为一个梯度场。有势场的势函数为无穷多。有势场的势函数为无穷多。u 性质性质为任意常数CCvv
33、vA),(grad定理定理定理：在线单连域内矢量场定理：在线单连域内矢量场 为有势场的充要条件是其旋为有势场的充要条件是其旋度在场内处处为零。度在场内处处为零。uA0)(rotuA0rotA0ll dA),(),(000),(zyxzyxRdzQdyPdxzyxu),(),(),(),(zyxxzyxRdzQdyPdxzyxuzyxxuu),(),(zyxxzyxPdxA必要性：必要性：充分性：充分性：MMl dA0与积分与积分 路径无关路径无关),(0000zyxM),(zyxM),(zyxxN),(limzyxPxuxu),(zyxQyu),(zyxRzu),(),(zyxxzyxPdxu
34、)10(,),(xzyxxPuAkzyxRjzyxQizyxPkzujyuixuu),(,),(grad为有势场A证毕证毕结论：结论：有势场有势场梯度场梯度场无旋场无旋场保守场保守场MMl dA0与积分与积分 路径无关路径无关设矢量场设矢量场 ，若其散度，若其散度 ，则称此矢量场是，则称此矢量场是管形场。管形场就是无源场管形场。管形场就是无源场。A0A管形场管形场u 定义定义管形场管形场无源场无源场旋度场旋度场BAA0柱坐标系中用哈密顿算符表示梯度、散度、旋度柱坐标系中用哈密顿算符表示梯度、散度、旋度zezueueuu1)()(1zAAAAzzzzeAAeAzAezAAA)(112222221)(1zuuuu在球坐标系中哈密顿算符表示梯度、散度、旋度在球坐标系中哈密顿算符表示梯度、散度、旋度eureureruursin11)()(sin)(sinsin122ArArrArrAreArrArerrAAreAArArrr)(1)(sin11sinsin10sin1)(sinsin1)(122222222ururrurrru拉普拉斯算子与调和量拉普拉斯算子与调和量拉普拉斯算子拉普拉斯算子调和量调和量222222zyx222222zuyuxuu
