1、arccos12 arctg1210,)sin(111)(2ttethdtndrt%100%100)()()(%21ehhthpS(S+2n)n2R(s)C(s)图3-8 标准形式的二阶系统方块图_过阻尼 1112175.41341TtTtTTSS当欠阻尼 10dpt05.05.3nst02.05.4nst21nddrt%100%100)()()(%21ehhthp3.3.4 二阶系统的动态校正二阶系统的动态校正 对于特定的系统，位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数KSSTKsm2)(KTTKmmn121rtnn矛盾超调小，阻尼大速度慢KK矛盾一定比例微分控制测速反馈控制3.3.4.1 比例
2、微分控制（PD控制）Proportional-plusderivative Control1)(sR)(sCsTd)2(2nnss)(sE图3-15 PD控制系统)12()1()12()1(2)12(2)1()2()1()()()()(22ndndnnndnnndSSSTKSSSTSSSTSSSTsHsEsCsG(3-33)2nK 称为开环增益,n有关 闭环传递函数为22222222)2()1(2)1()(1)()(nndndndnndndnSTSTSTSTSSSTsGsGs22222222)2()1(2)1()(1)()(nndndndnndndnSTSTSTSTSSSTsGsGs222nd
3、nndTTd2ndT(3-35)令dTz1)2()(222nndnSSzzS(3-36)结论 可通过适当选择微分时间常数dT，改变d阻尼的大小 比例微分控制可以不该变自然频率n，但可增大系统的阻尼比 由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，dTz1故比例微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。当输入为单位阶跃函数时SZSSZSsRssCnnn12)()()(222)2(1)2(222222nnnnnnSSSSZSSS)1sin(111)2(22222teSSSdntdnnnndteZSSZdntdnnndnnd222221sin1121时，得单位阶跃响应当1dteztethdntdndnt
4、dndnd22221sin1)1sin(111)(3-37)222nndZZr)1sin(1)(2trethdntnd)1()(122ddnddnarctgZarctg3.3.4.2 测速反馈控制)(sR)(sCsKt)2(2nnss)(sE图3-16 测速反馈控制的二阶系统:tK为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。(电压/单位转速)系统的开环传递函数 SKSSKSSSSsGtnnntnnnn)2()2(1)2()(22222tnnntnnKKSS2222)12(1(3-41)Velocity feedback constantntnKK22(3-42)相应的闭环传递函数，可用(3-41
5、)式中的第一种表示方式2222)2()(1)()(nntnnSKSsGsGs(3-43)令222ntnntKnttK21(3-44)测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。测速反馈不影响系统的自然频率 n不变 可增大系统的阻尼比 测速反馈不形成闭环零点，dtTK 测速反馈与PD对系统动态性能的改善程度是不相同的。结论 设计时，之间，在8.04.0d可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。例3-2 图3-17(a)所示的系统，具有图3-17(b)所示的响应，求K和T)(sR)(sC)(sE)1(TssK21254.0%e4.0)254.0ln(254.0ln222
6、1ndpt14.14.01314.3122pnt解：闭环传递函数 TKSTSTKKSTSKsRsC1)()(22nnTTK212 42.114.109.109.114.14.0212122nnTKT)(sR)(sC)(sE)1(TssK例3-3 控制系统如图3-18所示，其中输入 ，证明当时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。ttr)(ndK2)(sR)(sC)2(2nnsssKd1解：图3-18 控制系统的方块图 闭环传递函数2222)1()()(nnndSSSKsRsC21)(SsR222212)1()(SSSSKsCnnnd)2(2)2()1(1)()()(22222222
7、22nnndnnnndSSSSKSSSSSSKSsCsRsEdnnnndnSSSSKSSKSsSEe222lim)(lim22200只要令ndK2，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。例3-4 设一随动系统如图3-19所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间 ，求求增益K和速度反馈系数 。根据所求的 Stp1.,dSrtttK时间值，计算该系统的上升和)(sR)(sCs1)1(ssK解：2.021e 456.0)1(ln)1ln(22 stdp1 sradd/14.3 21nd sraddn/53.3456.0114.3122系统的闭环传递函数 KSKSKKSKSSKsRsCs)1
8、()()()(2246.1253.322nKKn12 178.046.12153.3456.0212Kn)(sR)(sCs1)1(ssK Stdr65.014.3097.114.314.3arccos14.3 )05.0(17.253.3456.05.3)3(5.3StnnS)02.0(80.253.3456.05.4)4(5.4StnnSStnd37.053.3456.07.017.013.4高阶系统的时域响应设高阶系统闭环传递函数的一般形式为)453(,)()(111|1110 mnaSaSaSbSbSbSbsRsCnnnnmmmm将上式的分子与分母进行因式分解，可得：)463(,)()(
9、)()()()()()(2121 mnsDsMPSPSPSZSZSZSKsRsCnm点称为闭环传递函数的零miZi,2,1 点称为闭环传递函数的极njPj,2,1 SsR1)()473()2()()()(22111nkkkrRjqjimiSSPSSZSKsC为复数极点的对数。为实极点的个数，rqrqn,2将式（3-47）用部分分式展开，得)483(21)()(12210rknkkknkknkkkqjjjSSCSBPSASAsCrkrkknktkknktkqjtpjtteCteBeAAtCnkknkkj112210)493(01cos1sin)(由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应
10、函数组成 rkrkknktkknktkqjtpjtteCteBeAAtCnkknkkj112210)493(01cos1sin)(输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量 传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号 所有闭环的极点均具有负实部 表示过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关 闭环极点均位于S左半平面的系统，称为稳定系统 主导极点 如果系统中有一个(极点或一对)复数极点距虚轴最近，且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的
11、距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。3.5 线形定常系统的稳定性稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。问题 分析系统的稳定性问题。提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基 本任务之一 3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件基本概念 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结
12、构。设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。有关稳定性的定义和理论较多。如果脉冲响应函数是收敛的，即有0)(limtgt表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。系统仍能回到原有的平衡状态由于单位脉冲函数
13、的拉氏反变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则式(3-46)可改写为)533()2()()()()(22111nknkkrkjqjimiSSPSZSKssGq+2r=n rknknkkknkknkkkqjjjSSCSBPSAsG1222121)()(用部分分式展开 系统的脉冲响应函数为)543(0,1sin1cos)(2211teCteBeAtgknktkkqjrknktktpjnkknkkj闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面 0)(limtgt系统稳定不稳定系统 充要条件不稳定系统的结果 物理系统的输出量
14、只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。要有一个正实根或一对实部为正的复数根 发散 不稳定稳定4.04st0理论实际一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？ssR1)(单位阶跃函数 分析)2()()()()(22111nknkkrkjqjimiSSPSSSSKssGrkrkknktkknktkqjtpjtteCteBeAAtCnkknkkj112210)493(01cos1sin)(3-47)稳态分量瞬态分量瞬
15、态分量系统的结构和参数确定 参考输入一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定 衰减 一个无限小的领域 3.5.2劳斯稳定判据(Rouths stability criterion)3.5.2.1劳斯表线性系统稳定闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。充要条件稳定判据 令系统的闭环特征方程为)553(000122110 aaSaSaSaSannnnn如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。）改写为都是正值，则式（其中553,2121 pp0)()()()(22221111210 jSjSjSjSPSPSa)563(0)
16、2)(2()(222222212112210 SSSSPSPSa即证明 设,21pp 为实数根，2211,jj为复数根 不会有系数为零的项线性系统稳定必要条件将各项系数，按下面的格式排成老斯表)553(000122110 aaSaSaSaSannnnn102113212321343212753116420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn 121211141713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab 表中这样可求得n+1行系数 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表
17、第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。已知一调速系统的特征方程式为0103.25175.41423SSS例3-5试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表401423103.25.380103.25.4105171SSSS由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。已知某调速系统的特征方程式为 例3-60)1(16
18、705175.4123KSSS求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表)1(167005.41)1(16705175.410)1(16705.41051710123KSKSKSS由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：0)1(16700)1(2.40517KK9.111K劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数
19、符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。已知系统的特征方程式为02223SSS试判别相应系统的稳定性。解：列劳斯表2)(022110123SSSS例3-7由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。劳斯表中出现全零行 则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特
20、征方程为 0161620128223456SSSSSS列劳斯表16038166248000161220161221620810123456SSSSSSS由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，求得两对大小相等、符号相反的根2,2jj，显然这个系统处于临界稳定状态。3.5.2.3 劳斯判据的应用稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。设为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别
21、该方程中是否有根位于垂线，右侧。由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。用劳斯判据检验下列特征方程041310223SSS是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线1S的右方。例3-8解：列劳斯表 42.121081304101320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令1 ZS代入特征方程：04)1(3)1(10)1(223ZZZ014223ZZZ式中有负号，显然有根在1S的右方。列劳斯表12114120123SSSS第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线1S可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。的右方。已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答 例3-9)(sR)(sCsKt）（10)5(20sss)(sGc？时，闭环系统是否稳定1)(sG
