1、第十五章第十五章 静定结构的位移计算及刚度校核静定结构的位移计算及刚度校核 15.1 15.1 结构位移的概念结构位移的概念 15.2 15.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 15.3 15.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 15.4 15.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 15.5 15.5 图乘法图乘法 15.6 15.6 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算 15.7 15.7 梁的刚度校核梁的刚度校核 15.8 15.8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理第十五章第十五章 静定结构的位移计算及刚度校核静定结构的位移计算及刚度校核
2、FPABA变形：变形：结构形状的改变结构形状的改变位移：位移：结构上各点位置的移动量，结构上各点位置的移动量，杆件横截面的转动量。杆件横截面的转动量。位移位移线位移线位移角位移角位移AAAA水平线位移水平线位移竖向线位移竖向线位移AA AAAVAH线位移线位移AHAV15.1 15.1 结构的位移的概念结构的位移的概念t FPABAA15.1 15.1 结构的位移的概念结构的位移的概念 A、B两截面的角位移两截面的角位移 A和和 B之和称为之和称为A、B两截两截面的面的相对角位移。相对角位移。即即 AB=A+BCHDHAB上述各种位移统称为上述各种位移统称为“广义位移广义位移”。C、D两点产生
3、水平线两点产生水平线位移之和称为位移之和称为C、D两点的两点的水平相对线位移。水平相对线位移。即即 CDH=CH+DH 15.1 15.1 结构的位移的概念结构的位移的概念 在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。15.1 15.1 结构的位移的概念结构的位移的概念 功功：一个不变的集中力所：一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用的方向所发生的分位点沿力作用的方向所发生的分位移的乘积。移的乘积。co
4、sFsW 15.2 15.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 常力偶所做的功等于力偶矩常力偶所做的功等于力偶矩与角位移的乘积。与角位移的乘积。FRW215.2 15.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理广义力广义力可以是一个集中力、一对集中力，可以是一个集中力、一对集中力，也可以是一个力偶、一对力偶；也可以是一个力偶、一对力偶；FW 当广义力当广义力F与相应广义位移方向一致时，做功为正；与相应广义位移方向一致时，做功为正；两者方向相反时，做功为负。两者方向相反时，做功为负。广义位移广义位移是相应的沿力方向的线位移和沿是相应的沿力方向的线位移和沿力偶转向的角位移或相对位移。力偶转向的角位移或相
5、对位移。15.2 15.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功PFFW21力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功tFWPFCtt15.2 15.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 实功实功虚功虚功F FP1P1111122221 12 2F FP2P2力力(外力或内力）在因其本身引起的位移（对外力或内力）在因其本身引起的位移（对内力而言则为变形）上所作的功。内力而言则为变形）上所作的功。实功恒为正。实功恒为正。11P11112WF22P22212WF力（外力或内力）在因其它原因产生的位移力（外力或内力）在因其
6、它原因产生的位移上作的功。上作的功。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。12112FWij产生位移的地方产生位移的地方产生位移的原因产生位移的原因15.2 15.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理虚功虚功 在虚功中可将做功的力与位移看成是分别在虚功中可将做功的力与位移看成是分别属于属于同一体系的两种彼此无关的状态同一体系的两种彼此无关的状态，做功的力与位移无关。做功的力与位移无关。功包含了两个要素功包含了两个要素力和位移。力和位移。其中力系所属状态称为力状态或第一状态，其中力系所属状态称为力状态或第一状态，位移所属状态称为位移状态或第二状态
7、。位移所属状态称为位移状态或第二状态。15.2 15.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 虚功原理虚功原理：第一状态的外力（包括荷载和反力）第一状态的外力（包括荷载和反力）在第二状态所引起的位移上所做的外力虚功，等于第在第二状态所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一状态内力在第二状态内力所引起的变形上所做的内一状态内力在第二状态内力所引起的变形上所做的内力虚功。力虚功。虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。位移状态必须满足协调条件。外力虚功外力虚功W12=内力虚功内力虚功W12虚功方程虚功方程15.2 15.
8、2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理虚位移原理虚位移原理虚功原理具体应用的两种方式虚功原理具体应用的两种方式（1 1）对于给定的力状态，另虚）对于给定的力状态，另虚设一个位移状态，利用虚功方程设一个位移状态，利用虚功方程来求解力状态中的未知力。来求解力状态中的未知力。（2 2）对于给定的位移状态，另）对于给定的位移状态，另虚虚设一个力状态设一个力状态，利用虚功方程来，利用虚功方程来求解位移状态中的未知位移求解位移状态中的未知位移虚力原理虚力原理本章讨论用虚力原理求结构的位移本章讨论用虚力原理求结构的位移15.2 15.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理15.3 结构位移计算的一般公式结构位移
9、计算的一般公式虚力原理的两个状态虚力原理的两个状态位移状态位移状态 实际状态实际状态力状态力状态虚拟状态虚拟状态位移状态位移状态kk位移位移由给定的荷载、温由给定的荷载、温度变化及支座移动度变化及支座移动等因素引起的等因素引起的kFPk=1力状态力状态在拟求位移在拟求位移k的方向的方向假想（虚拟）设置一假想（虚拟）设置一个单位力个单位力FPk1。15.3 15.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式外力虚功：外力虚功：位移状态位移状态kkFPk=1力状态力状态kWcFcFcFcFFWRKRRRKPK33221115.3 15.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式位移状态位
10、移状态kkFPk=1力状态力状态kdsdu ddv、NQFMF、ds内力虚功：内力虚功：()NQilllWFduM dFdv dQF15.3 15.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式外力虚功：外力虚功：内力虚功：内力虚功：()NQilllWFduM dFdvdQFcFcFcFcFFWRKRRRKPK332211cFFMuFKRQNddd平面杆件结构位移计算的一般公式。平面杆件结构位移计算的一般公式。由虚功原理由虚功原理W=W有有15.3 15.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式1 1、虚拟单位力、虚拟单位力F FP P1 1必须与所求位移相对应必须与所求位移相对应A
11、 AP1F 求求A A点竖向线位点竖向线位移的虚拟状态移的虚拟状态A AC CP1F P1F 求两点相对线位求两点相对线位移的虚拟状态移的虚拟状态15.3 15.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式A A1M 求求A A截面角位截面角位移的虚拟状态移的虚拟状态A AC C1M 1M 求两截面相对角求两截面相对角位移的虚拟状态位移的虚拟状态CABDEFP1F 求求C点水平位移的虚拟状态点水平位移的虚拟状态CABDEFBE=l1 l1 l1M 求求BE杆转角的虚拟状态杆转角的虚拟状态BE15.3 15.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式CABDEFAE=BE=l1M 1M
12、 1 l1 l1 l1 l求求AE、BE两杆相对转角的虚拟状态两杆相对转角的虚拟状态 2.2.虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结果为正，表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致；反果为正，表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致；反之，则实际位移方向与虚拟力的方向相反。之，则实际位移方向与虚拟力的方向相反。15.3 15.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式dsPMPMddsNPFNPFdsQPFQPFdudv 0C根据材力公式：根据材力公式：dsGAFFkdsEIMMdsEAFFPKPQPQNNdvFdMduFKQN因无支座移动：因无支座
13、移动：NPPddFsuEAPPddMdsEIQPPddFsvkGA式中式中 MQFNF 、虚拟状态中由于广义单位荷载所产生的内力；虚拟状态中由于广义单位荷载所产生的内力；MP、FQP、FNP由于实际荷载作用所产生的内力。由于实际荷载作用所产生的内力。15.4 15.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算位移计算公式的简化位移计算公式的简化1 1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：2 2、桁架（只考虑轴力影响）：、桁架（只考虑轴力影响）：dsEIMMPKPEAlFFdsEAFFKPNPNNPN15.4 15.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下
14、的位移计算3 3、拱：一般只考虑弯曲变形、拱：一般只考虑弯曲变形 对扁拱：对扁拱：（f/l=1/5）4 4、组合结构：、组合结构：dsEIMMPKPdsEAFFdsEIMMPKPNPNdsEAFFdsEIMMPKPNPN15.4 15.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算(1)(1)在拟求位移方向虚设的相应的单位荷载。在拟求位移方向虚设的相应的单位荷载。(2)(2)求两种状态下的内力。求两种状态下的内力。(3)(3)代入各种结构的位移计算公式计算。代入各种结构的位移计算公式计算。15.4 15.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算BDAPFlllBDA例例 求图示桁架求图示桁架
15、(各杆各杆EA相同相同)C点竖向位移。点竖向位移。1PFF22F2FF222F220212221EAlFFCVNPN解：解：1.1.建立虚设状态；建立虚设状态；2.2.分别求两种状态各杆轴力；分别求两种状态各杆轴力；3.3.由公式计算位移：由公式计算位移：2F2F2121lFEA2211EAlFEAlF914.12212lFEA222221215.4 15.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算NFlNFFNPl22222lF22l212FlF4llF)4122(0FP0CD竖杆竖杆AD下弦下弦 FPAC上弦上弦 （kNm）FNP（kN）(l/m)杆杆 件件BDAPFlllBDA1PFF
16、22F2FF222F2202122212F2F212115.4 15.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算图乘法图乘法15.5 15.5 图乘法图乘法sEIMMPKdP计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分当结构符合下述条件时：当结构符合下述条件时：(1)(1)杆轴为直线；杆轴为直线；(2)(2)EIEI常数；常数；(3(3)M与与MP 两个弯矩图中至少有一个是直线图形。两个弯矩图中至少有一个是直线图形。则可用则可用代替积分运算。代替积分运算。yxMPdxxM微面积PM dxd=ABMP图图M(1)因为是直杆，所以因为是直杆
17、，所以 可用可用dx代替代替ds。(2)因为因为EI是常数，所以是常数，所以 EI可提到积分号外。可提到积分号外。(3)为直线变化，故为直线变化，故 有有M常数M=tan sEIMMPd=xxEIMpdtan=dtanxEI 表示整个表示整个MP 的面积对的面积对y轴的静矩。轴的静矩。sEIMMPKdP15.5 图乘法xCCyCyxMPdxxMABMP图图M有有 上述积分就等于上述积分就等于一个弯一个弯矩图的面积矩图的面积乘于其形心所乘于其形心所对应的另一个直线弯矩图上对应的另一个直线弯矩图上的竖标的竖标yc，再除于，再除于EI。CxxdsEIMMPd=cxEItan=EIyc 若结构上各杆均
18、可图乘，则位移计算公式为若结构上各杆均可图乘，则位移计算公式为EIyCKP而而15.5 图乘法注意事项：注意事项：1.图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（2）EI为常数；为常数；图乘法计算位移公式图乘法计算位移公式EIyCKP（3）两个）两个MP、M图中至少有一个是直线。图中至少有一个是直线。(1)杆轴为直线；杆轴为直线；15.5 图乘法M图图MP图图CyEI1yc 2.竖标竖标yc必须取自直线图形，而不能从折线和曲必须取自直线图形，而不能从折线和曲线中取值。线中取值。15.5 图乘法M图图MP图图221111yEIyEI2y21y1 若若M图与图与MP图都是直线图形，则图都是直线图形，则y
19、c可以取自其中可以取自其中任一图形。任一图形。15.5 图乘法M图图MP图图CyEI1CyEI13.若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧，取正值；反之，取正值；反之，取负值。取负值。cycyycyc15.5 图乘法 4.若若Mp图是曲线图形，图是曲线图形，图是折线图形，则应图是折线图形，则应 当从转折点分段图乘，然后叠加。当从转折点分段图乘，然后叠加。M)(12211yyEIM图图MP图图1y12y215.5 图乘法6.如图形较复杂，可分解为简单图形。如图形较复杂，可分解为简单图形。22211111yEIyEI 5.当杆件为变截面时亦应分段计算。当杆件为变截面时亦应分段计算。M图图MP图图1
20、EI1EI2EI1y12y22EI15.5 图乘法l/2l/2h二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/3h几种常见图形的面积和形心位置几种常见图形的面积和形心位置=hl/2l/32l/3lh15.5 图乘法M图图MP图图22111yyEIy11y32l15.5 图乘法l+l1y1 3322111yyyEI3y3MP图图M图图l82ql2y使用乘法时应注意的问题小结使用乘法时应注意的问题小结：1.yC必须取自直线图形；必须取自直线图形；2.若若MP图是曲线图形，当图是曲线图形，当M为折线图形时，必须分段计为折线图形时，必须分段计算；算；3.
21、当杆件为变截面时亦应分段计算；当杆件为变截面时亦应分段计算；4.图乘有正负之分；图乘有正负之分；5.若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；别取自两图形；6.图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘；图乘；7.三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。15.5 图乘法 将将、yc代入图乘公式计算所求位移。代入图乘公式计算所求位移。画出结构在实际荷载作用下的弯矩图画出结构在实际荷载作用下的弯矩图Mp图。图。分段计算分段计算
22、Mp（或（或 ）图面积）图面积及其形心所对应的及其形心所对应的 （或（或Mp）图形的竖标值）图形的竖标值yc。MM图乘法的解题步骤图乘法的解题步骤15.5 图乘法M 在所求位移处沿所求位移的方向虚设广义单位力，在所求位移处沿所求位移的方向虚设广义单位力，并画出其单位弯矩图并画出其单位弯矩图 图。图。1/2FPl/4214211llFEIB例例 求梁求梁B截面转角。截面转角。MP图图MM=1FPl/2l/2EIAB（1）绘制）绘制MP图。图。（2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。M图（3）图乘求位移。）图乘求位移。15.5 图乘法llF421P21CyEIlF162yCFP=
23、1lql2/2llqlEIB4323112MP图MlABq（1）绘制）绘制MP图。图。（2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。M图（3）图乘求位移。）图乘求位移。15.5 图乘法EIql84lql221243CyyCqAB/2l/2lC2/8qlPM图M图1M=1Cy解：解：（1）绘制）绘制MP图。图。1.求求A端截面的转角端截面的转角A（2）建立相应的虚拟状）建立相应的虚拟状态态,绘制绘制 。M图（3）图乘求转角。）图乘求转角。2183212qllEIAlql832221CyCV求图示简支梁求图示简支梁A端截面的转角端截面的转角 及跨中竖向位移及跨中竖向位移 。A例例15.
24、5 图乘法EIql2432.求跨中截面的竖向位移求跨中截面的竖向位移P1F 4l由对称性可得：由对称性可得：qAB/2l/2lC2/8ql551682ll551 682llPM图M图（1）绘制）绘制MP图。图。（2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。M图（3）图乘求位移。）图乘求位移。2832221lql48521lyy2)485()81232(12lqllEICV15.5 图乘法EIql43845y11y22求图示悬臂梁求图示悬臂梁B点的竖向位移点的竖向位移 。ByABPM 图M图60224mkN105EIFP=15AB2m10kN/m20kNAB15.5 图乘法y11y2
25、2 1.5mmm0015.023260221221523210514BV（1）绘制）绘制MP图。图。（2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。M图（3）图乘求位移。）图乘求位移。CD 例例 已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架C、D两点距离的改两点距离的改变变 。qABClDh15.5 图乘法)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD3）图乘求位移）图乘求位移解解 1）绘出）绘出MP图图;2）建立相应的虚拟状态，绘制）建立相应的虚拟状态，绘制 M图。图。ABCDCy2/8qlhhABCDFP=1FP=115.5 图乘法cFKR 对于静定结构，支座移动并不产生
26、内力和对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的位移纯属刚体位移变形，结构的位移纯属刚体位移。由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为cFvFMuFKRQNddd 由于实际状态中取出的微段由于实际状态中取出的微段ds的变形的变形du=0、d=0、dv=0，于是上式可简化为：，于是上式可简化为：15.6 15.6 支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算cFKR静定结构在支座移动时的位移计算公式静定结构在支座移动时的位移计算公式注意注意 (1)(1)公式中有一不可缺少的负号；公式中有一不可缺少的负号；RF式中式中 虚拟状态的支座反力；虚拟状态的支座反力；
27、c 实际状态的支座位移。实际状态的支座位移。(2)(2)虚设状态的反力与实际状态的位移方向一致虚设状态的反力与实际状态的位移方向一致时，时，、c乘积乘积为正，否则为负。为正，否则为负。RF15.6 15.6 支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算 例例 图示桁架各杆图示桁架各杆EA相同，支座相同，支座B发生竖向位移发生竖向位移c=0.5cm，求求c点的水平位移点的水平位移CH。cm5.0cm5.01cFRCH 解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用下可解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用下可动铰支座的反力，并由公式求位移动铰支座的反力，并由公式求位移15.6 15.6 支座移动时的
28、位移计算支座移动时的位移计算15.7 15.7 梁的刚度校核梁的刚度校核 对梁进行刚度校核就是检查梁的变形是否在工程上允许对梁进行刚度校核就是检查梁的变形是否在工程上允许的范围内。对梁进行刚度校核的目的是为了保证梁的正常使的范围内。对梁进行刚度校核的目的是为了保证梁的正常使用。若梁的变形超过了规定的范围，则意味着它已不能正常用。若梁的变形超过了规定的范围，则意味着它已不能正常工作，应重新设计梁。工作，应重新设计梁。在土木工程中对梁进行刚度校核时，通常只对挠度进行在土木工程中对梁进行刚度校核时，通常只对挠度进行校核。梁的挠度容许值通常用许可挠度与梁跨长的比值校核。梁的挠度容许值通常用许可挠度与梁
29、跨长的比值f/l作为标准。作为标准。按照梁的工程用途，在有关设计规范中，对按照梁的工程用途，在有关设计规范中，对f/l有具体规有具体规定。在土建工程方面，定。在土建工程方面，f/l的值常限制在的值常限制在1/2501/1000范围范围内。内。15.7 15.7 梁的刚度校核梁的刚度校核 梁的刚度条件梁的刚度条件在土建工程中，梁的刚度条件式为在土建工程中，梁的刚度条件式为lflymax式中：式中：ymax为梁在荷载作用下的最大挠度。为梁在荷载作用下的最大挠度。梁的刚度条件在工程中的应用梁的刚度条件在工程中的应用三方面的应用：刚度校核、设计截面、计算容许荷载。三方面的应用：刚度校核、设计截面、计算
30、容许荷载。对于土建工程中的梁，一般情况下强度条件能满足要求时，刚度条件也能满足要求。所以，通常在设计梁时是按强度条件计算截面或容许荷载，按刚度条件进行校核。若刚度不满足要求时，才再按刚度设计截面或求容许荷载。例例 如图示简支木梁。横截面为圆形。已知如图示简支木梁。横截面为圆形。已知FP=3.6kN，l=4m木材的容许应力木材的容许应力=10MPa，弹性模量，弹性模量E=10103MPa,容许相容许相对挠度对挠度f/l=1/250，试选择木梁的直径。，试选择木梁的直径。FP2mABC2mzdM图3.6kN/m解解 (1)画梁的弯矩图。画梁的弯矩图。mkN6.3maxM（2）由梁的正应力强度条件设
31、计截面）由梁的正应力强度条件设计截面 maxmaxzWM由得满足正应力强度时梁的抗弯截面系数为：3536maxmm103.6mm10106.3MWz又圆形截面的抗弯截面系数计算公式为 323dWz所以梁满足正应力强度时应有53106.332dmm154d取 。mm160d(3)对直径为对直径为d=160mm，的梁进行刚度校核，的梁进行刚度校核由表查得该梁的最大挠度发生在跨中，其值为：mm9.14mm6416014.3101048104106.348433333maxEIlFylfly26911049.143max满足刚度要求因此，该木梁的直径取为满足刚度要求因此，该木梁的直径取为d=160mm
32、，从计算梁的挠度公式很容易发现，梁的挠度与作用在梁从计算梁的挠度公式很容易发现，梁的挠度与作用在梁上的荷载、梁跨度的上的荷载、梁跨度的n次方成正比，与梁的抗弯刚度成反比，次方成正比，与梁的抗弯刚度成反比，并且与梁的形式、荷载的作用方式和位置等有关。并且与梁的形式、荷载的作用方式和位置等有关。梁的挠度与各种因素间的关系可以用以下表达式来描述：梁的挠度与各种因素间的关系可以用以下表达式来描述：EIlyn系数荷载 要提高梁的刚度，就应设法降低挠度。要提高梁的刚度，就应设法降低挠度。FPl/2ABCl/2q=FP/lABl 改变荷载的作用方式改变荷载的作用方式 在结构和使用条件允许的情况下，合理调整荷
33、载的位在结构和使用条件允许的情况下，合理调整荷载的位置及分布情况，使梁的挠度减小。置及分布情况，使梁的挠度减小。EIlFy38483maxEIlFy38453max 减小梁的跨度减小梁的跨度 梁的挠度与其跨度的梁的挠度与其跨度的n次方成正比。因此，设法减小梁的次方成正比。因此，设法减小梁的跨度，将能有效地减小梁的挠度，从而提高梁的刚度。跨度，将能有效地减小梁的挠度，从而提高梁的刚度。EIqly4max013.0EIqly43max107875.0EIqly43max10326.0l/5ql/5ql/2l/2ql 增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度 梁的挠度与抗弯刚度成反比，材料的弹性模量梁的挠度
34、与抗弯刚度成反比，材料的弹性模量E增大或增大或梁横截面对中性轴的惯性矩增大均能使梁的挠度减小。梁横截面对中性轴的惯性矩增大均能使梁的挠度减小。不同材料的弹性模量不同材料的弹性模量E值不同，而同类材料的弹性模量值不同，而同类材料的弹性模量E值相差不大，比如对钢材来说采用高强度钢可以提高梁的值相差不大，比如对钢材来说采用高强度钢可以提高梁的强度，但由于高强度钢与普通低碳钢属于同类材料，弹性强度，但由于高强度钢与普通低碳钢属于同类材料，弹性模量模量E值很接近。所以，用高强度钢并不能显著提高梁的刚值很接近。所以，用高强度钢并不能显著提高梁的刚度。度。工程中增大梁的抗弯刚度主要是从增大梁横截面对工程中增
35、大梁的抗弯刚度主要是从增大梁横截面对中性轴的惯性矩这方面考虑，就是设法在截面面积不变中性轴的惯性矩这方面考虑，就是设法在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，使截面面积尽可能分的情况下，采用合理的截面形状，使截面面积尽可能分布在远离中性轴的部位。布在远离中性轴的部位。如：优先采用工字形、箱形、环形、如：优先采用工字形、箱形、环形、T形等截面。形等截面。dxEIMddxGAkFdvdxEAFduMFF222Q22N222Q2NdxEIMddxGAkFdvdxEAFduMFF111Q11N111Q1NdxEIMMdxGAkFFdxEAFFdMdvFduFF121Q2Q1N2N1212Q12N2
36、12dxEIMMdxGAkFFdxEAFFdMdvFduFF212Q1Q2N1N2121Q21N12112 P2F2第第二二状态状态第第 一一 状态状态21 P1F15.8 15.8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理12 P2F2第第二二状态状态第第 一一 状态状态21 P1F在线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态位移上所在线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态位移上所做虚功，恒等于第二状态外力在第一状态位移上所做虚功。做虚功，恒等于第二状态外力在第一状态位移上所做虚功。212121FF功的互等定理功的互等定理212121FF1212F2第二状态第二状态2112 第二个单位力所引
37、起的在第一个单位力作用点沿其第二个单位力所引起的在第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的在第二个单位方向的位移，等于第一个单位力所引起的在第二个单位力作用点沿其方向的位移。力作用点沿其方向的位移。12 P2F2第第二二状态状态第第 一一 状态状态21 P1F第第 一一 状态状态2111F2112凡单位力引起的位移凡单位力引起的位移都改用小写字母表示都改用小写字母表示如图长如图长 l，EI为常数的简支梁。为常数的简支梁。EIlB16221EIlyc16212第二状态第二状态12FACBCy第第 一状态一状态BAC11FB跨中跨中数值、量纲都相等数值、量纲都相等2112和单位力单位力FP1、FP2是广义力，是广义力，则是相应的则是相应的广义位移广义位移.由功的互等定理有：由功的互等定理有：111221kk1221kk支座支座 1 1 发生单位位移所引起的支座发生单位位移所引起的支座2 2的反力，等于的反力，等于支座支座 2 2 发生单位位移时所引起的支座发生单位位移时所引起的支座1 1的反力。的反力。k21k12
