1、 第一部分第一部分 基本变形部分基本变形部分 第二部分第二部分 复杂变形部分复杂变形部分 总总 复复 习习 压杆稳定压杆稳定 能量方法能量方法 实验应力分析实验应力分析 交变应力交变应力 材料力学性能的进一步分析材料力学性能的进一步分析 第一部分第一部分 基本变形部分基本变形部分 拉拉 （压）（压） 扭扭 转转 平 面 弯 曲平 面 弯 曲 内内 力力 应应 力力 变变 形形 N N 0 x杆轴 A Mn 0 x杆轴 A Mn A M Q M 0 Q 0 x平行于杆轴 x s s A xN)( s L x xEA xN L L d )( )( d O t tr r p n I Mr rt)(
2、z x I My s s s t t x y z z y bI QS t A B x GI M AB L p n AB d q f x q f f EI xM xf )( )( 拉拉 （压）（压） 扭扭 转转 平 面 弯 曲平 面 弯 曲 强强 度度 条条 件件 刚刚 度度 条条 件件 变变 形形 能能 max ss max min s N A max sAN max tt | max t n t M W |maxt tn WM max ss max tt max s M Wz max s z WM max qq max qq L f L f| max x EA xN U L d 2 )( 2
3、 x GI xM U L n d 2 )( 2 x EI xM U L d 2 )( 2 拉拉 压压 扭扭 转转 平平 面面 弯弯 曲曲 内力计算内力计算 以A点左侧部分为对象，A点的内力由下式计算： (其中“Pi、Pj均为A 点左侧部分的所有外力) ) () ( jiAn mmM )( )( jAiAA PmPm M jiA PP Q )()( jiA PPN 弯曲剪力、弯矩与外力间的关系弯曲剪力、弯矩与外力间的关系 xq x xQ d d )( d )(d xQ x xM )( d )(d 2 2 xq x xM 对称性与反对称性的应用：对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，
4、对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，图反对称，M图对称；对称图对称；对称 结构在反对称载荷作用下，结构在反对称载荷作用下，Q图对称，图对称，M图反对称。图反对称。 剪 力剪 力 、 弯 矩 与 外 力 间 的 关 系弯 矩 与 外 力 间 的 关 系 外 力 外 力 无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶 q=0 q0 q0 Q Q0 x 斜直线 增函数 x Q x Q 降函数 x Q C Q1 Q2 Q1 Q2=P 自左向右突变 x Q C 无变化 斜直线 x M 增函数 x M 降函数 曲线 x M 坟状 x M 盆状 自左向右折角 自左向右突变 与 m 反 x M 折向与P反向 M x
5、 M1 M2 mMM 21 超静定问题的方法步骤：超静定问题的方法步骤： 平衡方程平衡方程 几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程 物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系 补充方程补充方程 解由平衡方程和补充方程组解由平衡方程和补充方程组 变形的应用：变形的应用： 求位移和解决超静定问题求位移和解决超静定问题 变形能的应用：变形能的应用： 求位移和解决动载问题求位移和解决动载问题 j h d K 2 11 : (1) 自由落体 j g v d K 2 : )2( 水平冲击 j j: :冲击物落点的静位移冲击物落点的静位移 材料试验材料试验 sp se ss sb s a b ep et
6、 ee st f g h e sMPa 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 低碳钢se曲线线上特征点 p e n jx s s :1、容许应力 , 2 . 0 :2 bsjx ssss、极限应力 3、安全系数：n 泊松比（或横向变形系数泊松比（或横向变形系数） e e 三个弹性常数三个弹性常数 t G e s E )1(2 E G n n （合力） （合力） P P Pc n n Q h b h t t 1 Mn t t max 注意: b 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算 tt A Q c c c
7、 c A P ss 矩形截面杆约束扭转矩形截面杆约束扭转 3 max max :b p W W M P n t其中 4 : , bI GI M P P n q其中 max1 tt 64 : 64 3 4 4 3 nR Gd K K P Gd nPR 其中 圆柱形密圈螺旋弹簧的计算圆柱形密圈螺旋弹簧的计算 为弹簧常数 其中：精确值： ; 615. 0 44 14 ; 8 3 max d D C CC C k d DP k t 非对称截面梁发生平面非对称截面梁发生平面弯曲的条件弯曲的条件 外力必须作用在主惯性面内; 中性轴为形心主轴; 若是横向力，还必须过弯曲中心。 P x y z O 3 max
8、 8 ) 1 2 ( d DP D d t近似值： 积分法求挠曲线方程（弹性曲线）积分法求挠曲线方程（弹性曲线） )()(xMxfEI 1 d)()(CxxMxfEI 21 d)d)()(CxCxxxMxEIf 1.微分方程的积分 2.位移边界条件 P A B C P D 支点位移条件： 连续条件： 光滑条件： 0 A f0 B f 0 D f0 D q CC ff CC qq 右左 或写成 CC qq 右左 或写成 CC ff A B C M P A B C D K B C A P B C A P D 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角 一、载荷叠加：一、载荷叠加： 二二、
9、结构形式叠加结构形式叠加（逐段刚化法逐段刚化法）： + = C q P A B a a P A B q A B 逐段刚化法原理原理说明逐段刚化法原理原理说明 21 fff P L1 L2 A B C x f f B C P L2 f1 x f f2 P L1 L2 A B C M = + 共轭梁法共轭梁法实梁与虚梁的关系实梁与虚梁的关系 x 轴指向及坐标原点完全相同。 几何形状完全相同。 依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。 AAAA QEIMEIfq ; EI Q EI M f x x x x q ; 依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。 a ：固定端 自由端 b ：铰支座
10、铰支座 c ：中间铰支座 中间铰链 载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxq 第二部分第二部分 复杂变形部分复杂变形部分 321 s ss ss s s s2 s s1 x y z s s3 3 s 2 s 1 s s t 2 31 max ss t t t max 三向应力分析三向应力分析 平 面 应 力 分 析平 面 应 力 分 析 t ss t t ssss s 2cos2sin 2 2sin2cos 22 xy yx xy yxyx x y s sx t txy s sy O s sy t txy s sx s s t t x y O t n 平 面 内 的 主 应 力平 面
11、内 的 主 应 力 yx xy ss t 2 2tg 0 ！极值正应力就是主应力 0 0 t ） 2 2 22 xy yxyx m in m ax t t s ss ss ss s s s s s （ x y s sx t txy s sy O 主主 单元体单元体 s在剪应力相对的项限内， 且偏向于sx 及sy大的一侧。 min2max1 ;ssss 1 s 2 s 应力圆应力圆 s sx t txy s sy x y O n s s t t O s s t t A(s sx ,t txy) B(s sy ,t tyx) 2 n D( s s , t t x C 已知一点 A 的应变（ ），与
12、x轴成角方向的 应变为： 应变分析应变分析 xyyx ee, eeee e2sin 2 1 2cos 22 xy yxyx ee 2cos 2 1 2sin 22 xy yx 应变圆应变圆（ Strain Circle） e e /2 /2 A B C 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - 应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律） G ij ij t kjii E ssse 1 ),(zyxkji x y z s sz s sy t txy s sx 强 度 准 则 的 统 一 形 式强 度 准 则 的 统 一 形 式 ss 其中，s *相当应力。 1 * 1 ss 3212 s
13、sss 2 13 2 32 2 214 2 1 sssssss 313 sss n s sss s , 2 . 0b 31 s s s ss y L M 组合变形的研究方法组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理 外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解 内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。 应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。 1.外载分解 2.研究两个平面弯曲 s 内力 应力 s sss My引起的应力： Mz引起的应力： 合应力： 斜弯曲斜弯曲 x y z Py Pz P Pz Py y z P L m m x 最大正应力 变形计算
14、 0s 中性轴方程 1maxDL ss 2maxDy ss 22 zy fff Pz Py y z P D1 D2 中性轴中性轴 f fz fy 22 313 4tssss W MMM nzy 222 * 3 s 弯扭组合弯扭组合 经内力分析，确定杆发生弯扭组合变形后，直接建立强度条件。 1 xB s 1 B t x B1 B2 My Mz Mn M 2 13 2 32 2 214 2 1 sssssss 22 3ts W MMM nzy 222 * 4 75. 0 s 1 xB s 1 B t 拉拉 （ 压压 ） 弯 组 合 ：弯 组 合 ： P MZ My A P xP s z z xM
15、I yM z s y y xM I zM y s y y z z x I zM I yM A P s x y z P My Mz 偏 心 拉偏 心 拉 、 压 问 题 的 截 面 核 心压 问 题 的 截 面 核 心 01 2 0 2 0 y P z P i zz i yy 中性轴中性轴 y z 中性轴中性轴 ),( PP yzP 截面核心 ay az 压杆稳定压杆稳定 临界应力总图（线形） 压 杆 稳 定压 杆 稳 定 i L cr s s 2 2 s s E cr s sba cr P s s S s s b a s s s s P P E s s 2 压杆的稳定容许应力压杆的稳定容许应力
16、: : 1.安全系数法确定容许应力: W cr W n s s 2.折减系数法确定容许应力: ss W 的函数。它是折减系数 , 压杆的稳定条件压杆的稳定条件: : W A P ss 能量原理能量原理 变 形 能 的 普 遍 表 达 式 ：变 形 能 的 普 遍 表 达 式 ： 普 遍 形 式 的 莫 尔 定 理普 遍 形 式 的 莫 尔 定 理 x EI xM x GI xM x EA xN U LL P n L d 2 )( d 2 )( d 2 )( 222 L P nn L A x GI xMxM x EA xNxN d )()( d )()( 00 x EI xMxM L d )()
17、( 0 使用莫尔定理的注意事项：使用莫尔定理的注意事项： M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。 莫尔积分必须遍及整个结构。 M0去掉主动力，在所求 广义位移广义位移 点，沿所求 广义位移广义位移 的方向加广义单位力广义单位力 时，结构产生的内力。 M(x)：结构在原载荷下的内力。 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。 n n P U 第二卡氏定理第二卡氏定理 第二卡氏定理第二卡氏定理 使用卡氏定理的注意事项：使用卡氏定理的注意事项： U整体结构在外载作用下的线弹性变形能 Pn 视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为 Pn的函数 n为 Pn 作用点的
18、沿 Pn 方向的变形。 当无与 n对应的 Pn 时，先加一沿 n 方向的 Pn ，求偏导后， 再令其为零。 特 殊 结 构特 殊 结 构 （杆杆） 的 卡氏定理的 卡氏定理 L n L n n P L nn n x P xM EI xM x P xM GI xM x P xN EA xN P U d )()( d )()( d )()( n 实验应力分析实验应力分析 电桥平衡原理电桥平衡原理 : 4 3 2 1 时 R R R R 0U 电阻变化后： )( 4 4 4 3 3 2 2 1 1 R R R R R R R RE U )( 4 4321 eeee KE U R1 R2 R4 R3
19、I1,2 I3,4 A B C D 电压输出桥 4321 eeeee 读数 主 应 变 与 测 量 应 变 之 间 的 关 系主 应 变 与 测 量 应 变 之 间 的 关 系 yx xy ee 0 2tg ee eeee e 2cos 2 1 2sin 22 2sin 2 1 2cos 22 xy yx xy yxyx 22 min max )()( 2 1 xyyxyx eeee e e 平面应力平面应力光学定律光学定律 )( 21 ss Ch 光程差： )( 2121 ssCnn s s s s s s2 2 s s2 2 平面偏振光通过受力模型 2 )sin2sin(: aKI光强 。
20、时，检偏镜后出现黑点 0I 02sin 等倾线 引起的黑点的迹线形成的干 涉条纹等倾线 等倾线上，主应力方向相同 且与偏振轴重合。 0sin 等差线 形成的干涉条纹等差线 h N f h N C ss)( 21 f材料的条纹值。 a、反复加载，等倾线不变，等差线改变。 区分等倾线与等差线 b、同步旋转起偏镜与检偏镜，等倾线改变，等差线不变。 c、凭经验，等倾线较粗（一片黑），等差线较细（一条线）。 正交圆偏振场中的光强正交圆偏振场中的光强 2 )cos(: aKI光强 0cos )5.0(m .0.5 , 0级等差线称为m .1.5 , 1级等差线为m 正交圆偏振场中，无等倾线。故等差线比较清
21、晰。正交圆偏振场中，无等倾线。故等差线比较清晰。 交变应力交变应力 一、循环特征：一、循环特征： )( ; )( ; minmax min max maxmin max min ss s s ss s s r 三、应力幅：三、应力幅： 2 minmax ss s a 二、平均应力：二、平均应力： 2 minmax ss s m sm smin smax T t s sa sr0 与 sr 的关系： Ks 有效应力集中系数； es 尺寸系数； rr K s e s s s 0 表面质量系数。 如果循环应力为剪应力，将上述公式中的正应力换为剪应力即可。 对称循环下 ，r= -1 。上述各系数均可查
22、表而得。 rr K t e t t t 0 r o r r Knn s es ss s s 1 max 对 称 循 环 的对 称 循 环 的 疲 劳 强 度 条 件疲 劳 强 度 条 件 材料力学性能的进一步研究材料力学性能的进一步研究 应力速率对材料力学性能的影响应力速率对材料力学性能的影响 应力速率与屈服极限的关系 0 20 40 60 80 100 320 300 280 260 240 220 200 ss MPa s MPa/s t d de e 时称为动载荷3e 温度对材料力学性能的影响温度对材料力学性能的影响 但在260以前随温度的升高， sb反而增大，同时、却减小。 但象低碳钢
23、这种在260以前的特 征，并非所有的刚都具有。 总趋势: 温度升高,E、sS 、sb下降； 、 增大。 )( C )MPa(s )GPa(E 0 100 200 300 400 500 216 177 137 700 600 500 400 300 200 100 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 (%), E S s b s 温度和时间对材料力学性能的影响温度和时间对材料力学性能的影响 蠕变与应力松弛蠕变与应力松弛 1.1.蠕变：蠕变： 在一定的高温下，即使构件上的应力不变，塑性变形却随时 间而缓慢增加，直至破坏。这种现象称为蠕变。 注意：应力没增加，杆自己在长长
24、！ P 经过较长 时间后 P 加静载 构件的工作段不能超过稳定阶段构件的工作段不能超过稳定阶段！ e t O A B C D E 不稳定 阶段 稳定阶段 加速阶段 破坏 阶段 e0 材料的蠕变曲线 2.2.应力松弛：应力松弛： 在一定的高温下，构件上的总变形不变时，弹性变形会随时 间而转变为塑性变形，从而使构件内的应力变小。这种现象称为 应力松弛。 杆也是自己长了一段！ 经过较长时间后 卸载 加静载 冲击荷载下材料力学性能冲击荷载下材料力学性能 1.冲击试验试件 40 55 40 55 10 10 10 10 45 2 R 0.5 2 R1 V型切口试样 U型切口试样 试件 2.冲击试验 试件 U型口试件的冲击韧性： A W k 断口面积 冲击力功 V型口试件的冲击韧性： W k 冲击力功 冷脆：温度降低，冲击韧性下降的现象称为冷脆。
