1、2023/2/14數學文獻分析與批判指導教授:蕭龍生 教授 研究生:吳佳倩2023/2/14A Glance Over The Evolution Of Research In Mathematics EducationnThe ProblemsnThe MethodsnScientific And UniversalitynThe SpecificitynThe Relation With Other Disciplinesn Conclusion 正如國際數學教學促進會(International Commission for Mathematical Instruction,簡寫為ICM
2、I)的研究目的是在檢視當前數學教育研究的情況，我認為從老手“old hand”的角度去評估一些已經改變的或是沒有改變的情形可能是有用的。當然，這是我個人的看法，其他人也許會有更不一樣的觀點。正如很多科學的領域，數學教育也具有發表研究論點的特徵。在1980年柏克來的第四次的數學教育國際會議(International Congress on Mathematical Education)中，Hans Freudenthal 具挑戰性的提出當時數學教育的主要問題，該問題是1900年Hibert在巴黎的國際數學家大會(International Congress of Mathematician)所
3、提出的如出一轍。Freudenthal 開始解釋這兩個領域問題本質上的不同，過去的一些人大概都想像著以同樣的方法解決這些問題。國際數學教學促進會國際數學教學促進會 (International Commission for Mathematical Instruction,簡寫為簡寫為ICMI)n在1908年羅馬舉行的第四屆數學家大會(International Commission of Mathematicians,簡寫為ICM)中由D.E.Smith所提出,得到共識而產生n圖解法與函數概念在中小學教學的可行性,是在跨國討論中的兩個主題n因1914年第一次世界大戰的爆發而停頓n由此會議的產
4、生可看出早在本世紀初,數學教育的問題就開始國際化了數學教育國際會議數學教育國際會議 (International Congress on Mathematical Education,簡寫為簡寫為ICME)n60年代,全球性的新數學課程發展計劃,以及各國普遍遭遇的頓挫,促進各國數學家及關心教育的人士,再度點燃合作的改進意願n重振ICMI的理念,以進行國際合作的可能性,在1966年的數學家大會中提出,且決定兩年後由法國里昂主辦第一次世界性的大會,隨後由各國代表推選主辦國家,每四年舉辦一次n後來由於議題加速的出現,內容也愈發的沉重,遂每兩年增開一次區域性的會議(Regional Conferenc
5、e on Mathematical Education,簡稱為RCME)n如:HPM(International Study Group on the Relation between History and Pedagogy of Mathematics)Problems,problem solving,problem solvers,mean different things in mathematics.,Moreover,in mathematics,you can choose one major problem,solve it,and disregard the remainde
6、r.In education,all major problems,and in particular,those I am going to speak about,are strongly interdependent.(Freudenthal 1983)而今天，我認為Freudenthal 在他的演講中已經將這問題講得非常清楚：問題、問題解決、問題解決者，這三者在數學教育中都所代表的意義都與他們在數學中的所代表的意義非常的不同 在數學中，你可以從Hibertnn所提出的問題中選擇一個主 要 的 問 題 去 解 決 它，而 不 要 去 管 其 它 的 問 題。但在數學教育中所有主要的問題，
7、尤其是接下來我所提出的問題，都是相互倚賴的。(Freudenthal 1983)Freudenthal所提出的13個問題到今天為止不但還沒有被解決，而且這些問題都還是當前數學教育所感到興趣的問題，也衍生出很多新的、重要的問題。2023/2/14The First Problem nWhy can Jennifer not do arithmetic?Not only for researchers,but for any teacher.Does it sound sexist?ICMI在1984年正式成立“婦女與數學國際組織”(International Organization of Wo
8、men and Mathematics Education,簡稱為IOWME),以引起世人注意女性在數學學習方面受岐視的現象2023/2/14nHow do people learn?Not only for mathematics educators,but spread to many domains of the cognitive sciencethe great difficulty“learning to observe learning process”(H.Freudenthal)Classroom ResearchThe Second Problem2023/2/14The
9、Third ProblemnHow to use progressive schematization and formalization in teaching any given mathematical subject?2023/2/14The Fourth Problem nHow to keep open the sources of insight during the training process;how to stimulate the relation of insight,in particular,in the process of schematizing?2023
10、/2/14The Fifth ProblemnHow to stimulate reflection on ones own physical,mental and mathematical activities?Metacognition(後設認知)Brown(1987)認為後設認知可以分為認知的知識和認知的調整:認知的知識是指對環境的覺察,對認知運作的反思;認知的調整是指調整及監督的活動,包括計劃,監控,評估2023/2/14The Sixth ProblemnHow to develop a mathematical attitude in students?“Improving stu
11、dents attitudes and motivation”coordinated by Gilah Leder at the 7th ICME in Quebec in 1992 the interest of mathematics education in now more on problem solving than mathematical knowledge2023/2/14The Seventh ProblemnHow is mathematical learning structured according to levels and can this structure
12、be used in attempts at differentiation?Political,differentiation,grouping,streaming(homogeneous or heterogeneous)2023/2/14The Eighth ProblemnHow to create suitable contexts in order to teach mathematizing?Vast,Netherlands the interest is produce problem-situation,artically“concrete situation”,real-l
13、ife situation the experiments linking the classroom and the environment of students lives,the distortions of mathematics in this classroom context2023/2/14The Ninth ProblemnCan one teach geometry by having the learner reflect on his spatial intuitions(空間直覺)?2023/2/14The Tenth ProblemnHow can calcula
14、tors and computers be used to arouse and increase mathematical understanding?2023/2/14The Eleventh ProblemnHow to design educational development as a strategy for change?Hans Freudenthal said:“Curriculum development viewed as a strategy for change is a wrong perspective.2023/2/14The Twelfth Prooblem
15、nThe problem focused on textbooks and teacher training.2023/2/14The Thirteenth Problem Educational research itself is a major problem of mathematics education.第一個問題是：為什麼第一個問題是：為什麼Jennifer不能做算數不能做算數?不像John和Mary是抽象的代表名詞，Jennifer是個活生生的孩子。當然，這個問題不只是研究者的問題，也是所有老師的問題。今天對於學生犯錯的原因比起Freudenthal當時提出該問題時或許被了解的
16、不多，但已經有一小部份關於學生的錯誤學習被解決了。我們也可以注意到當他所引用的名字是John和Mary時，他會問說“這聽起來有沒有歧視女性的意味呢?”在當時，這樣的觀點是不被注意的，但是我們現在非常的關心性別的觀點。目前有很多研究正從事這個領域，甚至於在1993年，ICMI就致力於“Gender and Mathematic Education”(性別與數學教育)的研究。第二個問題是：人是如何學習的第二個問題是：人是如何學習的?這個問題不總是數學教育家的問題，這問題現在也擴張到很多認知科學的種種領域的研究者。Hans Freudenthal認為解決這個問題最大的困難便是學習去觀察學習過程。現在
17、有越來越多的研究者關心這個問題，有一個叫做教室研究的國際研究群體便是一例。第三個問題是：如何去運用漸進的計畫和正式化的教法在數第三個問題是：如何去運用漸進的計畫和正式化的教法在數學的任何教學主題上學的任何教學主題上?這恰好是今日眾多研究者所標榜研究“教學技術”下的問題。第四個問題說到了第四個問題說到了“洞察力洞察力”：在 訓 練 的 過 程 如 何 去 使 洞 察 力 能 源 源 不 絕在 訓 練 的 過 程 如 何 去 使 洞 察 力 能 源 源 不 絕?尤其是在計畫解決問題時，如何激勵洞察力的維持尤其是在計畫解決問題時，如何激勵洞察力的維持?我們都知道很多最近的書和報導指出很多的問題的解決
18、都需要洞察力。第五個問題是：如何去強化一個人在數學活動中生理和心理第五個問題是：如何去強化一個人在數學活動中生理和心理的反應的反應?這問題在當時似乎是很新的看法，即使這問題迄今尚未有答案，但仍有很多的研究者談到了心理層次，而後設認知的主題也產生了非常重要的作用。第 六 個 問 題 是：如 何 去 發 展 學 生 的 數 學 學 習 態 度第 六 個 問 題 是：如 何 去 發 展 學 生 的 數 學 學 習 態 度?Gilah Leder在1992年加拿大魁北克省所舉行的第七次數學教育國際會議(International Congress on Mathematical Education)中
19、成立了Improving students attitudes and motivation，這個工作團體的存在透露著這個主題的生命力。透過最近幾年所發表的大部份的研究報告，我們可以知道現在數學教育對解決問題比對數學知識有興趣，甚至現在“problem posing”在數學教育複習及摘要的期刊中是一種主要的索引。第七個問題是：根據認知層次，數學學習是如何被建構的第七個問題是：根據認知層次，數學學習是如何被建構的?而 這 樣 的 建 構 可 以 被 適 用 在 個 別 差 異 嗎而 這 樣 的 建 構 可 以 被 適 用 在 個 別 差 異 嗎?這問題相當的具政治性，在很多國家有很多不同的研究關
20、於差異性、族群或各種同質的、異質的人群，而這些研究的結果有時是對立的，到目前為止沒有找到唯一的答案。第八個問題是：如何創造出數學教學的合適課程第八個問題是：如何創造出數學教學的合適課程?我們都知道這個問題的研究是非常龐大的，尤其是在西歐荷蘭，這問題一直是Freudenthal Institude所致力研究的。一般而言，我們對創造問題的情境是感到興趣的，但是教學的錯誤是如此的普遍，而所謂的具體的情境經常是人工化的、以數學為主體而建構的，並非是可以數學化的真實生活情境。這也導致了連結教室和學生生活的實驗產生。此外我們知道數學課程在數學理解上所扮演的角色，我們很多研究也致力於分析數學在教室課程中的是
21、否失真。第九個問題是第九個問題是:一個人可以藉由學習者本身的空間直覺來教一個人可以藉由學習者本身的空間直覺來教授幾何嗎授幾何嗎?就今天的觀點，我認為這個問題可以被視為第八個問題的特殊案例。第十個問題是第十個問題是:計算器和電腦如何被用來增進激發提昇數學的計算器和電腦如何被用來增進激發提昇數學的理解理解?Hans Freudenthal在談論第十個問題時顯得有點壓抑，他說:我被迫要講些有關於計算器和電腦在數學上的應用，如果我不說，你們可能會抗議。目前有很多的研究群體致力於這個問題的研究，而這個領域也一直地快速發展以至於有時看起來像是數學教育家的注意力已經轉變，而且學習的目標也從 了 解 數 學
22、的 本 質 變 成 使 用 計 算 工 具。第十一個問題是第十一個問題是:如何去設計教育的發展成為一個改革的策略如何去設計教育的發展成為一個改革的策略?Hans Freudenthal說:將“課程發展”視為改革的策略是一種似是而非的觀點。就我個人而言，我認為應該說是:將“教育發展”視為改革的策略。我對於在很多國家將這個似是而非的觀點當做標準的情況感到恐懼，而每個人都清楚的知道在這個領域中是有些許的不同的。第十二個問題的焦點在第十二個問題的焦點在“教科書教科書”和和“教師訓練教師訓練”。這兩個方面目前都還在研究當中，尤其是“教師訓練”。已經有很多國家做制度上的改變與實驗，但也有一些失敗 的 例
23、子 還 找 不 到 完 全 令 人 滿 意 的 答 案。第十三個問題，也是最後的一個問題講到:教育研究它本教育研究它本身就是數學教育一個主要的問題身就是數學教育一個主要的問題。而我們也都深信這個問題的重要性，使得我們參與現在的ICMI並且從事研究。2023/2/14The Methodsn1.One of the most frequent method,adopted from psychologists,was to ask the students questions.2023/2/14n2.There are now papers comparing ways of asking qu
24、estions,ways of evoluating answers,comparisons of popualations,gender,age,etc.The Methods2023/2/14The Methodsn3.To examine“mathematics classroom”，the importance is given to qualitative(質)aspects more than to quantitative(量)ones 當問題已經發展出一些新的問題，解決他們的方法是否有所改變呢?雖然有些數學問題還沒有解決，在研究如何解決他們的研究最少在方法上已有所改變。同樣的情
25、形也發生在數學教育上，甚至更加的明顯，因為，事實上數學教育發展的起源就反應在它的研究方法上。這些方法是由其他學科所發展 而 來，其 中 以 心 理 學 的 影 響 為 最。為了更明顯地看出這些改變，我發現Hans Freudenthal所說的話是有用的，尤其是他在1978年在他書中所發表的:Weeding and Sowing-Preface to a Science of Mathematical Education.在當時，這本書包含了對數學教育非常嚴厲的評論。我們可以說現在雜草都已經除去了嗎?當然沒有。例如Hans Freudenthal所當眾指責的理論性的教育學 到 現 在 仍 然 存
26、 在，但 已 較 少 被 應 用 了。例如在過去有很多次，我們可以看到由首長辦公室或由大學中所創造的課程被應用到實際的課堂中都產生不幸的結果。我們也從這些實驗中學習到很多的經驗。採用自心理學的眾多方法中最常用的就是去問學生問題（例如：多重選擇的問題）。Hans Freudenthal堅持利用這樣的測驗從學生外在行為做出內在本質的結論。我們都記得他對皮亞傑的一些實驗或IEA的研究表現出些許的偏見。又例如我們可以發現在數學教育研究中只根據算出特殊問題答案的統計研究的報告已經行之有年，而這些特殊問題是由特殊對象在特殊環境中所產生。當然，我們可以說至少有了一些發展：正如先前所作的研究，我們找不到那些沒
27、有被及的問題答案的刊物；被測試的具代表性的對象現在已較少具爭論性，而且最大的進步就是研究的限制越來越明確。事實上，這個研究方法的所有特別困難處包括問問題的方法、內容所扮演的角色、語言上的觀點等都引出了這個新領域的研究。我們現在都知道那些對解釋問題答案的解釋一點也不夠明顯，反之，更存在了它的複雜性。因此現在的報告都有比較問問題的方法、評鑑答案的方式、研究對象的比較、性別和年齡的不同等等。隨著問題內容所扮演的角色越來越重要，研究者被引導去檢視“數學教室”的情境，剛開始時，只是要當一個客觀性外來的觀察者，但是到了後來，越來越受到人種誌學者的影響。這樣的演化透過越來越多的研究報告而產生，這些報告所敘述
28、的方法早期受到心理學家影響，後來受到較多社會學家的影響。而這對於質的研究的重要性更甚於量的研究，例如:精準地說些什麼、在什麼樣的情境下說的，比說了多少次來的重要。又例如我們在Educational Studies of Mathematics 雜誌中發現學生人數越少，則在教室中的口試方式會有所改變，學生課業的表現也有不同。最著名的例子就是H.Freudenthal 後來所提到希望能看更多的教室日誌。然而，新的方法為了生存必須要和早先傳統的稱為科學的其他學科所抗爭，而那些傳統的科學信念是:研究為了要更嚴謹地、更強烈地被接受必須要量化。2023/2/14Scientific and Univers
29、alityn1.Is mathematics education a science?2023/2/14 Scientific and Universality n2.The criterion of scientific domain is universality 2023/2/14Scientific and Universality n3.We cannot ignore that we are confronted with the serious linguistic problem of translation.It will necessarily have to change
30、 in the near future.到底數學教育是不是科學?這個問題到目前為止還沒有完全被解答，而現在ICMI正在研究數學教育所研究的領域，而這領域大致可以用這個被呈現在1978年Freudenthal的書中的標題“Preface to a Science of Mathematical Education”來概括。事實上，科學(Science)和科學主義(Scientism)在所有人文科學(human science)中的分際並沒有那麼清楚，而我所看到的數學教育已經有好長一段時間和科學主義(Scientism)保持距離，避免受到影響。但至少我們對何謂科學領域(scientific dom
31、ain)是有一些標準的。最簡單的標準就是普遍性。很多區域性的作為和改革也許都是令人感到興趣的，或是有政治上的重要性等等，但並不具有普及性的價值。他們推動區域性的教育系統的發展但對整體普及性知識的成長並無貢獻。所以並不能稱之為科學。但區域性的一些有選擇性、有限制性的研究也並不全然會違背普及性。例如：在1985年，少數的P.U.Treisman的學生在柏克萊所做的實驗雖然是區域性的，但這實驗的結果對於相同型態的環境都是具有意義的，而且也是全球所感到興趣的。在一些年以前我們就曾經聽過這些名詞“英語研究”、“法語研究”、“德語研究”、“義大利文研究”等等。我認為這些名詞已經漸漸式微了。很明顯地，這些應
32、用研究不能像任何的科學一樣可以國際化(例如可以實際應用到國家的學校系統)，科學研究可以無邊界，而這就是大部份的科學雜誌都會國際化的原因。當然，有一些歷史性的理由也許會對一個國家在某個時期產生特殊的定位(這種情形也會發生在數學教育)。但是，為了建構一種科學，研究者的思考方式必須被國際組織中的所有成員所認同。這就是國際協會和群體為何重要的理由。就像ICMI、CIEAEM、PME等團體為了避免孤立而融入國際雜誌。但我們也不能忽視我們所面對的嚴重的語言轉換的問題。這個問題存在任何的領域中，例如：一個法國的化學家必須要讀很多英文的報告（也許還有德文的），當一個人從決定要研究化學開始，就必須做好這樣的準備
33、。又例如在法國，人們常常從一開始就只用法語學習數學和教數學，雖然後來由於某種情形而從事數學教育研究，但他們都還只留在法文的領域中，陷入法語的巢臼裡。我們發現這種狀況普遍存在於現在具有博士學位的學生，但我認為在不久的未來這種情形必須改善。2023/2/14The Specificityn1.If mathematics education is a science it is only as a human science.2023/2/14The Specificityn2.It cant be considering as soft as any other science of educa
34、tion.2023/2/14The Specificityn3.Mathematics education has a specificity.It refers to human thinking related to hard objects:the mathematical objects 在當時的年代，LEnseignement mathematique 是唯一的一份數學教育雜誌，裡面所發表的文章是非常的數學化，雖然沒有提供新的研究結果，但卻也有一些新的文章，是不同想法和分析證明等的綜合呈現。從事數學教育研究的數學家仍然致力於研究數學。後來，無論是心理學所感興趣的、所研究的問題和它所使
35、用的方法都影響著數學教育。我們開始了解到如果說它是一門科學，也是一門人文科學。但是身為數學家，要了解人文科學就像數學一般不是“hard science”是有所困難的。最好的情形是它只能被認為“soft science”。但是現在有一些人(來自社會科學的人)，認為數學教育視像其他科學教育一樣的“soft”。但這仍然是錯誤的，因為數學教育有它的特殊性,它提到了人類思想和數學的關係。這也解釋了為何會有如此多的誤解和為何既不是數學家也不是一般教育家都能清楚地了解什麼被數學教育所研究。2023/2/14The Relation With Other Disciplinen1.didactics of a
36、 discipline(D.Lacombe,1970)指數學學科(object-discipline)指數學教學法(didcatics of mathematics)指工具學科(tool-discipline)2023/2/14The Relation With Other Disciplinen2.t o o l-d i s c i p l i n e s :In 1970-mathematics itself,psychology,sociology,linguisticsToday-psycho-sociology,socio-linguistics,ethnography,comput
37、er science(CAI、Artificial Intelligence)，neurobiology2023/2/14The Relation With Other Disciplinen3.Mathematics educators not only use these disciplines in their research,but followers of these disciplines use the results of mathematics educators in theirs.在1970年，D.Lacombe 使用百科全書中“didactique des disci
38、plines”的定義來敘述“didactics of a discipline(學科的教授法)”，有一種解釋是，“object-discipline”就是指數學學科，而“didcatics of mathematics”就是數學教學法；另一種解釋就是“tool-discipline”(工具學科)。當然，一般的情形和1970年是相同的，但我所感興趣的是去注意到他們些許的不同。第一，在當時被使用的每個工具學科都進步了；第二，我們也使用一些新的工具學科。在1970年，被引用的工具學科有數學(如統計和邏輯)、電腦科學(如統計軟體和電腦輔助教學)、心理學(如認知心理學和相關的理論)、社會學(在當時指的是
39、學校和社會中的學生)和語言學(如數學的學習和學校的演講)。今天，所有這些學科都已經被發展了，尤其是實際上對數學教育家非常有用的學科，就像是社會心理學和社會語言學。語言學家發展比簡單語言學更有助益的實際語言學來幫助我們了解教室中溝通的問題，尤其是說明問題內容的重要性。非常著名的例子是“The meaning is not the message”，因此我們都被引導著使用社會學的其他方面去分析數學學習的條件，例如微觀社會學和民族誌學。對於電腦科學，不只是發展CAI，Artificial Intelligence(人工智慧)也是我們研究的一個新的工具學科。我們從70年代開始的研究報告中發現我們常常談
40、論到“black box”這個觀點:當人類在學習時(尤其是數學學習)，在資料的輸入和輸出之間(例如回答問題的過程)，腦袋到底有些什麼作用?今天，我們發現可以從一個新的學科中得知，就是神經生理學(neurobiology)，如果順利的話，它可以幫助我們“look inside the brain”，觀察學習者在解決問題時頭腦的活動，也許也可以知道神經如何接受和傳遞數學訊息、問題是如何被解決等等 另一個新的會被注目的觀點就是數學教育和其他科目之間的關係。數學教育的研究不只是使用到其他學科，而且，這些學科也使用到數學教育研究的結果，例如：心理學家用認知和後設認知來檢視問題解決的概念；社會學家研究數學
41、教學在不同的社會階級中所扮演的角色。2023/2/14Conclusionn1.The briefly story of writers personal itinerary.2023/2/14Conclusionn2.The development of cognitive science with e x c h a n g e s b e t w e e n linguists,psychologists,computer scientists,neurobiologists,logicians and other mathematicians,will be very fruitful
42、 in the future.2023/2/14Conclusionn3.The best future to wish for mathematics education is that it becomes a part of this Cognitive Science.上述是從學科和個人的觀點來談論數學教育的發展，最後，我想簡單用我個人在這個領域的經驗 故 事 來 作 結 論 也 許 會 更 清 楚。我在我人生早期，當我還是高中學生的時候，所遇到的問題是:為什麼大家都覺得弄不懂數學?後來我決定去教數學並且去做研究試著回答一些問題，像是“我們是如何了解數學?”和“數學是要了解什麼?”我開
43、始用數學邏輯去思考這些問題，然後也用邏輯語言方面去思考。然後我必須藉著了解整個社會的背景去研究學校教室環境的影響。了解數學就像是發生在黑盒子中的事情，在一個特殊的環境中接受和產生訊息。這引導我們知道如何改善了解數學，但並不能完全知道人類的頭腦是如何作用的?問題解決的策略是如何被創造的?我不會天真的想像說在我的有生之年，這些基本的問題能被解答。但我很樂意我所聽到、看到或被發表的作品見從六十年代到現在的作品能有很大的改革和進步，尤其是學術上的研究。我相信隨著語言學家、電腦科學家、心理學家、神經生物學家、邏輯學家和其他數學家的改變，認知科學在未來是非常有用的，而且隨著這種特殊性而共同合作成功產生的特殊科學叫做“認知科學”。我相信數學教育的未來會成為認知科學的一支。
